3.3 导数与函数的极值、最值（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习资料聚焦导数与函数的极值、最值核心考点，依据课标要求构建知识体系，涵盖极值的判定条件、求法及最值的求解步骤，通过必备知识梳理、基点诊断巩固、题型分类讲解和对点练习四个环节，帮助学生系统掌握知识内在联系，突破考点难点。 资料采用分层教学策略，将极值、最值考点按图象判断、参数求解等角度细化，结合2024年模拟题及全国卷真题训练，如通过分析导函数图象符号变化培养数学思维，在已知极值求参数时强调方程联立与符号检验，提升学生逻辑推理能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径，高效提升应考能力。

3．3　导数与函数的极值、最值 [课标要求]　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．　2.会用导数求函数的极大值、极小值．　3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 【必备知识】 1．函数的极值 (1)极小值点与极小值：若函数y＝f(x)在点x0的函数值f(x0)比它在点x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0，而且在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点x0叫作函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫作函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值：若函数y＝f(x)在点x0的函数值f(x0)比它在点x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0，而且在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点x0叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫作函数y＝f(x)的极大值． [提醒]　①极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点； ②对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2．函数的最值 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．函数的最值必在极值点或区间端点处取得． (2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [提醒]　(1)函数最值与极值的区别 ①函数在闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能有多个，也可能没有； ②极值只能在函数区间的内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值． (2)如果函数f(x)在(a，b)上只有一个极值，那么这个极值就是相应的最值． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(　　 ) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．(　　 ) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(　　 ) (4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(　　 ) (5)函数的极小值一定小于函数的极大值．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个． 3．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________． 解析：f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>或a<－. 答案：∪ 4．已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)， 因为x∈，所以f′(x)＜0， 故f(x)在上单调递减， 所以f(x)的最大值为，最小值为f(1)＝－10. 答案：　－10 5．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________． 解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4. 答案：4 题型一　利用导数研究函数的极值 角度1　根据图象判断函数的极值 【例1】　(多选)(2024·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(　　 ) A．当x＝－1时，f(x)取得极小值 B. f(x)在[－2，1]上单调递增 C．当x＝2时，f(x)取得极大值 D. f(x)在[－1，2]上不具备单调性 解析：选AC.由导函数f′(x)的图象可知， 当－2<x<－1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 当x＝－1时，f′(x) ＝0； 当－1<x<2时，f′(x)>0，则f(x)单调递增； 当x＝2时，f′(x)＝0； 当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 当x＝4时，f′(x)＝0， 所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确； f(x)在[－2，1]上有减有增，故选项B错误； 当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确； f(x)在[－1，2]上单调递增，故选项D错误． 思维升华　由函数的图象判断函数的极值，要抓住两点：(1)由导函数的图象与x轴的交点，可得函数的可能极值点；(2)由导函数的图象可以看出导函数值的正负，从而可以判断出函数的单调性，两者结合可得极值点． 角度2　求已知函数的极值 【例2】　已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值． 解：因为f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x， 所以f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋4ax＋2a＋2＝， 若a<0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0， 故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减； 故f(x)在x＝处取得唯一的极大值，且极大值为. 若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值． 综上，当a<0时，f(x)的极大值为，无极小值；当a>0时，f(x)无极值． 思维升华　运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有根； (4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值． 角度3　已知函数的极值求参数的值(范围) 【例3】　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为(　　 ) A．－1或3 B．1或－3 C．3 D．－1 解析：选C.因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a， 所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10， 所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0　①， f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10　②， 联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9. 当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)·(3x－1)，f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极小值10，不符合题意； 当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)·(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意． 综上可得，a＝－6，b＝9，则a＋b＝3. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 解：因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a， 若a≤0，则f′(x)≥0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意； 若a>0，令f′(x)>0，解得x>ln a；令f′(x)<0，解得x<ln a； 可知f(x)在(－∞，ln a)内单调递减，在(ln a，＋∞)内单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值， 由题意可得f(ln a)＝a－a ln a－a3<0，即a2＋ln a－1>0， 构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，则g′(a)＝2a＋>0， 可知g(a)在(0，＋∞)内单调递增，且g(1)＝0， 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1， 所以a的取值范围为(1，＋∞). 思维升华　根据函数极值情况求参数的值或取值范围的方法 (1)如果一个函数是可导函数，那么在其极值点处的导数必然为零，即对于可导函数y＝f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要条件，当已知函数在某一点处取得极值时，该点处的导数值一定为零，据此可建立关于参数的方程进行求解，并检验极值点两侧导数是否异号． (2)若函数f(x)在区间I上有极值点，则f′(x)在区间I上有变号的零点，亦即方程f′(x)＝0有满足相应条件的实数根，从而可转化为方程有解问题，也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解． 【对点练习】　1.(1)(2024·成都模拟)若函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，则实数a的值为(　　 ) A．1 B．－1或－3 C．－1 D．－3 解析：选D.函数f(x)＝x(x＋a)2，f′(x)＝(x＋a)2＋2x(x＋a)＝(x＋a)(3x＋a)， 由函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值， 可得f′(1)＝(1＋a)(3＋a)＝0， 解得a＝－1或a＝－3， 当a＝－1时，f′(x)＝(x－1)(3x－1)，当x∈时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)在x＝1处有极小值，不符合题意． 当a＝－3时，f′(x)＝(x－3)(3x－3)，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，3)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，f(x)在x＝1处有极大值，符合题意． 综上可得，a＝－3. (2)(2024·重庆模拟)若函数f(x)＝x2－x＋a ln x有极值，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.函数f(x)＝x2－x＋a ln x的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－1＋＝， 因为函数f(x)有极值，所以f′(x)在(0，＋∞)上有变号零点， 即2x2－x＋a＝0在(0，＋∞)上有解(若有两个解，则两个解不能相等)， 因为二次函数y＝2x2－x＋a的对称轴为x＝，开口向上， 所以只需Δ＝(－1)2－8a>0，解得a<，即实数a的取值范围是(－∞，). 题型二　利用导数研究函数的最值 角度1　求已知函数的最值 【例4】　(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间的最小值、最大值分别为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x+1)cos x＝(x+1)cos x， 所以在区间和上f′(x)>0， 即f(x)单调递增； 在区间上f′(x)<0，即f(x)单调递减， 又f(0)＝f(2π)＝2，＝＋2， ＋1＝－， 所以f(x)在区间上的最小值为－，最大值为＋2. 思维升华　导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤 (1)求函数f(x)的导数f′(x)； (2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； (3)求f(x)在给定区间上的端点值； (4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值． 角度2　含参函数的最值 【例5】　已知函数f(x)＝x ln x＋(a－1)x，a∈R.求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值． 解：由f(x)＝x ln x＋(a－1)x， 可得f′(x)＝ln x＋a， 由f′(x)＝ln x＋a＝0，可得x＝e－a， 当e－a≤1，即a≥0时，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)单调递增， 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1； 当e－a≥e，即a≤－1时，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)单调递减， 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(e)＝ae； 当1<e－a<e，即－1<a<0时，若x∈[1，e－a)，则f′(x)<0，f(x)单调递减， 若x∈(e－a，e]，则f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(e－a)＝－e－a. 综上，当a≥0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为a－1；当－1<a<0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为－e－a；当a≤－1时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为ae. 思维升华　求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 角度3　由函数的最值求参数的值(范围) 【例6】　(2024·苏州模拟)函数f(x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是______________． 解析：由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，故若函数f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，则即－2≤a＜1. 答案：[－2，1) 【对点练习】　2.(1)(2024·河南郑州模拟)在半径为R的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取得最大值时，圆柱的高为(　　 ) A．R B．R C．R D．R 解析：选B.设内接圆柱的高为h，底面半径为r，则r2＋＝R2，所以r2＝R2－， 则圆柱体积V＝πr2h＝πh＝π， 令V′＝π＝0，得h＝R， 当h∈时，V′(h)>0，V(h)单调递增， 当h∈时，V′(h)<0，V(h)单调递减， 故当h＝R时，V取得最大值． (2)(2024·上饶模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋1.当0<x≤e2时，g(x)＝f(x)－ax2－3＋有最小值2，求a的值． 解：g(x)＝f(x)－ax2－3＋＝ln x＋－2，其中0<x≤e2，则g′(x)＝. 若a≤0，则g′(x)>0，g(x)在(0，e2]上单调递增，函数g(x)无最小值，不符合题意； 若a>0，当x>a时，g′(x)>0，当0<x<a时，g′(x)<0. ①当a≥e2时，对任意的x∈(0，e2]，g′(x)≤0，函数g(x)在(0，e2]上单调递减， 则g(x)min＝g(e2)＝ln e2＋＝2，解得a＝2e2，符合题意； ②当0<a<e2时，函数g(x)在(0，a]上单调递减，在(a，e2]上单调递增， 所以g(x)min＝g(a)＝ln a＋－2＝2， 解得a＝e3，不符合题意．综上所述，a的值为2e2. 学科网（北京）股份有限公司 $