章节测评卷(一)测试范围：预备知识-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

高中数学必修第一册 章节测评卷（一） 测试范围：预备知识 ◎数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分)》 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.不等式4+3x-x2<0的解集为 (A){x1-1<x<4} (B){x1x<-1或x>4 中数学 (C){xIx<-4或x>1} (D){x1-4<x<1} 2.已知命题p:Vx∈R,x2+|xI≥0，则命题p的否定是 修第 (A)3x∈R,x2+xI≤0 (B)]x∈R,x2+|xI<0 (C)3xR,x2+|x|<0 (D)]x主R,x2+lx1≤0 册 3.已知集合M={(x,y)1ax-by=1},N={(x,y)1x-3y =-2},在求M∩N时，甲同学因将x-3y=-2看成x+3y=-2, 求得MnN={(-5,-子)}，乙同学因将x-3)=-2看成x )章节 若甲、乙同学求解过程正 3y=2.求得MnN={(-行，-号)} 评卷 确，则M∩N= (A){(1,1)} (B){(-1,1) (C){(-1,-1)} (D){(1,-1)} 4.已知a,b,m∈(0，+0)，则a>b”是b+m>么"的 a +m a (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5.若ax2+x+a<0的解集为⑦，则实数a的取值范围是 ( (B)[片，+)】 (c)[-2] (D)(-x,-2]U[2,+) 6.已知x>1,y>1,且x+y-y=2,则2x+y的最小值是 (A)22 (B)4 (C)42 (D)5 7.已知b∈Z,且关于x的不等式ax2+(3-b)x+a2-3<0的 解巢为{：<品或x>m},其中m>0,则b的最大值为 ( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 8.设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S,y∈S,都有 (x+y)∈S,(x-y)∈S,xy∈S,则称集合S为“完美集合”，给出下 列命题： ①若S为“完美集合”，则一定有0∈S; ②“完美集合”一定是无限集； ③集合A={xlx=a+5b,a∈Z,b∈Z}为“完美集合”； ④若S为“完美集合”，则满足SCTCR的任意集合T也是“完 美集合” 其中真命题是 ( (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分， 9.已知全集U=AUB,集合A=1,2,4,B={x∈N艺∈ N},则下列说法不正确的是 (A)集合A的真子集有7个 (B)1∈U (C)AC B (D)Hx∈CA,x≥6 10.若正实数x,y满足x>y,则下列结论中正确的有（) (A)<y2 (B)x2>y2 (c)5>1 (D)> x-Y 11.已知关于x的不等式(2a+3m)x2-(b-3m)x-1>0(a> 0,b>0)的解集为(-∞，-1)U(7,+),则下列结论正确的 是 (A)2a+b=1 (B)ab的最大值为8 (C。+云的最小值为4 (D)日+名的最小信为3+2万 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知p:1≤x<4,9:x<a,若p是9的充分不必要条件，则 实数a的取值范围是 13.已知集合A={x1(x2+ax+b)(x-1)=0},集合B满足 中数学 条件A∩B={1,2,且A∩(CB)={3},U=R,则a+b= 必 14.关于x的不等式(ax-1)2<x2(1a>1)恰有3个整数解， 册 则实数α的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)已知A={x1-1<x<2},B={x|x-1>0. 酸 (1)求AUB和(CRA)∩(CRB); (2)若记符号A-B={x|x∈A且xB},在图中把表示“集 章节 合A-B”的部分用阴影涂黑，并求出A-B. 评卷 16.(15分)已知a>0,b>0. (1)求证：a2+3b2≥2b(a+b); (2)若a+b=2ab,求ab的最小值 高中数学 必修第 17.(15分)已知集合A={xI0<x<2},B={x|2-m< x<m-1}. (1)若m= (北师 3求AUB (2)若 ,求实数m的取值范围. 版)章节测评卷( 请从条件①A∩B=B,条件②B∩(CR4)=☑这两个条件中 选一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答 © 18.(17分)据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天 气.漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品.某企业生产制冷杯每月的成 本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无 关)：20万元：②生产所需材料成本：(10x+0)万元，（单位：万 套)为每月生产产品的套数 (1)该企业每月产量x为何值时，平均每万套的成本最低？一万 套的最低成本为多少？ (2)若每月生产x万套产品，每万套售价为：(30+0)万元，假 设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制 冷杯每月的利润不低于625万元？ 19.(17分)已知函数y=(k-1)x2+(k-3)x+1. (1)若关于x的不等式(k-1)x2+(k-3)x+1≥0的解集为 全体实数R,求实数k的取值范围； (2)若关于x的方程(k-1)x2+(k-3)x+1=0的两根为x1, 2,且x1<2,为2<2，求实数k的取值范围 高中数学·必修第一册（北师大版）章节测评卷（一） (参考答案见13~14版)数理极 第18期3,4版 一、单项选择题 1.D:2.C;3.D;4.C 5.B;6.C;7.D;8.C. 二、多项选择题 9.ABC:10.AD;11.ACD. 三、填空题 12.32；13.6； 14品 四、解答题 15.解：因为x∈A,yeA,且x≠y,所以样本点共有 90个. (1)设事件A为“点Q(x,y)不在x轴上”， 则事件A包含的样本点的个数为9， 所以事件A包含的样本点的个数为90-9=81， 因此，事件A的概率P(A)=8=9 90 10 (2)设事件B为“点Q(x,y)正好在第二象限”，则x <0,y>0,所以事件B包含的样本点的个数为20， 因此，事件B的概率P(B)-8=子 90 16.解：(1)因为各组的频率之和等于1， 所以第四组的频率为1-(0.010+0.015×2+ 0.025+0.005)×10=0.3. 补全的频率分布直方图如下图所示 频率 组距 0.030 0.025 0.015 0.010 0.005 分数（分）】 0405060708090100 (2)众数为200=75， 设中位数为x, 则0.1+2×0.15+(x-70)×0.03=0.5, 得x=220 3 抽取学生的平均分约为45×0.1+55×0.15+65× 0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分)， 所以可估计这次考试的平均分为71分 17.解：(1)把20个数据由小到大排列为：80,82,82， 83,83,85,85,85,85,85,88,88,90,90,90,95,95,95,97, 97, 由20×60%=12，得估计此次参赛学生成绩的60% 分位数为器生0 =89: 估计此次参赛学生成绩的众数为85； 估计此次参赛学生成绩的平均数为 T- 80+82×2+83×2+85×5+88×2+90×3+95×3+97×2 20 =88. (2)成绩在95分及以上的有5人，来自高一年级的 有2人，记为1,2，来自高二年级的有3人，记为a,b,c, 从5人中任选2人的样本空间2={12,1a,1b,1c, 2a,2b,2c,ab,ac,bc},共10个样本点， 2人中至少有1人来自高一年级的事件A=12,1a, 1b,1c,2a,2b,2c},共7个样本点， 所以这2人中至少有1人来自高一年级的概率 P(A)= 1 18.解：(1)依题意，前两局乙均获胜的概率为了× (2)①乙最终获得全部奖金的事件，有以3：1和 3：2两种情况， 若以3：1获胜，则乙连胜两局概率为×号=号， 参考答案 若以3：2获胜，则乙第3、4局输1局，第5局胜，概率 所以乙最终获得全部奖金的既率为)+寺=7 ②由①知，继续比赛，乙获胜的概率是7，则甲获 胜的概率为号。 所以按2：1分配奖金，不合理，应按20：7将奖金分 配给甲乙 19.解：(1)由频率分布直方图有10a=1-10× (0.005+0.010×2+0.020+0.025), 解得a=0.030. 因为10×(0.005+0.010+0.020)=0.35<0.5， 0.35+0.030×10=0.65>0.5, 所以中位数在区间[70,80)内，设为x, 则有10×(0.005+0.010+0.020)+0.030×(x- 70)=0.5,得x=75, 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75. (2)设A=“任选一道题，甲答对”，B=“任选一道 题，乙答对”，C=“任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得P(A)= 20 3 P(B)=8=子，P(0=分 所以有P(面=子，P(B)=子，P(O=1-0 (1)记D=“甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有D=AB U AB,且有AB与AB互斥， 因为每位同学独立作答，所以A,B互相独立，则A与 B,A与B,A与B均相互独立， 所以P(D)=P(AB U AB)=P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B) 所以任选一道数学问题，甲、乙两位同学恰有一人 答对的概率是 (ⅱ)记E=“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答 对”，则E=ABC, 所以P(E)=1-P(E)=1-P(ABC) =1-P(A)P(B)P(C) =1-号×号×(1-0）=器 解得n=10. 高中数学必修第一册章节测评卷（一） 一、单项选择题 1.B;2.B3.A;4.C; 5.B;6.D;7.A;8.A. 提示： 1.不等式4+3x-x2<0可化为x2-3x-4>0, 即(x+1)(x-4)>0,解得x<-1或x>4. 故所求不等式的解集为x|x<-1或x>4}. 2.由全称量词命题的否定是存在量词命题可知， 命题p:Hx∈R,x2+|x|≥0的否定是：]xeR,x2 +IxI<0. 3由题得-了+子6：1且-分 1 ,7 1, 据8即M=(91红-3y1 故M∩N=(1,1)}. 13 4由于-8，则>台或 a+m a a+m 立，等价于8： >0成立， 充分性：若a>b,且a,b,me(0,+o),则a+m> 0a-6>0.8+8 >0, 所以十m>。成立，满足充分性： a+m 必要性：若+m>么，则a- >0成立，其中 a m a(a+m)》 a,b,m∈(0，+∞)，且a+m>0,可得a-b>0成立， 即a>b成立，满足必要性 5.当a=0时，原不等式可化为x<0,与题意不符； 当a≠0时，若ax2+x+a<0的解集为☑， 则应有>0， 4=1-4a2≤0 解得a≥分 综上所述，实数a的取值范围是[分，+) 6由x+y-y=7得(x-1)g-1)=分， 因为x>1,y>1,所以x-1>0,y-1>0, 则2x+y=2(x-1)+(y-1)+3 ≥2/2(x-1)(y-1)+3 =5, 当且仅当2(x-)=y-1,即x=子，y=2时，等 号成立， 所以2x+y的最小值是5. 7由a+(3-b)x+a2-3<0的解集为{xx< 品或x>m},可得a<0, 又m,品是方程a2+(3-)x+2-3=0的两根， 且2≤m,m>0,解得m≥万. m (m+ 2 3-b m 由根与系数的关系知 m·2 .3 m 解得a=-1,3-b=m+2 所以3-6=m+2≥22，当且仅当m=厄时， m 等号成立，即b≤3-22 因为b∈Z,所以b的最大值为0. 8.对于①，若S为“完美集合”，对任意的x∈S,0= (x-x)∈S,①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如0}，②错； 对于③，集合A={xIx=a+√5b,aeZ,beZ}, 在集合A中任意取两个元素，x=a+5b,y=c+5d,其 中a,b,c,d为整数， x+y=[a+c+5(b+d)]ES,x-y=[a- c+5(b-d)]ES,xy [ac +5bd+5(ad+be)], 所以集合A={xlx=a+5b,a∈Z,b∈Z}为“完 美集合”，③对： 对于④，集合S={0},T=0,1},满足S二T二R, 但是集合T不是一个完美集合，④错 二、多项选择题 9.BCD:10.BC:11.ABD. 提示： 9.对于(A),因为A=1,2,4}含有3个元素，则集 合A的真子集有23-1=7个，(A)正确： 对于(B),因为U=AUB且A={1,2,4},所以1∈ U,则{1}CU,(B)错误； 14 对于(C),因为B={xeN受eN}=0,24, 6,8,10,…},显然1∈A,1B,所以A不是B的子集， (C)错误； 对于(D),依题意U=AUB={0,1,2,4,6,8,10, …},所以CA={0,6,8,10,12,14,…},显然0∈CA, (D)错误 故选(B)(C)(D). 10.因为x,y为正实数且x>y,所以y>y2,故(A)》 错误； 因为x,y为正实数且x>y, 所以x-y>0,x+y>0, 所以(x-y)(x+y)=x2-y2>0, 即x2>y2,故(B)正确： 因为，y为正实数且x>,所以}x y,即 x>1,故(C)正确： 因为x,y为正实数且x>y,所以x>x-y>0,所以 十>，故(D)错 故选(B)(C). 11.由题意可得2a+3m>0,且方程(2a+3m)x2 (b-3m)x-1=0的两根为-1和2 所 -1+1=b-3m -2a+3m 1 a +3m' 2a 所以2a+3m=2,b-3m=-1, 所以2a+b=1,(A)正确； 因为a>0,b>0,所以2a+b=1≥2√2ab, 可得山≤名，当且仅当2如=6=之时取等号， 此时ab的最大值为名，(B)正确； +子-（日+名）2a+6)=4+名+g a b ≥4+2λ ,要=4+4=8，当且仅当合= ,即2a =b= 时取等号， 此时1」 的最小值为8，(C)错误； 片+站=（日+）2+=3+冬+ a b ≥3+2合·要=3+2反，当且仅当2=0即6 2a时，等号成立， 此时日+名 的最小值为3+22，(D)正确 故选(A)(B)(D) 三、填空题 12.[4,+∞)；13.1； 4(-手-]u[等) 提示： 12.设集合A=xl1≤x<4},集合B=xlx<a}, 因为p是q的充分不必要条件， 所以AB,即a≥4. 所以实数a的取值范围为[4，+∞). 13.因为A∩B={1,2},所以1∈A,2∈A. 又因为A∩(CB)=3},所以3∈A 所以2,3是方程x2+ax+b=0的两个根， 由韦达定理可知，？+3-“解得a=-5,6=6, 12×3=b, 所以a+b=1. 14.不等式(ax-1)2<x2可化为[(a+1)x-1][(a 参考答案 -1)x-1]<0, 当a>1时，原不等式等价于(-。+)(x a）<0,其解华为(a+a), 因为其解集中恰有3个整数，所以3<。 ≤4，解 得≤a<： 当a<-1时，原不等式等价于(x-a+)(x- 。）<0,其解集为(+1。小 因为其解集中恰有3个整数，所以-4≤ -3,解得-4 3 d ≤- 综上，实数的取值范围是(-手，-]U[子 四、解答题 15.解：(1)由x-1>0得x>1,即B=xlx>1}, 则CRB={xIx≤1}. 因为A={xI-1<x<2}, 所以CRA={x1x≥2或x≤-1}， 所以AUB={x1x>-1}, (CRA)(CRB)=xx-1. (2)根据定义可知，集合 A-B如图中的阴影部分所示 B 由于A-B={xlx∈A且 x B, 又A={xI-1<x<2},B=x1x>1}, 所以A-B={x1-1<x≤1}. 16.(1)证明：因为a2+3b2-2b(a+b) =a2-2ab+b2 =(a-b)2≥0， 所以a2+3b2≥2b(a+b). (2)解：因为a>0,b>0,所以2ab=a+b≥2√ab, 即2ab≥2ab,所以√ab≥1， 所以ab≥1，当且仅当a=b=1时取等号， 故ab的最小值为1. 17解：1)因为当m=多时，集合A=x10< <2B={x-7<x<} 所以AUB={-分<<2} (2)选择①. 若A∩B=B,则B二A, r2-m≥0， 所以当B≠0时，{m-1≤2， 解得 <m≤2； 2-m<m-1, 当B=②时，2-m≥m-1,解得m≤子，满足题意 综上所述，实数m的取值范围是(-∞，2]. 选择②. 由题得CRA={xlx≤0或x≥2}， 若B∩(CRA)=☑，则B≤A, r2-m≥0， 所以当B≠☑时，{m-1≤2， 3 解得 <m≤2： 2 2-m<m-1, 当B=②时，2-m≥m-1,解得m≤之，满足题意： 综上所述，实数m的取值范围是(-∞，2]. 18.解：(1)设平均每套的成本为y元， 20+10x+ 20 由题意有y= 20 +0+i0 数理极 ≥1 六+i0=12. 20 当且仅当9=六即x=20时取等号， 所以企业每月产量20万套时，平均每万套的成本最 低，一万套的最低成本为12万元 (2)设月利润为P万元， 则有P=x(30+若)-10x- -20 =0+20x-20, 由题知 +20x-20≥625，整理得x2+400x-430 ×30≥0，解得x≥30， 所以该企业每月生产不小于30万套，才能确保该制 冷杯每月的利润不低于625万元. 19.解：(1)①当k=1时，不等式可化为-2x+1≥ 0,解得x≤，故不成立： ②当k≠1时，因为(k-1)x2+(k-3)x+1≥0的 解集为全体实数R, 所以-1>0， L(k-3)2-4(k-1)≤0， 解得5-2√5≤k≤5+25. 综上所述，实数k的取值范围为[5-25,5+25]： (2)因为关于x的方程(k-1)x2+(k-3)x+1= 0的两根为x1,x2,且x1<2,x2<2, 4=(k-3)2-4(k-1)≥0， 所以{(x1-2)(x2-2)>0, (x1-2)+(x-2)<0, ,k2-10k+13≥0， 即x1·x2 2(x1+x2)+4>0, x1+x2-4<0, k-3 1 又因为名+名=-i=k一 k2-10k+13≥0， 所以k+2 k-3 k-1 +4>0, k-3 、-k-1 -4 <0, 解得k<1或号<k≤5-2万或k≥5+25， 故实数k的取值范围为(-0,1)U（3,5-2厅】 U[5+23,+0) 高中数学必修第一册章节测评卷（二） 一、单项选择题 1.C;2.B;3.C;4.B; 5.C;6.B;7.B;8.B. 提示： 1.如题图(C)选项中，在x允许的取值范围内取每 一个确定的值，y与之对应的有1或2个值，不符合函数 的定义.其他三个选项都符合函数的定义. 2.因为函数y=f(x)的定义域为(0,1)， 所以F(x)=f(2x-1)中，0<2x-1<1, 解得2<x<1,， 所以函数()的定义域为（分，1） 3.若a≥1，则2a-1=2,解得a=子>1： 若a<1,则la+1l=2,解得a=-3或a=1(舍去)， 故a的所有可能取值为-3，多 4.对于(A),y=-1 的单周递增区间为(-∞，0)，