专题01 圆与正多边形11重难点题型（专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

专题01 圆与正多边形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆的基本概念（重点） 1 题型二、判断直线与圆的位置关系（重点） 5 题型三、已知直线和圆的位置关系求半径的取值（重点） 10 题型四、圆与圆的位置关系（难点） 12 题型五、正多边形与圆（重点） 17 题型六、垂径定理及其应用（难点） 22 题型七、已知圆内接四边形求角度（难点） 26 题型八、求弧长与面积（重点） 32 题型九、圆的证明与计算综合（难点） 39 题型十、圆与函数综合（重点） 44 题型十一、圆与三角形综合（难点） 47 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆的基本概念 1．（24-25九年级下·上海·月考）下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 【答案】C 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，选项错误； B、经过圆心的线段不一定是半径，选项错误； C、半圆是弧，选项正确； D、以直径为弦的弓形不是半圆，选项错误； 故选：C． 2．（24-25九年级下·上海·月考）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级下·上海·月考）下列命题中正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分这条弦 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦 【答案】D 【详解】解：A、垂直于弦的直线不一定平分这条弦，原命题是假命题，不符合题意； B、平分弦的直径不一定垂直于这条弦，原命题是假命题，不符合题意； C、平分弧的直线不一定垂直于弧所对的弦，原命题是假命题，不符合题意； D、平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）下列命题中，假命题是（   ） A．如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦也一定不相等 C．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦 D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧 【答案】B 【详解】解：A. 如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等，是真命题，故选项不符合题意； B. 同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦有可能相等，选项是假命题，故选项符合题意； C. 如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，是真命题，故选项不符合题意； D. 如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，是真命题，故选项不符合题意； 故选：B 5．（25-26九年级上·上海·月考）下列命题中，判断正确的个数为（   ） （1）如果与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）经过三点一定可以作一个圆；（4）同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：（1）如果与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得，说法正确； （2）∵当弦为直径时，直径平分该弦但不一定垂直，∴命题不成立，错误； （3）∵三点共线时无法作圆，∴命题不成立，错误； （4）∵相等的弦所对的弧有优弧与劣弧之分，不一定相等，∴命题不成立，错误； ∴仅命题（1）正确，正确个数为1； 故选D． 6．（24-25九年级下·上海·月考）下列命题中，假命题是（   ） A．垂直平分弦的直线经过圆心； B．平分弦的直径垂直这条弦； C．平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D．平分弦所对弧的直径垂直这条弦 【答案】B 【详解】解：A、垂直平分弦的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直这条弦， 故该选项为假命题，符合题意； C、平分弦和弦所对弧的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； D、平分弦所对弧的直径垂直这条弦，故该选项为真命题，不符合题意； 故选：B． 7．（24-25九年级上·上海青浦·期中）有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；⑤直径平分弦，则垂直于弦．其中正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：由题意知，等弧所对的圆心角相等；①正确，故符合要求； 经过不在一条直线上三个点一定可以作圆；②错误，故不符合要求； 三角形的内心到三角形各边的距离都相等；③错误，故不符合要求； 同圆或等圆中，等弦所对的弧可能不唯一，故所对的弧不一定对应相等；④错误，故不符合要求； 直径平分不是直径的弦，则直径垂直于弦，⑤错误，故不符合要求； 故选：D． 8．（25-26九年级上·上海静安·月考）下列说法正确的是（） A．三点确定一个圆 B．如果圆的直径平分弦，那么这条直径垂直于这条弦 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【详解】解：A、当三点共线时不能确定一个圆，故本选项错误； B、垂径定理要求弦非直径，若弦为直径则直径平分弦但不垂直于弦，故本选项错误； C、切线的判定需直线经过半径外端且垂直于半径，仅垂直不一定相切，故本选项错误； D、三角形的外心是外接圆的圆心，到三个顶点的距离均等于半径，故本选项正确． 故选：D． 9．（23-24九年级下·上海·期中）下列命题真命题的个数有（   ） （1）平分弦的直径垂直于弦 （2）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形为矩形 （3）三角形的内心到三边距离相等 （4）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：（1）平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，故原命题是假命题，不符合题意； （2）在菱形中，分别是的中点， 连接、，在中， ∵，同理 ∴∵四边形是平行四边形， ∵，∴，∴四边形是矩形， 故原命题是真命题，符合题意； （3）三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，则三角形的内心到三边距离相等，故原命题是真命题，符合题意； （4）在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题，不符合题意； 故真命题有2个． 故选：C． 10．（25-26九年级上·上海·月考）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等 C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆 【答案】C 【详解】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，A错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误； 等弧是指在同圆或等圆中长度相等的弧，则等弧所对的弦相等，C正确； 不在同一直线上的三点确定一个圆，D错误； 故选：C． 11．（25-26九年级上·上海·月考）下列说法中，正确的序号是 ． ①长度相等的弧是等弧；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 【答案】③④ 【详解】解：①长度相等的弧不一定是等弧，因为等弧必须是在同圆或等圆中能够完全重合的弧，故①错误； ②平分弦的直径不一定垂直于弦，当弦是直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦，垂径定理的推论指出：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②错误； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，这是圆心角定理的内容，故③正确； ④三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离都相等，等于外接圆的半径，故④正确． 综上，说法正确的序号是③④． 故答案为：③④． 题型二、判断直线与圆的位置关系 12．（24-25九年级下·上海虹口·月考）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【详解】解：直线上有一点到圆心O的距离为， 圆心O到直线上的距离， 的半径， ， 当时，直线与相切； 当时，直线与相交； 直线与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 13．（24-25九年级下·上海·月考）已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【详解】解：∵的半径为，线段，线段 ∴点在以为圆心长为半径的圆上，点在以O圆心长为半径的上 当时，如左图所示，由知，直线与相切； 当与不垂直时，如右图所示，过点作于点，则所以直线与相交； ∴直线与的位置关系为相交或相切， 故选：D． 14．（22-23九年级下·上海·月考）已知直线，那么以点为圆心，为半径的圆与这条直线共 个交点． 【答案】 【详解】解：设以点为圆心，为半径的圆上的点的坐标为， 根据题意可得：， 把代入， 可得：， 整理得：， ，，， ， 一元二次方程有个不相等的实数根， 直线，那么以点为圆心，为半径的圆与这条直线共有个交点． 故答案为： ． 15．（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，． (1)求的长； (2)如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：直线与相交，理由如下： 过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与相交． 16．（22-23九年级下·上海·月考）（1）如图，已知矩形中，，，O是上一点，，且的半径长为2，则线段与没有公共点时的取值范围为__________； 线段与有两个公共点时的取值范围为__________． （2）已知中，，，，以C为圆心作，则如果与斜边有且只有一个公共点，那么的半径长R的取值范围__________； 如果与斜边有两个公共点，那么的半径长R的取值范围__________； 如果与斜边没有公共点，那么的半径长R的取值范围__________； 【答案】（1），；（2）或；；或 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴，， 如图，作于， 则， ∴， ∴，即， ∴， ∴当的半径长为2，线段与没有公共点时，， 解得：， 当线段与有两个公共点时，， 解得：， ∵O是上一点，， ∴； （2）∵中，，，， ∴， ∵以C为圆心作，与斜边有且只有一个公共点， ∴如图，当与相切时，此时只有一个交点，令交点为，则，， ∵， ∴， ∴，即； 如图，当经过点时，此时与有两个公共点，此时， 如图，当经过点时，此时与有一个公共点，此时， 综上所述，如果与斜边有且只有一个公共点，那么的半径长R的取值范围为或； 如果与斜边有两个公共点，那么的半径长R的取值范围； 如果与斜边没有公共点，那么的半径长R的取值范围或． 题型三、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 17．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． 18．（24-25九年级下·上海徐汇·月考）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：作于E，则，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 当点运动到点E时，，此时与相切， ∴， 当经过点A时，    设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ∴以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是； 故答案为：． 题型四、圆与圆的位置关系 19．（2025九年级·上海·学业考试）在锐角三角形中，，它的外接圆的半径长为若点是边的中点，以点为圆心的圆和圆相交，那么圆的半径长可以是（   ） A．2 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∴其外接圆的圆心在的垂直平分线上． 设的中点为，连接，，， 则，． 已知外接圆的半径，设，则， 在中，根据勾股定理，即， 解得， ∴，，， 过作， 是中点， ∴，， 为中点 点为圆心的圆和圆相交 符合题意； 故选：B． 20．（24-25九年级下·上海·月考）半径分别为2和3的两圆相切，它们的圆心距为 ． 【答案】5或1 【详解】解：∵两圆的半径分别为2和3， 若两圆内切，则两圆的圆心距为：； 若两圆外切，则两圆的圆心距为：； ∴两圆的圆心距为5或1． 故答案为：5或1． 21．（24-25九年级下·上海·月考）已知半径分别是和的两个圆相交，公共弦长是，那么这两个圆的圆心距是 ． 【答案】或 【详解】如图，，，， ∵公共弦长为， ， ， ， ∴①当公共弦在两个圆心之间时，圆心距， ②当公共弦在圆心的同侧时，圆心距， 故这两个圆的圆心距是或． 故答案为：或． 22．（25-26九年级上·上海·月考）已知圆与圆相切，其中圆的半径是，圆心距cm，那么圆的半径是 ． 【答案】2或10 【详解】解：设圆的半径为． 若两圆外切，则圆心距，解得． 若两圆内切，则圆心距． 由于半径为正数，解，得或 解得或， 因为半径为正数， 所以． 因此，圆的半径为或． 故答案为：2或10． 23．（25-26九年级上·上海·月考）已知，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，则的长度为 ． 【答案】或 【详解】解：设  与  交于点 ，则  为  的中点，且  ，当点  与点  位于点  异侧时，如图所示： 由于 ，故 ， 在  中，，，由勾股定理得 ， 在  中，，，由勾股定理得 ， ∴； 当点  与点  位于点  同侧时，如图所示： 同理可得； 综上所述：  的长度为  或 ； 故答案为   或 ． 24．（25-26九年级上·上海·月考）半径为、的两个圆的圆心距为，且是方程的根，则这两个圆的位置关系是 ． 【答案】相交或外切 【详解】解：， ， 解得或， 圆心距或， 两个圆的半径分别为和， 半径差为，半径和为， 当时，，所以两圆相交； 当时，圆心距等于两个圆半径之和，所以两圆外切， 这两个圆的位置关系是相交或外切． 故答案为：相交或外切． 25．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知中，，将线段平移，点落在点处，点落在边上的点处，点在边的延长线上，满足，联结、． (1)求证：； (2)如果且的面积是面积的2倍，求的正切值； (3)如果，以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆相切，求的值． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由平移可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，， 则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，， 则， 当与外切时，如图： 则， ∴， ∴， ∴，即； 当与内切时，则， ∴或， 当时， ∵， 由平移得性质得到：， 即， ∴， 由得：，不成立，故舍； 当时，，不成立，故舍； ∴与内切不成立， 综上：的值为． 题型五、正多边形与圆 26．（2025·上海宝山·二模）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 【答案】D 【详解】解：设这个正多边形的边数为列方程得： ， 解得， ∴这个正多边形的中心角的度数为：， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 27．（2025·上海奉贤·三模）圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（   ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为 D．边长为 【答案】D 【详解】解：如图，正六边形内接于，连接，，过点作于点， ∴，， 即中心角是，故选项A不符合题意； ∵正六边形内接于， ∴， 即正六边形的内角为，故选项B不符合题意； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为，故选项D符合题意； ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为，故选项C不符合题意． 故选：D． 28．（2025·上海·二模）边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，正十边形的中心角， 过点O作交与点M， ∴，，． ∴， ∴ 故选：A． 29．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是 ． 【答案】36 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴正六边形的中心角是， 故答案为：36． 30．（25-26九年级上·上海·月考）若正边形的中心角为，边长为10．那么它的边心距为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：由正边形的中心角为，因此以中心和一边两端点为顶点的等腰三角形中，顶角为，底边长为10，可设该正多边形的一条边为，中心角为，过点作，如图， ∴， ∴； 即边心距； 故答案为． 31．（24-25九年级下·上海虹口·月考）如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是 ． 【答案】8 【详解】解：正边形的中心角的度数为，内角和为， 由题意可得：， 解得：，（负值舍去）， 故：，经检验，符合题意， 故答案为：8． 32．（24-25九年级下·上海·月考）周长相等的正方形与正六边形的面积分为，则的值为 ． 【答案】 于点D，解直角三角形求出高，即可求出一个等边三角形的面积，再乘以6就是正六边形的面积． 【详解】解：设周长为，则正方形的边长为，正六边形的边长为， ∴， 对于正六边形，由6个等边三角形组成，分割出一个等边，过点O作于点D， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角， ∴； 当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时， 则：， ∴， ∴； 综上：这个角的大小是或； 故答案为：或． 34．（2025九年级·上海·学业考试）已知平面内有一角，一圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条线恰好各是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 ． 【答案】或 【详解】如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角， ∴； 当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时， 则， ∴， ∴； 综上：这个角的大小是或； 故答案为：或． 题型六、垂径定理及其应用 35．（24-25九年级上·上海杨浦·月考）如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵是圆的直径，直径,∴, ∵， ∴， ∵,∴, ∴， ∴， 故答案为：． 36．（24-25九年级上·上海·月考）已知是半径长为5的的内接等腰三角形，且底边，那么的面积为 ． 【答案】3或27 【详解】解：如图，作于点D， ， ， ∴垂直平分， ∴圆心在上，连结， 当圆心在三角形内部时， ∵， 根据勾股定理，，则， ∴； 当圆心在三角形外部时，， 根据勾股定理，，则， ∴， 故答案为：3或27． 37．（24-25九年级下·上海·月考）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是 ． 【答案】3 【详解】解：根据题意画图如下： 连接，与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴经过圆心O， ∴， 设， 则， 连接， ∴，   ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：3． 38．（25-26九年级上·上海·期中）如图，梯形中，，，，，，以为直径作，交边于E、F两点． (1)求证：； (2)求直径的长． 【详解】（1）证明：过点O作，垂足为H， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，过圆心， ∴， ∴， 即：； （2）解：过点A作，垂足为点G，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，， ∴． 39．（24-25九年级下·上海·月考）如图，⊙和⊙相交于、两点，与交于点，的延长线交⊙于点，点为的中点，，连接．求证：； 【详解】证明：连接，，， ∵，， ∴，在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型七、已知圆内接四边形求角度 40．（25-26九年级上·上海虹口·月考）如图，是的两条高，连接，，，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵是的两条高， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（22-23九年级下·上海·月考）如图，在中，，，平分交于点，是延长线上的点，是的中点，连接、，若是等腰三角形，则 ． 【答案】或或 【详解】解：若是等腰三角形，存在三种情况： ①当时，如图1，过作于，于，连接， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 四边形为矩形， ， 是的中点， ， 、、、四点共圆， ， ， ， 设，则，， ，解得， ， ； ②当时，如图2， 在中，，， ， 是的中点， ； ③当时，如图3，作的中垂线交于，则， 过作于， 由①知：根据三线合一，可得点为的中点，， ， ，， ， ， ，， 综上所述，的长是或或， 故答案为：或或． 42．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图．四边形内接于圆，为圆的直径，与的延长线交于点．已知， (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形内接于圆，， , , ∴，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∵， ，即， ∴， 作， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， 即四边形的面积为． 题型八、求弧长与面积 43．（2025·上海普陀·三模）已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴圆锥的侧面积等于扇形的面积． 故答案为：． 44．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ，面积为 （结果保留π）． 【答案】 π 【详解】解：∵半径 ，圆心角 ， ∴弧长 ． 扇形面积 ． 故答案为：π，． 45．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知四边形是边长为2的菱形，点、、、都在以为圆心的同一圆弧上，且，那么的长度等于 （结果保留） 【答案】 【详解】解：如图，连接， ，四边形是边长为2的菱形， ，， 点、、、都在以为圆心的同一圆弧上， ， , 是等边三角形， ， ， ， ， 的长度等于， 故答案为：． 46．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知扇形，过点作，垂足为点，如果，那么扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴扇形的面积， 故答案为． 47．（24-25九年级下·上海徐汇·月考）2025年3月21日“神舟”十九号航天员乘组圆满完成第3次出舱任务，如图，当“神舟”十九号运行到地球表面点的正上方的点处时，从点能直接看到的地球表面最远的点记为点，已知，，，则圆心角所对的弧长约为 （结果保留）． 【答案】 【详解】解：设， 由题意，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长． 故答案为：． 48．（2025·上海·二模）如图，圆和圆B相交于点、，连结、、，．若、，则圆的劣弧的长为 ．（取、取、取，保留） 【答案】 【详解】解：连接，，，且与交于点， ，， 垂直平分， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在圆中劣弧的长为：． 49．（24-25九年级上·上海·月考）如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为，，将纸片沿、折叠，交于点，求阴影部分面积． 【答案】 【详解】如图，过点作于，延长交于，反向延长交于，连接、， 由折叠得， ， ，， ，， ，， ，， 同理：， ， ，， ∴ ， ， ， 弓形与弓形的面积相等， 阴影的面积， 故答案为：． 50．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，是的直径，点在上，过点作的切线，交的延长线于点，若，，求的半径及弧的长． 【答案】的半径为，弧的长为． 【详解】解：连接OC， ∵点在上，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴的半径为，弧的长为． 51．（24-25九年级上·上海·月考）图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到收集．即透明条的运动路径为：．假设O、P、A、B在同一直线上，，，，，P为中点． (1)求A、B两点到的距离分别是多少； (2)若的半径为，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为多少． 【详解】（1）解：过点A作于F， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ∴点A到的距离是； 过点B作交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ∴点B到的距离为； （2）解：由题意得， 在中，，， ， ，，， ∴ ， ， ， ∵点P是的中点， ， 由题意得，切于N，连接， ， 在中，， 根据勾股定理得，，， ， 记线段与的交点为E，则点E到点B的距离最小， ， ， ∴当点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为：． 题型九、圆的证明与计算综合 52．（22-23九年级下·上海·月考）如图，在正方形中，点在上，且，连接． (1)求证：以为直径的必过点，且与相切； (2)以为直径的与有怎样的位置关系？为什么？ 【详解】（1）证明：如图，以为直径作，作于点H， 在正方形中，点在上，且， 设，则，， ， 的半径：； 中，是斜边中线， ， 以为直径的必过点； ，，， ， ， ， 是梯形的中位线， ， 点H在， 又，是的半径 与相切； （2）解：与相切，理由如下： 如图，作于点F，连接，， ， ，， ， ， 点F在， 又，是的半径， 与相切． 53．（24-25九年级下·上海·月考）如图，是的直径，弦与相交于点E．点D为的中点，过点D作，交的延长线于点F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【详解】（1）解：为的切线，理由如下： 如图，连接， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵，∴， ∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴，即的半径为1． 54．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知中，，过点作，且，连接交于点． (1)求的长 (2)以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：直线与相切，理由如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． 55．（23-24九年级下·上海·月考）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，在上，连接，若． (1)判断CD与的位置关系，并说明理由 (2)若，，求的长 【详解】（1）解：CD与相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴CD为切线即CD与相切． （2）解：如图所示，设交于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得， ，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 题型十、圆与函数综合 56．（24-25九年级上·上海·自主招生）已知开口向上的二次函数的顶点为，且与轴交于，两点，与轴交于点，若的外接圆与轴相切，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示，设二次函数解析为， 由题意可知，，， 设方程的两个根为、，其中， 则，， ， ， 在中，， 即， 解得：， 又， ， 在中，，， ， 如下图所示，作，则， ，， 设，则， ，， ， ， 即， 解得：， ， 当， 当， 故最小值为． 故答案为：． 57．（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为， ∴， ∵直线与直线平行， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切， 当两圆外切时，， ∴； 当两圆内切时，， ∴； ∴r的值为或． 题型十一、圆与三角形综合 58．（24-25九年级下·上海·月考）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点，点为弧的中点． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 【详解】（1）解：连接交于点， 点为弧的中点，即平分， 且， ，，， ， ， ，， ，， 即， ， 的半径为． （2）解：连接、， ，，， ， ， ， ， ， ． 59．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知是的直径，是的弦，是弧的中点，弦与交于点．    (1)求证：； (2)当时，求的正弦值； (3)当是等腰三角形时，求的度数，并直接写出的值． 【详解】（1）解：连接，连接并延长交于点，如图， ，即， 是的弦，是弧的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接和，如图， 则， ， ∵， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，，解得，则； 设，则， 那么，，解得（负值舍去）， 则； （3）解：①当时， 连接，如图， 设， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∴， 则， 在中，，即，解得， ∴， 则为等腰直角三角形， 设， 则，，， 那么，； ②当时，如图， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即，解得， 则，， 由（2）知， 过点E作于点H，则， 则， 即， ∴， ∴， 则； ③当时，不符合题意； 综上，的度数为或；为或． 60．（24-25九年级下·上海虹口·月考）在中，，点P是边上一点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)以点A为圆心，长度为半径作，交线段于点G． ①如图2，如果点G是的重心，求的值； ②如图3，连接并延长，交边于点D，如果平分，，，求的半径长． 【详解】（1）证明：过点C作于点D，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （2）解：①过点A作于点E，如图所示： ∴， ∵点G是的重心， ∴是的中线，且， ∴，， 设，则有，， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴； ②∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点G作于点Q，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， 即的半径长为． 61．（24-25九年级下·上海·月考）已知：半圆的半径，是延长线上一点，过线段的中点作垂线交于点，射线交于点，连接． (1)若，求弦的长． (2)若点在上时，设，求与的函数关系式及自变量的取值范围． (3)设的中点为，射线与射线交于点，当时，求的值． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， ， ， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，作，垂足为，则， ，， ， ， ，， ， ； （3）解：当点在外部时，连接和， 则， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 在中，， ， 点，，，四点共圆， ， ， 在中，， ， ， 为等腰三角形，， ， 在中，，， ， ； 如下图所示，若点在上时， 同理可知，， ，， ． 综上所述，的值是或． 62．（23-24九年级下·上海·月考）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，） (1)如图1，当时， °，点C到半圆O的最短距离= ； (2)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？ (3)以，为边作矩形，当半圆O与有两个公共点时，请直接写出线段长的取值范围 【详解】（1）解：连接，与半圆O交于点B， 在中， ， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴点C到半圆O的最短距离为， 故答案为：30，； （2）解：过点O作于点H，连接，如图， 则． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴A，M，E三点重合， ∴． ∴扇形的面积； （3）解：如图， 当与边相切于点时，， 此时，与有一个公共点， 由（2）知：； 当与边相切于点时，， 此时，与有三个公共点， ∴． ∴当圆心O在与之间时，半圆O与有两个公共点， ∴； 当的圆心O在与点A之间时，此时与有两个或三个公共点， 当经过点B时，与有三个公共点， ∵，，， ∴， 解得：． ∴当时，与有三个公共点， ∴当时，与有两个公共点， 综上，当半圆O与有两个公共点时，的取值范围是或． 故答案为：或． 1．（2025·上海宝山·二模）如图，已知，，，，、是边上的点，，如果以为直径的圆与以为直径的圆相离，且以为直径的圆与边有公共点，那么的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，（负值已经舍去） ∴， 如图，取的中点，即， ∵， ∴，即， 过点作，连接， ∴， ∴以为直径的圆与边有公共点时，， ∴，即， ∴， 取的中点，即， ∴， 又∵以为直径的圆与以为直径的圆相离，即， ∴， ∴，即： ∴， 综上所述：， ∵，C选项在取值范围内，故符合题意， ，， ，选项A、B、D不在取值范围内，不符合题意． 故选：C． 2．（2025·上海奉贤·二模）如图，在边长为 2 的正六边形中，G为的中点，点Q为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径 r 的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：作正六边形的外接圆，连结，，，设与相交于点P， 则，是的直径， ， ， 是等边三角形， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 是的直径， ， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 的半径 r满足． 故答案为： 3．（24-25九年级下·上海·月考）在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是 【答案】 【详解】解：如图，点为与的交点，过点作，，， 截三边所得的线段相等， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， 故答案为：．    4．（23-24九年级下·上海·月考）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 【答案】 【详解】解：作于点，于点， ，，， ， 易得四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·上海普陀·月考）已知与相交于A、B两点，公共弦，既是内接正方形的一边，也是内接正三角形的一边，那么两圆的圆心距等于 ． 【答案】或 【详解】解：如图：连接，设与相交于点F， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵对于，是内接正方形的一边，圆心为正方形中心， ∴， ∴到的距离． ∵对于，是内接正三角形的一边，圆心为正三角形中心， ∴，， ∵， ∴，即，解得： ∴到的距离为内切圆半径，即． 当、在异侧时，圆心距． 当、在同侧时，延长与相交于点F， ∴圆心距． 故答案为或． 6．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知中，满足则 ． 【答案】6 【详解】解：如图，作的内切圆，设为圆心，为半径，圆与三边、、的切点依次为、、，连接、、、、、． 则，，． ， ， ，即， ， ， ， ． 故答案为：6． 7．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点，连接、．记、、的面积分别为、、，如果是和的比例中项，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于H， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵，，，， ∴， 设，则， 解得：，（负值不合题意已经舍去） 又∵， ∴ ∴， 故答案为． 8．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图所示，半径为的圆内切于正，为边上一点，为边上一点，且直线与圆相切于点，的内切圆与相切于点．若圆的半径为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图1，设分别与相切于点、、，分别与相切于、，连接． 则，，，，，，，， ， 平分， 同理，平分， 、、三点共线， 是等边三角形， ， ， ，， ， ①， 在中，，， ，， ， ②， 得：， 如图2，过点作，交的延长线于， 则， 四边形是矩形， ，， ，， 在中，， ， ． 故答案为：． 9．（24-25九年级·上海·自主招生）已知直角三角形，，，，在边上有一点 ，使三角形与三角形的内切圆半径相等，求的值． 【答案】 【详解】解：在直角三角形中， ，，， 根据勾股定理可得：． 设，则， 在直角三角形中，同理可得． 设的内切圆半径为​，根据直角三角形内切圆半径公式（其中为直角边，为斜边），可得：． 设的内切圆半径为​，其周长为， 在中，， 可得其周长． ， 由三角形内切圆公式可得，． ， ． 设，则方程化简为：， 交叉相乘得，， 展开左侧并化简，结合，解得． 将代入得：，解得（负值舍去）． 10．（23-24九年级下·上海·月考）已知太阳光线与水平线的夹角为（如图），如果一个圆形物体在水平线上形成的影长为米． (1)请在图所示的直线上画出表示这个圆形物体影长的线段； (2)求这个圆形物体的半径长． 【详解】（1）解：如图所示，找到圆心，画出过点的切线，为表示影长的线段； （2）解：设、、上的切点分别为 、、，如图所示． ∴，， 又∵ ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，； 在中，； 依据题意，得： 解得 ． 答：该圆形物体的半径长为米． 11．（2025·上海杨浦·二模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 【详解】花圃一：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点D即为所求作的圆心； 过点D作于点E，故为半圆的半径 ∵， 由作图得，垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴半圆形步道的半径为； 花圃二：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点A即为所求作的圆心； 过点A作于点N，过点A作于点M ∴，且，为半圆的半径 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴设，则 ∴， ∵ ∴ 解得 ∴ ∴半圆的半径为． 12．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知平面上有5个圆和5条直线． (1)求它们的交点个数的最大值． (2)求平面上被分割成的不连通的区域的数量的最大值． 【详解】（1）解：要最大化交点数，需保证任意两条直线、两个圆、直线与圆之间均相交于不同的点​（无重复交点）． 直线之间的交点​：5条直线中，每两条直线最多1个交点，因此5条直线的交点数最多为． 圆之间的交点​：5个圆中，每两个圆最多2个交点，因此5个圆的交点数最多为 ． 直线与圆的交点​：每条直线与每个圆最多2个交点，5条直线与5个圆的交点数为 ． 三部分交点无重叠时，总交点数为三者之和：， 答：平面上有5个圆和5条直线交点个数的最大值为80． （2）①直线分割的区域数​： 平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分， 平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得到个部分，所以，5条直线最多可以把平面分割成16个部分， ②添加圆后的区域数增量​： 第 1个圆（共5个圆）与之前图形的交点数包括：与5条直线的交点有10个，因此，第1个圆被分成10段，每段对应增加1个区域，即第1个圆增加的区域数为10， 第 2个圆（共5个圆）与之前图形的交点数包括：与5条直线的交点有10个，与前1个圆的交点有2个（每两个圆交2个点）；因此，第2个圆被分成段，每段对应增加1个区域，即第2个圆增加的区域数为12， 第 3个圆（共5个圆）与之前图形的交点数包括：与5条直线的交点有10个，与前2个圆的交点有4个（每两个圆交2个点）；因此，第3个圆被分成段，每段对应增加1个区域，即第3个圆增加的区域数为14， 第 4个圆（共5个圆）与之前图形的交点数包括：与5条直线的交点有10个，与前3个圆的交点有6个（每两个圆交2个点）；因此，第4个圆被分成段，每段对应增加1个区域，即第4个圆增加的区域数为16， 第 5个圆（共5个圆）与之前图形的交点数包括：与5条直线的交点有10个，与前4个圆的交点有8个（每两个圆交2个点）；因此，第5个圆被分成段，每段对应增加1个区域，即第5个圆增加的区域数为18， 因此：添加5个圆的总增量为， 总区域数​：直线分割的区域数加上5个圆的增量，即． 答：平面上有5个圆和5条直线平面上被分割成的不连通的区域的数量的最大值为． 13．（2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 【详解】（1）解：与边相切，理由如下： 过点C作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点O作于点, ∵，当点与点重合时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而为半径，为点O到边的距离， ∴与边相切； （2）解：∵，经过圆心， ∴， ∵经过圆心， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为半径，， ∴， ∴一定不经过点， 当与线段相切时，如图： 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当经过点时，过点分别作，垂足分别为， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，符合题意， 综上所述，当与线段只有一个交点时，或． 14．（24-25九年级下·上海·月考）已知⊙的半径为3，弦，中，，，．在平面上，先将和⊙按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙上，点C在⊙内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在⊙上随之移动． (1)当点B与点N重合时，求劣弧的长； (2)如图2，若点A在所对优弧上，且，求点O到的距离； (3)若斜边经过点O，求的长． 【详解】（1）解：如解图1，连接， ， 是等边三角形， ， 的长度； （2）如解图2，连接、，过A作于H，过O作于G， ∵， ∴，， ， ， ∴， ∴， 又∵在的直径上， ∴， ， ∴在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 即点O到的距离为； （3）如图，过O作于，过B作于点P，连接， 情况1：如解图3-1，当点A在上， ∵，，， ∴， ，， 过点O， ， ， 在中，， ∵， ∴， ∴在中， ， 在中，， ． 情况1：当点A在上，如解图3-2， 同理可求： 综上所述：的长或． 15．（2025·上海浦东新·三模）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为半径作．    (1)若与边的另一交点为点，设，的面积为，求关于的函数解析式，并直接写出函数的定义域； (2)若被直线和直线截得的弦长相等，求的长； (3)若的半径等于1，且与的公共弦长为，求的长． 【详解】（1）解：作，则：， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作， ∵， ∴四边形为矩形， ∵被直线和直线截得的弦长相等， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 解得：， ∴ （3）如图，设与的公共弦与交于点， 由题意，得：，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理，得：， ∴， 解得：， 经检验，均为原方程的解， ∵， ∴， ∴． 16．（23-24九年级下·上海·期中）如图，已知是圆O的直径，弦，垂足为点H，，点E是上的一个动点(点E不与点B、C重合)，连接，交于点G．过点E作，交边于点F． (1)在线段上，截取，连接，连接并延长交圆O于Q，连接交于M， ①求证：； ②求：的值； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； (3)如果是等腰三角形，求的长． 【详解】（1）根据题意，作图如下： ①是圆O的直径， （直径所对圆周角为）； ②，， ， 设，则， ，解得， ，为直径， 为中点，即，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ， ，， 在和中， （对顶角相等），（弦所对圆周角相等）， ， ，即， 解得， ∴， 在和中，（对顶角相等）， ， ． （2）连接， 由（1）知， （在同一个圆中相等弦所对圆周角相等）， 又，， ∴， ， ，即， ∴． （3）为等腰三角形，则分下面三种情况： 当时， ， 又是公共角， ， ，即， 解得； 当时， ， ∴为的角平分线，过E作交于M， ，， 又，解得， ③当时，， 在中，，即， 解得， 综上，的长为或或． 17．（24-25九年级下·上海·月考）在中，，以为圆心，为半径作弧，分别与边交于点． (1)如图，点是边的中点，联结，当时， ①求的值； ②将弧沿直线翻折，翻折后的弧所在的圆的圆心为点，求到直线的距离； (2)如图，射线与射线相交于点，联结，当与相似时，求的长． 【详解】（1）解：连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴； ②过点B作关于对称点，即为点P，过点P作于点，过点T作于点R，则， 由翻折得，点T为中点， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到直线的距离为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴当与相似时， ①，如图： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）； ②当，时，过D作于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上所述：当与相似时，的长为或． 18．（2025·上海·二模）在平行四边形中，连接．在上取点M，向下作以为直径的半圆O，交于点N．    (1)如图1，若，是半圆O内接正十二边形的一边，求的长． (2)若； （i）如图2，当弧的中点E为半圆O与直线的唯一交点时，求的长． （ii）如图3，连接交于点P，交半圆O于点Q，射线和的交点为点T．连接，当时，求的余弦值． 【详解】（1）解：连接，作于点，则：，    ∵是半圆O内接正十二边形的一边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， 在中，，， 在中，， ∴； （2）（i）连接    ∵E为半圆O与直线的唯一交点， ∴与圆O相切于点， ∴， ∵E为弧中点， ∴， ∴， ∵，，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 则，即：， 解得：， ∵，即：， ∴， ∴； （ii）延长交于点，    ∵为圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴，，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， 作于点，作于点，则：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， 在和中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：， ∴． 19．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知：如图，直线 交x轴于 交y轴于 与x轴相切于O点，交直线 于 P点，以 为圆心 为半径的圆交x轴于A、B两点，交 于点F， 的弦 ，的延长线交于D， 连接． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)的延长线交 于C点，若G为上一动点，以 为直径作 交 于点 M，交 于N．下列结论： ①为定值；②线段的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论， 并证明正确的结论， 以及求出它的值． 【详解】（1）解：连接． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵为直径， ∴． ∴． （2）解：延长交于点H，连接，，，． 由（1）知，，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴由对称性知，． 由（1）知， ∴． ∴为的切线． （3）解：的长度不变． 证明：过N作的直径，连接，． 则，． 又∵， ∴． ∴． 对， 令， 则， 解得； 令， 则． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵与相切， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． ∴． ∴． 故的长度不会发生变化，其长度为． 20．（24-25九年级下·上海·月考）已知：如图，在中，，点D、E、F分别在边、、上，且满足，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)点P在线段上（不与端点重合），且圆P经过B、D两点． ①请用尺规作图的方法，确定圆心P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； ②如果设，的面积与四边形的面积之比为y，求y关于x的函数解析式及其定义域； (3)如果，点Q在线段上，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数． 【详解】（1）解：设， 则，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图，点P为所求； ②∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴ 设的垂直平分线交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在线段上， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴， 综上，y关于x的函数解析式为，定义域为． （3）解：当时，连接，取的中点M，连接，，， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，点M是的中点， ∴，即， ∴， ∴点C，E，M，Q四点共圆， ∴， ∵，点M是的中点， ∴． ∵在中，， 在中，， ∴， ∴以为腰的等腰只有． 综上所述，． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆与正多边形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆的基本概念（重点） 1 题型二、判断直线与圆的位置关系（重点） 2 题型三、已知直线和圆的位置关系求半径的取值（重点） 4 题型四、圆与圆的位置关系（难点） 4 题型五、正多边形与圆（重点） 5 题型六、垂径定理及其应用（难点） 5 题型七、已知圆内接四边形求角度（难点） 7 题型八、求弧长与面积（重点） 8 题型九、圆的证明与计算综合（难点） 10 题型十、圆与函数综合（重点） 12 题型十一、圆与三角形综合（难点） 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆的基本概念 1．（24-25九年级下·上海·月考）下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 2．（24-25九年级下·上海·月考）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 3．（24-25九年级下·上海·月考）下列命题中正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分这条弦 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦 4．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）下列命题中，假命题是（   ） A．如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦也一定不相等 C．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦 D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧 5．（25-26九年级上·上海·月考）下列命题中，判断正确的个数为（   ） （1）如果与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）经过三点一定可以作一个圆；（4）同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25九年级下·上海·月考）下列命题中，假命题是（   ） A．垂直平分弦的直线经过圆心； B．平分弦的直径垂直这条弦； C．平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D．平分弦所对弧的直径垂直这条弦 7．（24-25九年级上·上海青浦·期中）有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；⑤直径平分弦，则垂直于弦．其中正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（25-26九年级上·上海静安·月考）下列说法正确的是（） A．三点确定一个圆 B．如果圆的直径平分弦，那么这条直径垂直于这条弦 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 9．（23-24九年级下·上海·期中）下列命题真命题的个数有（   ） （1）平分弦的直径垂直于弦 （2）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形为矩形 （3）三角形的内心到三边距离相等 （4）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（25-26九年级上·上海·月考）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等 C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆 11．（25-26九年级上·上海·月考）下列说法中，正确的序号是 ． ①长度相等的弧是等弧；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 题型二、判断直线与圆的位置关系 12．（24-25九年级下·上海虹口·月考）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 13．（24-25九年级下·上海·月考）已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 14．（22-23九年级下·上海·月考）已知直线，那么以点为圆心，为半径的圆与这条直线共 个交点． 15．（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，． (1)求的长； (2)如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由． 16．（22-23九年级下·上海·月考）（1）如图，已知矩形中，，，O是上一点，，且的半径长为2，则线段与没有公共点时的取值范围为__________； 线段与有两个公共点时的取值范围为__________． （2）已知中，，，，以C为圆心作，则如果与斜边有且只有一个公共点，那么的半径长R的取值范围__________； 如果与斜边有两个公共点，那么的半径长R的取值范围__________； 如果与斜边没有公共点，那么的半径长R的取值范围__________； 题型三、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 17．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 18．（24-25九年级下·上海徐汇·月考）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是 ． 题型四、圆与圆的位置关系 19．（2025九年级·上海·学业考试）在锐角三角形中，，它的外接圆的半径长为若点是边的中点，以点为圆心的圆和圆相交，那么圆的半径长可以是（   ） A．2 B．5 C．8 D．10 20．（24-25九年级下·上海·月考）半径分别为2和3的两圆相切，它们的圆心距为 ． 21．（24-25九年级下·上海·月考）已知半径分别是和的两个圆相交，公共弦长是，那么这两个圆的圆心距是 ． 22．（25-26九年级上·上海·月考）已知圆与圆相切，其中圆的半径是，圆心距cm，那么圆的半径是 ． 23．（25-26九年级上·上海·月考）已知，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，则的长度为 ． 24．（25-26九年级上·上海·月考）半径为、的两个圆的圆心距为，且是方程的根，则这两个圆的位置关系是 ． 25．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知中，，将线段平移，点落在点处，点落在边上的点处，点在边的延长线上，满足，联结、． (1)求证：； (2)如果且的面积是面积的2倍，求的正切值； (3)如果，以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆相切，求的值． 题型五、正多边形与圆 26．（2025·上海宝山·二模）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 27．（2025·上海奉贤·三模）圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（   ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为 D．边长为 28．（2025·上海·二模）边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 29．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是 ． 30．（25-26九年级上·上海·月考）若正边形的中心角为，边长为10．那么它的边心距为 （用含的代数式表示）． 31．（24-25九年级下·上海虹口·月考）如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是 ． 32．（24-25九年级下·上海·月考）周长相等的正方形与正六边形的面积分为，则的值为 ． 33．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 34．（2025九年级·上海·学业考试）已知平面内有一角，一圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条线恰好各是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 ． 题型六、垂径定理及其应用 35．（24-25九年级上·上海杨浦·月考）如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 36．（24-25九年级上·上海·月考）已知是半径长为5的的内接等腰三角形，且底边，那么的面积为 ． 37．（24-25九年级下·上海·月考）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是 ． 38．（25-26九年级上·上海·期中）如图，梯形中，，，，，，以为直径作，交边于E、F两点． (1)求证：； (2)求直径的长． 39．（24-25九年级下·上海·月考）如图，⊙和⊙相交于、两点，与交于点，的延长线交⊙于点，点为的中点，，连接．求证：； 题型七、已知圆内接四边形求角度 40．（25-26九年级上·上海虹口·月考）如图，是的两条高，连接，，，若，则的长为 ． 41．（22-23九年级下·上海·月考）如图，在中，，，平分交于点，是延长线上的点，是的中点，连接、，若是等腰三角形，则 ． 42．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图．四边形内接于圆，为圆的直径，与的延长线交于点．已知， (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 题型八、求弧长与面积 43．（2025·上海普陀·三模）已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是 ． 44．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ，面积为 （结果保留π）． 45．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知四边形是边长为2的菱形，点、、、都在以为圆心的同一圆弧上，且，那么的长度等于 （结果保留） 46．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知扇形，过点作，垂足为点，如果，那么扇形的面积为 ．（结果保留） 47．（24-25九年级下·上海徐汇·月考）2025年3月21日“神舟”十九号航天员乘组圆满完成第3次出舱任务，如图，当“神舟”十九号运行到地球表面点的正上方的点处时，从点能直接看到的地球表面最远的点记为点，已知，，，则圆心角所对的弧长约为 （结果保留）． 48．（2025·上海·二模）如图，圆和圆B相交于点、，连结、、，．若、，则圆的劣弧的长为 ．（取、取、取，保留） 49．（24-25九年级上·上海·月考）如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为，，将纸片沿、折叠，交于点，求阴影部分面积． 50．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，是的直径，点在上，过点作的切线，交的延长线于点，若，，求的半径及弧的长． 51．（24-25九年级上·上海·月考）图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到收集．即透明条的运动路径为：．假设O、P、A、B在同一直线上，，，，，P为中点． (1)求A、B两点到的距离分别是多少； (2)若的半径为，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为多少． 题型九、圆的证明与计算综合 52．（22-23九年级下·上海·月考）如图，在正方形中，点在上，且，连接． (1)求证：以为直径的必过点，且与相切； (2)以为直径的与有怎样的位置关系？为什么？ 53．（24-25九年级下·上海·月考）如图，是的直径，弦与相交于点E．点D为的中点，过点D作，交的延长线于点F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 54．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知中，，过点作，且，连接交于点． (1)求的长 (2)以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 55．（23-24九年级下·上海·月考）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，在上，连接，若． (1)判断CD与的位置关系，并说明理由 (2)若，，求的长 题型十、圆与函数综合 56．（24-25九年级上·上海·自主招生）已知开口向上的二次函数的顶点为，且与轴交于，两点，与轴交于点，若的外接圆与轴相切，且，则的最小值是 ． 57．（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 题型十一、圆与三角形综合 58．（24-25九年级下·上海·月考）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点，点为弧的中点． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 59．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知是的直径，是的弦，是弧的中点，弦与交于点．    (1)求证：； (2)当时，求的正弦值； (3)当是等腰三角形时，求的度数，并直接写出的值． 60．（24-25九年级下·上海虹口·月考）在中，，点P是边上一点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)以点A为圆心，长度为半径作，交线段于点G． ①如图2，如果点G是的重心，求的值； ②如图3，连接并延长，交边于点D，如果平分，，，求的半径长． 61．（24-25九年级下·上海·月考）已知：半圆的半径，是延长线上一点，过线段的中点作垂线交于点，射线交于点，连接． (1)若，求弦的长． (2)若点在上时，设，求与的函数关系式及自变量的取值范围． (3)设的中点为，射线与射线交于点，当时，求的值． 62．（23-24九年级下·上海·月考）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，） (1)如图1，当时， °，点C到半圆O的最短距离= ； (2)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？ (3)以，为边作矩形，当半圆O与有两个公共点时，请直接写出线段长的取值范围 1．（2025·上海宝山·二模）如图，已知，，，，、是边上的点，，如果以为直径的圆与以为直径的圆相离，且以为直径的圆与边有公共点，那么的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2025·上海奉贤·二模）如图，在边长为 2 的正六边形中，G为的中点，点Q为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径 r 的取值范围是 ． 3．（24-25九年级下·上海·月考）在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是 4．（23-24九年级下·上海·月考）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 5．（25-26九年级上·上海普陀·月考）已知与相交于A、B两点，公共弦，既是内接正方形的一边，也是内接正三角形的一边，那么两圆的圆心距等于 ． 6．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知中，满足则 ． 7．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点，连接、．记、、的面积分别为、、，如果是和的比例中项，则的长为 ． 8．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图所示，半径为的圆内切于正，为边上一点，为边上一点，且直线与圆相切于点，的内切圆与相切于点．若圆的半径为，则的值为 ． 9．（24-25九年级·上海·自主招生）已知直角三角形，，，，在边上有一点 ，使三角形与三角形的内切圆半径相等，求的值． 10．（23-24九年级下·上海·月考）已知太阳光线与水平线的夹角为（如图），如果一个圆形物体在水平线上形成的影长为米． (1)请在图所示的直线上画出表示这个圆形物体影长的线段； (2)求这个圆形物体的半径长． 11．（2025·上海杨浦·二模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 12．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知平面上有5个圆和5条直线． (1)求它们的交点个数的最大值． (2)求平面上被分割成的不连通的区域的数量的最大值． 13．（2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 14．（24-25九年级下·上海·月考）已知⊙的半径为3，弦，中，，，．在平面上，先将和⊙按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙上，点C在⊙内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在⊙上随之移动． (1)当点B与点N重合时，求劣弧的长； (2)如图2，若点A在所对优弧上，且，求点O到的距离； (3)若斜边经过点O，求的长． 15．（2025·上海浦东新·三模）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为半径作．    (1)若与边的另一交点为点，设，的面积为，求关于的函数解析式，并直接写出函数的定义域； (2)若被直线和直线截得的弦长相等，求的长； (3)若的半径等于1，且与的公共弦长为，求的长． 16．（23-24九年级下·上海·期中）如图，已知是圆O的直径，弦，垂足为点H，，点E是上的一个动点(点E不与点B、C重合)，连接，交于点G．过点E作，交边于点F． (1)在线段上，截取，连接，连接并延长交圆O于Q，连接交于M， ①求证：； ②求：的值； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； (3)如果是等腰三角形，求的长． 17．（24-25九年级下·上海·月考）在中，，以为圆心，为半径作弧，分别与边交于点． (1)如图，点是边的中点，联结，当时， ①求的值； ②将弧沿直线翻折，翻折后的弧所在的圆的圆心为点，求到直线的距离； (2)如图，射线与射线相交于点，联结，当与相似时，求的长． 18．（2025·上海·二模）在平行四边形中，连接．在上取点M，向下作以为直径的半圆O，交于点N．    (1)如图1，若，是半圆O内接正十二边形的一边，求的长． (2)若； （i）如图2，当弧的中点E为半圆O与直线的唯一交点时，求的长． （ii）如图3，连接交于点P，交半圆O于点Q，射线和的交点为点T．连接，当时，求的余弦值． 19．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知：如图，直线 交x轴于 交y轴于 与x轴相切于O点，交直线 于 P点，以 为圆心 为半径的圆交x轴于A、B两点，交 于点F， 的弦 ，的延长线交于D， 连接． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)的延长线交 于C点，若G为上一动点，以 为直径作 交 于点 M，交 于N．下列结论： ①为定值；②线段的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论， 并证明正确的结论， 以及求出它的值． 20．（24-25九年级下·上海·月考）已知：如图，在中，，点D、E、F分别在边、、上，且满足，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)点P在线段上（不与端点重合），且圆P经过B、D两点． ①请用尺规作图的方法，确定圆心P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； ②如果设，的面积与四边形的面积之比为y，求y关于x的函数解析式及其定义域； (3)如果，点Q在线段上，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $