期末高频考点专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版2019高一上数学期末高频考点 思维导图 重点题型归纳 一、集合与常用逻辑用语 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，再根据结果判断命题条件. 【详解】由题可知，，解得或， 所以“”是“”的必要非充分条件， 故选：B. 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：B 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合并集运算求解即可. 【详解】集合. 是由所有属于或属于的元素组成的集合， 故. 故选：B. 4．已知集合，则中的元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解不等式化简集合B，再利用交集的运算求，可得中元素的个数. 【详解】不等式，解得， 所以，又， 可得，即中元素的个数为3. 故选：C 5．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D 6．“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【详解】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 二、多选题 7．江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 三、填空题 8．2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有 人. 【答案】4 【分析】根据题意结合韦恩图求各类情况的人数，进而可得三个地方都没去过的同学的人数. 【详解】如图所示： 因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过， 则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有人； 同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人； 同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人； 则只去过米公祠有人，只去过植物园有人，只去过黄金塔有人， 可得至少去过一个地方的有人， 所以三个地方都没去过的同学有人. 故答案为：4. 四、解答题 9．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 10．已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足，右端点满足，再结合集合非空条件，联立解得的范围. （2）由得两个不等式：且，结合解得，然后检查在此范围内是否成立. 【详解】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 二、一元二次函数、方程和不等式 一、单选题 1．当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出方程零点，根据参数范围，判断零点的范围，进而求出不等式的解集. 【详解】当时，， 不等式可化为， 因为，且， 所以，， 所以的解集为， 所以原不等式的解集为，即 故选：C. 2．已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式求解. 【详解】因，，满足，则， 于是 ，当且仅当时，即，等号成立， 故的最小值是. 故选：C 3．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 4．早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是1 【答案】C 【分析】应用特殊值及不等式的性质判断A，将目标式展开并应用基本不等式求最小值判断B，应用“1”的代换及基本不等式判断C，应用换元法，结合已知和基本不等式求最小值判断D. 【详解】A，若，，则，错误； B，，，则，， ， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，错误； C，，则，，又， ， 当且仅当，即时取等号，正确； D，令，，则， ， 当且仅当时取等号，即的最小值是，错误. 故选：C 5．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 二、多选题 6．下列不等式判断正确的有（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，应用基本不等式计算判断D. 【详解】对于A：当时，， 当且仅当时，即时等号成立， 如时，，满足，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：当，满足，则，C选项错误； 对于D：，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，即，D选项正确； 故选：AD. 7．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 三、解答题 8．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法即可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 三、函数的概念与性质 1. 指对幂比较大小 一、单选题 1．设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数、指数的知识确定正确答案. 【详解】， 由于在上递增，所以， 而，所以. 故选：B 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系. 【详解】，，， 因此，. 故选：A. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指对幂函数的单调性得. 【详解】，故. 故选：C 4．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过指数函数和对数函数的单调性结合中间值“0”即可比较大小. 【详解】因函数是增函数，则有. 又因函数是上的减函数，则， 故． 故选：D． 2. 分段函数单调性与值域 一、选择题 1．已知，且，函数，在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用分段函数的性质得，即可求解. 【详解】因为函数，在上单调递增， 则，即，解得， 故选：B. 2．函数，若是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围即可. 【详解】由题意得，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 3．已知函数，若，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数作出其图象，分、和解不等式即可. 【详解】画出的图象，如图， 已知， 当时，且，即时，； 当，且时，即时，恒成立； 当，且时，即时，恒成立. 综上，. 故选：B 4（多选）．已知，下列选项中说法正确的有（   ） A．当时，函数的值域为 B．若，则 C．若函数在上单调递增，则a的取值范围是 D． 【答案】ABD 【分析】结合二次函数、指数函数、对数函数的性质求解判断A；转换问题为，即为，即可判断B；根据分段函数的单调性求解判断C；直接代值计算即可判断D. 【详解】A，当时，， 当时，， 当时，， 因为函数，在上单调递增， 所以在上单调递增， 则， 综上所述，函数的值域为，故A正确； B，因为，恒成立， 由A知，函数在上单调递增， 所以，即为， 即恒成立，所以，故B正确； C，由A知，函数在上单调递增， 要使函数在R上单调递增，则，解得， 则的取值范围是，故C错误； D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD 5．已知的最小值为4，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先利用基本不等式求出时， ，再利用二次函数求出时，的最小值，结合最小值为4，即可求得的取值范围. 【详解】当时，，根据基本不等式得：，当时，等号成立； 当时，，令，，开口向上，对称轴为， 因为定义域为，所以， 因为的最小值为4，所以，解得. 故答案为：. 3. 复合函数奇偶性与单调性 一、选择题 8．已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用得到方程，求出答案. 【详解】令，解得， 定义域为， ，即恒成立， ，化简得， 解得. 故选：D 2（多选）．下列说法正确的是（ ） A．函数（且）的图象所过定点的坐标为 B．函数的单调递增区间是 C．若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】求出定点坐标判断A；求出单调递增区间判断B；举例说明判断C；由单调性列式求出范围判断D. 【详解】对于A，对，当时，恒有，因此 所求定点坐标为，A错误； 对于B，函数的定义域为R，函数在上单调递增 ， 在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此所求递增区间为，B正确； 对于C，当时，，而，解得， 即直线与函数的图象只有1个交点，C错误； 对于D，由函数在上单调递增， 得，解得，D正确. 故选：BD 二、填空题 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法，内层函数必须包含于外层函数的定义域之中. 【详解】令，则， 因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4．若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由对数函数性质，将值域及单调性转化为二次函数性质求解. 【详解】因为的值域为，在区间上单调递增 所以函数与轴有交点，即方程有实根， 所以，解得或①； 因为函数在区间单调递增， 且是减函数，所以在区间单调递减且恒为正， 所以，解得②， 由①②可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．设函数上的最大值为，最小值为，则 【答案】 【分析】化简函数，令，求得为奇函数，得到，进而求得的值，即可得到答案. 【详解】由函数， 令，其定义域关于原点对称， 且，即， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，可得， 则， 所以. 故答案为：. 6．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则 . 【答案】2 【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案． 【详解】因为，， 令， 则， 设，，则， 所以是奇函数，最大值为，最小值为， 则，由，解得． 故答案为：2 4. 对称性、周期性与单调性的综合问题 一、选择题 1．已知是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在上为减函数，在上为增函数，距离对称轴越远，函数值越大，即可求解． 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递增， 由可得， 解得或， 故不等式的解集为或. 故选：B． 2．已知定义在R上的奇函数，满足，，则（    ） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．一定是奇函数 D．一定是偶函数 【答案】C 【分析】通过赋值求得，可得，由奇偶性可得，从而即可判断函数的奇偶性． 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足，(*)， 令，可得，所以，则， 代入(*)，可得，又， 则，即得， 则有， 所以为奇函数，经验证，其它选项均不符合题意． 故选：C. 3．已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的对称性判断出的奇偶性，再结合的单调性求解不等式的解集. 【详解】因为关于点对称，根据函数图象平移的性质可知， 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的， 所以函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 所以且在内也单调递增. 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以或； 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以. 综上可得不等式的解集为. 故选：C. 4．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数的一个周期为4 【答案】AD 【分析】由题意得到函数的周期，利用周期及函数在上的解析式可求出判断AD；利用函数的奇偶性可推出函数在上的单调性，再利用周期性可得在上的单调性判断B；根据的对称性与周期性直接判断C. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以函数图象关于点成中心对称，且①， 因为为偶函数，故②，且函数图象关于直线轴对称， 由①②可得，，则，所以的一个周期为4. 在①中令有， 因为时，，所以，，故， 所以，， 所以，故AD正确； 由②可得，，则，即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数，所以是上的减函数， 因为的周期是4，所以是上的减函数，故B错误； 因为函数图象关于轴轴对称，且关于点成中心对称，周期为4， 所以函数图象关于直线轴对称，且关于点成中心对称，故C错误； 故选：AD. 二、填空题 1．已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义，由可求a的值，然后将不等式看作关于的二次不等式求解即可． 【详解】已知，则， 由，得 即对所有成立． 若，化简得，不满足对所有成立，舍去； 若，化简得，解得． 将代入，得 不等式，即，即，即， ∵，∴，即， ∴． 故答案为：． 2．已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用函数的性质将问题转化得到不等式，解不等式即可. 【详解】设， 由且，得， 则在上单调递增， 因为为奇函数，所以， 所以，故为偶函数， 而， 所以有，又在上单调递增， 所以，解得， 所以所求不等式解集为. 故答案为：. 5. 对称性单调性结合解决抽象不等式 1. 已知函数，若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】构造函数，研究函数的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式. 【详解】令，定义域为，且， 所以函数为定义域内的奇函数，且在上单调递增； 则，则，即，即， 又因为为定义域内的奇函数，所以， 又因为在上单调递增，所以， 解得或， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 2．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性结合已知条件求解； （2）先确定在上的单调性，再利用单调性结合奇偶性化简不等式，解不等式求出实数的取值范围． 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ， 当时，，则，是奇函数， ，故， （2）当时，是增函数，且, 又是定义在上的奇函数，奇函数在对称区间上单调性一致， 在上是增函数， ，， ，， ，即，解得或， 的取值范围为． 3．已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求a的值，判断并用定义证明的单调性； (2)若，解关于x的不等式． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；见解析. (2)见解析 (3) 【分析】（1）由奇函数的性质求得解析式，然后根据单调性的定义证明单调性； （2）利用奇偶性与单调性转化问题为解不等式，分，，解一元二次不等式即可； （3）问题转化为，再解一元二次不等式即可． 【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 即，解得，所以， 即，则，符合题意， 令，则=， 因为所以，则，因为，所以， 所以在R上单调递增. （2）因为在定义域上单调递增，又是定义在R上的奇函数， 由可得：， 即，即， 若，方程的两根为， 当时，不等式变为，不等式的解集为空集； 当时，则，不等式的解集为； 当时，则，不等式的解集为； 综上：当时，不等式的解集为空集； 时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）若对任意的时，不等式恒成立， 则有恒成立， 因为在R上单调递增， 当时，，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上得的取值范围是. 4．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，若成立的一个充分不必要条件是，求的最大值. 【答案】(1)， (2)在区间上单调递增，证明见解析 (3). 【分析】（1）由题可得：，，代入函数计算即可； （2）利用单调性的定义即可证明； （3）结合奇偶性和单调性可将转化为，求出的范围，根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得， 所以， 又，所以，解得， 所以，经检验满足题意. （2）在区间上单调递增. 证明如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，，， 故， 所以. 所以在区间上单调递增. （3）等价于， 因为是定义在上的奇函数，所以原不等式转化为. 因为，所以， 当时，,原不等式为,即，不成立， 当时，， 又因为在区间上单调递增， 所以原不等式等价于，即，解得或， 又因为，所以或. 由，得. 又因为，所以. 因为成立的一个充分不必要条件是， 所以或， 所以，解得， 所以的最大值为. 6. 存在性与任意性问题 1．已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)定义域为，增函数； (2)； (3). 【分析】（1）令解不等式即可求出定义域，根据复合函数的单调性即可判断函数的单调性； （2）求出函数在上的值域，求出函数在上的值域，根据题意可得出两个函数值域的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）求出函数在上的值域，可得出，，令，可得，利用基本不等式求出的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）令，即，解得， 所以，函数的定义域为， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，令，， 当，取得最小值，当，取得最大值， 则当，， 由（1）知函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是. 2．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性；并求出在的值域. (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数； (2)单调递增，值域为； (3)或. 【分析】（1）求出定义域，然后根据奇函数定义判断即可； （2）利用复合函数单调性判断的单调性，然后利用单调性求值域； （3）转化为对恒成立，整理后更换主元，令，转化为在上恒成立，结合一次函数性质列不等式组求解可得. 【详解】（1）函数中，，解得， 函数的定义域为， 又， 所以函数是奇函数. （2）函数， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增. 因为在上单调递增，， 因此，在上的值域为. （3）由题意，对恒成立. 由（2）知，故： ，即对恒成立. 令（关于的一次函数），需在上恒成立， 则，即， 解得或 3．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）求出的定义域，由是奇函数，由奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得，利用奇函数的定义检验成立，从而求得的值； （2），且，计算与的大小，与的大小，利用定义得到结论； （3）由题意得到，利用单调性求出，，求出对称轴方程为，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解即可. 法二：第（3）问也可转化为，设，即恒成立，即转化为求当时m的取值范围. ，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 则其定义域关于原点对称，即， 则， 经验证，此时， 故满足题意； （2）函数在单调递增. 证明：，且， 则， 因为，所以，则， 所以， 即，所以， 函数在单调递增. （3）由题意得：， 由（2）知，在上单调递增，所以， 由，得对称轴方程为， ①当时，即时，， 解得，又， 故； ②当时，即时，， 解得，又， 所以； ③当时，即时，， 解得，又， 所以. 综上，实数的取值范围为. 法二：第（3）问也可转化为， 设， 即恒成立， 即转化为求当时m的取值范围. ，对称轴为， ①当时，即时，， 解得，又， 故； ②当时，即时，， 解得，又， 所以； ③当时，即时，， 解得，又， 所以. 综上，实数的取值范围为. 4．已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)；2 (3) 【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组得，然后解指数函数不等式即可求解定义域； （2）利用偶函数的概念列式求得，然后利用基本不等式求解的最小值； （3）由题意，由（2）可知，然后利用指数函数单调性及二次函数性质求得的值域，进而按照和分类讨论，利用对数函数单调性求得的最大值，列不等式即可求解. 【详解】（1）， 要使函数有意义，则，所以，所以， 所以函数的定义域为； （2）因为函数是上的偶函数，所以， 所以，所以，所以， 由对恒成立，所以，所以； ，当且仅当即时等号成立， 所以函数的最小值为2； （3） ，， 因为，，恒成立，所以， 由（2）可知函数在上的最小值为2，所以， 记，因为，所以，所以， 当时，，则，所以，所以或，又，所以； 当时，，则，所以，所以，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 8. 函数的实际应用问题 一、单选题 1．已知某放射性同位素的含量与时间的关系式为，其中为初始含量.则当该放射性同位素的含量为 时，的值约为（    ） 附: . A．67 B．45 C．33 D．78 【答案】A 【分析】根据题意，得到，两边取对数，得到，即可求解. 【详解】由题意知，该放射性同位素的含量为时，可得，即， 两边取对数得，解得. 故选：A. 2．某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【详解】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 3．牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 【答案】D 【分析】先将，代入题设求出，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式即可求解. 【详解】由题，， 当，，由得， 则，所以． 设再经过分钟，温度可由降为，即， 即，即. 故选：D． 4．自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 【答案】B 【分析】根据题目所给模型，通过指数的计算得到结果. 【详解】由题意可知，即，∴， 又∵，即，∴， . 故选：B. 9. 函数的新定义问题 1．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点. (1)若定义在上仅有一个不动点的函数满足，试求函数的解析式； (2)若对任意的实数，若函数恒有两个不动点，且满足如下条件： ①图象上两个不同点的横坐标是函数的不动点； ②点关于函数的图象对称. 试求的取值范围.（注：两个点的中点的坐标公式为） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设函数的唯一不动点为，即，由条件推出，解出，进而可得的解析式； （2）利用不动点定义求出的范围，再利用中点坐标公式及韦达定理求出与的函数关系，利用二次函数的性质求出答案． 【详解】（1）设函数的唯一不动点为，即， ∵， ∴， ∴，得，解得或， 当时，， 由，得，解得或， 此时有两个不动点，不合题意； 当时，， 由，得，解得， 此时只有一个不动点，符合题意， 综上，函数的解析式为． （2）由，得， ∵对任意的实数，函数恒有两个不动点， ∴对任意的实数，恒成立， 于是，即，又，解得， 设函数的两个不动点为，则，又， 于是线段的中点，即， 由题意，点在函数的图象上，得，整理得， ∴， ∵，∴，， ∴，，， ∴． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 2．给出以下基本事实：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.已知函数的定义域为，其图象关于点对称，当时，，函数，其中. (1)根据基本事实，求的值； (2)根据基本事实，探求的图象的对称中心横坐标m的值； (3)若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）由所给函数的性质，赋值即可得解； （2）设函数的图象关于点对称，根据基本事实，为奇函数求解即可； （3）证明的单调性，求出值域，由题意转化为，由的图象关于对称，则只需，分类讨论求得值域，建立不等式求解即可. 【详解】（1）由定义在上函数的图象关于点对称及基本事实， 得到为定义在上的奇函数， 则， 即对恒成立， 令，得. （2）设函数的图象关于点对称，根据基本事实，为奇函数. 即 为奇函数， 所以解得. （3）先证明在上单调递增， 设任意的，且， 则 . 由，可知，，，，， 所以，，则在上单调递增； 因此，在区间上的值域为， 记在上的值域为B，对任意，总存在，使得成立知. 由的图象关于对称，则只需即可. ①当，时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增， 故在上单调递增，只需即可，故满足题意； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故或， 当时，只需要 解得， 又，所以满足题意； ③当，时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减， 所以在上单调递减，只需即可，所以满足题意. 综上所述，的取值范围为. 3．中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）．        (1)若图3构成正八边形，求实数m的值； (2)若关于的方程有两个不相等实数根，． ①求实数m的取值范围； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②16 【分析】（1）设，，且，则，根据及和的对称性，列方程求解； （2）联立方程组，由及即可求解①；由根与系数关系得出，利用基本不等式即可求得最小值． 【详解】（1）        设，，且，则， 由得，，即， 因为和关于对称， 所以， 所以（*）， 又因为点在图像上， 所以，将（*）代入可得：，解得． （2）①由可得：的两个实数根为， 所以，解得或， 又因为，所以； ②由根与系数关系得，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为16． 四、三角函数 一、单选题 1．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，将两边平方，利用平方关系求解后即可判断；对于B，结合A可得，从而得，，进一步求得，开方后得，即可判断；对于C，结合A，B可得，代入求解后即可判断；对于D，结合B即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，即， 解得，故A正确； 对于B，由A可知， 又因为， 所以，， 所以， 又因为， 解得，故B正确； 对于C，因为，， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，由B的分析可知，故D错误. 故选：D. 2．函数 的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用与的平方和为定值，采用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题答案. 【详解】， 设， , ， 即函数的值域为， 故选：C 3．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换可得，结合正弦函数最值分析求解. 【详解】因为， 当，即时，函数取到最大值. 故选：B. 4．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合诱导公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 又，则， 所以， 则． 故选：B 二、解答题 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，结合，解一元二次方程即可得出答案； （2）由诱导公式、弦化切可化简为，可得答案； （3）将所求式子利用同角三角函数的平方关系恒等变形后除以化为，即可得出答案. 【详解】（1）由可得：， 即，解得：或. 因为，所以，所以. （2）. （3） . 6．已知，且为第二象限角． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据为第二象限角，运用同角三角函数的基本关系直接计算可得； （2）利用诱导公式化简，然后代入函数值计算即可. 【详解】（1）因为，且为第二象限角， 所以， （2）原式. 7．已知函数 (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）令即可求得； （2）利用正弦函数的单调递增区间列不等式，求解即得； （3）先由给定区间求出整体角的范围，结合正弦函数的单调性即可求得函数的值域. 【详解】（1）令，可得， 则函数的图象的对称轴方程为； （2）由，可得， 则函数的单调递增区间为； （3）因为，所以， 因为正弦函数在上单调递增，所以， 则， 故当时，的值域为. 8．（1）已知，求的值； （2）计算：； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）原式 . 9．已知函数. (1)求的最小正周期及取得最小值时，自变量的取值范围； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1)函数的最小正周期为，取得最小值时，自变量的取值范围为 (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）函数的最小正周期为. 当时，函数有最小值， 解得， 所以函数的最小正周期为， 函数取得最小值时，自变量的取值范围为. （2）当时， 解得， 所以函数单调递增的区间为. 10．已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求在闭区间上的最值以及对应的值 【答案】(1)； (2)当时有，当时. 【分析】（1）由二倍角公式与辅助角公式可得，然后由最小正周期计算公式可得答案； （2），然后由单调性结合题意可得答案. 【详解】（1）由函数 ， ， 函数的最小正周期为； （2）由（1）可知，， 因在 上单调递减，在上单调递增， 则，此时； ，此时. 综上可得：，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版2019高一上数学期末高频考点 思维导图 重点题型归纳 一、集合与常用逻辑用语 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则中的元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 6．“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 7．江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 三、填空题 8．2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有 人. 四、解答题 9．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 10．已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 二、一元二次函数、方程和不等式 一、单选题 1．当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 3．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是1 5．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列不等式判断正确的有（    ） A． B． C．若，则 D． 7．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、解答题 8．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 三、函数的概念与性质 1. 指对幂比较大小 一、单选题 1．设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．若，，，则（   ） A． B． C． D． 2. 分段函数单调性与值域 一、选择题 1．已知，且，函数，在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．函数，若是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 4（多选）．已知，下列选项中说法正确的有（   ） A．当时，函数的值域为 B．若，则 C．若函数在上单调递增，则a的取值范围是 D． 5．已知的最小值为4，则的取值范围为 . 3. 复合函数奇偶性与单调性 二、选择题 1．已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 2（多选）．下列说法正确的是（ ） A．函数（且）的图象所过定点的坐标为 B．函数的单调递增区间是 C．若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 二、填空题 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 4．若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 5．设函数上的最大值为，最小值为，则 6．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则 . 4. 对称性、周期性与单调性的综合问题 一、选择题 1．已知是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知定义在R上的奇函数，满足，，则（    ） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．一定是奇函数 D．一定是偶函数 3．已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数的一个周期为4 二、填空题 1．已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 2．已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为 . 5. 对称性单调性结合解决抽象不等式 1. 已知函数，若，则实数a的取值范围是 2．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 3．已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求a的值，判断并用定义证明的单调性； (2)若，解关于x的不等式． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 4．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，若成立的一个充分不必要条件是，求的最大值. 6. 存在性与任意性问题 1．已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 2．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性；并求出在的值域. (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 3．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围. 7. 指数型与对数型函数的整体思想应用 1．若函数的值域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．设，函数，则使的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 5．已知和是方程的两根，则 . 6．已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为 ． 7．设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 8．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围. 9．已知函数. （Ⅰ）求函数的定义域和值域； （Ⅱ）设函数，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 10．已知函数，的值域为，函数. （1）求集合； （2）求函数，的值域. 8. 函数的实际应用问题 1．已知某放射性同位素的含量与时间的关系式为，其中为初始含量.则当该放射性同位素的含量为 时，的值约为（    ） 附: . A．67 B．45 C．33 D．78 2．某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 3．牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 4．自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 9. 函数的新定义问题 1．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点. (1)若定义在上仅有一个不动点的函数满足，试求函数的解析式； (2)若对任意的实数，若函数恒有两个不动点，且满足如下条件： ①图象上两个不同点的横坐标是函数的不动点； ②点关于函数的图象对称. 试求的取值范围.（注：两个点的中点的坐标公式为） 2．给出以下基本事实：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.已知函数的定义域为，其图象关于点对称，当时，，函数，其中. (1)根据基本事实，求的值； (2)根据基本事实，探求的图象的对称中心横坐标m的值； (3)若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 3．中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）．        (1)若图3构成正八边形，求实数m的值； (2)若关于的方程有两个不相等实数 四、三角函数 一、单选题 1．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．函数 的值域为（   ） A． B． C． D． 3．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．3 4．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 6．已知，且为第二象限角． (1)求，的值； (2)求的值． 7．已知函数 (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 8．（1）已知，求的值； （2）计算：； 9．已知函数. (1)求的最小正周期及取得最小值时，自变量的取值范围； (2)求函数的单调递增区间. 10．已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求在闭区间上的最值以及对应的值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $