第7章 概率初步（续）（复习讲义）高二数学沪教版选择性必修第二册

该高中数学概率初步复习讲义通过“目标分层-概念对比-要点解析”构建知识体系，以核心概念与公式对比表梳理条件概率、随机变量分布等模块，用实例解析全概率公式应用步骤等重点，通过易错点表格辨析二项分布与超几何分布等易混点，呈现清晰知识脉络。 讲义亮点在于“题型进阶+素养导向”的练习设计，如用产品抽检案例训练全概率公式应用，结合计数原理分析复杂分布列，培养数学思维与应用意识。分层例题覆盖基础巩固到能力提升，教师可据此实施精准教学，学生能自主查漏补缺，提升概率问题解决能力。

第7章 概率初步（复习讲义） （一）基础目标 1.能复述条件概率的定义，写出条件概率公式（）. 2.能复述乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的形式，明确各公式中事件的逻辑关系. 3.能复述离散型随机变量的定义，说出离散型随机变量分布列的两个基本性质. 4.能复述离散型随机变量数学期望、方差的定义，写出计算公式：、. 5.能复述二项分布、超几何分布的定义，写出其分布列形式（如二项分布，）. （二）进阶目标 1.会推导条件概率的乘法公式（），能结合实例计算多事件同时发生的概率. 2.会推导全概率公式（当是样本空间的划分时，）与贝叶斯公式，理解公式的适用场景. 3.理解并应用离散型随机变量分布列的性质，判断给定数列是否为分布列，补全不完整的分布列. 4.理解并应用数学期望、方差的性质（如、），计算复杂随机变量的期望与方差. 5.理解并应用二项分布、超几何分布的期望与方差公式，解决实际问题中的概率计算、期望估计问题. （三）拓展目标 1.能运用全概率公式、贝叶斯公式解决多阶段概率问题（如产品抽检、疾病检测等实际应用场景）. 2.能结合计数原理（排列组合），分析复杂离散型随机变量的分布列，计算其期望与方差. 3.能区分二项分布与超几何分布的适用场景，根据实际问题选择合适的分布模型. 4.能将随机变量的期望、方差与生活实际结合，进行决策分析（如方案优劣比较）. （一）核心概念与公式对比表 知识模块 核心概念 核心公式/定理 关键特征/要点 条件概率及相关公式 条件概率 定义：（） 描述“事件B发生的前提下，事件A发生的概率” 乘法公式 （）； 推广： 计算多个事件同时发生的概率 全概率公式 若是样本空间的划分（互斥且并为Ω），则： 将复杂事件的概率分解为简单事件的概率和 贝叶斯公式 若是样本空间的划分，则： “由结果推原因”的后验概率计算 随机变量的分布与特征 离散型随机变量分布列 定义：（）； 性质：①；② 描述离散型随机变量的取值及对应概率 数学期望（均值） ； 性质：， 反映随机变量取值的平均水平 方差与标准差 ； 性质：； 标准差： 反映随机变量取值的离散程度 常用离散型分布 二项分布 定义：； 分布列：（）； 期望：；方差： 适用场景：n次独立重复试验，每次“成功”概率为p 超几何分布 定义：； 分布列：（）； 期望：；方差： 适用场景：不放回抽取n个样本，抽到的“目标元素”数 （一）核心重点知识解析 1.条件概率及相关公式 （1）条件概率的本质理解 条件概率是“缩小样本空间”后的概率：事件B发生后，样本空间由原来的Ω变为B，此时事件A发生的概率等于AB包含的基本事件数与B包含的基本事件数的比值（古典概型下）. 例：掷骰子，B=“点数≤3”，A=“点数为2”，则（B的样本空间是{1,2,3}，AB是{2}）. （2）全概率公式的应用步骤 ①确定样本空间的划分（即互斥且覆盖所有可能的“原因”事件）； ②计算每个“原因”的先验概率和对应“结果”的条件概率； ③代入全概率公式计算. 例：某厂甲、乙、丙车间次品率分别为2%、3%、1%，产量占比为30%、50%、20%，求该厂产品的次品率. 划分=“甲车间生产”、=“乙车间生产”、=“丙车间生产”，则： . （3）贝叶斯公式的应用场景 贝叶斯公式用于“由果溯因”：已知事件A（结果）发生，求导致A发生的原因的概率. 沿用上例，若已知一件产品是次品，求它是乙车间生产的概率： . 2.随机变量的分布与特征 （1）分布列的性质应用 分布列的两个性质是判断、补全分布列的核心依据. 例：已知X的分布列如下，求a的值： X 1 2 3 P 0.2 a 0.5 由，得. （2）期望与方差的性质简化计算 利用线性性质可避免复杂的分布列计算： 3.常用分布的辨析与应用 （1）二项分布与超几何分布的核心区分 区分维度 二项分布 超几何分布 抽样方式 有放回抽样（独立重复） 不放回抽样（不独立） 总体规模 总体规模大（或无限） 总体规模N较小 概率稳定性 每次“成功”概率p固定 每次“成功”概率随抽样变化 （2）常用分布的期望统一形式 二项分布期望，超几何分布期望，当总体规模N很大时，超几何分布可近似为二项分布（）. （二）常见结论总结 1.条件概率的取值范围：；若A与B互斥，则. 2.全概率公式的前提：必须是样本空间的划分（互斥且）. 3.期望的线性性质：对任意随机变量X、Y（无论是否独立），都有. 4.方差的独立性质：若X与Y相互独立，则. （三）易错点辨析 易错类型 反例 正解 避坑技巧 条件概率公式误用 误将算成（忽略B已发生） 严格用公式，明确样本空间是否缩小 计算前判断是否为“有前提的概率” 全概率公式遗漏划分 计算时未覆盖所有“原因”事件 先列出所有可能的“原因”，验证是否互斥且覆盖样本空间 画事件关系图辅助梳理“原因-结果”逻辑 期望方差性质记错 误算 牢记方差性质： 推导性质辅助记忆（如） 二项与超几何混淆 不放回抽取n个产品，误按二项分布计算 不放回抽样（N较小时）用超几何分布 明确抽样方式，结合总体规模判断分布类型 题型一 计算条件概率 【例1】（2024·上海·三模）抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用表示事件“两个点数不同”，表示事件“至少出现一个点”，则 ．（结果用最简分数表示） 【变式1-1】（24-25高二下·上海崇明·期末）某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则 ． 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）某个班级有42名学生，其中男生25名，女生17名，男生中有18名团员，女生中有10名团员.在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于 . 【变式1-3】（24-25高二下·上海·月考）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为 . 题型二 条件概率的性质 【例1】（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则 ． 【变式1-1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则 ． 【变式1-2】（23-24高三下·上海嘉定·月考）已知、分别为随机事件A、B的对立事件，，，则下列等式错误的是（    ） A． B． C．若A、B独立，则 D．若A、B互斥，则 【变式1-3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题中，真命题的个数是（   ） （1）若，则 （2）若，则 （3）若，且A，B为互斥事件，则A，B不为独立事件． （4）若，A和C为互斥事件，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 利用全概率公式求概率 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个红球；乙袋中有2个白球，3个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为 ．（结果为精确值） 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率 ． 【变式1-2】（24-25高一下·上海·期末）某商店组织了一场盲盒抽奖活动，组织方共准备了20个盲盒，其中有5个盲盒内有奖品．抽奖者甲先拿起了一个盲盒，正在犹豫是否打开的时候，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则 ． 【变式1-3】（24-25高二下·上海崇明·期末）某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是 ． 题型四 利用贝叶斯公式求概率 【例1】（24-25高三上·上海·月考）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【变式1-1】（24-25高三上·上海·开学考试）某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 . 【变式1-2】（25-26高三上·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 【变式1-3】（24-25高三·上海·课堂例题）在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 题型五 离散型分布列的性质 【例1】（24-25高二下·上海·月考）已知离散型随机变量的分布为，则 . 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）设是一个随机变量，其分布为，则实数 ． 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为 ． 【变式1-3】（24-25高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型六 列出离散型分布列 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）从装有大小与质地相同的个白球，个黑球和个黄球的箱中随机地取出两个球．规定每取出一个黑球赢元，而每取出一个白球输元，取出黄球无输赢，以表示赢得的钱数，求的分布． 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量，求的分布及． 【变式1-2】（24-25高三·上海·课堂例题）某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试.若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为，试求的分布，并求他至多试开3次的概率. 【变式1-3】（24-25高三·上海·随堂练习）某地有四人先后感染了传染病，其中只有到过风险地区，是的密切接触者，后来被检测出感染了．对于，因为难以断定他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是．同样也假定受和感染的概率都是．设表示被直接感染的人数． (1)写出的所有值？ (2)的分布是什么？ 题型七 离散型分布列的均值与方差 【例1】（25-26高三上·上海金山·月考）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高三年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高三年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高三年级学生该题选择正确的概率； (2)从甲、乙两校高三年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题选择正确的人数，求的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案.乙校学生选择正确的概率为85%.求乙校高三年级学生掌握该知识点的概率估计值. 【变式1-1】（2025·上海金山·三模）有两个罐子，罐中放有3个白球和2个黑球，罐中放有5个白球． (1)若从罐有放回的摸2个球，求摸到相同颜色球的概率； (2)若从罐不放回的摸2个球，求第二次摸到白球的概率； (3)现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记罐中黑球的个数为，求的分布和数学期望． 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）某厂家生产两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查． (1)从混合的乒乓球中任取1个，求这个乒乓球是合格品的概率； (2)从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期末）某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 题型八 二项分布的均值与方差 【例1】（24-25高二下·上海普陀·期中）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，其中，技能测试是否通过相互独立． (1)若该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为，求的值； (2)已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求的取值范围． 【变式1-1】（23-24高三下·上海·月考）设服从二项分布，则 . 【变式1-2】（23-24高二下·上海·期中）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1、2、3、4、5 B． C． D． 【变式1-3】（23-24高三上·上海·期中）小明从家到学校的上学的路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是，每遇到一次红灯的平均等待时间是1分钟． (1)求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率； (2)求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率； (3)求小明在上学路上因遇到红灯停留总时间的分布、期望、方差． 题型九 二项分布最大概率问题 【例1】（24-25高一下·上海·期末）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得 分的概率最大． 【变式1-1】（2025·上海松江·二模）某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况． (1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）； (2)现从全部高三年级学生中随机抽取人，若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求的值. 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）“双减”政策背景下，某校多维度推进“双减”落地，开设了多项体育课程．若该校某射击爱好者在某次训练中，连续射击N次，每次射击击中目标的概率为p，记，，则下列说法中正确的是（    ）． A．m，n是在1到N之间的自然数，当时， B．m，n，k是在1到N之间的自然数，当时， C．的取值随着i的增大先增大后减小 D．当时，当且仅当时，该爱好者击中目标次数的随机性最大 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 题型十 超几何分布的均值与方差 【例1】（2025·上海黄浦·一模）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． (1)求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； (2)若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； (3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 【变式1-1】（23-24高二下·上海·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则 ． 【变式1-2】（24-25高一下·上海·期末）图为某平台向100名观众征集某电影的评分结果的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这100名观众评分的平均数； (3)从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布、期望和方差． 【变式1-3】（24-25高三下·上海·月考）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 题型十一 正态分布 【例1】（25-26高三上·上海·月考）已知随机变量，随机变量，正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【变式1-2】（24-25高二下·上海·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【变式1-3】 （24-25高一下·上海·期末）在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩近似服从正态分布．已知，则从中任选一名学生的数学成绩不低于80分的概率为 ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·期中）下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 2．（24-25高三·上海·课堂例题）一袋中装5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5，从袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最大号码，则随机变量的分布为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海松江·月考）盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知随机变量，且等式对恒成立，则. .(结果保留四位小数)(参考数据:，， 5．（24-25高二下·上海奉贤·期末）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为 .（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 6．（25-26高三上·上海·月考）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 7．（24-25高二下·上海松江·月考）已知离散型随机变量X服从二项分布，则 ． 8．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知随机变量的分布为，则 ． 9．（24-25高三下·上海·月考）已知是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 10．（24-25高二下·上海·期末）甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为 . 11．（24-25高三·上海·课堂例题）对于事件、有以下结论： ①； ②； ③一般地，当且时，有． 请填上所有正确结论的序号 ． 12．（24-25高二下·上海普陀·期中）某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ； 13．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是 . 三、解答题 14．（24-25高三·上海·课堂例题）在一次购物活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张中任取2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值（单位：元）的期望． 15．（24-25高二上·上海·期末）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）. (1)求的值； (2)求这组数据的第75百分位数； (3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的数学期望. 16．（23-24高二上·上海·课后作业）已知随机变量X的分布为，求X的方差. 17．（25-26高三上·上海·单元测试）已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 18．（24-25高三·上海·随堂练习）抛两枚骰子，X是大的点数与小的点数的差． (1)求差的所有可能； (2)求X的分布． 19．（24-25高三·上海·课堂例题）已知男性中有5%患色盲，女性中有0.25%患色盲，从100个男性和100个女性中任选一人． (1)求此人患色盲的概率； (2)如果此人是色盲，求此人是男性的概率． 20．（25-26高三上·上海·月考）自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人． (1)求； (2)根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数） (3)公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·期末）a、 b、 n均为正整数， A袋子中有a个白球，b个黑球 (大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y .下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 3．（24-25高三上·上海·期中）已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 二、填空题 4．（2025·上海黄浦·三模）假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是 ．（精确到0.0001） 5．（2025高三·上海·专题练习）以下命题中正确的有 （填序号） ①若是常数，则； ②若，则是常数； ③如果是随机变量，，那么； ④若分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，则． 6．（24-25高二下·上海·期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ．（精确到0.001） 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办盛大体育节，高二（6）班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第n次传球后篮球在队员甲手中的概率为 . 8．（24-25高二下·上海奉贤·期中）（1）甲、乙、丙、丁、戊，己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为； （2）高二年级举行演讲比赛，共有10名学生参赛，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名．记一班的3名学生恰好被排在一起的概率为； （3）一个盒子中有大小与质地相同的20个球，10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，记第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率为； （4）从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，记该球是黑色的概率为． 则从小到大的顺序为： ． 9．（24-25高三下·上海金山·月考）某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响．若设事件：阳性，事件：患病，则 ，则诊断结果是阳性概率 ，若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为 ． 10．（24-25高二下·上海·月考）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的旅客都可以参与抽奖活动.组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为P，则 . 11．（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是 个． 三、解答题 12．（2025·上海徐汇·二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 13．（24-25高二下·上海·月考）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：    (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. (2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元.已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值. 14．（24-25高二下·上海·月考）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，事件表示“该学校参与”自由式滑雪“人数超过40人”，事件N表示“该校参与”单板滑雪“超过30人”，求在事件发生的条件下，事件N发生的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”．现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训．并专门对这3个动作进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响．如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结论不要求证明） 15．（2025·上海杨浦·模拟预测）为吸引客流，某商场举办了“摸球赢好礼”活动，一共设置两关游戏.第一关游戏开始时，主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红共4个球，顾客从箱子中随机且不放回地依次摸出两个球，只要能摸出黑球，便可晋级第二关游戏“赢积分、换好礼”. (1)小江正在参与第一关游戏.记事件为“小江摸出的第一个球是红球”，事件为“小江晋级了第二关游戏”，分别求； (2)小江成功晋级第二关游戏.已知第二关游戏规则如下:游戏开始前，顾客要先决定好摸球的局数，而后主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红及白共个球，并充分搅匀.游戏过程中，顾客每局均从箱子里随机摸出一个球，确认颜色并按规则积分，然后把球放回箱子，充分搅匀后再进行下一局摸球，以此类推，直到摸完局球，第二关结束.记分规则如下: 颜色 黑色 红色 白色 得分 +10 在第二关中，顾客的初始积分为0分，将每一局所得积分累加得到最终积分.最终积分越高，所换取的礼品价值越大. ①若小江决定摸球的局数，求她在第二局中所得积分的分布与期望； ②为使最终的期望收益最大化，小江应该如何设定摸球的次数? 16．（2025·上海·三模）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时， （i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 17．（24-25高二下·上海·期末）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 18．（24-25高二下·上海·期末）学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. (1)从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； (2)若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 19．（2025·上海黄浦·二模）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 20．（24-25高二下·上海浦东新·期中）生产零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.03．生产过程中，第一道工序产生的废品也会投入第二道工序，但是两道工序中有一道产出废品时，成品即判定为废品．已知每道工序生产废品相互独立． (1)求经过两道工序后得到的零件不是废品的概率； (2)现有经过这两道工序生产的1个废品．求生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率．（结果写成最简分数） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 概率初步（复习讲义） （一）基础目标 1.能复述条件概率的定义，写出条件概率公式（）. 2.能复述乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的形式，明确各公式中事件的逻辑关系. 3.能复述离散型随机变量的定义，说出离散型随机变量分布列的两个基本性质. 4.能复述离散型随机变量数学期望、方差的定义，写出计算公式：、. 5.能复述二项分布、超几何分布的定义，写出其分布列形式（如二项分布，）. （二）进阶目标 1.会推导条件概率的乘法公式（），能结合实例计算多事件同时发生的概率. 2.会推导全概率公式（当是样本空间的划分时，）与贝叶斯公式，理解公式的适用场景. 3.理解并应用离散型随机变量分布列的性质，判断给定数列是否为分布列，补全不完整的分布列. 4.理解并应用数学期望、方差的性质（如、），计算复杂随机变量的期望与方差. 5.理解并应用二项分布、超几何分布的期望与方差公式，解决实际问题中的概率计算、期望估计问题. （三）拓展目标 1.能运用全概率公式、贝叶斯公式解决多阶段概率问题（如产品抽检、疾病检测等实际应用场景）. 2.能结合计数原理（排列组合），分析复杂离散型随机变量的分布列，计算其期望与方差. 3.能区分二项分布与超几何分布的适用场景，根据实际问题选择合适的分布模型. 4.能将随机变量的期望、方差与生活实际结合，进行决策分析（如方案优劣比较）. （一）核心概念与公式对比表 知识模块 核心概念 核心公式/定理 关键特征/要点 条件概率及相关公式 条件概率 定义：（） 描述“事件B发生的前提下，事件A发生的概率” 乘法公式 （）； 推广： 计算多个事件同时发生的概率 全概率公式 若是样本空间的划分（互斥且并为Ω），则： 将复杂事件的概率分解为简单事件的概率和 贝叶斯公式 若是样本空间的划分，则： “由结果推原因”的后验概率计算 随机变量的分布与特征 离散型随机变量分布列 定义：（）； 性质：①；② 描述离散型随机变量的取值及对应概率 数学期望（均值） ； 性质：， 反映随机变量取值的平均水平 方差与标准差 ； 性质：； 标准差： 反映随机变量取值的离散程度 常用离散型分布 二项分布 定义：； 分布列：（）； 期望：；方差： 适用场景：n次独立重复试验，每次“成功”概率为p 超几何分布 定义：； 分布列：（）； 期望：；方差： 适用场景：不放回抽取n个样本，抽到的“目标元素”数 （一）核心重点知识解析 1.条件概率及相关公式 （1）条件概率的本质理解 条件概率是“缩小样本空间”后的概率：事件B发生后，样本空间由原来的Ω变为B，此时事件A发生的概率等于AB包含的基本事件数与B包含的基本事件数的比值（古典概型下）. 例：掷骰子，B=“点数≤3”，A=“点数为2”，则（B的样本空间是{1,2,3}，AB是{2}）. （2）全概率公式的应用步骤 ①确定样本空间的划分（即互斥且覆盖所有可能的“原因”事件）； ②计算每个“原因”的先验概率和对应“结果”的条件概率； ③代入全概率公式计算. 例：某厂甲、乙、丙车间次品率分别为2%、3%、1%，产量占比为30%、50%、20%，求该厂产品的次品率. 划分=“甲车间生产”、=“乙车间生产”、=“丙车间生产”，则： . （3）贝叶斯公式的应用场景 贝叶斯公式用于“由果溯因”：已知事件A（结果）发生，求导致A发生的原因的概率. 沿用上例，若已知一件产品是次品，求它是乙车间生产的概率： . 2.随机变量的分布与特征 （1）分布列的性质应用 分布列的两个性质是判断、补全分布列的核心依据. 例：已知X的分布列如下，求a的值： X 1 2 3 P 0.2 a 0.5 由，得. （2）期望与方差的性质简化计算 利用线性性质可避免复杂的分布列计算： 3.常用分布的辨析与应用 （1）二项分布与超几何分布的核心区分 区分维度 二项分布 超几何分布 抽样方式 有放回抽样（独立重复） 不放回抽样（不独立） 总体规模 总体规模大（或无限） 总体规模N较小 概率稳定性 每次“成功”概率p固定 每次“成功”概率随抽样变化 （2）常用分布的期望统一形式 二项分布期望，超几何分布期望，当总体规模N很大时，超几何分布可近似为二项分布（）. （二）常见结论总结 1.条件概率的取值范围：；若A与B互斥，则. 2.全概率公式的前提：必须是样本空间的划分（互斥且）. 3.期望的线性性质：对任意随机变量X、Y（无论是否独立），都有. 4.方差的独立性质：若X与Y相互独立，则. （三）易错点辨析 易错类型 反例 正解 避坑技巧 条件概率公式误用 误将算成（忽略B已发生） 严格用公式，明确样本空间是否缩小 计算前判断是否为“有前提的概率” 全概率公式遗漏划分 计算时未覆盖所有“原因”事件 先列出所有可能的“原因”，验证是否互斥且覆盖样本空间 画事件关系图辅助梳理“原因-结果”逻辑 期望方差性质记错 误算 牢记方差性质： 推导性质辅助记忆（如） 二项与超几何混淆 不放回抽取n个产品，误按二项分布计算 不放回抽样（N较小时）用超几何分布 明确抽样方式，结合总体规模判断分布类型 题型一 计算条件概率 【例1】（2024·上海·三模）抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用表示事件“两个点数不同”，表示事件“至少出现一个点”，则 ．（结果用最简分数表示） 【答案】 【分析】根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】没有一个3点的情况有种， 所以至少出现1个3点的情况有种，排除后有10种， 所以，， . 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高二下·上海崇明·期末）某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则 ． 【答案】 【分析】先根据古典概型概率公式求出各事件的概率，再根据条件概率公式，求出条件概率. 【详解】已知男生中有10名团员，女生中有9名团员，共有19名团员，则， 已知男生中有10名团员，则, 可得， 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）某个班级有42名学生，其中男生25名，女生17名，男生中有18名团员，女生中有10名团员.在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于 . 【答案】 【分析】应用条件概率公式求概率即可. 【详解】由题设，知，， 所以. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高二下·上海·月考）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为 . 【答案】/0.25 【分析】计算出，利用条件概率公式进行求解. 【详解】，，故. 故答案为： 题型二 条件概率的性质 【例1】（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则 ． 【答案】/0.125 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24高三下·上海嘉定·月考）已知、分别为随机事件A、B的对立事件，，，则下列等式错误的是（    ） A． B． C．若A、B独立，则 D．若A、B互斥，则 【答案】A 【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可. 【详解】对A，由，故选项A错误； 对B，根据条件概率的乘法公式得，故B正确； 对C，若、独立，则, ，故C正确； 对D，若、互斥，则， ，D正确. 故选：A 【变式1-3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题中，真命题的个数是（   ） （1）若，则 （2）若，则 （3）若，且A，B为互斥事件，则A，B不为独立事件． （4）若，A和C为互斥事件，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用条件概率和事件的独立性即可判断（1），由与相互独立，不能推出与相互独立即可判断（2），根据独立事件的定义即可判断（3），由A和C为互斥事件得与互斥利用条件概率公式即可判断（4） 【详解】若，所以， 所以与相互独立，所以成立，故（1）正确； 若，所以与相互独立，不能推出与相互独立， 反例：在抛两次硬币试验中，设：第一次抛正面朝上；：第二次抛正面朝上； ：两次结果相同，那么独立，但不独立，故（2）错误； 因为与互斥，所以，所以与不是独立事件，故（3）正确； 因为，所以与互斥， 所以，故（4）正确； 所以真命题共有（1）（3）（4）三个． 故选：C 题型三 利用全概率公式求概率 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个红球；乙袋中有2个白球，3个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为 ．（结果为精确值） 【答案】 【分析】将问题拆分为两步，先从甲袋中取球，再从乙袋中取球，然后根据从甲袋中取出球的颜色情况，分情况计算乙袋中取出红球的概率，再根据全概率公式，用两种情况发生的概率乘以取到红球的概率，再相加即可得解. 【详解】设表示“从乙袋中任取一球是红球”，表示“从甲袋中取出两个白球”， 表示“从甲袋中取出两个红球”，表示“从甲袋中取出一个白球和一个红球”， 则 由全概率公式，所求概率 . 故答案为： 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率 ． 【答案】 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】根据题意选取选手来自高一、高二、高三的概率分别为, 所以随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率 . 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高一下·上海·期末）某商店组织了一场盲盒抽奖活动，组织方共准备了20个盲盒，其中有5个盲盒内有奖品．抽奖者甲先拿起了一个盲盒，正在犹豫是否打开的时候，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则 ． 【答案】 【分析】先计算甲第一次拿的盲盒有奖情况下，选择另外一个盲盒有奖的概率，再计算甲第一次拿的盲盒没有奖情况下，选择另外一个盲盒有奖的概率，然后根据全概率公式即可求得结果. 【详解】设表示甲第一次拿的盲盒有奖，表示甲第一次拿的盲盒无奖，表示甲最终中奖. 因为共有20个盲盒，其中5个盲盒有奖， 所以，. 若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19个盲盒，其中4个有奖， 甲再选另一个盲盒打开，则； 若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19个盲盒，其中5个有奖， 甲再选另一个盲盒打开，则； 根据全概率公式得： . 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二下·上海崇明·期末）某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是 ． 【答案】/ 【分析】先设事件，根据已知条件，写出对应事件的概率，，，，再根据全概率公式求解即可. 【详解】设任取一件商品是一等品， 取到的商品是甲品牌，则， 取到的商品是乙品牌，则， 已知甲品牌一等品比例为90%，即， 乙品牌一等品的比例为95%，即， 所以由全概率公式可知 . 故答案为： 题型四 利用贝叶斯公式求概率 【例1】（24-25高三上·上海·月考）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【答案】(1) (2)该航班飞往其他地区的可能性最大． 【分析】（1）首先设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，根据题中信息把相关事件的概率表示清楚，然后利用全概率公式求即可； （2）利用贝叶斯公式求解，，，再比较大小，即可判断航班飞往哪种情况的可能性最大. 【详解】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"， 则，，， ，，， 由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （2）， ， ， 因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大． 【变式1-1】（24-25高三上·上海·开学考试）某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 . 【答案】 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到共青团员”， 由题意，，, 所以“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为. 故答案为： 【变式1-2】（25-26高三上·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 【答案】 【分析】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”，“取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”，先由已知条件结合全概率公式求得，再由贝叶斯公式即可得解. 【详解】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”， “取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”， 则由题，，， ，，， 所以由全概率公式得 ， 所以由贝叶斯公式若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 . 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高三·上海·课堂例题）在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 【答案】D 【分析】根据全概率公式、贝叶斯公式逐一判断即可. 【详解】由题意可知：，，， ，，.由全概率公式可知： ，因此选项A正确； 由贝叶斯公式可知： ，因此选项B正确； ，因此选项C正确； ，因此选项D不正确， 故选：D 题型五 离散型分布列的性质 【例1】（24-25高二下·上海·月考）已知离散型随机变量的分布为，则 . 【答案】 【分析】根据分布列性质求，再由互斥事件概率和公式求解即可. 【详解】由题意可知， 则. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）设是一个随机变量，其分布为，则实数 ． 【答案】 【分析】由概率大于等于0小于等于1，可以得到的范围；根据概率之和为1，可以计算出的值. 【详解】依题意：，解得. 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据分布列的性质及等可能性即可求解. 【详解】由分布列的性质得，且， 即可解出． 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可. 【详解】因为随机变量X的分布列， 所以，解得：， . 故选：B. 题型六 列出离散型分布列 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）从装有大小与质地相同的个白球，个黑球和个黄球的箱中随机地取出两个球．规定每取出一个黑球赢元，而每取出一个白球输元，取出黄球无输赢，以表示赢得的钱数，求的分布． 【答案】答案见解析 【分析】列举从箱中取两个球的所有情形，分析得的可能取值为，然后计算每个可能取值的概率，并写出分布列即可. 【详解】从箱中取两个球的情形有以下6种： {2白}、{1白1黄}、{1白1黑}、{2黄}、{1黑1黄}、{2黑}． 当取到2白时，结果输2元，随机变量； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量； 当取到2黄时，； 当取到1白1黑时，随机变量； 当取到1黑1黄时，； 当取到2黑时，． 则的可能取值为． ，， ，， ，． 从而得到的分布如下： ． 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量，求的分布及． 【答案】答案见解析，． 【分析】产品等级为离散型随机变量，由题意得，，根据概率之和为即可计算. 【详解】依题意，有， ． 因为， 所以， 所以的分布如下： ． 故． 【变式1-2】（24-25高三·上海·课堂例题）某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试.若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为，试求的分布，并求他至多试开3次的概率. 【答案】分布列见解析， 【分析】根据题意，的可能取值为1,2,3,4,5，根据古典概型的概率计算公式即可求出概率分布列，进而可以求至多试开三次的概率. 【详解】的可能取值为1、2、3、4、5. ，，，，. 因此的分布为： 1 2 3 4 5 所以. 【变式1-3】（24-25高三·上海·随堂练习）某地有四人先后感染了传染病，其中只有到过风险地区，是的密切接触者，后来被检测出感染了．对于，因为难以断定他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是．同样也假定受和感染的概率都是．设表示被直接感染的人数． (1)写出的所有值？ (2)的分布是什么？ 【答案】(1)1，2，3； (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，列出的可能取值即可； （2）根据的可能取值，求出每个的概率，并写出分布列. 【详解】（1）由题意，可取的值为，用“”表示被直接感染的人数． 四个人的传染情形共有6种：， 每种情况发生的可能性都相等， 所以传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况． “”表示传染，没有传染给; “”表示传染给，没有传染给，或传染给，没有传染给; “”表示传染给． （2）由（1）得， ， ． 所以可取的值为，其中，，， 所以分布为：． 题型七 离散型分布列的均值与方差 【例1】（25-26高三上·上海金山·月考）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高三年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高三年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高三年级学生该题选择正确的概率； (2)从甲、乙两校高三年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题选择正确的人数，求的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案.乙校学生选择正确的概率为85%.求乙校高三年级学生掌握该知识点的概率估计值. 【答案】(1)； (2)1.55； (3) 【分析】（1）由频率估计概率可得； （2）求出的值，计算相应概率再列出分布列，然后由公式计算期望可得； （3）设“乙校掌握这个知识点的学生做该题”的概率为，由题意列方程可得. 【详解】（1）估计甲校高三年级学生该题选择正确的概率； （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 依题可知，可取0，1，2，， ，， 故的分布列如下表： 0 1 2 0.05 0.35 0.6 故； （3）设“乙校掌握这个知识点的学生做该题”的概率为， 则，故. 【变式1-1】（2025·上海金山·三模）有两个罐子，罐中放有3个白球和2个黑球，罐中放有5个白球． (1)若从罐有放回的摸2个球，求摸到相同颜色球的概率； (2)若从罐不放回的摸2个球，求第二次摸到白球的概率； (3)现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记罐中黑球的个数为，求的分布和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，期望为 【分析】（1）分两次均为白和两次均为黑讨论，再根据独立事件的乘法公式和概率加法公式即可得到答案； （2）利用全概率公式即可得到答案； （3）首先分析知的取值为0，1，2，再分别计算对应概率值，再利用均值公式即可得到答案. 【详解】（1）摸到相同颜色球的概率为． （2）根据全概率公式知第二次摸到白球的概率为． （3）的取值为0，1，2， 则， ， ， 则的分布为， 期望为． 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）某厂家生产两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查． (1)从混合的乒乓球中任取1个，求这个乒乓球是合格品的概率； (2)从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由条件概率与全概率公式，可得答案； （2）由离散型随机变量的分布列与数学期望，可得答案. 【详解】（1）设事件：抽取的产品是第一批，事件：抽取的产品为第二批，事件：抽取的产品为合格品， 由题意可得，，，， 则. （2）由题意可得可能取值为，则 ， ， ， 所以的分布列如下： 故数学期望 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期末）某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由对立事件概率计算公式即可求解； （2）确定的所有可能取值，求得对应概率，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率； （2）由题意知可能取值为0、1、2， ， 所以的期望， ， 题型八 二项分布的均值与方差 【例1】（24-25高二下·上海普陀·期中）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，其中，技能测试是否通过相互独立． (1)若该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为，求的值； (2)已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率公式列式求解. （2）根据二项分布的期望公式求解去甲公司的期望，根据相互独立事件的概率乘法公式可求解去乙公式通过项目的概率，即可求解期望，进而比较两者的期望即可求解. 【详解】（1）依题意，解得， 所以的值为. （2）分别记“该应聘者应聘甲､乙公司三项专业技能测试中通过的项目数分别为”， 依题意，则； 的所有可能取值为， ， ， ， 因此的分布列为 0 1 2 3 数学期望， 由，得，解得， 所以的范围为：. 【变式1-1】（23-24高三下·上海·月考）设服从二项分布，则 . 【答案】/ 【分析】根据二项分布的方差公式即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 【变式1-2】（23-24高二下·上海·期中）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1、2、3、4、5 B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，根据题意分析即可；对B，根据5件里面有2件合格，3件不合格求解即可；对C，根据二项分布的数学期望公式求解即可；对D，根据二项分布的方差公式求解即可. 【详解】对A，从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则的可能取值为0、1、2、3、4、5，故A错误； 对B，任取5件，里面有2件合格，3件不合格，则，故B错误； 对C，由题意，，故，故C正确； 对D，由题意，，故，故D错误； 故选：C 【变式1-3】（23-24高三上·上海·期中）小明从家到学校的上学的路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是，每遇到一次红灯的平均等待时间是1分钟． (1)求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率； (2)求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率； (3)求小明在上学路上因遇到红灯停留总时间的分布、期望、方差． 【答案】(1) (2) (3)分布列为，，． 【分析】（1）由独立事件乘法公式、对立事件概率公式即可求解. （2）由独立事件乘法公式、对立事件概率公式即可求解. （2）先求出的所有可能取值，然后求出相应的概率，从而即可得到分布列，进而由均值，方差公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得. （2）由题意可得. （3）；； ；. 所以的分布如下：，符合二项分布， 故；． 题型九 二项分布最大概率问题 【例1】（24-25高一下·上海·期末）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得 分的概率最大． 【答案】 【分析】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大，先利用二项分布概率公式列出概率表达式，依题列出不等式组求得，根据，求得，继而得出答案. 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 则， 依题意，，解得 又因为，所以，易知时，最大， 故甲得分为的概率最大． 故答案为：120. 【变式1-1】（2025·上海松江·二模）某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况． (1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）； (2)现从全部高三年级学生中随机抽取人，若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求的值. 【答案】(1)平均数小时，中位数小时 (2)或7 【分析】（1）根据频率分布直方图估算平均数，中位数的公式计算得解； （2）以样本估计总体的线上学习时间不少于3小时的概率，记从全部高三年级学生中随机抽取人，线上学习时间不小于3小时的人数为，则服从二项分布，根据二项分布概率计算公式列出不等式组解出值即可. 【详解】（1）（小时）. 因为学习时间小于3小时的频率为， 所以中位数在内，由，解得小时. （2）由频率分布直方图可知，学习时间不小于3小时的频率为. 设从全部高三年级学生中随机抽取人，线上学习时间不小于3小时的人数为， 其中有4人周末线上学习时间不小于3小时的概率为， 所以.要使最大， 则， 解不等式组得，因为为正整数，所以或7. 所以或7时，最大. 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）“双减”政策背景下，某校多维度推进“双减”落地，开设了多项体育课程．若该校某射击爱好者在某次训练中，连续射击N次，每次射击击中目标的概率为p，记，，则下列说法中正确的是（    ）． A．m，n是在1到N之间的自然数，当时， B．m，n，k是在1到N之间的自然数，当时， C．的取值随着i的增大先增大后减小 D．当时，当且仅当时，该爱好者击中目标次数的随机性最大 【答案】D 【分析】根据二项分布期望公式可判断AB；根据方差的定义可判断C；求出，利用二次函数求最值可判断D. 【详解】对于AB，根据题意可知，该爱好者击中目标的次数X服从二项分布，表示第i次射击平均击中目标次数，则，故A，B错误； 对于C，又根据方差的定义可知，的值与i无关，故C错误； 对于D，为二次函数，对称轴为， 开口向下，故当时，取得最大值， 即此时该爱好者击中目标次数的随机性最大，故D正确. 故选：D． 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②； (2)当时，最大 【分析】（1）①求出果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比，从而求出一级果，二级果，三级果的数量； ②求出的可能取值和对应的概率，得到数学期望； （2）得到，从而得到不等式组，求出当时，最大. 【详解】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为， 故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个； ②的可能取值为， 故，，， ， 故 （2）一级果的频率为， 用频率代替概率，故， 故， 令， 故， 解得， 又，故， 故当时，最大. 题型十 超几何分布的均值与方差 【例1】（2025·上海黄浦·一模）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． (1)求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； (2)若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； (3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据平均数的定义即可求解； （2）根据百分位数的定义即可求解； （3）根据古典概率公式即可求解. 【详解】（1）该水果店过去20天苹果日销售量的平均数. （2）因为，所以第百分位数为，所以下个月每日苹果的平均进货量为. （3）20天中苹果销售量超过的有9天. 设“3天中每天的苹果销售量均超过”为事件，“3天中恰有2天的苹果销售量超过”为事件， 则，. 【变式1-1】（23-24高二下·上海·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则 ． 【答案】 【分析】由超几何分布的概率公式、互斥加法以或者对立减法公式即可求解. 【详解】解：法一：由题意可知，x的所有可能取值为0，1，2，则 ． 法二：由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，则． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25高一下·上海·期末）图为某平台向100名观众征集某电影的评分结果的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这100名观众评分的平均数； (3)从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布、期望和方差． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为1可得答案. （2）将每个矩形的中点乘以每个矩形的高再乘以10后相加可估计平均数. （3）求出的可能取值及对应的概率可得分布列，再由期望公式计算可得答案. 【详解】（1）由题意可得：， 解得：. （2）估计这100名观众评分的平均数为： . （3）评分在的观众人数为：， 评分在的观众人数为：. 按照分层抽样的方法，从评分在和的观众中抽取7人，则评分在的观众人数为3人，在的观众人数为4人. 所以的值可能为：0,1,2,3. 且，，，. 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以： . . 【变式1-3】（24-25高三下·上海·月考）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)甲通过面试的可能性更大；理由见解析 【分析】（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可； （2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可； （3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论. 【详解】（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： . （2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . （3）因为，， 所以，所以甲通过面试的可能性大. 题型十一 正态分布 【例1】（25-26高三上·上海·月考）已知随机变量，随机变量，正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据两图象的对称性得到，由“1”的代换求最值. 【详解】由题意，随机变量X的分布图象关于直线对称，随机变量Y的分布图象关于直线对称， 且随机变量X的分布图象与随机变量Y的分布图象形状相同，所以两图象关于直线，即对称， 因为正实数a，b满足，所以，解得， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为3． 故答案为：3. 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【分析】根据正态分布的相关知识求解即可. 【详解】设，则，， 故； 当时，，故，从而不可能使得． 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·上海·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】B 【分析】根据正态分布的特征可知随增大而增大，故A错误；由可得，故B正确，CD错误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布，可得， 所以正态密度曲线关于直线对称，即. 因为，所以随增大而增大，的图象无对称轴，故A错误. 因为， 所以的图象关于点成中心对称，故B正确，CD错误. 故选：B. 【变式1-3】 （24-25高一下·上海·期末）在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩近似服从正态分布．已知，则从中任选一名学生的数学成绩不低于80分的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据正态分布的对称性和性质可求得某区间的概率. 【详解】因为学生的数学成绩近似服从正态分布，， 所以根据正态分布的对称性. 所以. 故答案为：0.2. 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·期中）下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【答案】D 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数服从二项分布，A不是； 对于B，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，第一次摸出黑球时的总次数不是超几何分布，B不是； 对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为服从两点分布，C不是； 对于D，从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数服从超几何分布，D是. 故选：D 2．（24-25高三·上海·课堂例题）一袋中装5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5，从袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最大号码，则随机变量的分布为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知可取的值为，分别利用古典概型概率公式求相应事件的概率，可得的分布. 【详解】由题意可知随机变量表示摸出的3个球中的最大号码数，可取的值为3、4、5， 当时，3个小球编号为1、2、3，； 当时，3个小球一个编号为4，另外两个为1、2、3中的两个，； 当时，3个小球一个编号为5，另外两个为1、2、3、4中的两个，. 故选：C. 3．（24-25高二下·上海松江·月考）盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件为甲取出的有红球，事件表示取出两个红球， 则，， 则. 故选：C 二、填空题 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知随机变量，且等式对恒成立，则. .(结果保留四位小数)(参考数据:，， 【答案】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求出可得，进而可得答案. 【详解】因为随机变量，且等式 对恒成立， ， 则，则， 所以 ，则， 又. 故答案为：0.9772. 5．（24-25高二下·上海奉贤·期末）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为 .（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 【答案】 【分析】根据正态分布的性质，先确定的值，再结合已知的概率公式计算质量误差超过的可能性. 【详解】因为每包糖果的实际质量服从的正态分布，则. 质量误差不超过，即，也就是. 根据参考数据可知. 那么质量误差超过的概率为. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·月考）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态分布曲线的对称性直接求解即可. 【详解】，， . 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海松江·月考）已知离散型随机变量X服从二项分布，则 ． 【答案】 【分析】根据二项分布的方差公式及方差的性质求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 8．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知随机变量的分布为，则 ． 【答案】 【分析】根据分布列的性质求出a的值，即可求出X的期望，由此可得答案. 【详解】随机变量的分布为, 故， 故， 故， 故答案为：32 9．（24-25高三下·上海·月考）已知是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 【答案】 【分析】根据条件概率公式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海·期末）甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为 . 【答案】/0.375 【分析】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件，根据条件概率公式分别求解和的值，进而计算可得答案． 【详解】设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件， ，， 所以所求概率为. 故答案为： 11．（24-25高三·上海·课堂例题）对于事件、有以下结论： ①； ②； ③一般地，当且时，有． 请填上所有正确结论的序号 ． 【答案】①③ 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式，对各个命题逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于命题①,由全概率公式知，所以命题①正确， 对于命题②，由全概率公式知，所以命题②错误， 对于命题③，由贝叶斯公式知，又因为， 所以，所以命题③正确， 故答案为：①③. 12．（24-25高二下·上海普陀·期中）某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ； 【答案】0.162 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，成绩是优秀的概率为. 故答案为：0.162 13．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是 . 【答案】/ 【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，分别求出和，利用条件概率能求出在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率. 【详解】设事件A表示：在所取的球中至少有一个是红球，事件B表示：两个球都是红球， 则，， 已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为： . 故答案为：. 三、解答题 14．（24-25高三·上海·课堂例题）在一次购物活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张中任取2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值（单位：元）的期望． 【答案】(1) (2)（元） 【分析】（1）借助间接法，先计算顾客未中奖的概率后用1减去即可得； （2）得出的可能取值并计算相应概率即可得其分布列，即可得其期望. 【详解】（1），即顾客中奖的概率为； （2）的可能取值为0、10、20、50、60， ，，， ，， 故的分布为， 则（元）． 15．（24-25高二上·上海·期末）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）. (1)求的值； (2)求这组数据的第75百分位数； (3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的数学期望. 【答案】(1) (2)85 (3)1.2 【分析】（1）根据频率和为1求得， （2）根据上百分位数的定义分析求解； （3）根据题意分析可得，根据二项分布的期望公式即可求解. 【详解】（1）由题知：，解得； （2）设x为样本数据第75百分位数， 由于数据位于的频率为， 而位于的频率为， 由于，故第75百分位数位于， 则：，解得， 故这组样本数据的第75百分位数为85． （3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率， 由题知：． 随机变量， 随机变量X的期望. 16．（23-24高二上·上海·课后作业）已知随机变量X的分布为，求X的方差. 【答案】0.8 【分析】根据期望和方差的公式计算即可. 【详解】，所以. 17．（25-26高三上·上海·单元测试）已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 【答案】 【分析】由题意可取3、4、5、6，算出对应的概率得出分布列，进一步根据期望公式即可求解. 【详解】可取3、4、5、6， ，，，， 所以的分布为， 的期望． 18．（24-25高三·上海·随堂练习）抛两枚骰子，X是大的点数与小的点数的差． (1)求差的所有可能； (2)求X的分布． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）每枚骰子的点数共有6种可能，根据它们的差可得答案； （2）求出每一个所对应的概率可得答案. 【详解】（1）每枚骰子的点数共有6种可能，它们的差共有6种可能， 分别是； （2）可取， 抛两枚骰子，共有36种可能，其中差是0的可能性是6种， 差是1的可能性是10种，差是2的可能性是4种， 差是3的可能性是6种，差是4的可能性是4种， 差是5的可能性是2种．所以得到分布如下 0 1 2 3 4 5 19．（24-25高三·上海·课堂例题）已知男性中有5%患色盲，女性中有0.25%患色盲，从100个男性和100个女性中任选一人． (1)求此人患色盲的概率； (2)如果此人是色盲，求此人是男性的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）由贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）设“任选一人是男人”为事件，“任选一人是女人”为事件，“任选一人是色盲”为事件． 此人患色盲的概率 （2） 20．（25-26高三上·上海·月考）自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人． (1)求； (2)根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数） (3)公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 【答案】(1)0.16；150 (2)4.24 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图面积为1，列出方程可求，再根据运动时长在小时的员工有48人，结合频率可求； （2）根据频率分布直方图平均数的公式求解即可； （3）根据题意设事件，再利用条件概率公式求概率即可． 【详解】（1）由频率分布直方图可， 解得， 因为运动时长在小时的员工有48人， 所以，解得， 即，． （2）由（1）知， 则平均数为， 所以该公司员工一周运动时长的平均数约为4.24． （3）设选中的员工一周运动时长不少于4小时为事件， 选中的员工一周一周运动时长在区间内为事件， 则， ， ， 所以在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下， 此人一周运动时长在区间内的概率． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·期末）a、 b、 n均为正整数， A袋子中有a个白球，b个黑球 (大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y .下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 ，依据二项分布写出分布列，计算期望，，故可判断C正确；对于选项ABD，可通过取特殊值验证是错误的. 【详解】若有放回的摸出n个球，每次摸到白球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故 ，，其中. 期望，方差. 若一次性摸出n张卡牌，随机变量的可能取值有、、， 则，， 由结论（苏教版2019第121页）：当 时，，得， 故，选项C正确； 特别地，取，，其中. 的分布为， 0 1 2 期望，方差 随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，， . 显然；；. 故ABD不正确. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】C 【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值确定大小关系. 【详解】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则， 在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 更换后， 若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后， 故， 由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，， 因此，故. 故选：. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式，结合对立事件的定义逐一判断即可. 【详解】因为与相互独立，所以与、与、与也相互独立， A选项，，故A一定成立； B选项，， 而，所以，故B不成立； C选项，， 故C一定成立； D选项，， 故D一定成立. 故选：B. 二、填空题 4．（2025·上海黄浦·三模）假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是 ．（精确到0.0001） 【答案】0.4772 【分析】正态分布标准化：将原始变量 转换为标准正态变量 ，公式为 ，区间转换：成绩区间 对应 的区间 ，概率计算：利用标准正态累积分布函数 ，区间概率为 . 【详解】小明的数学成绩 服从正态分布 ，即均值 ，标准差 . 需要求成绩在 120 分至 130 分之间的概率 . 由于正态分布的性质，将 标准化为标准正态分布变量 ： 当 时，,当 时，, 因此，，其中 服从标准正态分布. 给定标准正态分布的累积分布函数值：，，,需要计算 . 由于标准正态分布关于均值对称，,代入已知值： 结果精确到 0.0001，因此概率为 0.4772, 故答案为：0.4772. 5．（2025高三·上海·专题练习）以下命题中正确的有 （填序号） ①若是常数，则； ②若，则是常数； ③如果是随机变量，，那么； ④若分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，则． 【答案】①②④ 【分析】①利用公差公式推导得到①正确，②利用方差的意义得到②正确；③利用方差的性质得到③错误；④利用期望和方差的性质推导出结论． 【详解】①若是常数，则，则，①正确； ②，即无变化，是常数，②正确； ③如果是随机变量，，那么，③错误； ④设的期望值分别为， 则，故 ， 其中为两个独立的随机试验所对应的随机变量，故， 所以，④正确． 故答案为：①②④ 6．（24-25高二下·上海·期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ．（精确到0.001） 【答案】 【分析】根据条件概率分别求出第次出现红球、绿球情况下第n次出现红球的概率，利用全概率公式计算求出的递推公式，进而求出. 【详解】设“第次出现红球”，“第次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”， 则，，，， 由全概率公式得 ，， ，， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，所以. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办盛大体育节，高二（6）班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第n次传球后篮球在队员甲手中的概率为 . 【答案】 【分析】设表示经过第n次传球后球在甲手中，n次传球后球在甲手中的概率为，由全概率公式可得，构造等比数列，利用等比数列通项公式可得. 【详解】设表示经过第n次传球后球在甲手中，n次传球后球在甲手中的概率为， ，2，3，⋯，则有，， 所以 ， 即，所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 故答案为： 8．（24-25高二下·上海奉贤·期中）（1）甲、乙、丙、丁、戊，己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为； （2）高二年级举行演讲比赛，共有10名学生参赛，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名．记一班的3名学生恰好被排在一起的概率为； （3）一个盒子中有大小与质地相同的20个球，10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，记第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率为； （4）从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，记该球是黑色的概率为． 则从小到大的顺序为： ． 【答案】 【分析】利用排列计数问题及古典概率求出；利用分步乘法计数原理及古典概率求出；利用条件概率及全概率公式求出，进而比较大小. 【详解】（1）6个人的全排列数为，其中甲乙不相邻的排列数为，则； （2）10名学生的全排列数为，一班的3名学生恰好被排在一起的排列数为，； （3）两人各摸1个球的方法数为，第一、二个人分别摸红、白球的方法数为，； （4）记从甲袋摸出2白球、1白1黑球、2黑球的事件分别为，乙袋中摸出1黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 而，所以从小到大的顺序为. 故答案为： 9．（24-25高三下·上海金山·月考）某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响．若设事件：阳性，事件：患病，则 ，则诊断结果是阳性概率 ，若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为 ． 【答案】 【分析】将每种事件的概率表示出来，利用条件概率公式与全概率公式求解即可. 【详解】设“阳性”，“阴性”，“患病”，“不患病”，“诊断结果正确”，“诊断结果不正确”， 由题知：某种疾病的患病率为，则， 通过验血诊断该病的误诊率为，则， 因为漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为， 所以， 任选1人进行验血，诊断结果为阳性的概率为 则， 若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为， 由前面的计算过程可知：， 所以． 故答案为：①；②；③. 10．（24-25高二下·上海·月考）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的旅客都可以参与抽奖活动.组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为P，则 . 【答案】 【分析】利用条件概率和全概率公式计算. 【详解】设事件A为“抽奖者甲中奖”，事件B为“甲先选中的盲盒有奖”， 则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余18个盲盒中有5个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余18个盲盒中有6个奖品， 则甲更换盲盒后， ∴. 故答案为：. 11．（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是 个． 【答案】3 【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD. 【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含 （个）样本点，它们等可能， 事件含有的样本点个数为，则， 同理，， 事件含有的样本点个数为，则， 事件含有的样本点个数为，则， 对于A，，即事件与不相互独立，故A不正确； 对于B，，即事件与不相互独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 所以其中错误的个数是3个． 故答案为：3. 三、解答题 12．（2025·上海徐汇·二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解； （2）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，二项分布即可求解. 【详解】（1）由题意，，的概率等于. 令，则. 因此， . 故净含量误差超过5g的概率约为. （2）可能的取值为0、1、2、3. 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为. 故服从二项分布，记， ， 从而的分布为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此. 13．（24-25高二下·上海·月考）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：    (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. (2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元.已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值. 【答案】(1)300； (2)0.8186； (3)证明见解析，期望值为，约2万元 【分析】（1）利用每个矩形的中点值与频率之积求和即为平均值； （2）利用正态分布曲线的区间来求解对应区间的概率即可； （3）利用数列的递推思想来研究概率值，然后通过两点概率分布来求期望即可. 【详解】（1）由题意得：估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为： （2）由（1）可得：∵X服从正态分布， ∴它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为： . （3）由题意可得：遥控车开始在第0格为必然事件，， 第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即. 遥控车移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种. ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为， ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为， ∴，∴， ∴当时，数列是公比为的等比数列， ∴， 以上各式相加，得， ∴， ∴获胜的概率，失败的概率， ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0， ∴的期望， ∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约2万元. 14．（24-25高二下·上海·月考）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，事件表示“该学校参与”自由式滑雪“人数超过40人”，事件N表示“该校参与”单板滑雪“超过30人”，求在事件发生的条件下，事件N发生的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”．现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训．并专门对这3个动作进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响．如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望为； (3)至少8轮 【分析】（1）借助条件概率公式计算即可得； （2）由题意可得的可能取值为，分别计算其概率即可得分布列，再利用期望公式计算即可得其数学期望； （3）计算出李华同学每轮测试达到优秀的概率后，可得李华同学测试获得优秀的次数服从二项分布，利用二项分布期望公式计算即可得解. 【详解】（1）设参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校为事件， 参与“单板滑雪”超过30人的学校为事件， 则， ； （2）由题知，“基地学校”有4个，则的可能取值为， 所以， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以； （3）因为李华同学每轮测试达到优秀的概率， 设李华同学测试获得优秀的次数为，则， 因为，解得， 因为，所以至少要进行8轮测试． 15．（2025·上海杨浦·模拟预测）为吸引客流，某商场举办了“摸球赢好礼”活动，一共设置两关游戏.第一关游戏开始时，主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红共4个球，顾客从箱子中随机且不放回地依次摸出两个球，只要能摸出黑球，便可晋级第二关游戏“赢积分、换好礼”. (1)小江正在参与第一关游戏.记事件为“小江摸出的第一个球是红球”，事件为“小江晋级了第二关游戏”，分别求； (2)小江成功晋级第二关游戏.已知第二关游戏规则如下:游戏开始前，顾客要先决定好摸球的局数，而后主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红及白共个球，并充分搅匀.游戏过程中，顾客每局均从箱子里随机摸出一个球，确认颜色并按规则积分，然后把球放回箱子，充分搅匀后再进行下一局摸球，以此类推，直到摸完局球，第二关结束.记分规则如下: 颜色 黑色 红色 白色 得分 +10 在第二关中，顾客的初始积分为0分，将每一局所得积分累加得到最终积分.最终积分越高，所换取的礼品价值越大. ①若小江决定摸球的局数，求她在第二局中所得积分的分布与期望； ②为使最终的期望收益最大化，小江应该如何设定摸球的次数? 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②摸球次时，收益最大 【分析】（1）由古典概型的概率计算公式可得结果； （2）①由古典概型的概率计算公式和期望的计算公式可得结果；②先计算得到每局的期望和总期望，然后利用换元和均值不等式求出结果. 【详解】（1） （2）①，则箱子中共有个球，其中黑、红及白， 由题意可知，的所有可能取值为10，5，，且 ， 所以其分布列如下： 10 5 . ②设小江应该设定摸球的次数为，则 每局期望为： 总期望为： 令 当且仅当时取等号，即，所以 所以小江应该设定摸球次时，收益最大. 16．（2025·上海·三模）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时， （i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 【答案】(1)（i）（ii）分布列见解析，数学期望为； (2) 【分析】（1）（i）利用条件概率公式求解；（ii）求出的可能值，再利用二项分布的概率求出分布列及期望. （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出概率，再结合已知建立不等式求解. 【详解】（1）（i）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以. （ii）可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. （2）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团助力的概率的最小值为. 17．（24-25高二下·上海·期末）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)最小值为，相应的 (3)分布列见解析， 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，最后求得即可. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简得，利用基本不等式求得的最小值及相应的值即可. （3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为，求出对应概率，再得到分布列与数学期望即可. 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，故. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. （3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是， 则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 由期望公式得数学期望为. 18．（24-25高二下·上海·期末）学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. (1)从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； (2)若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件，由条件概率及全概率公式求解即可； （2）（i）将问题转换成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率或通过缩小样本空间求解即可；（ii）将问题转换成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率，或缩小样本空间求解即可. 【详解】（1）设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件， ＂恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表＂为事件，则 故； （2）（i）有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表， 可以看成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，男1女1，女1男2，男2女1，女1男3，男3女1，女2男1，男1女2，女2男2，男2女2，女2男3，男3女2，女3男1，男1女3，女3男2，男2女3，女3男3，男3女3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共24个样本点， 满足条件的有6个，故， （ii）第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表， 可以看成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，女1男2，女1男3，女2男1，女2 男2，女2男3，女3男1，女3男2，女3男3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共15个样本点，满足条件的有6个， 故. 19．（2025·上海黄浦·二模）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 【答案】(1)，不独立； (2)当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可. （2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值. 【详解】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 20．（24-25高二下·上海浦东新·期中）生产零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.03．生产过程中，第一道工序产生的废品也会投入第二道工序，但是两道工序中有一道产出废品时，成品即判定为废品．已知每道工序生产废品相互独立． (1)求经过两道工序后得到的零件不是废品的概率； (2)现有经过这两道工序生产的1个废品．求生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率．（结果写成最简分数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率． （2）根据条件概率公式计算即可． 【详解】（1）由题意得，经过两道工序后得到的零件不是废品的概率为 （2）设“经过这两道工序判定为废品”为事件，“第二道工序中生产出废品”为事件，则， ， 所以生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $