21.3特殊的平行四边形21.3.2菱形 课时2 课件 2025--2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 八下数学 RJ 21.3.2 菱形 第2课时 21.3 特殊的平行四边形 1.经历菱形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握菱形的判定定理． 2.能应用菱形的判定解决简单的证明题和计算题,发展推理能力和运算能力. 学习目标 复习1 菱形的定义是什么？ 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 复习2 菱形有哪些性质？ 菱形 边：两组对边平行，四条边都相等； 角：两组对角分别相等，邻角互补； 对角线：两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 课堂导入 接下来研究菱形的判定. 由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ 课堂导入 菱形的判定（定义法）： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 符号语言： 如图，在□ABCD中， ∵AB=BC， ∴□ABCD是菱形. 课堂导入 与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立. 课堂导入 思考 我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形. 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 尝试完成证明！ 新知探究 知识点1 正方形的定义 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O ， ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴□ABCD是菱形（菱形的定义）. A B C O D 新知探究 知识点1 正方形的定义 菱形的判定1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ 关键：对角线互相垂直且互相平分！ 新知探究 知识点1 正方形的定义 9 菱形的判定1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 符号语言： 在▱ABCD中， ∵AC⊥BD， ∴ ▱ABCD是菱形. 新知探究 知识点1 正方形的定义 10 思考 同样地，菱形是四条边相等的四边形. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？ 尝试完成证明！ 新知探究 知识点1 正方形的定义 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB=BC=CD=AD， ∴AB=CD，BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. A B C O D 新知探究 知识点1 正方形的定义 菱形的判定2： 四条边相等的四边形是菱形. 符号语言: 如图，在四边形 ABCD 中， ∵ AB = BC = CD = AD， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 新知探究 知识点1 正方形的定义 13 例1 如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形． 分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形.由题意可知AO=CO，还需证明EO=FO. A B D C F E O 1 2 新知探究 知识点1 正方形的定义 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//CF，∴∠1=∠2. 又∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴△AOE≌△COF，∴EO=FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形. A B D C F E O 1 2 例1 如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形． 新知探究 知识点1 正方形的定义 思考 你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗？ A B D C F E O 1 2 证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE=EC，AF=FC，OA=OC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠1=∠2. 在△OAE和△OCF中， ∴△OAE≌△OCF (ASA). ∴EA=FC, ∴EA=EC=FA=FC, ∴四边形AFCE是菱形. 新知探究 知识点1 正方形的定义 跟踪训练 已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使□ABCD成为一个菱形.你添加的条件是________.(填一个即可) 解析：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以只要添加一组邻边相等或者对角线互相垂直， 就可以使□ABCD成为一个菱形. 故答案可以为AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD或AC⊥BD等. AB=BC 新知探究 知识点1 正方形的定义 四边形 四条边相等 平行四边形 菱形 菱形 对角线互相垂直 一组邻边相等 判定一个四边形是菱形的思路： 菱形 新知探究 知识点1 正方形的定义 1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　） A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° B 随堂练习 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分，求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵BD垂直平分AC， ∴DA=DC，BA=BC. ∵AC垂直平分BD， ∴AD=AB，CD=CB， ∴AD=AB=BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形. A D C O B 随堂练习 3.如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解：是一个菱形. 理由：∵这是两张对边平行的纸条， ∴重合的四边形两组对边分别平行， ∴重合的四边形是平行四边形. 又两张纸条等宽，∴AB=BC， ∴四边形ABCD是一个菱形. A B C D 随堂练习 4.一张三角形纸片知图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角，和点A相对的顶点在边BC上，并说明所折图形是菱形的理由. A C B 解：(1)将三角形纸片折叠，使AB边落在AC边上，折痕交BC于点D. (2)继续折叠纸片，使点A与点D重合，折痕GF分别交AB，AD，AC于点G，E，F. D G F E 随堂练习 (3)将纸片展开，如图，四边形AFDG就是所求的图形. 理由：∵点A与点D关于直线GF对称， ∴GF垂直平分AD, ∴AF=DF，AG=GD，∠AEG=∠AEF=90°. ∵AB关于AD折叠，点B落在AC上， ∴∠BAD=∠CAD.又AE=AE， ∴△AGE≌△AFE，∴AG=AF，∴AG=AF=DG=DF， ∴四边形AFDG是菱形. A C B D G F E 随堂练习 菱形的判定 有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 四条边相等的四边形 课堂小结 $