第1讲 空间向量与立体几何 讲义-2026年高二寒假数学人教A版选择性必修第一册复习

第1讲空间向量与立体几何（复习） 01 思维号图 1直线的方向向量与平面的法向量 知识点1空间中的平行与垂直的向量表示 空间向量与立体几何 2.空间位置关系的向量表示 1.异面直线所成角 知识点2利用空间向量求空间角 2直线与平面所成角 3二面角 1.点到直线的距离 知识点3利用空间向量求空间距离 2.点到平面的距离 3.线面距和面面距 02 知识梳理 知识点1：空间中的平行与垂直的向量表示 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量α的有向线段所在直线与直线1平行或重合，则称此向量a为直 线1的方向向量. (2)平面的法向量：直线1上a,取直线1的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线1,2的方向向量分别为乃，12 1,∥12 n,∥n2台n1=元n2 4⊥☑2 n1⊥n2台n1·n2=0 1文a,n⊥m台nm=0 直线1的方向向量为n,平面a的法向量为m l/∥o 1⊥a n∥m台n=m a∥B 平面a,的法向量分别为n,m n/∥m台n=m ⊥B n⊥m台n…m=0 知识点2：利用空间向量求空间角 图示 向量证明方法 第1页共10页 A AC.BD 异面直线 cos0= AC BD 所成的角 (A,C是直线a上不同的两点，B,D是直线b上 B 不同的两点) sin0=曰cosp= a·u 直线和平 a u 面的夹角 (其中直线I的方向向量为a,平面o的法向量为u 直线与平面所成的角为0，a与u的角为p) ks-eaa骨同 二面角 (平面a与阝的法向量分别为n,和%，，平面a与阝 的夹角为0) 知识点3：利用空间向量求空间距离 图示 向量证明方法 d=a2-口a·u口2 点到直线的距离 (直线1的单位方向向量为4，A∈l,Pl,设=a) A PA.n 点到平面的距离 d=44= 网 (n为平面π的法向量) 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 03 考点突破 考点一利用空间向量证平行与垂直 第2页共10页 【例1】（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（) A.两条不重合直线，Z的方向向量分别是a=（2,3,-1,b=（-2,-3,1,则1l2 B.直线1的方向向量ā=(1，-1,2)，平面a的法向量是i=（6,4,-1),则1⊥0 C.两个不同的平面，B的法向量分别是=（2,2，-1)，=-3,4,2)，则a⊥B D.直线1的方向向量a=（0,3,0),平面a的法向量是i=0,-5,0),则l/c 【变式1】如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中 点，PA=AB=1BC=2: B C (1)求B,F两点间的距离； (2)求证：EF/平面PAB; (3)求证：平面PAD⊥平面PDC 考点二利用空间向量求角 【例2】如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，CC,⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC=3,点D,E分 别在棱AA和棱CC上，且AD=1CE=2,M为棱AB,的中点. 第3页共10页 C B M ----- (I)求证：CM⊥B,D; (IⅡ)求二面角B-BE-D的正弦值； (I)求直线AB与平面DB,E所成角的正弦值. 【变式2-1】如图所示，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且BC=BD=4, AC=42,CD=4V5,∠ACB=45°，E、F分别为AC、DC的中点。 (1)求证：平面ABD⊥平面BCD: (2)求二面角E-BF-C的正弦值。 第4页共10页 B 【变式2-2】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD,PC=PD,O为CD 的中点，二面角A-CD-P为直二面角 第5页共10页 B O (I)求证：PB⊥PD; (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值： (3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值， 考点三利用空间向量求距离 【例3】如图，在几何体中，底面ABCD为正方形，EF/DC,平面DCFE⊥平面ABCD, 第6页共10页 EF=ED=FC=DC=2. E 方 B (I)求点D到平面ABF的距离； (2)求直线AE与平面BCF所成角的正弦值. 【变式3】如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD,AD=2W2,PD=DC=2,M 为BC的中点. 第7页共10页 D M (I)求证：AM⊥平面PDB: (2)求点D到平面PAM的距离. 04 课后巩固 1.己知直线1过定点A2,3,1,且方向向量为3=(0,1,1，则点P(4,3,2)到1的距离为() A.√2 B.V2 c.3V2 D.V10 2 2 2 2.如图，在直三棱柱ABC-A,BC,中，BC⊥面ACC,A,,CA=CC=2CB,则直线BC,与直线AB,夹角的余 弦值为() 第8页共10页 B C A. 2W2 5 B.vs 3 c.⑤ 5 D. 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，己知ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，AD=AB=PB,PC⊥PA, PC=PA。 (1)求证：BD⊥平面PAC; 0 (2)求二面角A-PB-C的余弦值。 D 4如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，LBAD=60°，PB=PD,PA⊥PC, 点E,F分别为棱AD,PC的中点 第9页共10页 E (I)求证：EF∥平面PAB; (2)若直线PC与平面ABCD所成角的大小为30°. ①求二面角B-PA-D的余弦值； ②求点F到平面PAB的距离， 第10页共10页 第1讲 空间向量与立体几何（复习） 01 思维导图 02 知识梳理 知识点1：空间中的平行与垂直的向量表示 1.直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 ， 平面α，β的法向量分别为， 知识点2：利用空间向量求空间角 图示 向量证明方法 异面直线所成的角 （，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点） 直线和平面的夹角 （其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为） 二面角 （平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为） 知识点3：利用空间向量求空间距离 图示 向量证明方法 点到直线的距离 d＝ （直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设＝a） 点到平面的距离 （为平面的法向量） 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 03 考点突破 考点一 利用空间向量证平行与垂直 【例1】（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AC【详解】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，,且，所以，选项正确；对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，选项错误；对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且，所以，选项C正确； 对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以，选项D错误.故选：AC 【变式1】如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量求解，进而求解； （2）利用空间向量可得，进而得到，进而根据线面平行的判定定理即可证明； （3）利用空间向量可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）由题可知，底面，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 即两点间的距离为. （2）由（1）知，， 所以，即，即， 又平面平面， 所以平面. （3）由（2）知，，，， 所以，， 则，即， 又，且平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 考点二 利用空间向量求角 【例2】如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、、、、、. （Ⅰ）依题意，，，从而，所以； （Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，，． 设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得． ，． 所以，二面角的正弦值为； （Ⅲ）依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【变式2-1】如图所示，在三棱锥中，和所在平面互相垂直，且，， ，，、分别为、的中点。 (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值。 【解析】(1)证明：由，，，则：， ∴，则，，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，故平面平面； (2)解：由，点为的中点，知，∵知，则，∴，则， 如图所示以点为坐标原点，以平面内与垂直的直线为轴， 以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则、、、、、，∴，，平面一个法向量为，设平面的法向量为，由得，设，得一个法向量， 设二面角的平面角为，则，∴，则二面角的正弦值为。 【变式2-2】在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角. (1)求证：； (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； (3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）证明出，平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）求出平面的法向量，利用线面角求解公式得到答案； （3）求出两平面法向量，求出面面角的余弦值. 【详解】（1）因为，O为CD的中点， 所以． 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD， 所以平面ABCD． 因为，，，所以． 取的中点，连接，则⊥， 以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ，， 因为， 所以． （2）设平面PAB的一个法向量为， 则，即， 解得，令，则，则． 设直线PC与平面PAB所成的角为， 又， 则， 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为． （3）设平面POB的一个法向量为， 则，即， 解得，令，则，故． 设平面POB与平面PAB的夹角为， 则． 故平面POB与平面PAB的夹角的余弦值为． 考点三 利用空间向量求距离 【例3】如图，在几何体中，底面为正方形，，平面平面，. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量后可求点面距. （2）求出直线的方向向量和平面的法向量后可求线面角的正弦值. 【详解】（1）平面平面，且平面平面， 取的中点为坐标原点， 因为四边形为等腰梯形，所以连结与的中点的直线与垂直， 而平面，则平面， 如图，连结与的中点，则， 以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系：    得，，，，，， ，，， 设平面的一法向量为， 由，即，取，， 平面的一法向量为， 因此点到平面的距离； （2）由于，，， 设平面的法向量为，， 由，即，取，， 求得平面的一个法向量为. 因此与平面所成的角的正弦值为 . 即因此与夹角的正弦值为. 【变式3】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量证明即可； （2）求出平面的法向量，再利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面，平面， 因为， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，， 所以， 因为M为BC的中点，所以， 所以， 所以，， 所以，， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）设平面的法向量为，因为， 所以，令，则，因为， 所以点D到平面的距离. .04 课后巩固 1.已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. C【详解】由题意得，所以， 又直线的方向向量为，则， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则，则， 所以点到直线的距离为． 2.如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在直三棱柱中，平面，平面， 所以，， 平面，平面，所以， 所以互相垂直， 以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 可得，， 所以. 所以直线与直线夹角的余弦值为.故选：C. 3.如图，在四棱锥中，已知是平行四边形，，，，。 (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值。 【解析】(1)证明：设，，连接，则∵，且，∴四边形为菱形，∴，且，，，又∵，，∴是等腰，∴，，，在中，，，，有，∴，即，又，∴平面； (2)以为坐标原点，如图建系，则，，，，， 则，，，，设平面的法向量为，则，令，则、，则， 设平面的法向量为，则，令，则、，则，∴，设二面角的平面角为，经观察为钝角，则。 4.如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的大小为. ①求二面角的余弦值； ②求点F到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解(2)①；② 【分析】（1）取中点，连接，通过证明，再证平面. （2）先证平面，以的交点为原点，建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求二面角和点到面的距离. 【详解】（1）如图： 取中点，连接，. 因为为中点，所以且， 又四边形为菱形，且为中点，所以且， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）如图： 连接，，交于点， 因为四边形为菱形，所以，且为，的中点， 又因为，所以，，平面，且， 所以平面，易得为直线与平面所成的角的平面角， 则，又，，， 所以，，，， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，， ，，，. 所以，，，. ①设平面的法向量为 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以二面角的余弦值为：. ②点平面的距离为：. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $