第八章 整式的乘除（单元自测·提升卷）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

2025-2026学年六年级下册数学单元自测 第八章整式的乘除·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算a•a4的结果是（　　） A．a4 B．a5 C．a6 D．a7 【答案】B 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：a•a4＝a5， 故选：B． 2．长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为（　　） A．2x B．18x3y2 C．18x2y D．9x3y2 【答案】B 【分析】先根据长方形面积公式列出算式6x2y•3xy，再根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：长方形的面积为6x2y•3xy＝18x3y2， 故选：B． 3．巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来，直径可达8×10﹣5米，将8×10﹣5用小数表示为（　　） A．0.000008 B．0.00008 C．0.0008 D．80000 【答案】B 【分析】科学记数法a×10n中，当n为负数时，需将小数点向左移动|n|位．将8×10﹣5转换为小数时，指数﹣5表示需将数值8的小数点向左移动5位得到0.00008． 【详解】解：根据将科学记数法表示的数转换为小数形式的方法可得：8×10﹣5＝0.00008， 故选：B． 4．22024×（﹣0.5）2025的计算结果是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．1 D．﹣1 【答案】B 【分析】利用积的乘方逆用将原式变形后进行计算即可． 【详解】解：原式＝22024×（）2025 ＝[2×（）]2024×（） ＝（﹣1）2024×（） ＝﹣0.5． 故选：B． 5．如果等式（x﹣3）x+3＝1成立，则满足条件x值为（　　） A．3或﹣3 B．4或3或﹣3 C．4或2或﹣3 D．4或﹣3 【答案】D 【分析】根据1的任何次幂均为1，﹣1的偶数次幂均为1，任何非零数的零次幂均为1，即可进行解答． 【详解】解：当x﹣3＝1时， 解得：x＝4， 符合题意； 当x﹣3＝﹣1时， 解得：x＝2， 此时x+3＝5，（﹣1）5＝﹣1， 不符合题意； 当x+3＝0时， 解得：x＝﹣3， 此时x﹣3＝﹣6≠0， 符合题意； 综上所述，满足条件x值为4或﹣3， 故A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 6．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b．若2*（x+1）＝16，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据新运算的定义，将等式转化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】解：∵2*（x+1）＝16， ∴22×2x+1＝24． ∴2x+3＝24， ∴x+3＝4， ∴x＝1． 故选：A． 7．若m﹣n＝3，则m（n+1）的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【答案】D 【分析】由 m﹣n＝3 得 m＝n+3，代入 m（n+1）得到m（n+1）＝n2+4n+3，利用配方法可得n2+4n+3＝（n+2）2﹣1≥﹣1，即得m（n+1）≥﹣1，据此即可求解． 【详解】解：由条件可知m＝n+3， ∴m（n+1）＝（n+3）（n+1）＝n2+4n+3＝（n+2）2﹣1， ∴m（n+1）≥﹣1， ∴m（n+1）可能取值为﹣1， 故选：D． 8．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（　　） A．263 B．264 C．265 D．266 【答案】B 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1 ＝（232﹣1）（232+1）+1 ＝264﹣1+1 ＝264． 故选：B． 9．在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形图案．为了完成这个装饰任务，老板需要A型卡片、B型卡片和C型卡片的张数分别是（　　） A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5 【答案】D 【分析】根据长方形的面积公式可知该墙壁面积S＝3a2+2b2+5ab，即可得出答案． 【详解】解：∵长方形的长为（3a+2b），宽为（a+b）， ∴长方形的面积S＝（3a+2b）（a+b）＝3a2+2b2+5ab， ∴需要A型卡片、B型卡片和C型卡片的张数分别3、2、5张． 故选：D． 10．如图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，mn＝15，则S1﹣S2＝（　　） A．12 B．14 C．16 D．22 【答案】C 【分析】先根据已知条件，利用完全平方公式求出m2+n2的值，再次利用完全平方公式，求出m﹣n的值，最后求出S1﹣S2，并进行分解因式，把m+n与m﹣n的值代入计算即可． 【详解】解：∵m+n＝8，mn＝15， ∴（m+n）2＝82， m2+n2+2mn＝64， m2+n2＝64﹣2×15＝34， ∵（m﹣n）2 ＝m2+n2﹣2mn ＝34﹣2×15 ＝34﹣30 ＝4， ∴m﹣n＝±2， ∵m＞n， ∴m﹣n＝2， ∵， ∴S1﹣S2 ＝m2﹣n2 ＝（m+n）（m﹣n） ＝8×2 ＝16， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：48.12﹣2×48.1×38.1+38.12＝　　 ． 【答案】100 【分析】观察表达式，发现其符合完全平方公式的结构，可直接应用公式简化计算． 【详解】解：原式＝（48.1﹣38.1）2 ＝10.02 ＝100． 故答案为：100． 12．若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝ ． 【答案】a3b2． 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【详解】解：32n＝25n＝b， 则23m+10n＝23m•210n＝a3•b2＝a3b2． 故答案为：a3b2． 13．已知n是正整数，且x3n＝2，则（3x3n）3+（﹣2x2n）3＝　　 ． 【答案】184 【分析】根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：（3x3n）3+（﹣2x2n）3 ＝27x9n﹣8x6n ＝27（x3n）3﹣8（x3n）2． ∵x3n＝2， ∴原式＝27×23﹣8×22 ＝184． 故答案为：184． 14．已知（x2+mx+1）（x﹣n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣2，则mn+m﹣n的值为 　　 ． 【答案】﹣1 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x项系数等于0和x2项系数等于﹣2，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式（x2+mx+1）（x﹣n）＝x3+（m﹣n）x2+（﹣mn+1）x﹣n不含x项和x2项， ∴m﹣n＝﹣2且﹣mn+1＝0，则mn＝1， ∴mn+m﹣n＝1﹣2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 15．如图，有一块长为（7a+3b）m，宽为（6a﹣3b）m的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为2am和3am，则绿化的空地面积为　　 m2．（用含a，b的式子表示） 【答案】（16a2﹣9b2） 【分析】根据长方形的面积计算方法先列出算式，再根据平方差公式的法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得，绿化的空地面积为（7a+3b﹣3a）（6a﹣3b﹣2a） ＝（4a+3b）（4a﹣3b） ＝16a2﹣9b2． ∴绿化的空地面积为（16a2﹣9b2）． 故答案为：（16a2﹣9b2）． 16．已知正方形ABCD内部摆放两个一样大小的长方形，长方形长为b，宽为a（b＞a），按图1摆放的阴影面积为S1，按图2摆放的阴影面积为S2，按图3摆放的阴影面积为S3．若，S1﹣S3＝0.75，S2﹣S3＝3.75，则a的值为　　 ． 【答案】2 【分析】设正方形ABCD的边长为m，用含m，a，b的代数式表示出S1，S2，S3，根据S1﹣S3＝0.75得﹣m2+am+2bm﹣b2﹣ab＝0.75①，根据S2﹣S3＝3.75得﹣m2+am+2bm﹣a2﹣b2＝3.75②，②﹣①得ab﹣a2＝3，进而可求出a的值． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为m， 由图1得：， 由图2得：， 由图3得：， ∵S1﹣S3＝0.75， ∴m2﹣am+a2﹣ab﹣（2m2﹣2am﹣2bm+a2+b2）＝0.75， ∴﹣m2+am+2bm﹣b2﹣ab＝0.75①． ∵S2﹣S3＝3.75， ∴m2﹣ma﹣（2m2﹣2am﹣2bm+a2+b2）＝3.75， ∴﹣m2+am+2bm﹣a2﹣b2＝3.75②， ②﹣①，得 ab﹣a2＝3， ∴a（b﹣a）＝3， ∵， ∴a＝2． 故答案为：2． 三、解答题（共9小题，共72分） 17.（6分）计算：． 【答案】． 【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值、有理数的乘方法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： ＝4+1﹣3+（﹣1） ． 18.（6分）根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： （1）若xm＝2，xn＝3，求x3m+2n的值； （2）若9x×4×6y＝25×311，求x与y的值． 【答案】72；x＝4，y＝3． 【分析】（1）利用同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，得x3m+2n＝x3m•x2n＝（xm）3•（xn）2，再代入求值即可； （2）利用同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，积的乘方，将9x×4×6y＝25×311化简得22+y×32x+y＝25×311，得出2+y＝5，2x+y＝11，求解即可． 【详解】解：（1）∵xm＝2，xn＝3， ∴x3m+2n ＝x3m•x2n ＝（xm）3•（xn）2 ＝23×32 ＝8×9 ＝72； （2）∵9x×4×6y＝32x×22×（2×3）y＝32x×22×2y×3y＝22+y×32x+y＝25×311， ∴2+y＝5，2x+y＝11， 解得：x＝4，y＝3． 19.（6分）阅读下列文字，并解决问题． 已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值． 分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入． 解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24． 请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值． 【答案】﹣78． 【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案． 【详解】解：（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b） ＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab ＝﹣4×（ab）3+6（ab）2﹣8ab ＝﹣4×33+6×32﹣8×3 ＝﹣108+54﹣24 ＝﹣78． 20.（7分）如图，某广场有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为（a﹣b）米的小正方形空地． （1）用含a、b的代数式表示绿化部分的总面积（结果写成最简形式）； （2）若a＝5，b＝2，求出绿化部分的总面积． 【答案】（3a2+13ab﹣b2）平方米；201平方米． 【分析】（1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去三个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把a＝5，b＝2代入（1）中进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意可知，绿化部分的总面积为：（3a+2b）（2a+b）﹣3（a﹣b）2 ＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣3（a2﹣2ab+b2） ＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣3a2+6ab﹣3b2 ＝（3a2+13ab﹣b2）平方米， 即绿化部分的总面积为（3a2+13ab﹣b2）平方米； （2）当a＝5，b＝2时， 3a2+13ab﹣b2 ＝3×52+13×5×2﹣22 ＝3×25+130﹣4 ＝75+130﹣4 ＝201（平方米）， 即绿化部分的总面积为201平方米． 21.（8分）阅读材料：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N），∴loga（M•N）＝logaM+logaN． 解决问题： （1）将指数43＝64转化为对数式　　 ； （2）①log232＝　　 ，②log327＝　　 ，③log71＝　　 ； （3）证明：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； 拓展运用： （4）计算：log32+log36﹣log336． 【答案】3＝log464；①5；②3；③0；见详解；﹣1． 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）①根据定义计算即可；②根据定义计算即可；③根据定义计算即可； （3）先设logaM＝m，logaN＝n，从而可得，再根据对数的定义得出：，即可得出； （4）先由log32+log36﹣log336，得出，再化简小括号里的，可得出即可求解． 【详解】解：（1）将指数43＝64转化为对数式为：3＝log464． 故答案为：3＝log464； （2）①；②； ③log71＝0．故答案为：①5；②3；③0； （3）设logaM＝m，logaN＝n， 则， 由对数的定义可得：， 又∵m﹣n＝logaM﹣logaN， ∴； （4）原式 ＝﹣1． 22.（8分）【发现】数学活动课中，学习小组通过计算下列两组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值），发现结果有个规律：两数和一定时．差的绝对值越小，积越大． ①30×30，35×25，43×17，52×8； ②50×50，53×47，74×26，91×9． 【验证】（1）设两个数分别为a+b和a﹣b，其中a为定值，b≥0．请用整式的乘法证明上述规律； 【运用】（2）请用上述规律解决问题；用20m长的绳子围成一个长方形，求这个长方形的最大面积． 【答案】两数和一定时．差的绝对值越小，积越大；25m2． 【分析】（1）先求出（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，根据a为定值，b≥0可得b越小，a2﹣b2越大，再求出（a+b）+（a﹣b）＝2a为定值，|（a+b）﹣（a﹣b）|＝2b，由此即可得证； （2）设这个长方形的长为xm（x＞0），宽为ym（y＞0），先求出y＝10﹣x，则长方形的面积为xy＝x（10﹣x），再根据（1）的规律可得当|2x﹣10|的值最小，即|2x﹣10|＝0时，x（10﹣x）的值最大，求出x的值，代入计算即可得． 【详解】（1）证明：∵b≥0，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a为定值， ∴b越小，a2﹣b2越大， 又∵（a+b）+（a﹣b）＝a+b+a﹣b＝2a为定值， |（a+b）﹣（a﹣b）|＝|a+b﹣a+b|＝|2b|＝2b， ∴两数和一定时．差的绝对值越小，积越大； （2）解：设这个长方形的宽为ym（y＞0），长为xm（x＞0）， 由题意得：2（x+y）＝20，即x+y＝10， ∴y＝10﹣x， ∴这个长方形的面积为xy＝x（10﹣x）， ∵|x﹣（10﹣x）|＝|2x﹣10|≥0，x+（10﹣x）＝10，为定值； ∴由（1）的规律可知，当|2x﹣10|的值最小，即|2x﹣10|＝0时，x（10﹣x）的值最大， ∴此时有2x﹣10＝0，即x＝5，x（10﹣x）的最大值为5×（10﹣5）＝25， ∴这个长方形的最大面积25m2． 23.（10分）观察：； ； … 探究：（1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　　 （直接写答案）； （2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+22﹣12的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，⋯，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 【答案】36；n+2n2；55πcm2． 【分析】（1）根据规律计算即可； （2）根据规律计算即可； （3）根据圆的面积公式和规律计算即可． 【详解】解：（1）原式＝（8+7）（8﹣7）+（6+5）（6﹣5）+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1） ＝8+7+6+5+4+3+2+1 ＝36， 故答案为：36； （2）根据题意，得（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+22﹣12 ＝2n+2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+⋯+2+1 ＝n+2n2； （3）所有阴影部分的面积和为：102π﹣92π+82π﹣72π+⋯+22π﹣12π ＝（102﹣92+82﹣72+⋯+22﹣12）π ＝（10+9+8+⋯+2+1）π ＝55πcm2． 24.（10分）阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 ，DF＝　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】5；x﹣1；x﹣3；28． 【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可； （2）①由正方形ABCD边长为x，即可表示出MF与DF； ②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 25.（11分）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）中阴影部分面积可表示为a2﹣b2，图（2）中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【类比探究】（1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积，可得到一个关于a2+b2、（a+b）2、ab的等量关系式是 ． 【实践运用】（2）根据（1）所得的关系式，若a+b＝8，ab＝4，则a2+b2＝　　 ． 【拓展迁移】（3）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值． 【灵活应用】（4）如图（4），某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，AC＝11，求种草区域的面积和． 【答案】a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；56；21；25.5． 【分析】（1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案； （2）利用（1）的结论，整体代入计算即可； （3）根据题意得（9﹣x）+（x﹣4）＝5，（9﹣x）（x﹣4）＝2，再根据（1）把（9﹣x）2+（x﹣4）2变形，代入计算即可； （4）设AE＝DE＝p，BE＝CE＝q，由题意得到p+q＝11，p2+q2＝25，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）根据图3可知，阴影部分的面积为两个正方形的面积和，即a2+b2， ∵大正方形的边长为（a+b）， ∴大正方形的面积为（a+b）2， ∵两个空白矩形的面积和为2ab， ∴阴影部分的面积为（a+b）2﹣2ab， 故a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）∵a+b＝8，ab＝4， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝82﹣2×4 ＝64﹣8 ＝56； （3）∵（9﹣x）+（x﹣4）＝5，（9﹣x）（x﹣4）＝2， （9﹣x）2+（x﹣4）2 ＝[9﹣x+x﹣4]2﹣2（9﹣x）（x﹣4） ＝52﹣2×2 ＝21； （4）∵AC⊥BD，设AE＝DE＝p，BE＝CE＝q， ∴，，，， ∵种花区域的面积和为35，即， ∴p2+q2＝70， ∵p+q＝AE+CE＝AC＝11， ∴种草区域的面积和为S△CDE+S△ABE ＝pq ＝25.5． 学科网（北京）股份有限公司15 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测 第八章整式的乘除·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算a•a4的结果是（　　） A．a4 B．a5 C．a6 D．a7 2．长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为（　　） A．2x B．18x3y2 C．18x2y D．9x3y2 3．巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来，直径可达8×10﹣5米，将8×10﹣5用小数表示为（　　） A．0.000008 B．0.00008 C．0.0008 D．80000 4．22024×（﹣0.5）2025的计算结果是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．1 D．﹣1 5．如果等式（x﹣3）x+3＝1成立，则满足条件x值为（　　） A．3或﹣3 B．4或3或﹣3 C．4或2或﹣3 D．4或﹣3 6．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b．若2*（x+1）＝16，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若m﹣n＝3，则m（n+1）的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 8．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（　　） A．263 B．264 C．265 D．266 9．在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形图案．为了完成这个装饰任务，老板需要A型卡片、B型卡片和C型卡片的张数分别是（　　） A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5 10．如图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，mn＝15，则S1﹣S2＝（　　） A．12 B．14 C．16 D．22 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：48.12﹣2×48.1×38.1+38.12＝　 　 ． 12．若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝　 　 ． 13．已知n是正整数，且x3n＝2，则（3x3n）3+（﹣2x2n）3＝　 　 ． 14．已知（x2+mx+1）（x﹣n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣2，则mn+m﹣n的值为 　 　 ． 15．如图，有一块长为（7a+3b）m，宽为（6a﹣3b）m的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为2am和3am，则绿化的空地面积为　 　 m2．（用含a，b的式子表示） 16．已知正方形ABCD内部摆放两个一样大小的长方形，长方形长为b，宽为a（b＞a），按图1摆放的阴影面积为S1，按图2摆放的阴影面积为S2，按图3摆放的阴影面积为S3．若，S1﹣S3＝0.75，S2﹣S3＝3.75，则a的值为　 　 ． 三、解答题（共9小题，共72分） 17.（6分）计算：． 18.（6分）根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： （1）若xm＝2，xn＝3，求x3m+2n的值； （2）若9x×4×6y＝25×311，求x与y的值． 19.（6分）阅读下列文字，并解决问题． 已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值． 分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入． 解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24． 请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值． 20.（7分）如图，某广场有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为（a﹣b）米的小正方形空地． （1）用含a、b的代数式表示绿化部分的总面积（结果写成最简形式）； （2）若a＝5，b＝2，求出绿化部分的总面积． 21.（8分）阅读材料：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N），∴loga（M•N）＝logaM+logaN． 解决问题： （1）将指数43＝64转化为对数式　 　 ； （2）①log232＝　 　 ，②log327＝　 　 ，③log71＝　 　 ； （3）证明：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； 拓展运用： （4）计算：log32+log36﹣log336． 22.（8分）【发现】数学活动课中，学习小组通过计算下列两组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值），发现结果有个规律：两数和一定时．差的绝对值越小，积越大． ①30×30，35×25，43×17，52×8； ②50×50，53×47，74×26，91×9． 【验证】（1）设两个数分别为a+b和a﹣b，其中a为定值，b≥0．请用整式的乘法证明上述规律； 【运用】（2）请用上述规律解决问题；用20m长的绳子围成一个长方形，求这个长方形的最大面积． 23.（10分）观察： ； ； … 探究： （1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　 　 （直接写答案）； （2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+22﹣12的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，⋯，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 24.（10分）阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 　 ，DF＝　 　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 25.（11分）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）中阴影部分面积可表示为a2﹣b2，图（2）中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【类比探究】（1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积，可得到一个关于a2+b2、（a+b）2、ab的等量关系式是　 　 ． 【实践运用】（2）根据（1）所得的关系式，若a+b＝8，ab＝4，则a2+b2＝　 　 ． 【拓展迁移】（3）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值． 【灵活应用】（4）如图（4），某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，AC＝11，求种草区域的面积和． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测 第八章整式的乘除·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B D A D B D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．100． 12．a3b2． 13．184． 14．﹣1． 15． （16a2﹣9b2）． 16． 2． 三、解答题（共9小题，共72分） 17.（6分）【答案】． 【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值、有理数的乘方法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： ＝4+1﹣3+（﹣1） （4分） ．（6分） 18.（6分）【答案】72；x＝4，y＝3． 【分析】（1）利用同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，得x3m+2n＝x3m•x2n＝（xm）3•（xn）2，再代入求值即可； （2）利用同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，积的乘方，将9x×4×6y＝25×311化简得22+y×32x+y＝25×311，得出2+y＝5，2x+y＝11，求解即可． 【详解】解：（1）∵xm＝2，xn＝3， ∴x3m+2n ＝x3m•x2n ＝（xm）3•（xn）2（3分） ＝23×32 ＝8×9 ＝72；（4分） （2）∵9x×4×6y＝32x×22×（2×3）y＝32x×22×2y×3y＝22+y×32x+y＝25×311，（5分） ∴2+y＝5，2x+y＝11， 解得：x＝4，y＝3．（6分） 19.（6分）【答案】﹣78． 【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案． 【详解】解：（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b） ＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab（3分） ＝﹣4×（ab）3+6（ab）2﹣8ab（4分） ＝﹣4×33+6×32﹣8×3 ＝﹣108+54﹣24 ＝﹣78．（6分） 20.（7分）【答案】（3a2+13ab﹣b2）平方米；201平方米． 【分析】（1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去三个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把a＝5，b＝2代入（1）中进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意可知，绿化部分的总面积为：（3a+2b）（2a+b）﹣3（a﹣b）2（2分） ＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣3（a2﹣2ab+b2） ＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣3a2+6ab﹣3b2 ＝（3a2+13ab﹣b2）平方米，（4分） 即绿化部分的总面积为（3a2+13ab﹣b2）平方米；（5分） （2）当a＝5，b＝2时， 3a2+13ab﹣b2 ＝3×52+13×5×2﹣22 ＝3×25+130﹣4 ＝75+130﹣4 ＝201（平方米），（6分） 即绿化部分的总面积为201平方米．（7分） 21.（8分）【答案】3＝log464；①5；②3；③0；见详解；﹣1． 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）①根据定义计算即可；②根据定义计算即可；③根据定义计算即可； （3）先设logaM＝m，logaN＝n，从而可得，再根据对数的定义得出：，即可得出； （4）先由log32+log36﹣log336，得出，再化简小括号里的，可得出即可求解． 【详解】解：（1）将指数43＝64转化为对数式为：3＝log464． 故答案为：3＝log464；（1分） （2）①；②； ③log71＝0．故答案为：①5；②3；③0；（4分） （3）设logaM＝m，logaN＝n， 则， 由对数的定义可得：， 又∵m﹣n＝logaM﹣logaN， ∴；（6分） （4）原式 ＝﹣1．（8分） 22.（8分）【答案】两数和一定时．差的绝对值越小，积越大；25m2． 【分析】（1）先求出（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，根据a为定值，b≥0可得b越小，a2﹣b2越大，再求出（a+b）+（a﹣b）＝2a为定值，|（a+b）﹣（a﹣b）|＝2b，由此即可得证； （2）设这个长方形的长为xm（x＞0），宽为ym（y＞0），先求出y＝10﹣x，则长方形的面积为xy＝x（10﹣x），再根据（1）的规律可得当|2x﹣10|的值最小，即|2x﹣10|＝0时，x（10﹣x）的值最大，求出x的值，代入计算即可得． 【详解】（1）证明：∵b≥0，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a为定值，（1分） ∴b越小，a2﹣b2越大， 又∵（a+b）+（a﹣b）＝a+b+a﹣b＝2a为定值， |（a+b）﹣（a﹣b）|＝|a+b﹣a+b|＝|2b|＝2b， ∴两数和一定时．差的绝对值越小，积越大；（4分） （2）解：设这个长方形的宽为ym（y＞0），长为xm（x＞0）， 由题意得：2（x+y）＝20，即x+y＝10， ∴y＝10﹣x， ∴这个长方形的面积为xy＝x（10﹣x），（6分） ∵|x﹣（10﹣x）|＝|2x﹣10|≥0，x+（10﹣x）＝10，为定值； ∴由（1）的规律可知，当|2x﹣10|的值最小，即|2x﹣10|＝0时，x（10﹣x）的值最大， ∴此时有2x﹣10＝0，即x＝5，x（10﹣x）的最大值为5×（10﹣5）＝25， ∴这个长方形的最大面积25m2．（8分） 23.（10分）【答案】36；n+2n2；55πcm2． 【分析】（1）根据规律计算即可； （2）根据规律计算即可； （3）根据圆的面积公式和规律计算即可． 【详解】解：（1）原式＝（8+7）（8﹣7）+（6+5）（6﹣5）+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1） ＝8+7+6+5+4+3+2+1 ＝36， 故答案为：36；（3分） （2）根据题意，得（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+22﹣12 ＝2n+2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+⋯+2+1 ＝n+2n2；（6分） （3）所有阴影部分的面积和为：102π﹣92π+82π﹣72π+⋯+22π﹣12π（7分） ＝（102﹣92+82﹣72+⋯+22﹣12）π ＝（10+9+8+⋯+2+1）π ＝55πcm2．（10分） 24.（10分）【答案】5；x﹣1；x﹣3；28． 【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可； （2）①由正方形ABCD边长为x，即可表示出MF与DF； ②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3；（2分） ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．（5分） 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14，（7分） 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28．（10分） 25.（11分）【答案】a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；56；21；25.5． 【分析】（1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案； （2）利用（1）的结论，整体代入计算即可； （3）根据题意得（9﹣x）+（x﹣4）＝5，（9﹣x）（x﹣4）＝2，再根据（1）把（9﹣x）2+（x﹣4）2变形，代入计算即可； （4）设AE＝DE＝p，BE＝CE＝q，由题意得到p+q＝11，p2+q2＝25，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）根据图3可知，阴影部分的面积为两个正方形的面积和，即a2+b2， ∵大正方形的边长为（a+b）， ∴大正方形的面积为（a+b）2， ∵两个空白矩形的面积和为2ab， ∴阴影部分的面积为（a+b）2﹣2ab， 故a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3分） （2）∵a+b＝8，ab＝4， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝82﹣2×4 ＝64﹣8 ＝56；（6分） （3）∵（9﹣x）+（x﹣4）＝5，（9﹣x）（x﹣4）＝2， （9﹣x）2+（x﹣4）2 ＝[9﹣x+x﹣4]2﹣2（9﹣x）（x﹣4）（7分） ＝52﹣2×2 ＝21；（8分） （4）∵AC⊥BD，设AE＝DE＝p，BE＝CE＝q， ∴，，，， ∵种花区域的面积和为35，即， ∴p2+q2＝70， ∵p+q＝AE+CE＝AC＝11，（9分） ∴种草区域的面积和为S△CDE+S△ABE ＝pq ＝25.5．（11分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测 第八章整式的乘除·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算a•a4的结果是（　　） A．a4 B．a5 C．a6 D．a7 2．长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为（　　） A．2x B．18x3y2 C．18x2y D．9x3y2 3．巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来，直径可达8×10﹣5米，将8×10﹣5用小数表示为（　　） A．0.000008 B．0.00008 C．0.0008 D．80000 4．22024×（﹣0.5）2025的计算结果是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．1 D．﹣1 5．如果等式（x﹣3）x+3＝1成立，则满足条件x值为（　　） A．3或﹣3 B．4或3或﹣3 C．4或2或﹣3 D．4或﹣3 6．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b．若2*（x+1）＝16，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若m﹣n＝3，则m（n+1）的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 8．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（　　） A．263 B．264 C．265 D．266 9．在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形图案．为了完成这个装饰任务，老板需要A型卡片、B型卡片和C型卡片的张数分别是（　　） A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5 10．如图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，mn＝15，则S1﹣S2＝（　　） A．12 B．14 C．16 D．22 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：48.12﹣2×48.1×38.1+38.12＝　 　 ． 12．若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝　 　 ． 13．已知n是正整数，且x3n＝2，则（3x3n）3+（﹣2x2n）3＝　 　 ． 14．已知（x2+mx+1）（x﹣n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣2，则mn+m﹣n的值为 　 　 ． 15．如图，有一块长为（7a+3b）m，宽为（6a﹣3b）m的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为2am和3am，则绿化的空地面积为　 　 m2．（用含a，b的式子表示） 16．已知正方形ABCD内部摆放两个一样大小的长方形，长方形长为b，宽为a（b＞a），按图1摆放的阴影面积为S1，按图2摆放的阴影面积为S2，按图3摆放的阴影面积为S3．若，S1﹣S3＝0.75，S2﹣S3＝3.75，则a的值为　 　 ． 三、解答题（共9小题，共72分） 17.（6分）计算：． 18.（6分）根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： （1）若xm＝2，xn＝3，求x3m+2n的值； （2）若9x×4×6y＝25×311，求x与y的值． 19.（6分）阅读下列文字，并解决问题． 已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值． 分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入． 解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24． 请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值． 20.（7分）如图，某广场有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为（a﹣b）米的小正方形空地． （1）用含a、b的代数式表示绿化部分的总面积（结果写成最简形式）； （2）若a＝5，b＝2，求出绿化部分的总面积． 21.（8分）阅读材料：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N），∴loga（M•N）＝logaM+logaN． 解决问题： （1）将指数43＝64转化为对数式　 　 ； （2）①log232＝　 　 ，②log327＝　 　 ，③log71＝　 　 ； （3）证明：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； 拓展运用： （4）计算：log32+log36﹣log336． 22.（8分）【发现】数学活动课中，学习小组通过计算下列两组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值），发现结果有个规律：两数和一定时．差的绝对值越小，积越大． ①30×30，35×25，43×17，52×8； ②50×50，53×47，74×26，91×9． 【验证】（1）设两个数分别为a+b和a﹣b，其中a为定值，b≥0．请用整式的乘法证明上述规律； 【运用】（2）请用上述规律解决问题；用20m长的绳子围成一个长方形，求这个长方形的最大面积． 23.（10分）观察： ； ； … 探究： （1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　 　 （直接写答案）； （2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+22﹣12的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，⋯，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 24.（10分）阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 　 ，DF＝　 　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 25.（11分）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）中阴影部分面积可表示为a2﹣b2，图（2）中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【类比探究】（1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积，可得到一个关于a2+b2、（a+b）2、ab的等量关系式是　 　 ． 【实践运用】（2）根据（1）所得的关系式，若a+b＝8，ab＝4，则a2+b2＝　 　 ． 【拓展迁移】（3）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值． 【灵活应用】（4）如图（4），某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，AC＝11，求种草区域的面积和． 5 / 6 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