第2讲 直线的方程讲义-2026年高二寒假数学人教A版选择性必修第一册复习

第2讲直线的方程（复习》 知识点1：直线的倾斜角与斜率 知识点2：直线方程的5种形式 直线的方程 知识点3：两条直线的平行与垂直 知识点4：距离问题 知识点5：对称问题 01 思维导图 02 知识梳理 知识点1：直线的倾斜角α与斜率k的关系 直线的倾斜角o: (1)倾斜角：当直线1与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线1向上方向之间所成的角叫做直 线1的倾斜角。 (2)倾斜角的范围：当1与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角a为0°。综合(1)(2)得，a∈0°，180 直线的斜率k: (1)斜率公式：tam(o490°) 第1页共7页 (2)斜率坐标公式：k袋，已知点(G).(c2,)() (3)斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。 女牢记“斜率变化分两段，90°是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”。 知识点2：直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(xo,yo),斜率k y一y0=kx-xo) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b,斜率k y=ka十b 与x轴不垂直的直线 y-yly2-yl=x- 两点式 过两点(1，y),(c2,2) 与x轴、y轴均不垂直的直线 xlx2-x1 截距式 横截距α，纵截距b xa+yb=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 Ax十By十C=O 般式 平面直角坐标系内所有直线 (A2+B2+0) 知识点3：两条直线的平行和垂直 斜截式 般式 4:y=kx+bi Z:A1x+By+C1=0(A21+B21≠0) 方程 l2:y=kxx+b2 12:A2x+By+C2=0A22+B22+0) AA2十B1B2=0 垂直 k1=-1k2或%k=一1 avs4aIco1(当B1B2≠0时，记为fALA2B2)=-一1 \alvs4\al\col(A1B2-A2B1=0,B2C1-B1C2#0) 名=后 或avs4 al\col(A1B2-A2B1=0,A1C2-A2C1≠ 平行 且b1b2 0) aws4alco1(当A2B2C2≠0时，记为fA1B1C1C2) 知识点4：距离问题 (1)两点P11,y),P2,y2)间的距离公式：PP2=x2-x12+y2-y12. (2)点到直线的距离：点P(xo,yo)到直线1：Ax+By十C=0为d=lAx0+By0+Cr(A2十B2) 第2页共7页 (3)两条平行直线间的距离：平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为 d=|C1-C2Ir(A2+B2)。 注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等. 知识点5：对称问题 (1)点关于点对称 a=+七 2 点Ax,y)关于点P(a,b)的对称点B(xo,yo)。利用 b=y+。求出点B 2 (2)点关于直线对称 点P(x,y)关于直线I:Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点Q(x',y') A七。+ x+BXo+Y+C=0 2 2 y()=-1 A、 可求出Q点。 x'-x0 B 03 考点突破 考点一直线的倾斜角与斜率 【例1】设点A(4,-3),B(-2,-2),直线1过点P(1,1且与线段AB相交，则直线1的斜率k的取值范围是 () A.k≥1或k≤-4 B.k≥1或k≤-4 4 C.-4≤k≤1 D.- ≤k≤1 3 【变式1】已知A(2,4)、B(-3,1)两点，直线I:y=c与线段AB相交，则直线I的斜率的取值范围() 第3页共7页 A.[2,+o∞) B.(-0,01U[2,+∞) c(n+o）D.(a+w 考点二直线的方程 【例2】过点(3，-2)且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为】 【变式2-1】已知一条直线经过点A(2,一√)，且它的倾斜角等于直线x一√5y=0倾斜角的2倍，则这条 直线的方程为一： 【变式2-2】写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式： (1)经过点(3,2)，倾斜角是直线x-√3y+3=0的倾斜角的2倍； (2)经过两点A2,3),B(3,-2)； (3)经过点P-2,4,平行于x轴： (④)在x能，少轴上的候距分别为，3. 第4页共7页 考点三直线方程的综合运用 【例3-1】已知直线4：y=-4x-1，:y=kx-2,则k=2”是1h”的（ A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式3-1】已知直线x+2ay-1=0与直线(a-2)x-ay+2=0平行，则a的值是()。 A、 3 B.-2或0 3 C0或3 2 【例3-2】已知点(a,2)(a>0)到直线1：x-y+3=0的距离为1，则a等于() A.√2 B.2-√2 C.√2-1 D.√2+1 【变式3-2】两条平行直线l:x-y-1=0与l,:ax+2y-2=0之间的距离为 【例3-3】己知直线1：2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求： (1)点A关于直线1的对称点的坐标为 第5页共7页 (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线1对称的直线m'的方程为； (3)直线1关于点A(-1,-2)对称的直线的方程为 04课后巩固 1.设直线1的方程为x+ycos0+3=0(0∈R),则直线1的倾斜角a的取值范围是() A.[0,π) C. π3π 44 n.引及 2已知直线1：x+2ay-1=0和直线，：3a-1)x-ay-1=0,则a=2是“1∥1，的() 6 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.直线1过点P1,2),且A(2,3)、B(4,-5)到1的距离相等，则直线1的方程是() A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0 C.3x+2y-7=0或4x+y-6=0 D.3x+2y-7=0或x+4y-6=0 4.已知从点(5,2)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好过点1,2)，则入射光线所在的直线方程为 () A.x-y-3=0B.x+y-7=0 C.x-y+3=0 D.x+y-3=0 5.(多选题)已知A1,2),B(-3,4),C-2,0),则() 第6页共7页 A.直线x-y=0与线段AB有公共点 B.直线AB的倾斜角大于135 C.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x-4y+7=0 D.△ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为4x+y+8=0 6.已知直线1：2a-1x+(a+1)y+a-5=0 (1)若直线1与直线1：x+2y-1=0平行，求a的值： (2)若直线1在两坐标轴上的截距相等，求直线1的方程 7.已知△ABC的三个顶点是A(2,3),B(1,2),C(4,-4 (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点C,且点A,B到直线Z的距离相等，求直线的方程. 第7页共7页 第2讲 直线的方程（复习） 01 思维导图 02 知识梳理 知识点1：直线的倾斜角与斜率的关系 直线的倾斜角： （1）倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。 （2）倾斜角的范围：当l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。综合（1）（2）得，。 直线的斜率： （1）斜率公式：k=tan（≠90°） （2）斜率坐标公式：k=，已知点（x1≠x2） （3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。 · 牢记“斜率变化分两段，90°是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”。 知识点2：直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 知识点3：两条直线的平行和垂直 斜截式 一般式 方程 ：y＝k1x＋b1 ：y＝k2x＋b2 ：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) ：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 垂直 k1＝－或k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2 且b1≠b2 或 知识点4：距离问题 （1）两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式：|P1P2|＝. （2）点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0为d＝ （3）两条平行直线间的距离：平行直线与间的距离为 d＝。 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 知识点5：对称问题 （1）点关于点对称 点关于点的对称点。利用 求出点B. （2）点关于直线对称 点关于直线（）的对称点 可求出Q点。 03 考点突破 考点一 直线的倾斜角与斜率 【例1】设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】∵，，， ∴直线的斜率，直线的斜率， ∵直线与线段相交，如图所示， ∴直线的斜率的取值范围为或．故选：B 【变式1】已知､两点，直线：与线段相交，则直线的斜率的取值范围（ ） A． B． C． D． D【详解】直线恒过点，则直线的斜率为，直线的斜率为，如图， 由图可知直线的斜率的取值范围是，故选：D 考点二 直线的方程 【例2】过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 【答案】和 【解析】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意， 当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线方程为， 故答案为：和 【变式2-1】已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ； 【答案】x－y－3＝0 【解析】由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°， 故所求直线倾斜角为60°，斜率为， 故所求直线的方程为y-(－)＝，即x－y－3＝0． 故答案为：x－y－3＝0 【变式2-2】写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式： （1）经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； （2）经过两点，； （3）经过点，平行于x轴； （4）在x轴，y轴上的截距分别为，． 【答案】（1）；(2)；（3）；（4）. 【解析】（1）直线的斜率为，其倾斜角为， 因此所求直线的倾斜角为，斜率为， 所以所求直线的方程为，即. （2）直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （3）经过点，平行于x轴的直线斜率为0， 所以经过点，平行于x轴的直线方程为. （4）在x轴，y轴上的截距分别为，的直线方程为，即. 考点三 直线方程的综合运用 【例3-1】已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】当时，直线：，因为，所以，充分性成立， 当时，因为直线的斜率存在，且不为0，所以，解得，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 【变式3-1】已知直线与直线平行，则的值是( )。 A、 B、或 C、或 D、 【答案】D【解析】由题设可得，∴或，当时两直线重合，故应舍去，故选D。 【例3-2】已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由题意得．解得或．，． 故选C. 【变式3-2】两条平行直线与之间的距离为________． 【答案】 ．【解析】：由，代入整理可得：． 由平行线距离公式可得：． 【例3-3】已知直线，点．求： （1）点关于直线的对称点的坐标为_________； （2）直线关于直线对称的直线的方程为_________； （3）直线关于点对称的直线的方程为_________． 【解析】（1）因为点，设点关于直线的对称点的坐标为，，直线，解得，所以，（2）设直线与直线的交点为，联立直线与直线，，解得，所以；在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点，则，解得，所以，经过点，所以所以直线的方程为整理得．（3）设直线关于点对称的直线的点的坐标为，关于点对称点为，在直线上，代入直线方程得：，所以直线的方程为：． 04 课后巩固 1.设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，方程变为，其倾斜角为， 当时，由直线方程可得斜率，且， ，即，又，， 综上所述，倾斜角的范围是.故选：C. 2.已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题设，可得，解得或. 当时，：，：，此时， 当时，：，：，此时， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 3.直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C【解析】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即， 则或或，∴l方程为：，．故选：C． 4.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好过点，则入射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】运用点关于直线对称，求出关于轴对称点，与在同一条直线上，运用两点式得到入射光线所在的直线方程为，整理得.则入射光线所在的直线方程为.故选：A. 5．（多选题）已知，，，则（    ） A．直线与线段AB有公共点 B．直线AB的倾斜角大于 C．的边BC上的高所在直线的方程为 D．的边BC上的中垂线所在直线的方程为 【答案】BC【解析】如图所示：所以直线与线段无公共点，A错误； 因为，所以直线的倾斜角大于，B正确．因为，且边上的高所在直线过点A，所以的边上的高所在直线的方程为，即，C正确，因为线段的中点为，且直线的斜率为，所以上的中垂线所在直线的方程为，即，故D错误，故选BC. 6.已知直线：. (1)若直线与直线：平行，求的值； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【解析】（1）因为，所以，解得.（2）令，得，即直线在轴上的截距为.令，得，即直线在x轴上的截距为.因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以，解得或.则直线的方程是或. 7.已知ΔABC的三个顶点是，，. (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为， 所以BC边上的高所在直线的方程，即. （2）因为点A，B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或通过AB的中点， ①当直线与AB平行，因为，且过点C， 所以方程为，即. ②当直线通过AB的中点，所以， 所以的方程为，即. 综上：直线的方程为或. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $