第二十一章 四边形章末小结课 课件2025-2026学年 人教版数学八年级下册

该初中数学课件系统梳理了四边形单元知识，通过知识结构图清晰呈现四边形到平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系，以定义、性质、判定为脉络串联各知识点，构建完整知识网络。 其亮点在于设计分层随堂练习，从基础内角和计算到综合几何证明，如通过菱形性质求高、正方形判定等题目，培养学生推理意识与几何直观。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

第二十一章 四边形 八下数学 RJ 章末小结 四边形 平行 四边形 梯形 矩形 菱形 正方形 两组对边 分别平行 只有一组对边平行 一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 一个角 是直角 本章知识结构图 知识梳理 2 一、四边形 定义 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. 四边形的内角和等于_______. 四边形的外角和等于_______. 四边形具有_____________. 360° 360° 不稳定性 知识梳理 二、多边形 定义 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. n边形的内角和等于_______________. 多边形的外角和等于_______________. (n-2)×180° 360° 像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形. 知识梳理 三、平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 表示方法 如图所示，平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 性质 性质1：平行四边形的对边相等. 性质2：平行四边形的对角相等. 性质3：平行四边形的对角线互相平分. A B C D O 知识梳理 三、平行四边形 判定 判定1（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. A B C D O 知识梳理 四、三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段. 定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半. 五、两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离. 知识梳理 六、矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 性质 四个角都是直角. 对角线相等. 是轴对称图形，有两条对称轴. 直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 知识梳理 六、矩形 判定 从平行四边形出发： 有一个角是直角的平行四边形. 对角线相等的平行四边形. 从四边形出发： ① 有三个角是直角的四边形. 知识梳理 七、菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 性质 四条边都相等. 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 是轴对称图形，有两条对称轴. 面积 ①菱形的面积=底×高； ②菱形的面积=对角线长的乘积的一半. 知识梳理 七、菱形 判定 从平行四边形出发： 有一组邻边相等的平行四边形. 对角线互相垂直的平行四边形. 从四边形出发： ① 四条边相等的四边形. 知识梳理 八、正方形 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫作正方形. 性质 具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 是轴对称图形，有四条对称轴. 知识梳理 八、正方形 判定 从平行四边形出发： 一组邻边相等 + 一个角是直角. 从矩形出发： ① 矩形 + 一组邻边相等； ② 矩形 + 对角线互相垂直. 从菱形出发： ① 菱形 + 有一个角是直角； ② 菱形 + 对角线相等. 知识梳理 四边形 平行四边形 矩形 正方形 菱形 两组对边分别平行 (或两组对边分别相等或一组对边平行且相等) 两条对角线互相平分 两组对角分别相等 有一个角是直角(或对角线相等) 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 有一组邻边相等，有一个角是直角（定义） 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 有一个角是直角 (或对角线相等) 有三个角是直角 四条边都相等 九、四边形、特殊四边形之间的关系 知识梳理 1. 四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？ 可以都是直角吗？为什么？ 解：四边形的四个角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角. 理由如下： 若四个角都是锐角，则四边形的内角和小于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾.故四边形的四个角不可以都是锐角. 若四个角都是钝角，则四边形的内角和大于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾. 故四边形的四个角不可以都是钝角. 若四个角都是直角，则四边形的内角和等于 360°，符合四边形的内角和定理. 故四边形的四个角可以都是直角. 随堂练习 2. 求正五边形和正十边形的每个内角的度数. 解：∵正五边形的每个外角的度数为 360°÷5 = 72°， ∴每个内角的度数为 180°－72°= 108°. ∵正十边形的每个外角的度数为 360°÷10 = 36°， ∴每个内角的度数为 180°－36°= 144°. 随堂练习 3.已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为1720°，则这个内角的度数为_______. 解析：设这个多边形的边数是 n，则其内角和为 (n - 2) × 180°. 根据题意，得 0° < (n - 2) × 180° - 1720° < 180°， 解得 11< n < 12 . 又 n 为正整数，∴ n = 12， ∴ 这个内角的度数为 (12 - 2) × 180° - 1720° = 80°. 80° 随堂练习 4.已知平行四边形ABCD中，AB=7，AD=4，AE平分∠BAD， 则EC的长为（ ） 4 B. 7 C. 3 D. 11 D A B C E C 随堂练习 5.四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件： ①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD. 从中任选两个条件，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( ). A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种 A B C D O （1）①②得一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形. （2）①③，①④得△AOD≌△COB， 则有AD=BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 随堂练习 （3）②③不能得出四边形是平行四边形. （4）②④不能得出四边形是平行四边形. 5.四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件： ①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD. 从中任选两个条件，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( ). A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种 A B C D O （5）③④得两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. B 随堂练习 6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=3，BD=4，点E，F分别是边AB，CD的中点，则EF的长是____________. 解析：如图，取AD的中点M，连接ME，MF. ∵E,F分别是AB，CD的中点， ∴EM是△ABD的中位线，FM是△ADC的中位线， ∴ME∥BD，MF∥AC，ME= BD，MF=AC. ∵AC⊥BD， ∴ME⊥MF. ∵AC=3，BD=4， ∴ME=2，MF= ， ∴EF= = ． F A B C D E M 随堂练习 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，CE为△ABC斜边上的中线，连接DE． （1）求证：△ADE≌△CDE； （1）证明：∵E是AB中点，∠ACB=90°， ∴AE=EC. ∵△ACD是等边三角形， ∴AD=CD. 在△ADE与△CDE中， ∴△ADE≌△CDE（SSS）. A B C D E 随堂练习 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，CE为△ABC斜边上的中线，连接DE． （2）证明DE∥CB; （2）证明：∵△ACD是等边三角形， ∴∠ADC=∠ACD=60°. 由（1）知△ADE≌△CDE， ∴∠ADE=∠CDE=30°． ∵∠DCB=90°+60°=150°， ∴∠EDC+∠DCB=180°． ∴DE∥CB． A B C D E 随堂练习 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，CE为△ABC斜边上的中线，连接DE．（3）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形． （3）解：当AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形． 理由：∵四边形DCBE是平行四边形, ∴DC∥BE.∴∠DCB+∠B=180°. ∵∠DCB=150°，∴∠B=30°. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AB=2AC. A B C D E 随堂练习 8. 如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD. ∵BE=AB，∴BE=CD， ∴四边形BECD是平行四边形. ∵AD=BC，AD=DE， ∴BC=DE， ∴▱BECD是矩形. 随堂练习 8. 如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD． （2）连接AC，若AD=6，CD=3，求AC的长． （2）解：如图，∴ AB = BE = 3,∴AE=6. ∴△ADE是等边三角形. ∴ ∠ABD = 90°， ∴ BD = = = 3， ∴ CE = 3， ∴ AC = = = 3. 随堂练习 9. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O， AC = 8，DB = 6，DH ⊥ AB，垂足为 H. 求 DH 的长. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC ⊥ BD，AO = AC = 4，BO =DB = 3. ∴AB = = = 5. ∵S菱形ABCD = AC·DB = AB·DH， 即×8×6 = 5DH. ∴DH = . 随堂练习 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E． （1）求证：四边形CEBD是菱形； （1）证明：∵BE∥CD，CE∥AB， ∴四边形CEBD是平行四边形. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点， ∴CD=BD，∴四边形CEBD是菱形； 随堂练习 28 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE,CE相交于点E． （2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB=10，CF=3，求DG的长． （2）解：∵ AB = 10，∴ CD = AB = 5. ∵ DF ⊥ CE，∴ ∠DFC = 90°. ∵ CF = 3，∴ DF = = 4. ∵ 四边形 CEBD 是菱形， ∴ CE = CD = 5，∠DCG = ∠ECG， ∴ EF = CE - CF = 2. 随堂练习 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE,CE相交于点E． （2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB=10，CF=3，求DG的长． 在 △DCG 与 △ECG 中， ∴ △DCG≌△ECG (SAS)，∴ DG = GE. ∵FG² + EF² = EG²， ∴ (4 - DG)² + 2² = DG²，∴ DG =. 随堂练习 11.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且EF=AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M． (1)求证：BE=CM； 证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AB=BC， ∴∠BAE+∠BEA=90°. ∵∠AEF=90°， ∴∠BEA+∠FEM=90°，∴∠BAE=∠FEM. ∵EF=AE，∴△ABE≌△EMF（AAS）， ∴AB=EM，∴BC=EM， ∴BC-EC=EM-EC，即BE=CM． 随堂练习 11.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且EF=AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M． (2)延长CD至点N，使得DN=BE，求证：四边形AEFN是正方形． （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=∠ADN=90°，AB=AD. ∵DN=BE，∴△ABE≌△ADN（SAS）， ∴AE=AN，∠BAE=∠DAN. ∵AE=EF,∴EF=AN. ∵∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=90°， 随堂练习 11.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且EF=AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M． (2)延长CD至点N，使得DN=BE，求证：四边形AEFN是正方形． ∴∠EAN=∠AEF=90°， ∴AN∥EF， ∴四边形AEFN是平行四边形. ∵AE=EF， ∴四边形AEFN是菱形. ∵∠AEF=90°， ∴四边形AEFN是正方形． 随堂练习 $