精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度上学期期末教学质量测查 八年级数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是一个最简分式，则可以是（ ） A. x B. C. 4 D. 4. 已知一个三角形的两边长分别为8cm和3cm，则此三角形第三边的长可能是(　　) A. 2cm B. 3cm C. 5cm D. 9cm 5. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　) A. B. C. D. 6. 如图，中边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 7. 关于x的一元一次不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 8. 如图，是的垂直平分线，交于点，是直线上一动点，它从点出发沿射线方向运动，当增加，减少时，与的关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与关于点成中心对称，点、、的对称点分别为、、．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 中新社北京1月13日电，北京市气象台发布北京气象史上首个雾霾橙色预警，北京已连续3天空气质量达严重污染中的“最高级”——六级污染．雾霾(PM2．5)含有大量的有毒有害物质，对人体健康有很大的危害，被称为大气元凶．雾霾的直径大约是0．000 002 5m ，把数据0．000 002 5用科学记数法表示为_________________． 13. 若，，则的值是________，的值是________． 14. 如图，在△中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、．若，△的周长为20，则△的周长为______． 15. ①一次函数与的图象关于x轴对称； ②坐标分别为、、的三点在同一直线上； ③一次函数中，若时该函数值最大为2，则； ④点、在一次函数的图象上，若，则． 以上4个结论中，正确的是______（填序号）． 16. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD＝16cm，BE＝12cm，点P是斜边AB的中点．有一把直角尺MPN，将它的顶点与点P重合，将此直角尺绕点P旋转，与两条直角边AC和CB分别交于点D和点E．则线段PD和PE的数量关系为_____，线段DE＝_____cm． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，的后面为……根据这个规律，第2012个点的横坐标为______. 三、解答题（共69分） 18. 因式分解： （1）； （2） 19. 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算，可用竖式除法如图： 所以除以，商式为，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）______； （2）计算：； （3）能被整除，求a、b的值． 20. 先约分，再求值：，其中，． 21. 某商家两次购进同一种商品进行销售，已知第一次进价是第二次进价的1.2倍，第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件． （1）问商品的两次进价分别为多少元？ （2）商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，则每件商品的售价至少是多少元？（假设购进的商品全部销售完） 22. 如图1，有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K． （1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK MK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依据是 ； （2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK MK（填“＞”或“＜”）； （3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK MK，试证明你的猜想． 23. 如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是半圆内接正方形． (1)你认为点O在CF边上什么位置？请说明你的理由； (2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上，已知正方形CDEF的面积为16.请你计算出正方形FGHK的面积． 24. 问题背景（1）如图（1），为等腰直角三角形，，点在直线上，，垂足分别为点和，求证：． 尝试应用 （2）如图（2），为等腰直角三角形，，点在直线上，，垂足为，延长至点，使得，连接，交直线于点，试探究和之间的数量关系，并证明． 拓展创新 （3）如图（3），为直角三角形，，点在直线上，，垂足为，延长至点，使得，连接，交直线于点，若平分，且，试用含的式子直接表示的值． 25. 【问题提出】（1）如图1，都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证，； （3）如图3，在中，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如果有，求出它的最小值：如果没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末教学质量测查 八年级数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．直接根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式中，计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 3. 若是一个最简分式，则可以是（ ） A. x B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分母一定含有字母，且最简分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，中必须有字母，且分子分母不能还有公因式， 选项B、C中没有字母，代入后表达式不是分式，故排除； 选项D代入后，分式为，分子分母有公因式4，不是最简分式，故排除． 只有选项A满足题意． 故选A． 4. 已知一个三角形的两边长分别为8cm和3cm，则此三角形第三边的长可能是(　　) A. 2cm B. 3cm C. 5cm D. 9cm 【答案】D 【解析】 【分析】设第三边的长为x，再根据三角形的三边关系进行解答即可． 【详解】解：设第三边的长为x，则8﹣3＜x＜8+3，即5cm＜x＜11cm． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 5. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案． 【详解】解：A．属于整式的乘法运算，不合题意； B．符合因式分解的定义，符合题意； C．右边没有提取x，因式分解错误； D．单项式不能因式分解，不合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，牢记定义是解题的关键． 6. 如图，中边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】过三角形的一个顶点向对边作垂线，这个顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，根据定义判断即可. 【详解】解：中边上的高线是线段； 故选：B. 【点睛】本题考查了三角形的高，熟知三角形高的概念是关键. 7. 关于x的一元一次不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式组 ，又因为不等式组有解，得到a＜4，由于， 得到： ，因为a＜4，且y≠3，且整数，得到a=3，-1； 即可求解； 【详解】解： 由①得：x≤-1， 由②得：x＞a-5， 因为不等式组有解， ∴a-5＜x≤-1; ∴a-5＜-1; ∴a＜4， 由， 得， 得到：， ∵a＜4，且y≠3，为整数， ∴a=3，-1； 3+（-1）=2． 故选：D 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，有理数的混合运算，考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键． 8. 如图，是的垂直平分线，交于点，是直线上一动点，它从点出发沿射线方向运动，当增加，减少时，与的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，根据当增加，减少时，得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， 当增加，减少， ∴， ∴， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，函数解析式等知识点，能根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出是解此题的关键． 9. 如图，与关于点成中心对称，点、、的对称点分别为、、．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 根据中心对称的性质可得，，与关于点成中心对称，进而可证明，可得，则，进而可逐项判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，，与关于点成中心对称，故选项、正确，不符合题意； ， ， ， ，故选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出，故A选项不正确，符合题意． 故选：A ． 10. 如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过P作，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：过P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． ． 【点睛】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线． 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：x≠-6． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是牢记分式有意义的条件． 12. 中新社北京1月13日电，北京市气象台发布北京气象史上首个雾霾橙色预警，北京已连续3天空气质量达严重污染中的“最高级”——六级污染．雾霾(PM2．5)含有大量的有毒有害物质，对人体健康有很大的危害，被称为大气元凶．雾霾的直径大约是0．000 002 5m ，把数据0．000 002 5用科学记数法表示为_________________． 【答案】2.5×10-6 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式对数值进行表示即可． 【详解】解：0.0000025=2.5×10-6， 故答案为：2.5×10-6． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示形式是解题关键． 13. 若，，则的值是________，的值是________． 【答案】 ①. 15 ②. 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运用，幂的乘方的逆用，同底数幂相除的逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将化为，即可求解；将化为，即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：15；． 14. 如图，在△中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、．若，△的周长为20，则△的周长为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明△的周长可得结论． 【详解】解：垂直平分线段， ，， ， △的周长， △的周长． 故答案为：30． 15. ①一次函数与的图象关于x轴对称； ②坐标分别为、、的三点在同一直线上； ③一次函数中，若时该函数值最大为2，则； ④点、在一次函数的图象上，若，则． 以上4个结论中，正确的是______（填序号）． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数解析式，根据关于x轴对称的性质判断①；根据两点的坐标求出解析式，再将第三点代入解析式即可判断②；根据一次函数的增减性即可判断③，根据一次函数的定义得到，，代入，根据不等式的性质即可判断④． 【详解】解：①联立， 解得：，即一次函数与的交点在y轴上， 一次函数与的图象与x轴对称没有公共交点， 一次函数与的图象不关于x轴对称，故①错误； ②设过点、的直线的解析式为， 则， 解得：， 过点、的直线的解析式为， 将代入，则 坐标分别为、、的三点在同一直线上，故②正确； ③一次函数中， 一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 时该函数值最大为2，则， ，故③正确； ④点、在一次函数的图象上， 即，， ，即， ，故④错误； 故答案为：②③． 16. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD＝16cm，BE＝12cm，点P是斜边AB的中点．有一把直角尺MPN，将它的顶点与点P重合，将此直角尺绕点P旋转，与两条直角边AC和CB分别交于点D和点E．则线段PD和PE的数量关系为_____，线段DE＝_____cm． 【答案】 ①. PD＝PE ②. 20 【解析】 【分析】连接PC，根据等腰直角三角形的性质，判定△DCP≌△EBP（ASA），即可得出PD＝PE，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接PC， ∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，P为AB的中点， ∴CP⊥AB，CP＝AB＝BP，∠DCP＝∠B＝45°， ∵∠DPE＝90°， ∴∠DPC＝∠EPB， 在△DCP和△EBP中，， ∴△DCP≌△EBP（ASA）， ∴PD＝PE，CD＝BE＝12， ∴CE＝AD＝16， ∴DE＝＝＝20， 故答案为PD＝PE；20． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，的后面为……根据这个规律，第2012个点的横坐标为______. 【答案】45 【解析】 【分析】根据图形，求出与2012最接近的完全平方数，再根据这个完全平方数个点的位置确定出与第2012个点关系，然后求解即可. 【详解】解：∵452=2025， ∴第2025个点的坐标是（45，0）， ∴第2012个点在第2025个点的正上方13个单位处， ∴第2012个点的坐标为（45，13）. 故答案是：45 【点睛】本题考查了点的坐标的规律变化，利用与2013最接近的完全平方数个点的坐标求解更简便. 三、解答题（共69分） 18. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解； （2）根据提公因式法因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算，可用竖式除法如图： 所以除以，商式为，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）______； （2）计算：； （3）能被整除，求a、b的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）模仿例题，可用竖式计算； （3）设商式为，则有，根据对应项系数相等即可解决问题． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 设商式为， 则有 ． 【点睛】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘除法运算法则，学会模仿解题，属于中考常考题型． 20. 先约分，再求值：，其中，． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化解求值，先用完全平方公式展开，然后约分，最后代入数值计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式． 21. 某商家两次购进同一种商品进行销售，已知第一次进价是第二次进价的1.2倍，第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件． （1）问商品的两次进价分别为多少元？ （2）商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，则每件商品的售价至少是多少元？（假设购进的商品全部销售完） 【答案】（1）100元 （2）130元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设商品第二次的进价为x元，则第一次的进价为元，根据第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件，列出分式方程，解方程即可； （2）设每件商品的售价是m元，根据商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设商品第二次的进价为x元，则第一次的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：商品第一次的进价为120元，第二次的进价为100元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，（件），（件）， 设每件商品的售价是m元， 由题意得：， 解得：， 答：每件商品的售价至少是130元． 22. 如图1，有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K． （1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK MK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依据是 ； （2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK MK（填“＞”或“＜”）； （3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK MK，试证明你的猜想． 【答案】（1）=，等腰三角形的性质； （2）＞； （3）证明：作点A关于ED的对称点G，连接GK，GM，GD． ∵点G是点A关于直线DE的对称点 ∴AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM， ∵Rt△ABC 中，D是AB的中点， ∴AD=CD=GD． ∵∠A=∠E=30°， ∴∠CDA=120°，∠EDF=60°， ∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°， ∴∠GDK=∠CDK， 在△GDK和△CDK中， ∵ ， ∴△GDK≌△CDK（SAS）， ∴GK=CK， ∵GM+GK＞MK， ∴AM+CK＞MK． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先证明△CDA是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK； （2）先证AM=MD、CK=KD，故AM+CK=MD+KD，在△MKD中，根据两边之和大于第三边得AM+CK＞MK； （3）作点A关于ED的对称点G，连接GK，GM，GD．证明△GDK≌△CDK后，根据全等三角形的性质可得GK=CK，GM+GK＞MK，从而得到AM+CK＞MK． 试题解析：（1）在Rt△ABC中，D是AB的中点， ∴AD=BD=CD=AB，∠B=∠BDC=60° 又∵∠A=30°， ∴∠ACD=60°﹣30°=30°， 又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时， ∴∠CKD=90°， ∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）， ∵CK=0，或AM=0， ∴AM+CK=MK； （2）由（1），得∠ACD=30°，∠CDB=60°， 又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°， ∴∠ADM=30°， ∴AM=MD，CK=KD， ∴AM+CK=MD+KD， ∴在△MKD中，AM+CK＞MK， （3）略 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质及轴对称图形的性质的应用，将AM、CK转移到同一个三角形中根据三边关系来判断AM+CK与MK的大小是关键． 23. 如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是半圆内接正方形． (1)你认为点O在CF边上什么位置？请说明你的理由； (2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上，已知正方形CDEF的面积为16.请你计算出正方形FGHK的面积． 【答案】 （1）点O为CF的中点．理由如下： 如图， 连接OD，OE，则OD＝OE， 又由正方形CDEF知CD＝EF， ∴Rt△DOC≌Rt△EOF， ∴OC＝OF， 即点O在CF的中点； （2）4 【解析】 【分析】（1）可通过构建直角三角形，通过证明CO、OF所在直角三角形全等来得出O是CF中点的结论； （2）由（1）可得出，EF、OF的值，在直角三角形OCH中，用小正方形的边长表示出CH、OC，然后根据勾股定理，求出小正方形边长的平方，这样就求出其面积了． 【详解】(1)略 (2)如图，连接OH，设正方形FGHK的边长为x， 由已知可得EF＝4，OF＝2， ∴OE2＝OF2＋EF2＝22＋42＝20. 又OH2＝OG2＋GH2，OE＝OH， ∴20＝(2＋x)2＋x2，即x2＋2x－8＝0， 解得x1＝－4(不合题意，舍去)，x2＝2. 所以正方形FGHK的面积是4. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质，一元二次方程的应用以及勾股定理等知识的综合应用能力． 24. 问题背景（1）如图（1），为等腰直角三角形，，点在直线上，，垂足分别为点和，求证：． 尝试应用 （2）如图（2），为等腰直角三角形，，点在直线上，，垂足为，延长至点，使得，连接，交直线于点，试探究和之间的数量关系，并证明． 拓展创新 （3）如图（3），为直角三角形，，点在直线上，，垂足为，延长至点，使得，连接，交直线于点，若平分，且，试用含的式子直接表示的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 作，交的延长线于点， ∵，， ∴同（1）法可得：，， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）作，交的延长线于点，证明，得到，，进而得到，证明，得到，进而得到，即可得出结论； （3）作，交的延长线于点，根据正切值，得到，证明，得到，设，则：，根据等角的正切值相等，得到，得到，设，得到，证明，列出比例式求出的值，进而求出的值，再利用正切的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 不妨设，则：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握一线三直角全等和相似模型，是解题的关键． 25. 【问题提出】（1）如图1，都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证，； （3）如图3，在中，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如果有，求出它的最小值：如果没有，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）有最小值，最小值为2； 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点E作，交于点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：有最小值，最小值为2； 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $