湖北省武汉市一初学苑学校2025-2026学年九年级上学期12月同步练习数学试卷.

2025-2026学年武汉市一初学苑九年级（上）12月同步练习数学试卷2025.12.27 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”，这个事件是（　　）（九上课本P128原题） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．确定事件 2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）（弘扬传统文化） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（　　） （九上课本P8例题原题） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 4．将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位后，所得图象的函数是（　　）（九上课本P135例题原题） A． B． C． D． 5．已知⊙O的半径为4，圆心O到直线AB的距离为3，则直线AB与⊙O的位置关系是（　　） （九上课本P96页练习题数据改简单） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 6．两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为（　　）（九下P107T2改数据更简单） A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:16 7．如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转，得到△ADE，DE交AC于F．当α=42°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　）（九上校本作业P83和前几页几个原题，考察校本作业落实情况） A．80° B．82° C．84° D．86° 8．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是（　　）（九上课本P152T4原题） A． B． C． D． 9．已知二次函数（m为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于5个单位长度，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．若一张圆形纸片能裁剪出一个三边长分别为13，14，15的三角形，则此圆形纸片的半径最小（　　） A．8 B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 下列各题不需要解答过程，将结果直接填在答题卷指定位置． 11．在平面直角坐标系中，点P(5，-3)关于原点对称点P'的坐标是 ．（九上P69T2原题） 12．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．（九上课本P144T1原题，还帮学生填好了表格，大大减轻运算量。也是2025江汉元调原题） 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 123 152 251 投中频率m 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 由表格可得这名球员投篮一次，用频率估计投中的概率约是 (结果保留小数点后一位)． 13．二次函数 的函数值恒为正，则c的取值范围是 ．（九上教参P105例题，把字母换成具体数字） 14．如图，在半径为6cm的圆内画一个内接正六边形，则图中阴影部分的面积为 ．（九上教参P237T3原题） 第7题图 第14题图 第16题图 15．已知关于x的函数，有以下结论：①无论t取何值，该函数的函数值都不小于 0；②若t=2，则当x>1时，y随x增大而增大；③该函数图象与x轴必有交点；④当方程仅有三个不相等的实根时，．其中正确的结论是 ．(只填写序号) 16．如图，A、B、C、D 分别为平面直角坐标系坐标轴上的点，∠ADB=60°，B 点关于 AD 的对称点恰好落在AC上，若AB=2，CD=3，则B的横坐标为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17．（8分）关于x的方程 有两个实数根x₁，x₂． (1)求k的取值范围； (2) 若 ，求k的值．（九上校本作业上多次出现的） 18（8分）如图，∠A=∠C，∠1+∠2=180°． (1) 求证: AB∥EC；（第一问来源于七年级课本练习） (2) 若，请填空完善下面的解答，得出 的值． 解答：由可得 ． 由(1)得AB∥EC，∴∠ABE=∠E，∠A=∠ADE， ∴，∴ ①． 又由∠1+∠2=180°得DF∥BC，∴△EDF~△ECB， ∴ ②．由①②得 ． 19．（8分）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? （九上课本P20探究3原题） 20．（8分）如图，A、B是在⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点． (1) 求证：四边形AOBC为菱形； (2)如图，点D为优弧AB上一点，AD=5，DB=4，，求四边形ACBD的面积． （第一问是九上课本P90T13原题，第二问九上课本P87例4和九上课本P90T14改编，教研员戏称这个题是会下蛋的母鸡，调考和中考多次考到，各种改编） 21．（8分）如图是由小正方形构成的6×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点是格点，点D在AC上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．（源自课本P62T4） (1)在图1中，将线段AB绕A 点逆时针旋转 得到线段AD，并作，垂足为H； (2)在图2中，画出一条线段EF，使EF=2CD；；再在AB上画点G，使 22．（10分）如图，运动员甲在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，请直接写出抛物线的解析式； (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少? (3)运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，问：在(2)的条件下，运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球? （九上课本P106T1原题加了个第三问） 23．（10分）【问题背景】如图，正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过点P作．于点F ，连接PE． 【初步探究】（1）求证：△PFA∽△ABE； （2）点P在AD边上运动，且 求△PFA与 的相似比； 【拓展提升】（3）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与 相似?若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（九下教参P118T14原题加了个第三问） 24．（12分）已知抛物线 对称轴为直线x=1，交y轴于点C(0，- 3)，交x轴于A、B两点 (1)请直接写出抛物线解析式并直接写出顶点D 的坐标； (2)若点 P 在抛物线上，且 试确定满足条件的点 P 的个数； (3)如图，直线EF：与直线GH：相交于抛物线与x轴所围成的区域内部一点Q，连接EH、FG，若∠HEQ=∠FGQ，试判断，的数量关系并证明． 2025-2026学年武汉市一初学苑九年级（上）12月同步练习数学试卷参考答案 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C C D B C D B 9．解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∵二次函数(m为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于5个单位长度， ∴， 解得， 故选：D 10．解：如图求BC边上高并连直径构造相似得： 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 15．解：①无论t取何值函数图象都不会有落在x轴下方的部分，①正确； ②画出函数图象 可知则：当时，y随x增大而增大，②正确； ③当，的图象整体位于x轴上方与x轴无交点，③错误； ④仅有三个不相等的实根时，则得，④正确. 16．解：先导角可得：∠ABC-∠ACB=60°。作B点关于y轴的对称点为E点 则∠EAC=∠ADE=60°。 △DEA∽△AEC，所以，则： 又，设OB=OE=x，OD=x+1， ， 解得： 故点B的横坐标为 （方法不唯一） 三、解答题（共8小题，共72分） 17．解：（1），解得：． （2），． 由条件可知，整理得，解得：，． 又， ∴． 18．（1）证明：∵∠1+∠2=180° ∴AD∥BC ∴∠C=∠ADE ………………………2分 又∵∠A=∠C ∴∠ADE=∠A ∴AB∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形 ………………………4分 （2）解答：由可得 . 由（1）得，∴，， ∴，∴ ①. 又由∠1+∠2=180°得，∴, ∴ ②. 由①②得= . 19．解：封面的长宽之比是27∶21=9∶7，所以中央的矩形的长宽之比也应是9∶7. 设中央矩形的长与宽为cm，cm， 由题意得：解得：，（舍去）； ∴中央矩形的长为：，宽为：， ∴上下边宽为：，左右边宽为：． 答：上下边衬宽为：，上下边衬宽为：． 【解法二】解：封面的长宽之比是27∶21=9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7.设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是： 所以设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm． 依题意有 解得： 又因为当时，上下边衬的宽度和18x＞21，所以 答：上、下边衬的宽均为cm，左、右边衬的宽均为cm． 20．（1）证明：连接OC ∵点C为的中点 ∠AOB=120° ∴∠AOC=∠BOC=60° ………………… 2分 又∵OA=OC=OB ∴△AOC、△BOC均为等边三角形 ∴OA=AC=CB=OB 即 四边形AOBC为菱形 ………………………………………………………4分 （2）连接CD，并延长DB至点E使得BE=AD，连接CE. ∵点C为的中点∠AOB=120° ∴CA=CB，∠CDA=∠CDB=30° 证△ACD≌△BCE（SAS） CE=CD ………………………………… 6分 ∵DE=DB+AD=9，解△DCE得：DC=CE= 则 …………………………… 8分 21．【解答】 或 （1）一步2分，共4分 （2）一步2分，共4分（有不同画法，判断正确与否，对应给分即可） 22．解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为(0, 3.5)， ∴设抛物线的表达式为． 由图知图象过以下点：(1.5, 3.05)． ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为， 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为， ∴， ∴． 答：球出手时，他跳离地面的高度为m． （3）由题意可得出：， 则 解得：，， ∴(m)，(m) ∴乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球． 23．（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠PAF=∠AEB， ∵∠PFA=∠ABE=90°， ∴△PFA∽△ABE； （2）解：正方形ABCD的边长为8， ∴正方形ABCD的面积=， ∵， ∴， ∵AB=BC=8，点E是BC的中点， ∴BE=4， ∴， ∴， ∴， ∴△PFA与△ABE的相似比为1∶2（或）； （3）解：存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似．理由如下： 如图2，连接PE， 若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB， ∴PE∥AB， ∵AD∥BC， ∴得四边形ABEP为平行四边形， ∵∠B =90°， ∴四边形ABEP为矩形， ∴PA=EB， ∵E是BC的中点， ∴BE=4， ∴PA=4，即x=4． 如图3，连接PE． 若△PEF∽△ABE，则∠PEF=∠AEB，， ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF， ∴PE=PA． ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点． ∵， ∴． ∵，即， ∴， ∴，即． 综上所述，满足条件的x的值为4或10． 24．解：（1） 根据题意可知： D(−1，−4) ………………………… 3分 （2）如图，设与BC平行且与抛物线有唯一公共点的直线为y=x+t 解得： ………………………………… 4分 可知： 当P点在直线BC下方的抛物线上，△BCP面积最大为 令3m=，得： ∴ ① 当，满足条件的P有4个 ②当m= 满足条件的P有3个 ③当 满足条件的P有2个 ……………………………………………………… 7分 （3）设直线EF、GH分别，其交点即为 分别与抛物线联立得： 由∠HEQ=∠FGQ，△HQE∽△FQG， ………………… 9分 而对于EQ=、FQ= 同理：HQ=、GQ= …………………………………………… 11分 ∵Q点在抛物线内部 ∴，且 ………………………………… 12分 故 数学试卷 第9页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $