21.3.3正方形 课时1 课件 2025--2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 八下数学 RJ 21.3.3 正方形 第1课时 21.3 特殊的平行四边形 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质定理，理解平行四边形、矩形、菱形之间的包含关系，体会平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别. 3.会运用正方形的性质定理进行证明和计算，提升推理能力. 学习目标 矩形是由平行四边形怎样变化得到？ 菱形是由平行四边形怎样变化得到？ 边的变化： 平行四边形 菱形 一组邻边相等 角的变化： 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 正方形怎么得到呢？ 课堂导入 平行四边形 正方形 有一组邻边相等 有一个角是直角 定义：有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 新知探究 知识点1 正方形的定义 矩形怎样变化后成了正方形呢? 菱形怎样变化后成了正方形呢? 一组邻边相等 矩形 菱形 有一个角 是直角 正方形 正方形 新知探究 知识点1 正方形的定义 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 新知探究 探究 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论. 边：对边__________，四条边__________. 角：四个角都是__________. 对角线：对角线_____________________，每条对角线平分一组对角. 对称性：正方形是轴对称图形，有___条对称轴. 平行 相等 直角 互相垂直平分且相等 四 新知探究 已知：四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四条边相等，四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AD （正方形的定义）. 又∴正方形是平行四边形， ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，AB= BC=CD=AD. A B C D 新知探究 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD. A B C D O 新知探究 分类 性质 符号语言 边 对边平行， 四条边都相等. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AD∥BC，AB∥CD，AB = AD = CD = BC. 角 四个角都是直角. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = ∠BAD = 90° 对 角 线 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC⊥BD，OA = OC = OB = OD， ∠BAC = ∠DAC = ∠ABD = ∠CBD = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠ADB = 45°. 新知探究 分类 性质 符号语言 对 称 性 正方形是轴对称图形，有四条对称轴. 直线AC，BD，m，n均是正方形的对称轴. 新知探究 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等 的等腰直角三角形. A B C D O 新知探究 证明：∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD，AC⊥BD， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°， AO=BO=CO=DO. ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角正形， 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 求证：△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形. A B C D O 新知探究 解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90°. 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴∠BAE=∠DAF. ∵∠EAF=30°，∠BAD=90°，∴∠BAE=30°，∠AEB=60°. 跟踪训练 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上， AE=AF，∠EAF=30°，则∠AEB=_____°；若△AEF的面积等于1，则AB的长是______. 60 新知探究 解析：如图，过点E作EG⊥AF于点G. ∵∠EAF=30°,∴EG = AE. ∵△AEF的面积等于1，AE=AF, ∴AF·EG = AE2 =1，∴AE=2. ∵∠B=90°,∠BAE=30°,∴BE= AE=1，∴AB==. 跟踪训练 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上， AE=AF，∠EAF=30°，则∠AEB=_____°；若△AEF的面积等于1，则AB的长是______. 60 已知面积，找底和高 G 新知探究 思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系. 平行四边形 矩形 菱形 正方形 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 有一个角是直角 (或对角线相等) 有一个角是直角 (或对角线相等) 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 有一组邻边相等，有一个角是直角（定义） 新知探究 16 四边形的包含关系： 平行四边形、梯形是特殊的四边形， 矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形， 其中正方形是特殊的矩形、菱形. 思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系. 新知探究 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 共性 轴对称图形 特性 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴 新知探究 18 1.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB， 则∠EBC的度数是_______. 22.5° A D B C O E 解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=45°. ∵E是对角线AC上一点，且AE=AB ， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°. ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠EBC=22.5°. 随堂练习 2.(1)把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片， 为什么？ (2)如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？ 提示：(1)由对称性和平行线的性质可得是菱形.又有一角是直角，因此是正方形. (2)一块矩形木板，在其长边上截取短边长，再作平行于短边的直线即可. 随堂练习 3.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A,B,C,D.李明和张华在 边AB上取了一点E，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角 线长分别是多少？ A D B C E 解：在Rt△BEC中，BC===20(m)， 故场地的面积为BC2=800 m2. 对角线长为==40 (m). 所以这块场地的面积为800m2，对角线长为40m. 随堂练习 4.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A,B, C,D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ A D B C E F 解：这两条路等长，即AF=BE，且AF⊥BE. 理由如下：设AF与BE交于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADF=90°. 又DE=CF，∴AE=DF, P 随堂练习 4.如图，一个正方形草坪的四个顶，点分别是A,B, C,D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ A D B C E F ∴△ABE≌△DAF(SAS)， ∴BE=AF，∠AEB=∠DFA， ∴∠DAF+∠AEB=∠DAF+∠DFA=90°， ∴∠APE=90°，即AF⊥BE. P 随堂练习 性质 边：对边平行，四条边都相等 对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴 角：四个角都是直角 对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 正方形 定义 有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 课堂小结 $