2026年中考数学一轮复习核心讲义(核心考点+模拟真题) 专题17相交线与平行线

该初中数学中考复习讲义聚焦“相交线与平行线”专题，覆盖对顶角、平行线判定与性质等中考核心考点，以“相交线及其所成的角、平行线判定、平行线性质”为知识模块，通过考点梳理、易错点剖析、10大题型真题训练，帮助学生突破细节失分、逻辑混淆等难点，构建系统复习体系。 亮点在于“问题导向-方法归纳-实战应用”的教学策略，如通过“三线八角F/Z/U型识别法”培养几何直观，结合折叠、折射等实际情境题发展推理意识与应用意识。62道模拟题分层覆盖基础到综合，配合易错点专项突破，助力学生高效提升应考能力，教师可据此精准把控复习节奏。

专题17相交线与平行线中考一轮复习讲义 【10大经典模拟真题题型共计62题】 相交线与平行线是中考基础得分板块，属于 “低难度、高覆盖” 考点，其考情可从以下维度拆解： 一 .分值与题型分布 全国多数地区中考中，该板块单独考查的分值为3-6 分： 以选择题 / 填空题为主（占比 90% 以上），多为 1 道题（3 分），考查单一知识点（如对顶角相等、平行线判定）； 少数地区会将其作为解答题的基础步骤（如三角形、四边形的角计算、坐标系中直线平行的条件），占解答题分值的 2-3 分。 二.考生现状（优势 + 高频问题） 1.优势：多数考生对 “对顶角相等”“平行线判定 / 性质” 等基础知识点记忆清晰，能完成简单题（如直接用对顶角求角度），这部分得分率约 85%。 2.高频问题： 细节失分：混淆 “垂线段” 与 “点到直线的距离”（误选 “垂线段” 而非 “长度”）、忽略 “平行线定义需在同一平面内” 的前提，这类错误导致的失分占该板块失分的 60%； 逻辑混淆：分不清 “平行线判定（角→线）” 与 “性质（线→角）”，比如已知两直线平行，却用 “同位角相等” 去 “判定平行”； 综合应用弱：在结合三角形外角、坐标系、折叠问题的综合题中，无法快速关联 “平行线性质” 推导角的关系，这类题得分率仅 50% 左右。 三.考点热度 高频考点（必考）：对顶角 / 邻补角的性质、平行线的判定（内错角 / 同位角）、平行线的性质（角的关系）；. 低频但易失分考点：点到直线的距离、三线八角的识别（复杂图形中找内错角）。 核心知识 模块梳理 1.相交线及其所成的角 2.平行线及其判定 3.平行线的性质 中考模拟 题型实战 1.直线位置关系判定 2.对顶角与邻补角相关 3.垂线与垂线段相关 4.平行线的性质应用 5.平行线的判定 6.尺规作图 7.平行线与三角形/四边形结合 8.实际应用与解直角三角形结合 9.折叠与对称结合平行线 10.综合计算与证明 【模块01.相交线及其所成的角】 1.对顶角与邻补角 对顶角：顶点相同、两边互为反向延长线，性质：对顶角相等。 邻补角：有一条公共边、另一边互为反向延长线，性质：邻补角互补（和为 180°）。 2.垂线与点到直线的距离 垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 点到直线的距离：垂线段的长度（易错：不是垂线段本身）。 3.三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 识别关键：先找 “截线”（公共直线），再看被截线的位置： 同位角：在截线同侧，被截线同一方（形如 “F”）； 内错角：在截线两侧，被截线之间（形如 “Z”）； 同旁内角：在截线同侧，被截线之间（形如 “U”）。 易错点 混淆 “对顶角” 与 “邻补角” 的性质（对顶角相等，邻补角互补）； 误将 “垂线段” 等同于 “点到直线的距离”（距离是长度）。 【模块02.平行线及其判定】 1.平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线（注意：需强调 “同一平面内”）。 2.平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（即 a∥b，b∥c，则 a∥c）。 3.平行线判定定理（由 “角的关系” 推 “线平行”）： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 易错点 忽略 “三线八角” 的前提，直接用角的关系判定平行； 混淆 “平行公理推论” 的条件（需是同一条直线的平行线）。 【模块03.平行线的性质】 （由 “线平行” 推 “角的关系”）： 1.两直线平行，同位角相等； 2.两直线平行，内错角相等； 3.两直线平行，同旁内角互补； 4.平行线间的距离：处处相等。 易错点 混淆 “判定” 与 “性质”（判定：角→线；性质：线→角）。 方法总结 识别 “三线八角”：先定截线，再看被截线的位置形状（F/Z/U）； 区分 “判定” 与 “性质”：记清 “由角到线是判定，由线到角是性质”。 【模拟01.直线位置关系判定】 1．（2025·河北唐山·二模）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 2．（2025·河北唐山·二模）如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是 ． 4．（2025·江苏无锡·二模）如图，这是我们学过的用直尺和三角板画平行线，画图的原理是 ． 5．（2024·河北·模拟预测）如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 .【模拟02.对顶角与邻补角相关】 6．（2025·湖北荆州·一模）下列各图中与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·贵州贵阳·二模）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 8．（2025·河南周口·三模）如图1，这是一把剪刀的示意图，我们可将其想象成一个相交线模型（如图2），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·河北唐山·三模）图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量墙角的度数，嘉嘉延长至点后，测得，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，直线AB，CD交于点O，于点O，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 11．（2025·浙江·三模）如图，直线，相交于点，于点若，则 ． 【模拟03.垂线与垂线段相关】 12．（2025·吉林长春·模拟预测）利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·河北·二模）用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A． B． C． D． 14．（2025·贵州贵阳·三模）如图，点在直线外，点在直线上，且，，，，则点到直线的距离是（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．3.8 15．（2025·江苏无锡·一模）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“＞”“＜”或“＝”） (4)点P为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点P有 个（点P不与点G重合）． 16．（2025·山东临沂·三模）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． (1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； (2)若，求工厂C到B市的距离． 17．（2025·山东泰安·三模）如图，在矩形中，，，点P为对角线上的一个动点（点P不与点A，点C重合），点P关于的对称点为点E，点P关于的对称点为点F，连接，且经过点B，则在点P的运动过程中，线段长度的最小值等于 ．    18．（2025·内蒙古包头·二模）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ． 【模拟04.平行线的性质应用】 19．（2025·云南·模拟预测）如图所示，平行线，被直线所截，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 20．（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·四川雅安·二模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 22．（2025·江苏泰州·三模）光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气中射入水中时发生了折射，沿射到水底处，射线是光线的延长线．已知，，则的大小为 ° 23．（2025·贵州遵义·一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则（   ） A． B． C． D． 24．（2025·重庆·二模）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．（2025·山西吕梁·二模）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 26．（2025·山西临汾·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【模拟05.平行线的判定】 27．（2024·广东·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 28．（2025·山西晋中·二模）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 29．（2025·河北·二模）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，．求证：． 31．（2025·广西柳州·三模）如图，这是小孔成像的示意图，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，），若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 32．（2025·河北保定·三模）如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【模拟06.尺规作图】 33．（2025·全国·一模）如图，按要求作图并解答问题． (1)过上一点D作的平行线，交于点； (2)过点C作； (3)直线的位置关系是什么？请说明理由． 34．（2025·江西宜春·一模）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，经过、两个格点．以及格线上的点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图1，过点作的垂线； (2)如图2，过点作弦． 35．（2025·广西·三模）如图，在中，，点在线段的延长线上． (1)尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 36．（2025·新疆昌吉·模拟预测）如图，在中，，按如下步骤作图：①以点A为圆心，小于 的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P， 作射线，交于点D，过点D作交于点E，已知，，则的长为 ． 37．（2025·江西新余·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图（1）中画出一个，使，为格点（点不在点处）； (2)在图（2）中的边上找一点，使点到和所在直线距离相等． 【模拟07.平行线与三角形/四边形结合】 38．（2025·北京海淀·二模）如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ． 39．（2025·广西南宁·三模）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若，试求的长． 40．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 41．（2025·北京西城·二模）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，． (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 42．（2025·四川南充·三模）如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 43．（2025·山西阳泉·三模）如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 44．（2025·浙江·三模）如图，在中，点D是上一点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接，，，．若已知的面积，则一定能求出（    ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．的面积 【模拟08.实际应用与解直角三角形结合】 45．（2025·江西新余·模拟预测）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 46．（2025·陕西西安·模拟预测）汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 47．（2025·广西南宁·三模）在《测量物体的高度》的综合实践课上，老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度． 小明同学提出如下方法制作测角仪（图1）： 步骤一：以量角器为主要器材进行设计，在经过中心点O处安置一根可绕点O旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的C端瞄准目标物E进行测量，此时的方向即为视线的方向． 步骤二：在量角器的中心点O处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与线重合，则即为水平线．此时读出角的度数，就是所测目标的仰角． (1)步骤二中蕴含的一个数学知识是：______； (2)测角仪制作出来后，小明便利用这个测角仪测量某高楼顶部的一信号发射塔的高度．如图2，小明在矩形建筑物的D、C两点处测得该塔顶端E仰角分别为，，矩形建筑物高度．计算该信号塔顶端到地面的高度．（参考数据：，，）． 48．（2025·江西·模拟预测）图1所示是某中学一标志牌，根据测量要求将其抽象为图2，已知底座为矩形，与底座所成锐角的度数为，，，，点到底座上面的距离为． (1)求与底座所成的锐角的度数； (2)求标志牌的高度（即点到的距离）．（结果精确到小数点后一位） （参考数据：） 49．（2025·山东济南·三模）图1是某品牌电动单人沙发的实物图，在电动沙发调节过程中沙发的座深与水平地面是平行的．图2是电动沙发在初始状态时的侧面示意图，靠背与座垫的夹角，座垫与脚托垂直，即，且点D恰好落在水平地面上．为满足不同使用功能的需要，通过控制开关可以电动调节和分别绕点B和点C旋转合适的角度，其侧面示意图如图3所示．已知电动沙发的产品尺寸为：，，．在电动调节过程中始终满足，且．    (1)在电动沙发的初始状态时，求靠背的最高点A到水平地面的距离； (2)在电动调节的过程中，求出此电动沙发可伸展的最大水平距离． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 50．（2025·河南·模拟预测）举高灭火机器人是一种可代替消防救援人员进入危险区域进行灭火作业的特种机器人．如图1是一款举高灭火机器人的实物图，图2是其工作示意图，机器人底座可看作矩形，，伸缩臂，点和点在同一铅垂线上（即），，伸缩臂的最大长度为，图中的点均在同一竖直平面内，．当伸缩臂达到最大长度时，求举高灭火机器人的最高点到地面的距离．（参考数据：，，） 51．（2025·湖北·模拟预测）如图，内接于为的直径，过点作的平行线交于点，交于点，点在的延长线上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【模拟09.折叠与对称结合平行线】 52．（2025·山西·三模）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则的度数为 ． 53．（2025·浙江杭州·二模）如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则 °． 54．（2025·福建龙岩·三模）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 55．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，，与射线以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为，则 ，切线长的最小值为 ． 56．（2025·江苏南通·二模）如图，，点在直线上，点，在直线上，．将射线绕点以的速度逆时针转动，同时射线绕点以的速度逆时针转动，设转动时间为秒.在转动过程中，当射线与射线第一次互相垂直时，的值为（   ） A． B． C． D． 57．（2025·湖南·三模）如图，点E在线段上(点E不与点A，C重合)，设，．已知，，连接．下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【模拟10.综合计算与证明】 58．（2025·河北邯郸·三模）图中，互为对顶角的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 59．（2025·河北廊坊·一模）学校有一块四边形试验田，分割成，两块，由图可知， ． 60．（2025·山东青岛·二模）如图，已知，. (1)猜想与之间有怎样的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数. 61．（2025·浙江·二模）如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 62．（2025·安徽淮南·二模）如图，在四边形中，，，，E为对角线上一点，且，． （1）若，则 ； （2）CD长的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17相交线与平行线中考一轮复习讲义 【10大经典模拟真题题型共计62题】 相交线与平行线是中考基础得分板块，属于 “低难度、高覆盖” 考点，其考情可从以下维度拆解： 一 .分值与题型分布 全国多数地区中考中，该板块单独考查的分值为3-6 分： 以选择题 / 填空题为主（占比 90% 以上），多为 1 道题（3 分），考查单一知识点（如对顶角相等、平行线判定）； 少数地区会将其作为解答题的基础步骤（如三角形、四边形的角计算、坐标系中直线平行的条件），占解答题分值的 2-3 分。 二.考生现状（优势 + 高频问题） 1.优势：多数考生对 “对顶角相等”“平行线判定 / 性质” 等基础知识点记忆清晰，能完成简单题（如直接用对顶角求角度），这部分得分率约 85%。 2.高频问题： 细节失分：混淆 “垂线段” 与 “点到直线的距离”（误选 “垂线段” 而非 “长度”）、忽略 “平行线定义需在同一平面内” 的前提，这类错误导致的失分占该板块失分的 60%； 逻辑混淆：分不清 “平行线判定（角→线）” 与 “性质（线→角）”，比如已知两直线平行，却用 “同位角相等” 去 “判定平行”； 综合应用弱：在结合三角形外角、坐标系、折叠问题的综合题中，无法快速关联 “平行线性质” 推导角的关系，这类题得分率仅 50% 左右。 三.考点热度 高频考点（必考）：对顶角 / 邻补角的性质、平行线的判定（内错角 / 同位角）、平行线的性质（角的关系）；. 低频但易失分考点：点到直线的距离、三线八角的识别（复杂图形中找内错角）。 核心知识 模块梳理 1.相交线及其所成的角 2.平行线及其判定 3.平行线的性质 中考模拟 题型实战 1.直线位置关系判定 2.对顶角与邻补角相关 3.垂线与垂线段相关 4.平行线的性质应用 5.平行线的判定 6.尺规作图 7.平行线与三角形/四边形结合 8.实际应用与解直角三角形结合 9.折叠与对称结合平行线 10.综合计算与证明 【模块01.相交线及其所成的角】 核心考点 1.对顶角与邻补角 对顶角：顶点相同、两边互为反向延长线，性质：对顶角相等。 邻补角：有一条公共边、另一边互为反向延长线，性质：邻补角互补（和为 180°）。 2.垂线与点到直线的距离 垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 点到直线的距离：垂线段的长度（易错：不是垂线段本身）。 3.三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 识别关键：先找 “截线”（公共直线），再看被截线的位置： 同位角：在截线同侧，被截线同一方（形如 “F”）； 内错角：在截线两侧，被截线之间（形如 “Z”）； 同旁内角：在截线同侧，被截线之间（形如 “U”）。 易错点 混淆 “对顶角” 与 “邻补角” 的性质（对顶角相等，邻补角互补）； 误将 “垂线段” 等同于 “点到直线的距离”（距离是长度）。 【模块02.平行线及其判定】 核心考点 1.平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线（注意：需强调 “同一平面内”）。 2.平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（即 a∥b，b∥c，则 a∥c）。 3.平行线判定定理（由 “角的关系” 推 “线平行”）： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 易错点 忽略 “三线八角” 的前提，直接用角的关系判定平行； 混淆 “平行公理推论” 的条件（需是同一条直线的平行线）。 【模块03.平行线的性质】 核心考点 （由 “线平行” 推 “角的关系”）： 1.两直线平行，同位角相等； 2.两直线平行，内错角相等； 3.两直线平行，同旁内角互补； 4.平行线间的距离：处处相等。 易错点 混淆 “判定” 与 “性质”（判定：角→线；性质：线→角）。 方法总结 识别 “三线八角”：先定截线，再看被截线的位置形状（F/Z/U）； 区分 “判定” 与 “性质”：记清 “由角到线是判定，由线到角是性质”。 【模拟01.直线位置关系判定】 1．（2025·河北唐山·二模）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题考查了同一平面内两条直线的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 将直线m，n分别延长之后，会交于一点，即可判断． 【详解】解：由图可得：同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是相交， 故选：A． 2．（2025·河北唐山·二模）如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行公理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过点P作直线的平行线，可作的平行线有1条， 故选：A 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是 ． 【答案】同平行于一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查平行公理，掌握同平行于一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【详解】中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是是同平行于一条直线的两条直线互相平行， 故答案为：同平行于一条直线的两条直线互相平行． 4．（2025·江苏无锡·二模）如图，这是我们学过的用直尺和三角板画平行线，画图的原理是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．图中所画的两个同位角相等，则根据“同位角相等，两直线平行”可判断所作直线与平行． 【详解】解：由画图得， 所以根据同位角相等，两直线平行可判断． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 5．（2024·河北·模拟预测）如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）；解题的关键是利用平行公理，分析出过点的条直线中最多有条与直线平行，进而确定相交直线的最少数量． 【详解】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 过点的条直线中最多有条与直线平行，至少有条与直线相交． 故选C． .【模拟02.对顶角与邻补角相关】 6．（2025·湖北荆州·一模）下列各图中与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是准确理解定义，正确判断．根据对顶角的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是对顶角，故该选项不符合题意； B、与不是对顶角，故该选项不符合题意； C、与是对顶角，故该选项符合题意； D、与不是对顶角，故该选项不符合题意； 故选：C． 7．（2025·贵州贵阳·二模）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴依据是对顶角相等． 故选：B． 8．（2025·河南周口·三模）如图1，这是一把剪刀的示意图，我们可将其想象成一个相交线模型（如图2），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查邻补角及对顶角，根据对顶角相等得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：D． 9．（2025·河北唐山·三模）图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量墙角的度数，嘉嘉延长至点后，测得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平角的定义，平角为，已知的度数，用平角减去的度数得到的度数．本题主要考查了平角的定义，熟练掌握平角为是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 10．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，直线AB，CD交于点O，于点O，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，平角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据垂直定义可得，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 11．（2025·浙江·三模）如图，直线，相交于点，于点若，则 ． 【答案】/50度 【分析】先根据已知条件和垂直定义求出，再根据和已知条件，求出，最后根据对顶角相等求出即可． 本题主要考查了对顶角和邻补角，解题关键是熟练掌握对顶角的性质和垂直定义． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【模拟03.垂线与垂线段相关】 12．（2025·吉林长春·模拟预测）利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角尺作垂直，解题关键是正确摆放三角尺作直角． 根据题意利用三角尺作出垂线即可． 【详解】解：过直线l外一点P作直线，直线l与直角三角形的一边重合，点P在直角三角形的另一直角边上，只有D符合， 故选：D． 13．（2025·河北·二模）用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短等知识点．根据垂线段最短、两点确定一条直线、两点之间线段最短逐项分析判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； D、弯曲河道改直是利用了“两点之间线段最短”，故本选项不符合题意； 故选：A． 14．（2025·贵州贵阳·三模）如图，点在直线外，点在直线上，且，，，，则点到直线的距离是（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．3.8 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离为垂线段的长度，解题的关键是正确理解垂线段的长度． 根据点到直线的距离为垂线段的长度进行判断即可． 【详解】解：根据点到直线的距离为垂线段的长度， ∴点到直线的距离是线段的长度， 所以，点到直线的距离是3， 故选：A． 15．（2025·江苏无锡·一模）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“＞”“＜”或“＝”） (4)点P为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点P有 个（点P不与点G重合）． 【答案】(1)图见详解； (2) (3)＜ (4)5 【分析】本题考查作平行线、垂线，点到直线距离的理解应用： （1）先根据格点画出，再根据三角形全等及直角三角形两锐角互余，在位置找与全等的三角形即可得到答案； （2）根据点到直线的距离是垂线段距离直接判断即可得到答案； （3）根据图形判断即可得到答案； （4）根据的面积与的面积相等，即可得到点到的高与点G到的高相等，作平行线即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：由（1）得， ∵， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：由图像可得， ， 故答案为：； （4）解：∵的面积与的面积相等， ∴点到的高与点G到的高相等即可，如图所示， ， ， ∴的面积与的面积相等的点P，有5个． 16．（2025·山东临沂·三模）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． (1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； (2)若，求工厂C到B市的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）设，则，利用勾股定理，建立等式解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． 且， ∴， ∴， 根据垂线段最短， ∴长是工厂C到公路的最短距离． （2）解：设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 答：工厂C到B市的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 17．（2025·山东泰安·三模）如图，在矩形中，，，点P为对角线上的一个动点（点P不与点A，点C重合），点P关于的对称点为点E，点P关于的对称点为点F，连接，且经过点B，则在点P的运动过程中，线段长度的最小值等于 ．    【答案】9.6 【分析】此题主要考查了矩形的性质，轴对称图形的性质，理解矩形的性质，垂线段最短，熟练掌握轴对称图形的性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 连接，过点B作于点H，先由勾股定理求出，由三角形的面积公式求出，根据轴对称的性质得，再根据经过点B得，由此得当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得点P与点H重合时，为最小，最小值为线段的长，则的最小值为4.8，进而即可得出的最小值． 【详解】解：连接，过点作于点，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据轴对称的性质得：是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵经过点B， .∴， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得点P与点H重合时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 18．（2025·内蒙古包头·二模）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 【模拟04.平行线的性质应用】 19．（2025·云南·模拟预测）如图所示，平行线，被直线所截，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质和邻补角解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 20．（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 21．（2025·四川雅安·二模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：过直角顶点作直线如图所示， ， ∴， 则，， ， ， ， ， ， 故选：B． 22．（2025·江苏泰州·三模）光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气中射入水中时发生了折射，沿射到水底处，射线是光线的延长线．已知，，则的大小为 ° 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．通过射线与的交点，利用平行线性质和三角形外角性质来计算的大小． 【详解】解：设射线交于点． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（2025·贵州遵义·一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 根据水中的两条折射光线是平行的可求得，根据水面和杯底平行得的度数即可． 【详解】解：如图， ∵水中的两条折射光线是平行的， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ， ． 故选：B． 24．（2025·重庆·二模）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 25．（2025·山西吕梁·二模）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 【答案】/110度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别过点D、E作的平行线， ∵，， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 26．（2025·山西临汾·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作，则，根据平行线的性质可得，据此先求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【模拟05.平行线的判定】 27．（2024·广东·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键． 依次分析每个选项中能否判定． 【详解】解：选项A，∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定． 选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等， ∴ （同位角相等，两直线平行）． 选项C，，不能判定． 选项D，，不能判定． 故选：B． 28．（2025·山西晋中·二模）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． 29．（2025·河北·二模）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 30．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明，得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 31．（2025·广西柳州·三模）如图，这是小孔成像的示意图，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，），若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．由题意可得出，，再根据相似三角形的性质得出比例式求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（2025·河北保定·三模）如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平行线的性质，证明，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答； （2）连接，证明是线段的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，最后根据角平分线和平行证明是等腰三角形即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【模拟06.尺规作图】 33．（2025·全国·一模）如图，按要求作图并解答问题． (1)过上一点D作的平行线，交于点； (2)过点C作； (3)直线的位置关系是什么？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的作法，以及平行公理，关键是掌握平行于同一条直线的两直线平行． （1）根据平行线的定义画出图形； （2）根据平行线的定义画出图形； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：∵，， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． 34．（2025·江西宜春·一模）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，经过、两个格点．以及格线上的点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图1，过点作的垂线； (2)如图2，过点作弦． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图——应用与设计，平行线分线段成比例定理，等腰三角形三线合一的性质，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格，取与格线的交点，作直线即可； （2）连接，交于，连接并延长，交于，连接即可． 【详解】（1）解：取与格线的交点，作直线，直线即为求作的； 理由：取格点，，连接，， ， ， ， ， ； （2）解：连接，交于，连接并延长，交于，连接，即为所求作的； 理由：直线是的对称轴，点在上， ， ， ， ， ． 35．（2025·广西·三模）如图，在中，，点在线段的延长线上． (1)尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2),理由见详解 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，涉及到外角的性质，等边对等角，平行线的判定，正确作角平分线是解题的关键． （1）根据题意作出的平分线即可； （2）根据得到，再由角平分线的定义和外角性质得到，从而证明． 【详解】（1）解：（1）如图，即为所求， （2）解：，理由如下， ， ， ， 平分． ， ． 36．（2025·新疆昌吉·模拟预测）如图，在中，，按如下步骤作图：①以点A为圆心，小于 的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P， 作射线，交于点D，过点D作交于点E，已知，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等角对等边，平行线的判定及性质，角平分线的尺规作图，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形的性质得，由作图知平分，，进而证明，得，，从而得，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图知平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 37．（2025·江西新余·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图（1）中画出一个，使，为格点（点不在点处）； (2)在图（2）中的边上找一点，使点到和所在直线距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形高的定义及其作法、平行线线间距离处处相等、等腰三角形三线合一的性质等知识．作图时找准相应的知识点是解决本题的关键． （1）利用平行线间距离处处相等，作出同底等高的三角形即可； （2）利用等腰三角形的三线合一的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： 【模拟07.平行线与三角形/四边形结合】 38．（2025·北京海淀·二模）如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，将三角形周长转化，求出即可． 【详解】解：∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长为， 故答案为：10． 39．（2025·广西南宁·三模）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若，试求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 40．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，过点作，运用平行线的性质得，即，又因为，的平分线相交于点N，得，同理得，所以，即可作答． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点N， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（2025·北京西城·二模）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，． (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据题意得到，再由同位角相等，两直线平行即可求解； （2）根据，可得，从而得到，再结合角平分线的定义可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵扶手与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 42．（2025·四川南充·三模）如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是熟练掌握垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）由垂直得到，进而得到，证明，即可得到； （2）根据勾股定理得到，根据等面积法计算即可． 【详解】（1）证明：，， ． ，． ． 在和中， ． ； （2）解：在中， ， ， ． 43．（2025·山西阳泉·三模）如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行线的判定，勾股定理，分别过点D，点E作，垂足分别为，根据易证，得到，由点是上的中点，得到，即可求出，根据易证，得到，由点是中点，得到，即可求出，根据易证，得到，即可求出，从而求出，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，分别过点D，点E作，垂足分别为， ， ， ， 点是上的中点， ， ，， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 44．（2025·浙江·三模）如图，在中，点D是上一点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接，，，．若已知的面积，则一定能求出（    ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．的面积 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，，由，可证，则，，可证，则，由，即可求的面积，然后判断作答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即可求的面积， 故选：B． 【模拟08.实际应用与解直角三角形结合】 45．（2025·江西新余·模拟预测）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 【答案】/49度 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据某一时刻在阳光照射下的光线互相平行，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴的大小为． 故答案为：． 46．（2025·陕西西安·模拟预测）汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由反射后的光线均平行于地面，可得，由三角形外角的性质可得，结合即可求解． 【详解】解：如图， 反射后的光线均平行于地面， ， ，， ． 故选C． 47．（2025·广西南宁·三模）在《测量物体的高度》的综合实践课上，老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度． 小明同学提出如下方法制作测角仪（图1）： 步骤一：以量角器为主要器材进行设计，在经过中心点O处安置一根可绕点O旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的C端瞄准目标物E进行测量，此时的方向即为视线的方向． 步骤二：在量角器的中心点O处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与线重合，则即为水平线．此时读出角的度数，就是所测目标的仰角． (1)步骤二中蕴含的一个数学知识是：______； (2)测角仪制作出来后，小明便利用这个测角仪测量某高楼顶部的一信号发射塔的高度．如图2，小明在矩形建筑物的D、C两点处测得该塔顶端E仰角分别为，，矩形建筑物高度．计算该信号塔顶端到地面的高度．（参考数据：，，）． 【答案】(1)对顶角相等 (2)88米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及对顶角相等，三角形函数定义，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据对顶角的性质即可求解； （2）过点D作于点H，，由题意可知，，则，设，先证明为等腰直角三角形，得出，解得出，列出方程，求出x的值，再由即可求解． 【详解】（1）解：读出角的度数，就是所测目标的仰角的依据是对顶角相等，因此步骤二中蕴含的一个数学知识是：对顶角相等； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∴， 由题意可知，，， ∴四边形为矩形， ∴，设， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴． 答：该信号塔顶端到地面的高度约为88米． 48．（2025·江西·模拟预测）图1所示是某中学一标志牌，根据测量要求将其抽象为图2，已知底座为矩形，与底座所成锐角的度数为，，，，点到底座上面的距离为． (1)求与底座所成的锐角的度数； (2)求标志牌的高度（即点到的距离）．（结果精确到小数点后一位） （参考数据：） 【答案】(1) (2)标志牌的高度约为． 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，解直角三角形的相关应用等知识． （1）根据领补角的定义得出，再根据四边形内角和定理求解即可． （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为．，再得出，解直角三角形得出，再得出，加上即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． ， ． ． （2）解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ． ， ． ， ． ． ， 标志牌的高度约为 49．（2025·山东济南·三模）图1是某品牌电动单人沙发的实物图，在电动沙发调节过程中沙发的座深与水平地面是平行的．图2是电动沙发在初始状态时的侧面示意图，靠背与座垫的夹角，座垫与脚托垂直，即，且点D恰好落在水平地面上．为满足不同使用功能的需要，通过控制开关可以电动调节和分别绕点B和点C旋转合适的角度，其侧面示意图如图3所示．已知电动沙发的产品尺寸为：，，．在电动调节过程中始终满足，且．    (1)在电动沙发的初始状态时，求靠背的最高点A到水平地面的距离； (2)在电动调节的过程中，求出此电动沙发可伸展的最大水平距离． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】(1)靠背的最高点A到水平地面的距离为 (2)电动沙发伸展的最大水平距离为 【分析】（1）延长至点H，过点A作，交于点Q，交于点P，由题意可得，在中，利用锐角三角函数求得，再根据平行线定理可得，再利用求解即可； （2）l为所在直线，过点作，垂直为点S，过点作，垂足为点T，根据题意求得，在中，利用锐角三角函数求得，再根据，，求得，在中，利用锐角三角函数求得，再利用求解即可． 【详解】（1）解：延长至点H，过点A作，交于点Q，交于点P， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵平行线之间的距离处处相等， ∴， ∵， 答：靠背的最高点A到水平地面的距离为；    （2）解：l为所在直线，过点作，垂直为点S，过点作，垂足为点T， 当电动沙发伸展的最大水平距离时，即， ∴，， 由题意可知，，， 在中，， 又∵， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：电动沙发伸展的最大水平距离为．    50．（2025·河南·模拟预测）举高灭火机器人是一种可代替消防救援人员进入危险区域进行灭火作业的特种机器人．如图1是一款举高灭火机器人的实物图，图2是其工作示意图，机器人底座可看作矩形，，伸缩臂，点和点在同一铅垂线上（即），，伸缩臂的最大长度为，图中的点均在同一竖直平面内，．当伸缩臂达到最大长度时，求举高灭火机器人的最高点到地面的距离．（参考数据：，，） 【答案】举高灭火器机器人的最高点到地面的距离约为 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可得，，结合平行线的性质和三角函数可得，，再根据即可求解． 【详解】解：如解图，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴举高灭火器机器人的最高点到地面的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质和三角形内角和，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 51．（2025·湖北·模拟预测）如图，内接于为的直径，过点作的平行线交于点，交于点，点在的延长线上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，切线的判定，三角函数，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）由题意可得，根据平行线的性质可得，根据可证，即可证明是的切线； （2）根据三角函数求出，根据勾股定理求出，根据计算即可. 【详解】（1）证明：内接于为的直径， ， ， ，即， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：是的中点，， 是的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【模拟09.折叠与对称结合平行线】 52．（2025·山西·三模）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及平行线的性质，先根据平行线的性质得出的度数，再根据折叠的性质得出的度数，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 53．（2025·浙江杭州·二模）如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正八边形的性质得出是它的一条对称轴，，即可得出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴是它的一条对称轴，， ∴， ∴， 故答案为：． 54．（2025·福建龙岩·三模）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，平行线的性质，垂径定理，勾股定理等，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理的推论得出，根据平行线的性质推得，然后根据垂径定理即可证明； （2）根据勾股定理得出，根据垂径定理得出，结合勾股定理即可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径，点是上的点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点为弧的中点． （2）解：∵，，， 故在中，， ∵， ∴， ∵， 故在中，， ∴． 55．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，，与射线以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为，则 ，切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】通过两点间距离公式求出的长度．求出的解析式为．设点，利用等积法求出点P在直线上，根据切线的性质和勾股定理得到的二次函数表达式，再根据二次函数求最值进行解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，，， ． 设与轴相切于点，射线交于点D，作轴于点F，则四边形是矩形，连接， ∵与射线以及轴的正半轴始终相切， ∴轴， 设射线的解析式为， 把代入得 ， ， 射线的解析式为． 设点，则， ∴， ∵ ∴ 整理得，， 即点P在直线上， 连接， ∵过点作的切线，切点为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值， 即当时，切线长的最小值为， 故答案为：5， 【点睛】本题考查了两点间距离公式，切线的性质，勾股定理，一次函数解析式的求法，二次函数最值的求法，求出圆心所在直线解析式是关键． 56．（2025·江苏南通·二模）如图，，点在直线上，点，在直线上，．将射线绕点以的速度逆时针转动，同时射线绕点以的速度逆时针转动，设转动时间为秒.在转动过程中，当射线与射线第一次互相垂直时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线与旋转．熟练掌握平行线的判定和性质，旋转的性质，垂直性质，是解题的关键． 设点D，Q的对应点为， 射线与交于点G，过G作，由，得， 得，由，得，当射线与射线第一次互相垂直时， ，得，即可得出答案． 【详解】解：设点D，Q的对应点为， 射线与交于点G，过G作，如图 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当射线与射线第一次互相垂直时，， ∴， ∴， 解得． 故选：D． 57．（2025·湖南·三模）如图，点E在线段上(点E不与点A，C重合)，设，．已知，，连接．下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 根据得出，，再结合选项一一判断即可； 【详解】解：∵，， ∴，， A．若，则，， ∴，故A正确； B．若，则，故B正确； C．作于点H，则， ∴(直角三角形中斜边最长)，故C正确； D．∵， ， ∵， ， ，故D错误； 故选：D． 【模拟10.综合计算与证明】 58．（2025·河北邯郸·三模）图中，互为对顶角的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同位角、同旁内角、邻补角、对顶角，邻补角和对顶角是两直线相交形成的，同位角和同旁内角是两直线被第三条直线所截形成的，解决本题的关键是根据定义判断两个角的关系． 【详解】解：A选项：和是两条直线相交形成的，有一条公共边、另一边互为反相延长线，和是一对邻补角，故A选项不符合题意； B选项：和是两条直线相交形成的，两条边分别互为反相延长线，和是一对对顶角，故B选项符合题意； C选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的一对同位角，故C选项不符合题意； D选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的一对同旁内角，故D选项不符合题意． 故选：Ｂ． 59．（2025·河北廊坊·一模）学校有一块四边形试验田，分割成，两块，由图可知， ． 【答案】0 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，掌握其计算方法是关键． 根据平角的性质得到，根据四边形内角和为即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， 故答案为：0 ． 60．（2025·山东青岛·二模）如图，已知，. (1)猜想与之间有怎样的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数. 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由同旁内角互补两直线平行可得，由两直线平行同位角相等可得，结合已知条件可得，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）由两直线平行同旁内角互补可得，由等式的性质可得，由平分可得，然后由两直线平行内错角相等即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，等式的性质，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 61．（2025·浙江·二模）如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，理解等底等高的三角形面积相等是解题的关键． 连接，过点作交于点，过点作交于点，易证，可得，进而得到，由，，得到，即得到结论． 【详解】解：连接，过点作交于点，过点作交于点， 由题意可知，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴上的点到上的点距离相同， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴已知的面积，则一定能求出的面积， 故选：B． 62．（2025·安徽淮南·二模）如图，在四边形中，，，，E为对角线上一点，且，． （1）若，则 ； （2）CD长的最小值为 ． 【答案】 / 4 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，先根据等腰三角形的性质得到，由（1）得，证明得到，，则，进而求得，证明，根据垂线段最短和平行线间的距离处处相等可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ，即， 解得， 故答案为：； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点． ， ， 由（1）得， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点运动到时最小，此时， 长的最小值为4． 故答案为：4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $