第九章 图形的相似（单元自测·提升卷）数学鲁教版五四制八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第九章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（   ） A．1.5 B． C． D． 4．一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 5．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为2，则点的坐标（   ） A． B． C． D． 7．一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．一问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（    ） A． B．4 C． D． 9．如图，在中，，，点在上，将沿翻折，点恰好落在上的点处，若，则的长为（　　） A． B．3 C． D．4 10．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，若，则的长为 ． 12．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则 ． 13．若，，则= ． 14．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为 米．    15．如图，在中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则 ． 16．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 18．如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 19．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 21．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 22．【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 23．综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    24．【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 25．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，李老师让各小组制作矩形，并将其绕点顺时针旋转得到矩形，以此为基础展开探究． 猜想证明： (1)如图1，“实践小组”将其矩形旋转至点落在边上，并延长交于点．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 实践探究： (2)如图2，“腾飞小组”发现将其矩形旋转至点落在边的延长线上时，矩形的对角线交点刚好与点重合，此时，交于点．过点作的平行线交于点．请判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： (3)“创新小组”提出问题：在旋转过程中，当点，，三点共线时，直线交直线，分别于点，，若，，求的值．请你思考此问题，直接写出结果． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第九章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（   ） A．1.5 B． C． D． 4．一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 5．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为2，则点的坐标（   ） A． B． C． D． 7．一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．一问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（    ） A． B．4 C． D． 9．如图，在中，，，点在上，将沿翻折，点恰好落在上的点处，若，则的长为（　　） A． B．3 C． D．4 10．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，若，则的长为 ． 12．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则 ． 13．若，，则= ． 14．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为 米．    15．如图，在中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则 ． 16．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 18．如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 19．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 21．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 22．【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 23．综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    24．【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 25．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，李老师让各小组制作矩形，并将其绕点顺时针旋转得到矩形，以此为基础展开探究． 猜想证明： (1)如图1，“实践小组”将其矩形旋转至点落在边上，并延长交于点．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 实践探究： (2)如图2，“腾飞小组”发现将其矩形旋转至点落在边的延长线上时，矩形的对角线交点刚好与点重合，此时，交于点．过点作的平行线交于点．请判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： (3)“创新小组”提出问题：在旋转过程中，当点，，三点共线时，直线交直线，分别于点，，若，，求的值．请你思考此问题，直接写出结果． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第九章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得，再根据合比性质求解即可． 本题主要考查了比例的基本性质和合比性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时除以， 得， ∴． 故选：B． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 3．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由网格知，即可得，即可得到，再由勾股定理解三角形确定，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由网格可知，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 4．一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 由裁出的矩形的宽与长的比与矩形的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，． 由，得， 即． ∴． 开平方，得（舍去）， 故选：A． 5．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为2，则点的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的位似变换，直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ， ， ， ∴， ∴， 解得：， ， 点坐标为：， 故选：A 7．一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由题意得，， ， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：A． 8．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．一问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．设，由，可得，由此构建方程即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，． 设． ． ． ，解得． ． 故选：A． 9．如图，在中，，，点在上，将沿翻折，点恰好落在上的点处，若，则的长为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，折叠问题，相似三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意证明出，得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故选：A． 10．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】此题考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；二是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图2，为“智慧三角形”，且， ∵四边形是矩形，，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，为“智慧三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或； ∵点M在边上，点P在边上， ∴， ∴， ∴不能是以为直角的“智慧三角形”， 综上所述，点P的坐标为或或， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 12．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 先根据正方形的性质证明，再利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， ∵正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即，解得∶． 故答案为：3． 13．若，，则= ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由比例式可得，，，代入代数式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ 故答案为：2． 14．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为 米．    【答案】9 【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，推出，由此求解即可． 【详解】解：设与交于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9．    15．如图，在中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】过点E作于点N，作于点M，得到，取的中点G，连接，结合是中线，得到，利用中位线定理，三角形相似的判定和性质，比例的性质解答即可． 本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，中位线定理及相似三角形的判定以及性质，根据三角形的相似比得出对应边的比值是解题关键． 【详解】解：过点E作于点N，作于点M， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 取的中点G， 连接， ∵是中线， ∴， ∴， ∵， 不妨设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故答案为：或． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 18．如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 19．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图-位似变换，位似图形的性质，位似图形的坐标变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）依据位似中心的位置以及位似比的大小，即可得到； （2）根据位似图形的性质面积比等于相似比的平方，求解即可； （3）依据对应点的坐标的关系：横坐标比等于纵坐标比等于相似比，即可得到点M在中的对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求． （2）解：∵与位似，且位似比为； ∴，相似比为， ∴， 即与的面积比为． 故答案为：． （3）解：∵与位似，且位似比为； ∴点为上一点，写出点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 21．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 22．【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义． （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 23．综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作交于点H．   ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H．   ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．   ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 24．【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】（1）由折叠结合正方形的性质推出，再根据可证明结论； （2）连接．由全等的性质结合折叠以及正方形的性质推出，在 与 中根据勾股定理得出等式即可推出结果； （3）分①当点在点的左侧时，②当点在点的右侧时，两种情况画出图形分别求解． 【详解】（1）证明：∵是由折叠得到， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接． ， ， 由折叠可知， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 或（舍去）， ； （3）解：如图，连接， 由题意， 设， 设． ①当点在点的左侧时， ∵， ∴， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍弃）， ∴； ②当点在点的右侧时，如图， 设，同理， ∵， ∴， ∴， 即， ∴或（舍弃）， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 25．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，李老师让各小组制作矩形，并将其绕点顺时针旋转得到矩形，以此为基础展开探究． 猜想证明： (1)如图1，“实践小组”将其矩形旋转至点落在边上，并延长交于点．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 实践探究： (2)如图2，“腾飞小组”发现将其矩形旋转至点落在边的延长线上时，矩形的对角线交点刚好与点重合，此时，交于点．过点作的平行线交于点．请判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： (3)“创新小组”提出问题：在旋转过程中，当点，，三点共线时，直线交直线，分别于点，，若，，求的值．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】(1)，理由见解析 (2)菱形，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转得，，可得，，再根据同角的余角相等得到，从而证明，即可得出结论； （2）先利用两组对边分别平行的四边形得到四边形是平行四边形，根据矩形的性质和旋转能够得到为等边三角形，可求，根据两直线平行，内错角相等得到，即，得到，即可证明； （3）分为：当点转到直线的上方时，画出图形，利用相似可得；当点转到直线的下方时，画出图形，利用相似可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作于点，   ， 则四边形是矩形， ， 由旋转得，，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 由旋转得，，， ， 在矩形中， ， 又矩形的对角线交点刚好与点重合， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （3）解：<1>当点转到直线的上方时，    过点作于点， 易得，，，， ， ， 即， 即， ， ， ， ， ， 即， ， ， 即， <2>当点转到直线的下方时，    易得，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第九章 图形的相似·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A A A A A A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．3 13．2 14．9 15． 16．或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3．..........3分 （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6．..........6分 18． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ．..........3分 （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：．..........6分 19． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴；..........3分 （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分．..........6分 20． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求． ..........2分 （2）解：∵与位似，且位似比为； ∴，相似比为， ∴， 即与的面积比为． 故答案为：．..........4分 （3）解：∵与位似，且位似比为； ∴点为上一点，写出点M的对应点的坐标为． 故答案为：．..........6分 21． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴．..........3分 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得；..........6分 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．..........8分 22． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴；..........2分 （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形；..........5分 （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形．..........8分 23． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作交于点H．   ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴．..........2分 （2）解：如图2，过点C作交于点H．   ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴．..........5分 （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．   ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．..........8分 24． 【详解】（1）证明：∵是由折叠得到， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ．.........4分 （2）解：如图，连接． ， ， 由折叠可知， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 或（舍去）， ；..........8分 （3）解：如图，连接， 由题意， 设， 设． ①当点在点的左侧时， ∵， ∴， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍弃）， ∴； ②当点在点的右侧时，如图， 设，同理， ∵， ∴， ∴， 即， ∴或（舍弃）， ∴． 综上所述，或．..........12分 25． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作于点，   ， 则四边形是矩形， ， 由旋转得，，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ；..........4分 （2）解：菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 由旋转得，，， ， 在矩形中， ， 又矩形的对角线交点刚好与点重合， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形；..........8分 （3）解：<1>当点转到直线的上方时，    过点作于点， 易得，，，， ， ， 即， 即， ， ， ， ， ， 即， ， ， 即， <2>当点转到直线的下方时，    易得，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：或．..........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $