第04讲 空间向量的坐标表示（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第04讲 空间向量的坐标表示 【苏教版】 模块一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据点在坐标平面内射影的特点，直接写出答案即可． 【解答过程】由题意得，点的纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0，则. 故选：A. 【变式1.1】（25-26高二上·全国·课前预习）若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【解题思路】确定点关于平面以及关于x轴对称的点的坐标，即可求得答案. 【解答过程】由题意得点关于平面对称的点为，关于x轴对称的点为， 则，，所以． 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二上·天津北辰·期中）在空间直角坐标系中，点，关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据点关于平面对称的规则得出点的坐标. 【解答过程】点，关于平面对称的点的坐标横纵坐标不动，竖坐标变成相反数， 所以坐标是. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二上·广东江门·期中）如图，在长方体中，. 以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴，轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则长方体顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间直角坐标系的定义求出坐标. 【解答过程】因为，，， 所以，， 因为点在平面上的射影是，点的横坐标、纵坐标和点的横坐标、纵坐标相同， 又点在轴上的射影是，它的竖坐标与点的竖坐标相同， 所以点的坐标为. 故选：A. 模块二 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的坐标运算计算即可. 【解答过程】空间向量，则. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用向量坐标运算计算即可. 【解答过程】解：因为向量，， 则 故选：C 【变式2.2】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】由， 可得：， 所以. 故选：D. 【变式2.3】（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用平面向量的坐标计算可得答案． 【解答过程】 故选：B. 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（24-25高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【解题思路】先求出和的向量坐标，再利用向量的数量积公式计算. 【解答过程】 则. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果. 【解答过程】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】（1）由，可得，. ， 故 （2），，， 可得，， 故. 【变式3.3】（24-25高二·全国·课后作业）在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【解题思路】（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标； （2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标. 【解答过程】（1）设点为坐标原点，， 则. ，则； （2），则， 又，因此，； （3）设点为坐标原点，，则， 则， 所以，点的坐标为. 模块三 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【题型4 空间向量模长的坐标运算】 【例4】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【答案】B 【解题思路】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解. 【解答过程】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【解答过程】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：C． 【变式4.2】（24-25高二上·吉林四平·期中）已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）由空间向量垂直的坐标运算得到方程，即可求解； （2）计算出，利用模长公式得到，求出最小值. 【解答过程】（1）因为，所以， 即，解得； （2）因为向量，所以， 所以， 所以当时，取得最小值为. 【变式4.3】（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. (1)证明：； (2)求； (3)求FH的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到直线垂直； （2）利用空间向量夹角余弦公式进行求解； （3）求出的坐标，由公式计算出. 【解答过程】（1）如图，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，， 所以， 所以，故； （2）因为，所以 因为，且， 所以； （3）因为是的中点，所以， 又因为，所以，，即. 【题型5 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例5】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【解题思路】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【解答过程】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高一上·四川·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据空间向量线性坐标公式求解，再根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 又，且， 则，解得. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）已知，且与共线，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量坐标形式的共线定义求得，则可得到的坐标. 【解答过程】因为，且与共线， 所以，解得， 所以. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知向量，，若与平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据已知条件结合向量共线定理求解即可. 【解答过程】因为， 所以， ， 因为与平行，所以存在唯一实数，使， 所以，则，解得， 故选：B. 【题型6 空间向量垂直的坐标表示】 【例6】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知向量，，若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【解答过程】因为向量，， 所以， 因为，所以， 即，解得，故D正确. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】求出，根据空间向量的模长公式以及数量积的坐标表示，列式计算，即可求得答案. 【解答过程】由向量，， 可得， 结合，，即， 得，结合，解得，则. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二上·广东深圳·期中）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【解答过程】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 【变式6.3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1) ，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【解题思路】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． 【解答过程】（1）由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． （2）因为、、，，， 所以，， 则. （3）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 【题型7 空间向量夹角（余弦）的坐标运算】 【例7】（24-25高二上·山东德州·阶段练习）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量坐标运算，求出n值，再利用夹角公式计算作答. 【解答过程】向量，则， 由，得，解得，， 因此，，， 所以与的夹角的余弦值. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得．联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可． 【解答过程】因为空间两个单位向量与向量的夹角都等于， ， 易知， 又， 又为单位向量，所以， 联立，得或， 又， ． 故选：C． 【变式7.2】（24-25高二上·广东茂名·期中）已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据平行关系设，求出，利用向量垂直得到； （2）利用向量夹角余弦公式求出答案． 【解答过程】（1）因为，所以设，即， 故，解得， ， ， ∴，解得， ； （2）， . 【变式7.3】（24-25高二上·广西·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3). 【解题思路】（1）根据向量模的坐标表示计算； （2）由向量垂直的数量积为0求解； （3）由向量夹角公式计算． 【解答过程】（1）由题可得，则. （2），， ，， 即，则. （3），，，， ， 向量与夹角的余弦值为. 【题型8 坐标法求最值（范围）问题】 【例8】（24-25高二上·河北·阶段练习）在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可. 【解答过程】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点， 连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为是棱上一动点，设，且， 因为，且， 所以，于是令， 所以，， 又函数在上为增函数， 所以当时，，即线段长度的最小值为. 故选：D. 【变式8.1】（24-25高二下·福建莆田·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利用转化向量的方法求数量积，再代入坐标运算，即可求解. 【解答过程】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，    ，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为，，则， ， ， ，，， ，， ， 所以， 当时，取得最大值. 故选：C. 【变式8.2】（24-25高二上·吉林·开学考试）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案. 【解答过程】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则点，，所以． 因为，，所以, 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以,因为， 所以当时，． 因为正方体中，平面，平面,故， 所以， 故选：B． 【变式8.3】（24-25高三·江苏南京·假期作业）正三棱柱中，，，O为的中点，M为棱上的动点，N为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可. 【解答过程】因为正三棱柱中，为的中点， 取中点，连接，如图， 以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 因为是棱上一动点，设，且， 因为，所以， 于是令，. 所以，. 又因为函数在上为增函数， 所以当时， 即线段长度的最小值为 当时，， 即线段长度的最大值为， 所以线段长度的取值范围为. 故选：B. 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【解答过程】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C. 2．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量夹角公式的坐标表示求解. 【解答过程】由已知两式相加，得即， 两式相减可得即， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【解答过程】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A. 4．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【解答过程】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 5．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果. 【解答过程】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 6．（24-25高二上·湖北·期末）已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】建系，利用空间向量数量积的坐标表示求解即可. 【解答过程】连接，交于点，连接，， 因为正四棱锥与正四棱锥， 所以平面，平面， 因为，， 所以，，， 以为原点，分别为轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以. 故选：D. 7．（24-25高二上·广东惠州·期末）如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】双动点，目标求轨迹长，需先确定轨迹，建系列条件找出轨迹即可求解. 【解答过程】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，即，可得， 则，则，整理可得， 可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分， 所以端点的轨迹长度为． 故选：A． 8．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量 ，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示，可得答案. 【解答过程】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 因为，那么， 所以， 所以、、、四点共面， 由得，解得， 所以的最小值为. 故选：B.    二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 【答案】ABD 【解题思路】应用空间向量模长、夹角的坐标运算及单位向量的概念依次判断各项的正误. 【解答过程】A：，则，对； B：， ， 则，，所以，对； D：与平行的单位向量为，即或，对； C：根据A、B的分析过程，知三条边长各不相等，所以不是等腰直角三角形，错. 故选：ABD. 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 【答案】BD 【解题思路】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A不正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：BD. 11．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 【答案】AD 【解题思路】我们可以利用平面向量的基本定理判断选项A；然后利用向量的坐标运算计算其他选项即可. 【解答过程】假设与共面，则有解，即有解， 解得 ，故选项A正确； ，所以，故选项B错误； 在上的投影向量为，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知，与的夹角为，则与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【解题思路】根据空间向量模的坐标表示求出，进而结合空间向量的数量积及运算律求解即可. 【解答过程】由，得， 所以， 则， ， ， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知向量，，，且共面，则 ． 【答案】 【解题思路】根据共面，结合空间向量共面定理先求出x的值，再计算的值. 【解答过程】共面，则存在非零实数，满足， 则 即解得 所以，则， 所以． 故答案为：. 14．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为 ． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求出，结合表达式的特点求出最值即可. 【解答过程】因为底面ABCD，AD，平面ABCD，所以，， 因为四边形ABCD为正方形，所以，所以AD，AB，AE两两垂直， 以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设，则，， 所以 ． 因为，，所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4．则的最小值与最大值的和为． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【解答过程】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直． 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，，则，，，； （2）， ， ． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【解答过程】（1）因为，， 则，，， 所以. （2）由题意可得：， 因为，且， 设，即， 则，解得. 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）由，可设，根据模长求得即可求解； （2）设，由ABCD是平行四边形可得，利用向量相等即可解出点坐标； （3）根据空间向量模长及夹角公式，再利用公式求解. 【解答过程】（1）由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． （2）设，因为ABCD是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． （3）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间中三点，，． (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以CB，CA为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【解题思路】（1）设，由，代入点的坐标解方程即可； （2）向量在向量上的投影向量，又，故可求得； （3）由向量的数量积求夹角，得到，从而，再由三角形面积公式求得的面积即可求得平行四边形面积. 【解答过程】（1）设， 因为四边形是平行四边形，所以，由，，， 得，， 所以，故． （2）因为，，，所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量， 所以． （3）因为，，，所以，， 所以，即， 又，所以， 所以的面积， 所以以为邻边的平行四边形的面积为3． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 【解答过程】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值 ． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 空间向量的坐标表示 【苏教版】 模块一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·全国·课前预习）若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【变式1.2】（24-25高二上·天津北辰·期中）在空间直角坐标系中，点，关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·广东江门·期中）如图，在长方体中，. 以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴，轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则长方体顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 模块二 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（24-25高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【变式3.1】（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 【变式3.3】（24-25高二·全国·课后作业）在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 模块三 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【题型4 空间向量模长的坐标运算】 【例4】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【变式4.1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4.2】（24-25高二上·吉林四平·期中）已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【变式4.3】（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. (1)证明：； (2)求； (3)求FH的长. 【题型5 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例5】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·四川·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）已知，且与共线，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知向量，，若与平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．2 【题型6 空间向量垂直的坐标表示】 【例6】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知向量，，若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式6.1】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6.2】（24-25高二上·广东深圳·期中）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【变式6.3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1) ，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【题型7 空间向量夹角（余弦）的坐标运算】 【例7】（24-25高二上·山东德州·阶段练习）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式7.2】（24-25高二上·广东茂名·期中）已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 【变式7.3】（24-25高二上·广西·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 【题型8 坐标法求最值（范围）问题】 【例8】（24-25高二上·河北·阶段练习）在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二下·福建莆田·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式8.2】（24-25高二上·吉林·开学考试）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高三·江苏南京·假期作业）正三棱柱中，，，O为的中点，M为棱上的动点，N为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 5．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖北·期末）已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（    ） A．0 B．2 C． D． 7．（24-25高二上·广东惠州·期末）如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 8．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量 ，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 11．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 三、填空题 12．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知，与的夹角为，则与夹角的余弦值为 ． 13．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知向量，，，且共面，则 ． 14．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间中三点，，． (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以CB，CA为邻边的平行四边形的面积． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $