第5章 导数及其应用（复习讲义）高二数学沪教版选择性必修第二册

该高中数学导数及其应用复习讲义通过表格系统梳理基础概念、运算及应用，框架图呈现“基础-应用-进阶-综合”核心目标，思维导图整合数形结合等思想方法，清晰呈现重难点分布与知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，如“含参函数单调性讨论”题型培养分类讨论的数学思维，“实际优化问题”引导用数学语言建模。基础巩固与能力提升练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

第5章 导数及其应用（复习讲义） （一）高考定位 导数是高中数学核心主干知识，高考中以“基础题+中档题+压轴题”多层次考查，覆盖选择、填空、解答全题型.核心考查导数的概念与运算、几何意义、函数性质应用（单调性、极值、最值）、含参问题分析、不等式与方程综合. （二）核心目标 1.基础层面：掌握导数的定义、几何意义，熟记导数公式与运算法则，能熟练求解各类函数的导数. 2.应用层面：能利用导数分析函数单调性、极值、最值，解决切线方程、优化问题等基础应用题型. 3.进阶层面：能处理含参函数的单调性、极值、恒成立/存在性问题，掌握分类讨论、数形结合等核心思想. 4.综合层面：能综合运用导数与函数、不等式、方程知识，破解高考压轴题（不等式证明、方程根的个数判断等）. 一：基础概念与导数运算 模块 核心知识点 关键公式/定理 期末考查频率 题型特征 导数的概念与意义 实际背景（瞬时速度、切线斜率） 瞬时速度 低频 选择/填空 导数定义（平均/瞬时变化率） ；导数存在充要条件：左导数=右导数 中频 选择/填空 几何意义（切线、 1.切线斜率；2.切线方程 高频 全题型 导数的运算 基本初等函数导数公式 1.（为常数）；2.（）；3.；4.；5.；6.；7.；8.（）；9.；10.（） 必考 基础工具 四则运算法则 1.；2.；3.（）；4.（为常数） 必考 计算核心 复合函数求导 设，，则（链式法则，多层复合可递推） 必考 中档题核心 二：导数应用与期末压轴核心 模块 核心知识点 关键公式/定理 期末考查频率 题型特征 导数的应用 函数单调性 1.若在区间恒成立，则在单调递增；2.若在区间恒成立，则在单调递减；3.单调区间分界点：的根或不存在的点 必考 解答题核心 函数极值 1.极值点判定：（驻点）且两侧符号相反；2.左正右负→极大值点，左负右正→极小值点；3.可导函数极值点必为驻点，驻点不一定是极值点 必考 解答题核心 函数最值 1.闭区间上连续函数必有最值，最值在极值点或区间端点处取得；2.求解步骤：求导→找驻点与不可导点→计算各点函数值→比较得最值 必考 解答题核心 实际优化问题 求解步骤：建立数学模型（设变量、定目标函数）→确定定义域→求导找最值→验证并作答 低频 解答题 高考压轴核心 含参函数分析 1.分类讨论依据：驻点与定义域的位置关系、导函数符号由正变负/负变正的临界点；2.常见题型：求参数范围使函数单调/有极值/存在最值 高频 压轴题 恒成立与存在性问题 1.在恒成立；2.使；3.转化核心：参变分离法 高频 压轴题 导数与不等式、方程综合 1.不等式证明：构造辅助函数，利用导数判单调性、最值证明；2.方程根的个数：转化为函数图像与轴/定直线交点个数，分析单调性与极值 高频 压轴题 （一）导数概念的核心辨析 1.平均变化率反映函数在某区间内的整体变化趋势，瞬时变化率（导数）反映函数在某点处的局部变化趋势，二者是“整体”与“局部”的关系. 2.导数存在的前提是函数连续，函数连续不一定可导（如在处连续但不可导），可导一定连续. 3.导函数的定义域是原函数定义域内所有可导点的集合，可能是原函数定义域的子集. （二）导数运算的关键技巧 1.复合函数求导：先拆分复合层次（从外层到内层），标注中间变量，再按链式法则逐层求导，最后将中间变量代回原变量.多层复合需多次应用链式法则. 2.分式函数求导：优先化简（通分、约分、转化为幂函数）再求导，避免直接套用商的法则导致计算繁琐. 3.求导前先观察函数结构，合理利用运算法则简化计算（如提取常数、拆分分式），减少计算误差. （三）导数几何意义的深度梳理 1.“在点处的切线”：是切点，切线唯一，直接用切线方程公式求解. 2.“过点的切线”：不一定是切点，需先设切点，写出切线方程，再将点坐标代入求解，可能存在多条切线. 3.法线与切线垂直，斜率乘积为（切线斜率存在且不为0）.若切线斜率为0，法线为垂直于轴的直线（）；若切线斜率不存在，法线为平行于轴的直线（）. （四）函数性质与导数的核心关联 1.单调性与导数：导数符号决定单调性，导数为0的点不影响单调性（如在处导数为0，仍在上单调递增）. 2.极值与导数：极值是局部最值，驻点不一定是极值点，需通过导函数符号变化判断.不可导点也可能是极值点（如在处不可导但为极小值点）. 3.最值与极值：闭区间上的最值需综合极值与端点函数值，开区间内的函数不一定有最值，若有最值则必为极值. （五）含参问题的分类讨论策略 1.讨论起点：先确定函数定义域，再求导得到导函数，分析导函数的结构（一次函数、二次函数、分式函数等）. 2.讨论依据：①导函数是否存在零点（驻点）；②驻点是否在函数定义域内；③多个驻点时，驻点之间的大小关系. 3.讨论步骤：按参数取值范围划分区间，分别判断每个区间内导函数的符号，进而确定函数的单调性、极值情况. 4.核心原则：不重不漏，分类标准统一（如按二次函数的判别式、对称轴位置分类）. 四、高频易错点警示 1.基本导数公式记忆错误：如、、，导致求导结果错误. 2.复合函数求导遗漏内层导数：如错解为，忽略内层函数的导数. 3.混淆“在点处”与“过点”的切线：未设切点直接用点求切线，导致漏解. 4.判断函数单调性时忽略定义域：直接求导判符号，未先确定定义域，导致单调区间范围错误. 5.将驻点等同于极值点：认为则必为极值点，忽略“两侧导数符号变化”的判定条件. 6.含参问题分类讨论不全面：如二次函数导函数未讨论判别式、、的情况，或遗漏参数为0的特殊情形. 7.恒成立问题转化错误：将恒成立错解为，正确转化应为恒成立. 8.求解最值时忽略定义域限制：未判断驻点是否在定义域内，直接代入计算，导致结果错误. 五、核心思想方法总结 1.数形结合思想：利用导函数图像判断原函数的单调性、极值，或利用原函数图像分析方程根的个数. 2.分类讨论思想：解决含参函数的单调性、极值、最值问题，按参数取值范围合理划分区间，逐一分析. 3.转化与化归思想：将恒成立问题转化为最值问题，将不等式证明转化为函数单调性问题，将方程根的个数问题转化为函数图像交点问题. 4.参变分离思想：将含参恒成立/存在性问题中的参数与变量分离，转化为求函数最值问题，简化计算. 5.构造函数思想：解决不等式证明、比较大小等问题时，通过构造合适的辅助函数，利用导数分析函数性质求解. 题型一 平均变化率与瞬时变化率 【例1】（25-26高三上·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 【答案】 【分析】由瞬时变化速度计算公式计算即可得. 【详解】， 则火箭在时的瞬时速度为 . 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）自由落体运动中，物体下落的距离（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系式，则物体在时间段内的平均速度为 . 【答案】25 【分析】利用公式计算物体在时间段内的平均速度即得. 【详解】， 故物体在时间段内的平均速度为. 故答案为：25. 【变式1-2】（25-26高三上·上海·单元测试）一质点按规律运动， (1)求其在时间段[1,2]内的平均速度； (2)求其在时的瞬时速度． 【答案】(1)14 (2)6 【分析】（1）由平均速度公式求解； （2）由瞬时速度公式求解． 【详解】（1）在时间段内的平均速度为； （2），把代入可得时的瞬时速度为. 【变式1-3】（24-25高二下·上海·月考）一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则 ． 【答案】 【分析】根据平均速度和瞬时速度的知识求得正确答案. 【详解】由题意可知， ∵，∴，∴． 故答案为： 题型二 导数的概念 【例1】（24-25高三下·上海·月考）已知，则 . 【答案】 【分析】根据极限的运算法则，以及导数的定义，即可求解. 【详解】由 ， 因为，所以. 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）设函数在处可导，且，则 . 【答案】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据导数的定义可知：. 故答案为：3. 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（   ） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义即可得解. 【详解】由导数的几何意义可知，的实际意义是3秒时水管流水量的瞬时变化率. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中. (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）求出函数的平均变化率，再利用导数的定义求出导数. （2）由（1）的结论，求出导数值即得. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）由（1）得． 题型三 求某点处的切线方程 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图所示，已知直线l是曲线在点处的切线，则 . 【答案】 【分析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得. 【详解】由图象可知直线过， 所以直线的斜率为， 所以. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】求得，得到，进而求得切线的方程，得到答案. 【详解】由函数，可得，则， 即曲线在点处的切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高三上·上海·月考）函数在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，结合直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高三上·上海·期中）曲线在点处的切线是 .（一般式方程） 【答案】 【分析】利用导数求得切线方程. 【详解】由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为. 故答案为： 题型四 求过某点的切线方程 【例1】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 【答案】或 【分析】求导，设切点，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，又切线过，将 代入切线方程得到的方程，解出的值，代入切线方程得解. 【详解】， 则设切点为， 可得过点的切线方程为， 代入点的坐标有， 整理为 因式分解为， 即， 解得或. ①当时，所求切线方程为， 整理为； ②当时，所求切线方程为， 整理为， 故曲线经过点的切线方程为或. 故答案为：或. 【变式1-1】（22-23高三下·上海浦东新·开学考试）已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为 . 【答案】 【分析】假设切点，然后利用导数求得斜率表示出切线方程代点计算即可. 【详解】设切点坐标为，则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，解得，所以切线方程为. 故答案为： 【变式1-2】（23-24高二上·上海·课后作业）求过点且与曲线相切的直线的方程． 【答案】或. 【分析】设出切点，根据导数的几何意义，写出切线方程，把代入求出切点，进而求出切线方程. 【详解】根据题意设切点为，由可得切线斜率为， 切线方程为， 把代入可得，即，解得； 把代入切线方程可得或. 所以可得过点且与曲线相切的直线的方程为或. 【变式1-3】（23-24高二上·上海·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【详解】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 题型五 公切线的问题 【例1】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以 . 故答案为：2 【变式1-2】（2025·陕西汉中·一模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】分别设直线与两条曲线的切点，利用导数求切线斜率，写出切线方程，结合公切线的表达式列等式，依次求解参数与. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，代入、，得. 因该切线为，故，解得. 设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，化简得. 因该切线为，故，解得. 故选：B 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则 ． 【答案】 【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，利用导数求得切线方程，由斜率及在轴上的截距相等列式求得切点，代入切线方程求解值． 【详解】设直线与曲线相切于， 则直线方程为 ； 设直线与曲线相切于点， 则直线方程为 ． 得， 得， 该直线与曲线相切于， 即，得． 故答案为：． 题型六 切线条数的问题 【例1】（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 【变式1-1】（24-25高二下·江西·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 【变式1-2】（2024·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 【变式1-3】（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 题型七 导数的四则运算与复合函数的导数 【例1】（25-26高三上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【分析】根据复合函数求导法则直接求解即可. 【详解】. 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高三上·上海普陀·月考）已知，则 . 【答案】 【分析】根据复合函数的求导法则即可求解. 【详解】, 故答案为： 【变式1-2】（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数，则的值为 . 【答案】/ 【分析】求出函数的导函数，即可求出，再根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高二下·上海虹口·期末）函数的导数 ． 【答案】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及加法法则求导即可. 【详解】由. 故答案为： 题型八 求已知函数的单调区间 【例1】（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调增区间. 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期中）函数的单调减区间是 . 【答案】/ 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以的单调递减区间为. 故答案为： 【变式1-2】（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】求导，利用导数求原函数的单调区间. 【详解】因为，，则对恒成立， 所以该函数的严格增区间是. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期中）函数的严格减区间为（   ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】求导，再令导数小于零，即可求出函数的减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 令，得或， 所以函数的严格减区间为和. 故选：D. 题型九 由函数的单调区间求参数 【例1】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】令，由题意可得函数在R上单调递增，由在R上恒成立，可得在R上恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得答案. 【详解】解：因为对任意两个不相等的实数，都有， 即， 令，不妨设， 则有， 所以， 所以在R上单调递增， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 令， 则，令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以. 即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：在解答已知函数的单调性求参数的范围这类题目时，常转化为其导函数的恒正(负)，再参变分离求解即可. 【变式1-1】（24-25高三·上海·随堂练习）若函数，其中，函数是严格增函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知恒成立，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由题设知恒成立， 则由，得到， 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【详解】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 题型十 函数含参的单调性讨论 【例1】（2024高二·上海·专题练习）已知． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，得到方程即可. （2）利用导数含参讨论单调性即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以在点处的切线斜率， 所以所求切线方程为，即. （2）由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，由，则，若，则， 所以在单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，函数在上单调递增； 当时，在单调递增，在上单调递减. 【变式1-1】（2024高二·上海·专题练习）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1). (2)答案见解析 【分析】（1）依据题意求出切点，再利用导数的几何意义求出斜率，再得出切线方程即可. （2）利用导数含参讨论单调性即可. 【详解】（1）当时， ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：. （2）由得， 当时，恒成立，则在R上单调递减； 当时，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上所述， 当时， 在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式1-2】（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可. （2）含参讨论函数单调性即可. 【详解】（1）当时，，故， 此时函数在处的切线方程为：. （2）由题意，的定义域为， ， 则当时，单调递增；当时，单调递减. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式1-3】（2023·上海徐汇·一模）已知. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由导数的几何意义求解， （2）由导数与单调性的关系求解， 【详解】（1）当时，，， 所以，. 所以函数在点处的切线方程为. （2）因为，定义域为， 所以. ①当时，与在上的变化情况如下： 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在及内严格增，在内严格减； ②当时， 恒成立，所以函数的单调增区间为. 综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为； 当时，函数单调增区间为. 题型十一 求已知函数的极值 【例1】（25-26高一上·上海浦东新·月考）设函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程. (2)当，求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值，极大值 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，利用直线的点斜式方程即得； （2）对函数求导，分析函数的单调性，即得函数的极值. 【详解】（1）当时，，则， 所以，而， 故函数在点处的切线方程为. （2）当时，，函数的定义域为， 则， 令，得或；令，得， 故函数在和上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值； 在处取得极大值. 【变式1-1】（24-25高一下·上海·期末）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极大值2，极小值 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出函数的单调性，进而求出极值. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程：，即. （2）函数的定义域为R，， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. 【变式1-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数．求函数的单调区间和极值． 【答案】答案见解析 【分析】利用导数与函数单调性的关系，求导，研究导数与零的大小关系，结合极值的定义，可得答案. 【详解】由函数，求导可得， 令得或，令得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为， 故函数的极大值为，极小值为. 【变式1-3】（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极大值，极小值 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，再由点斜式方程即可得出答案； （2）利用导数考查函数的单调性，求出极值点，进一步计算即可. 【详解】（1）由题意可知：，则 因为曲线在处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程：， 化简可得：. （2）因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 题型十二 由函数的极值求参数 【例1】（24-25高二下·上海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数的单调性与极值，结合其极小值小于，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，令可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数既有极大值，也有极小值，且极小值为，解得. 因此，实数的取值范围是. 【变式1-1】（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 【变式1-2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，若的极大值为1，求实数的值； 【答案】 【分析】分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可. 【详解】的定义域为，， 当时，，在上单调递增，函数无极值； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值，极大值为，解得， 经验证符合题意，故实数a的值为. 【变式1-3】（23-24高三上·上海嘉定·月考）若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有 . ①；②；③；④ 【答案】 【分析】求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可. 【详解】函数的定义域为， ， 又函数既有极大值也有极小值， 所以函数在上有两个变号零点，而， 故方程有两个不等的正根， 于是，则， 所以即. 故②③④正确. 故答案为：②③④. 题型十三 求已知函数的最值 【例1】（24-25高三上·上海·期中）记函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数判断单调性，进而结合单调性求最值，即得. 【详解】由题意，， 令，解得， 在上，则在上是减函数， 在上，则在上是增函数， 于是最小值，最大值，即. 故选：D 【变式1-1】（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】对函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间和最值，进而求得答案． 【详解】因为，函数极值点可能为，又， 而，，，所以，， 所以， 故选：D． 【变式1-2】（23-24高二下·上海浦东新·月考）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先根据同构函数的出x,y关系，再根据导函数求出单调性得出最值即可. 【详解】因为，所以，即， 设，则，且， 所以在上单调递增，正实数， 所以，即，所以， 等价于，即，所以， 设，所以， 所以，设， 所以单调递增，且，所以在上，单调递减； 在上，单调递增；所以， 即最小值为0， 故选：B. 【变式1-3】（23-24高三下·河南·开学考试）函数在区间上的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得， 当时，，， 所以在区间单调递减，故函数最大值为， 故选：B 题型十四 由函数最值求参数 【例1】（24-25高二下·上海·月考）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导研究函数的单调性，结合即可得出范围. 【详解】由得， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则在区间上有最大值时有，， 得， 则实数的取值范围是. 故选：B 【变式1-1】（2023·上海松江·二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点 【详解】， 当或时，，当时，， 所以函数在，上递增函数，在上递减函数， 故时函数有极大值，且， 所以当函数在上有最大值，则 且， 即，解得. 故选：B. 【变式1-2】（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合题意可得且，即可求解. 【详解】由题意知，， 令或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为，且， 又在上的最大值为3，无最小值， 所以，解得，所以， 令，解得或，所以， 所以. 故答案为： 题型十五 函数不等式恒成立问题 【例1】（2025高三上·上海·专题练习）已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知可得，则可知若不等式恒成立，则，解得，再根据可知函数在上单调递增，不等式恒成立. 【详解】由已知，则， 又，所以若任意，恒成立， 则，解得， 又当，， 则当时，，即恒成立， 所以此时函数在上单调递增，即恒成立， 综上所述， 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高三上·上海闵行·期中）设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意易知恒成立，则可等价为对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得，即可得解. 【详解】对，都，使得不等式成立， 等价于, 当时，，所以， 当时，，所以， 所以恒成立，当且仅当时，， 所以对，恒成立，即对恒成立， 当，成立， 当时，恒成立，即恒成立. 记, 因为恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以恒成立，即， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式1-2】（25-26高三上·上海·月考）已知，，关于x的方程有三个实数解，且，若满足不等式恒成立的最大整数m为 . 【答案】18 【分析】先求定义域，再求导，得到的单调性，画出其图象，令，则有两个不等实根，设为，，则，结合函数图象可得，得到，从而得到，求出，计算可得，从而求出最大整数m为18. 【详解】中，令得，故定义域为， ，令得， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中，画出的图象如下：    令，则中恒成立， 故有两个不等实根，设为，，则， 而有三个实数解，， 故有1个根，有2个不等实根， 结合，故， ，则在上单调递减， 故， ， 因为，所以， ，其中，代入计算可得， 满足的最大整数m为18. 故答案为：18 【变式1-3】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可将不等式转化为.令，则，在上恒成立.设，对求导研究在上的单调性，可求得的解为，故在上恒成立，故.设，对求导研究在上的单调性求其最小值即可求解. 【详解】由题意可知在上恒成立， 所以，且在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则，在上恒成立. 设， 则，所以在上单调递增， 又，所以由可得， 即在上恒成立，所以. 设，， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，所以. 故答案为：. 题型十六 用导数解决实际问题 【例1】（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为 平方千米． 【答案】 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据抛物线过点可得抛物线的方程，根据导数的几何意义可得，，故，利用导数求最大值即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则， 由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得， 所以抛物线方程为， 由题意知直线MN为抛物线的切线， 因为点P到边AD的距离为，所以切点P的坐标为， 由，得，所以直线MN的斜率为， 所以直线MN的方程为，即， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以， 则， 因为，所以当对，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得最大值平方千米． 故答案为:. 【变式1-1】（2025·上海松江·三模）如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 【答案】 【分析】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值. 【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，可设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 【变式1-2】（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 【答案】 【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时， 取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为：     【变式1-3】（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为 ．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值. 【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则，在上递增， 令，则或，在上递减， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大.    故答案为： 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 【答案】B 【分析】根据导函数图象得到导数的正负，从而得到函数的增减情况，判断A，根据导数的几何意义判断B，并根据函数的单调性，结合极值的定义判断CD． 【详解】根据的图象可知，在区间上，，则在区间上单调递减，故A错误； ，则的图象在处的切线斜率等于0，故B正确； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故C错误； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故D错误． 故选：B 2．（24-25高二下·上海青浦·期中）已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象判断函数单调性，可得的函数值正负情况，从而解，可得答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 由于是定义在区间上的奇函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 故由可知或 得或，即不等式解集为， 故选：C. 二、填空题 3．（25-26高三上·上海黄浦·期中）函数的严格减区间是 . 【答案】 【分析】求解导数，利用导数小于零可得减区间. 【详解】因为，所以，， 令，可得， 所以的严格减区间是 故答案为： 4．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知曲线在处的切线方程为，则 ． 【答案】1 【分析】由题意先求，利用导数的几何意义求即可求解. 【详解】因为曲线在处的切线方程为， 所以， 故答案为：1. 5．（24-25高二下·上海杨浦·期中）函数 在 到 之间的平均变化率是 . (用含 的代数式表示) 【答案】 【分析】由平均变化率的概念即可求解. 【详解】函数 在 到 之间的平均变化率是 . 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·月考）函数在上的极大值点为 . 【答案】 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性并确定极值点即可. 【详解】由， 时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则函数在上的极大值点为. 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】参变分离，构造新函数，求得单调性即可求解． 【详解】因为在上恒成立，即在上恒成立， 取，所以，显然递增，即， 所以在单调递增，所以， 所以， 故答案为：． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为 . 【答案】/ 【分析】求导，确定切线斜率，即可求解. 【详解】设切线的倾斜角为， ， 所以， 所以在点处的切线斜率， 所以， 故答案为： 9．（24-25高三·上海·课堂例题）质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 【答案】 【分析】求函数的导数，根据导数的物理意义进行求解即可． 【详解】解：函数的导数， 当时，， 即质点在时的速度为， 故答案为：． 10．（25-26高三上·上海·月考）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义进行求解即可. 【详解】根据导数的定义可得. 因为，所以. 则由导数的定义可得. 故答案为：1. 11．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知是函数的极大值点，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导，令，求解，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】， 令，得或， ①当，即时，则当时，， 当或时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； ②当，即时，则， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； ③当，即时，则当时，， 当或时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上：的取值范围是. 12．（24-25高一下·上海·期中）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用函数在某区间上为减函数等价于导函数在该区间上恒不大于0，再利用分离参数法解决不等式恒成立问题，即可得结果. 【详解】由求导可得， 因为函数在上为减函数，所以在上恒成立， 即，由题意知，故分离参数可得， 二次函数开口向下，对称轴为， 所以时，函数在处取得最大值， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可构造函数，，判断其奇偶性以及单调性，由此将原不等式转化为，结合函数单调性即可求解. 【详解】由题意知是定义在上的函数，， 设，，则， 即，为奇函数， 又，故在上单调递增， 由，可得， 即，则， 故，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 14．（24-25高二下·上海闵行·月考）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 【答案】9 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，， 所以， 因为 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是9. 故答案为：9 15．（2025高三上·上海·专题练习）若函数是偶函数，则曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， 因为函数是偶函数，即对任意的，， 即， 所以， 故，所以，故， 所以，，则切点为，切线斜率为， 因此曲线在处的切线方程为. 故答案为：. 16．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则函数在处的导数 . 【答案】 【分析】先根据奇函数的定义求出时的函数的解析式，再求导即可求出导数值. 【详解】因为奇函数的定义域为， 令，则，所以， 所以当时，， 所以. 故答案为：. 17．（24-25高二下·上海·期末）设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数 图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】求出两个函数的导函数的值域后结合包含关系可求实数的最小值. 【详解】由题设有， ， 故，， 故， 因为函数图像上任意一点处的切线为， 总存在函数 图像上一点处的切线，使得， 故为的子集， 所以，解得，故实数的最小值是， 故答案为：. 三、解答题 18．（24-25高二下·上海虹口·期末）设 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； 【答案】(1)递减区间为(0,2)，递增区间为； (2)； 【分析】（1）对求导，根据导数在区间内的符号判断单调区间； （2）利用导数的几何意义求切线方程，再由切线重合得到相关方程求参数值. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以，令， 所以函数递减区间为(0,2)，递增区间为． （2）由，则曲线在点处的切线的方程为， 设直线与曲线相切于点，且，结合切点在上， 所以，且. 19．（25-26高三上·上海·期中）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可； （3）参变分离得对于恒成立，设，然后利用导数法求得的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为，所以，所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为，即； （2）由得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． （3）， 由，得对于恒成立，设， 则， 因为，所以时，单调递减， 时，单调递增，所以，所以． 20．（25-26高三上·上海·期中）设． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (3)若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) (3) 【分析】（1）代入，对函数求导判断单调区间即可． （2）根据导函数的几何意义，以及切线方程的性质，求解即可． （3）对原不等式分离参数，再构造新函数，结合新函数的导函数判断函数单调性，求出函数最大值，求出参数范围即可． 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. （2）因， 故曲线在点处切线的方程为． 设直线与曲线相切于点，且， 则，且，解得． （3）由题意得，化简得． 设，则． 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 函数在处取得极大值，也是上的最大值，可知． 因此a的取值范围为． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·开学考试）已知，，，如果有，，则的值为（   ） A．-1 B．0 C．0.5 D．1 【答案】B 【分析】构造函数，由其单调性即可求解； 【详解】构造函数， ，易知在上，恒成立； 所以时单调递增， 由，， 可得： 因为，∴，， 所以 即，， 故选：B 2．（24-25高三上·上海·期中）我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，给出下列两个命题：命题p：若函数满足为奇函数，且的图像与函数的图像有2024个交点，记为（，2，…，2024），则；命题q：函数的导函数的图像关于直线对称.则下列说法正确的是（    ） A．命题p是真命题，命题q是假命题 B．命题p是假命题，命题q是真命题 C．命题p、命题q都是真命题 D．命题p、命题q都是假命题 【答案】C 【分析】求出，得到关于中心对称，结合关于中心对称，分析出一定不经过，的图像与函数的2024个交点关于中心对称，从而得到；两边求导，得到，命题p、命题q都是真命题. 【详解】的定义域为R， 且， 故， 所以为奇函数，关于中心对称， 又为奇函数，故关于中心对称， 由于，而两函数交点个数为2024个，偶数个， 故一定不经过， 所以的图像与函数的2024个交点关于中心对称， 故，，p是真命题； 因为的定义域为R，且， 两边求导得，即， 故的图像关于直线对称，命题q是真命题. 故选：C 3．（24-25高二下·上海·期中）已知泰勒展开式：，如果使用泰勒展开式求 的值，下列最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中的泰勒公式，进行求导数，可得，令，结合诱导公式，进行近似计算，可得答案. 【详解】因为, 则, 当时，则有, 又 , 则 . 故选∶B 二、填空题 4．（24-25高二下·上海·期末）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导后，将问题转化为在上有两个不同零点的问题，根据二次函数零点分布可构造不等式组求得结果. 【详解】函数的定义域为，， 函数既有极大值又有极小值， 在上有两个不同零点， ，解得：，即的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，求得，根据题意，得到在单调递增，再由函数是上的偶函数，把不等式转化为，得出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】令，可得， 当时，，可得，所以单调递增； 又因为是上的偶函数，可得的图象关于轴对称， 因为不等式， 即，即，即， 所以，可得，所以， 解得或，即的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】由，得 设，所以，所以为R上的偶函数， 当时，， 因为当时，，所以当时，， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 即， 等价于，即，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为：. 7．（24-25高三上·上海·期中）已知是曲线上一点，作曲线在点处的切线，与轴、轴分别交于点、，为坐标原点，则 . 【答案】1 【分析】先将曲线C：转化为，，利用导数求出曲线在点处的切线斜率，得切线的方程及在轴、轴上的截距，化简即得结果. 【详解】因为在曲线上，则 由得， 平方，得， ，, ∴曲线在点处的切线：， 令， 令，，则， ，，  ∴ ∴. 故答案为：1. 8．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则 ； . 【答案】 【分析】根据给定条件，依次求导，探求出求导后的规律，再按周期性求值即可. 【详解】因为，， ， ， ， 所以， 所以， 所以， ； 所以， ， ， 所以. 【点睛】关键点睛：关键在于求导找到规律，利用规律计算即可 9．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴，设切点为，则， 切线方程为：， ∵切线过原点， ∴， 整理得：， ∵切线有两条，∴， ∴的取值范围是， 故答案为： 10．（24-25高二下·上海虹口·期末）曲线与曲线分别交于两点，设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据已知得、、，进而得到，则，最后求出，即可得参数值. 【详解】由题意，， 的导数为，在处斜率为， 的导数为，在处斜率为， 根据题意，， 结合和、，得， 对于，则，故时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，显然均为正数， 而在上单调递增，故，即， 此时：， 设，方程变为：或， 当时，， 当时，不符， 综上：. 故答案为： 11．（24-25高二下·上海·期末）已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先确定曲线的切线的变化规律，再根据曲线的切线关于的对称直线不能与轴垂直，可求的取值范围. 【详解】因为，所以，在上单调递增. 当时，函数在处的切线与轴垂直. 所以要使曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则需. 由 ，又，所以. 所以. 故答案为： 三、解答题 12．（24-25高二下·上海·期末）已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)； (2)减区间，增区间； (3). 【分析】（1）利用商的导数法则求导即可； （2）利用导数的正负判断单调性即可； （3）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可. 【详解】（1）求导得： （2）当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （3）由，可得， 题意等价于在上有解. 设，求导得， 当时，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，在在递增，时，在递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，. 13．（25-26高三上·上海·月考）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米. (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)求三条轨道的总长度的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理表示出，可得的表达式，由的活动范围可求的范围； （2）利用导数求解，的最小值，进而可得答案. 【详解】（1）因为是弧的中点，所以，， 又，由正弦定理，得， 又，得，， 所以 ， 当在处时，；当在处时，，所以的取值范围是. （2）令，； ，令得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以时，有最小值，所以三条轨道的总长度的最小值为. 14．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单调性可确定最小值点，由此可得最小值； （2）将问题转化为，令，利用导数可求得的单调性，由此可求得，进而得到结果； （3）将问题转化为，根据单调性可求得，分离变量可得，令，利用导数可求得单调性，进而求得最小值，由此可得取值范围. 【详解】（1）由题意知：； 与在上均为增函数，在上单调递增， . （2）当时，由得：， 若存在，使得成立，则； 令，则， 当时，，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. （3）由得：， 若对于任意的，总存在，使得成立，则； 在上单调递增，，，， 当时，，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 15．（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)答案见解析 (3)或 【分析】（1）根据导数的正负即可求解极值； （2）分类讨论，及时的正负即可得出的单调性； （3）分类讨论，结合零点存在性定理，以及函数的单调性即可求解． 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值． （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数． （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点． 16．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. (1)设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； (2)若函数是“逆构造函数”，求的取值范围； (3)已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据定义即可验证； （2）先在函数是“逆构造函数”的条件下证明，再在的条件下证明函数是“逆构造函数”，即可得到的取值范围是； （3）分情况讨论，并证明对任意的都有，即可推出相应的结论. 【详解】（1）由于，故对有. 所以是否为“逆构造函数”. （2）由于，故. 一方面，若函数是“逆构造函数”，则，即. 所以对任意成立. 特别地，取，得，从而，故. 再取，得，从而. 此即，故，解得； 另一方面，若，则. 设，则，所以对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. 所以对，有 . 从而此时函数是“逆构造函数”. 综上，的取值范围是. （3）设，则. 所以在上单调递增. 一方面，对，有. 所以对任意，有； 另一方面，对，假设，则根据及零点存在定理，存在使得. 再由条件，知，矛盾. 所以对任意，有. 假设存在使得，则根据及零点存在定理，存在使得. 从而对任意，有. 但由，知，矛盾. 所以对任意，都有. 综合两方面可知，对任意的，都有. 所以对任意，关于的方程一定无解. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“逆构造函数”定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 17．（24-25高二下·上海·期末）已知 (1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数e为自然对数的底）； (2)根据（1）的结论，判断与的大小关系： 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数的运算法则求出导数，再判断导数值的正负即可. （2）利用（1）的结论，结合对数函数单调性比较大小. 【详解】（1）函数，求导得， 当时，，则， 所以函数在上是严格减函数. （2）由（1）知，函数在上单调递减，则， 即，整理得，即， 又函数在上单调递增，所以. 18．（25-26高三上·上海·期中）若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足：对任意的，均有，则称区间为和的“区间”． (1)写出和在上的一个“区间”（无需证明）； (2)若是和的“区间”，证明：不是偶函数； (3)若，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点． 【答案】(1)在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据正余弦函数的性质及区间的定义确定和在上的一个“区间”； （2）根据定义有时，时，进而得到使，即可证； （3）应用导数研究函数的单调性，再由区间的定义及零点存在性定理，即可证. 【详解】（1）由题意和的定义域是， 当时，满足“区间”的定义， 故在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集； （2）由题意，当时，，故， 当时，，故， 在任意区间上不恒为0，故，使得， 又，显然，故不是偶函数； （3）当时，， 因为，即， 所以在上单调递增， 当时， 故且唯一，使， 且当时，，当时，， 当时，，故且存在，使得， 当时，，故且存在，使得， 由零点存在性定理知，，使， 故在区间上存在零点. 19．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【答案】(1)当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据复合函数求导后利用函数新定义分析即可； （2）利用自导函数的定义构造函数，再求导即可推理得证. （3）由共轭互导函数的定义对进行求导运算可证明，并确定的一个解，再证明唯一性即可.. 【详解】（1）对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2）因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知（实数为常数），又， 所以，故，于是. （3）设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 20．（24-25高二下·上海静安·期末）设． (1)求函数图象上以点为切点的切线方程； (2)经过点是否还存在函数图象的另一条切线？如果存在，求出该切线与（1）中切线的夹角大小（用反三角函数值表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， .(或) 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式求切线方程即得； （2）设另一条切线对应的切点为，写出切线方程，代入点，得到方程，解方程得，利用两条切线的斜率和到角公式即可求出两切线的夹角. 【详解】（1）由，可得，且， 故， 故以点为切点的切线方程为，即. （2）设经过点与函数图象切于另一点的切线存在， 则切线方程为：， 将代入直线方程得， 化简得：， 解得，即存在另一条切线，其斜率为． 设两条切线夹角为，则，或， 则夹角.(或) 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 导数及其应用（复习讲义） （一）高考定位 导数是高中数学核心主干知识，高考中以“基础题+中档题+压轴题”多层次考查，覆盖选择、填空、解答全题型.核心考查导数的概念与运算、几何意义、函数性质应用（单调性、极值、最值）、含参问题分析、不等式与方程综合. （二）核心目标 1.基础层面：掌握导数的定义、几何意义，熟记导数公式与运算法则，能熟练求解各类函数的导数. 2.应用层面：能利用导数分析函数单调性、极值、最值，解决切线方程、优化问题等基础应用题型. 3.进阶层面：能处理含参函数的单调性、极值、恒成立/存在性问题，掌握分类讨论、数形结合等核心思想. 4.综合层面：能综合运用导数与函数、不等式、方程知识，破解高考压轴题（不等式证明、方程根的个数判断等）. 一：基础概念与导数运算 模块 核心知识点 关键公式/定理 期末考查频率 题型特征 导数的概念与意义 实际背景（瞬时速度、切线斜率） 瞬时速度 低频 选择/填空 导数定义（平均/瞬时变化率） ；导数存在充要条件：左导数=右导数 中频 选择/填空 几何意义（切线、 1.切线斜率；2.切线方程 高频 全题型 导数的运算 基本初等函数导数公式 1.（为常数）；2.（）；3.；4.；5.；6.；7.；8.（）；9.；10.（） 必考 基础工具 四则运算法则 1.；2.；3.（）；4.（为常数） 必考 计算核心 复合函数求导 设，，则（链式法则，多层复合可递推） 必考 中档题核心 二：导数应用与期末压轴核心 模块 核心知识点 关键公式/定理 期末考查频率 题型特征 导数的应用 函数单调性 1.若在区间恒成立，则在单调递增；2.若在区间恒成立，则在单调递减；3.单调区间分界点：的根或不存在的点 必考 解答题核心 函数极值 1.极值点判定：（驻点）且两侧符号相反；2.左正右负→极大值点，左负右正→极小值点；3.可导函数极值点必为驻点，驻点不一定是极值点 必考 解答题核心 函数最值 1.闭区间上连续函数必有最值，最值在极值点或区间端点处取得；2.求解步骤：求导→找驻点与不可导点→计算各点函数值→比较得最值 必考 解答题核心 实际优化问题 求解步骤：建立数学模型（设变量、定目标函数）→确定定义域→求导找最值→验证并作答 低频 解答题 高考压轴核心 含参函数分析 1.分类讨论依据：驻点与定义域的位置关系、导函数符号由正变负/负变正的临界点；2.常见题型：求参数范围使函数单调/有极值/存在最值 高频 压轴题 恒成立与存在性问题 1.在恒成立；2.使；3.转化核心：参变分离法 高频 压轴题 导数与不等式、方程综合 1.不等式证明：构造辅助函数，利用导数判单调性、最值证明；2.方程根的个数：转化为函数图像与轴/定直线交点个数，分析单调性与极值 高频 压轴题 （一）导数概念的核心辨析 1.平均变化率反映函数在某区间内的整体变化趋势，瞬时变化率（导数）反映函数在某点处的局部变化趋势，二者是“整体”与“局部”的关系. 2.导数存在的前提是函数连续，函数连续不一定可导（如在处连续但不可导），可导一定连续. 3.导函数的定义域是原函数定义域内所有可导点的集合，可能是原函数定义域的子集. （二）导数运算的关键技巧 1.复合函数求导：先拆分复合层次（从外层到内层），标注中间变量，再按链式法则逐层求导，最后将中间变量代回原变量.多层复合需多次应用链式法则. 2.分式函数求导：优先化简（通分、约分、转化为幂函数）再求导，避免直接套用商的法则导致计算繁琐. 3.求导前先观察函数结构，合理利用运算法则简化计算（如提取常数、拆分分式），减少计算误差. （三）导数几何意义的深度梳理 1.“在点处的切线”：是切点，切线唯一，直接用切线方程公式求解. 2.“过点的切线”：不一定是切点，需先设切点，写出切线方程，再将点坐标代入求解，可能存在多条切线. 3.法线与切线垂直，斜率乘积为（切线斜率存在且不为0）.若切线斜率为0，法线为垂直于轴的直线（）；若切线斜率不存在，法线为平行于轴的直线（）. （四）函数性质与导数的核心关联 1.单调性与导数：导数符号决定单调性，导数为0的点不影响单调性（如在处导数为0，仍在上单调递增）. 2.极值与导数：极值是局部最值，驻点不一定是极值点，需通过导函数符号变化判断.不可导点也可能是极值点（如在处不可导但为极小值点）. 3.最值与极值：闭区间上的最值需综合极值与端点函数值，开区间内的函数不一定有最值，若有最值则必为极值. （五）含参问题的分类讨论策略 1.讨论起点：先确定函数定义域，再求导得到导函数，分析导函数的结构（一次函数、二次函数、分式函数等）. 2.讨论依据：①导函数是否存在零点（驻点）；②驻点是否在函数定义域内；③多个驻点时，驻点之间的大小关系. 3.讨论步骤：按参数取值范围划分区间，分别判断每个区间内导函数的符号，进而确定函数的单调性、极值情况. 4.核心原则：不重不漏，分类标准统一（如按二次函数的判别式、对称轴位置分类）. 四、高频易错点警示 1.基本导数公式记忆错误：如、、，导致求导结果错误. 2.复合函数求导遗漏内层导数：如错解为，忽略内层函数的导数. 3.混淆“在点处”与“过点”的切线：未设切点直接用点求切线，导致漏解. 4.判断函数单调性时忽略定义域：直接求导判符号，未先确定定义域，导致单调区间范围错误. 5.将驻点等同于极值点：认为则必为极值点，忽略“两侧导数符号变化”的判定条件. 6.含参问题分类讨论不全面：如二次函数导函数未讨论判别式、、的情况，或遗漏参数为0的特殊情形. 7.恒成立问题转化错误：将恒成立错解为，正确转化应为恒成立. 8.求解最值时忽略定义域限制：未判断驻点是否在定义域内，直接代入计算，导致结果错误. 五、核心思想方法总结 1.数形结合思想：利用导函数图像判断原函数的单调性、极值，或利用原函数图像分析方程根的个数. 2.分类讨论思想：解决含参函数的单调性、极值、最值问题，按参数取值范围合理划分区间，逐一分析. 3.转化与化归思想：将恒成立问题转化为最值问题，将不等式证明转化为函数单调性问题，将方程根的个数问题转化为函数图像交点问题. 4.参变分离思想：将含参恒成立/存在性问题中的参数与变量分离，转化为求函数最值问题，简化计算. 5.构造函数思想：解决不等式证明、比较大小等问题时，通过构造合适的辅助函数，利用导数分析函数性质求解. 题型一 平均变化率与瞬时变化率 【例1】（25-26高三上·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）自由落体运动中，物体下落的距离（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系式，则物体在时间段内的平均速度为 . 【变式1-2】（25-26高三上·上海·单元测试）一质点按规律运动， (1)求其在时间段[1,2]内的平均速度； (2)求其在时的瞬时速度． 【变式1-3】（24-25高二下·上海·月考）一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则 ． 题型二 导数的概念 【例1】（24-25高三下·上海·月考）已知，则 . 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）设函数在处可导，且，则 . 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（   ） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 【变式1-3】（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中. (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求的值． 题型三 求某点处的切线方程 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图所示，已知直线l是曲线在点处的切线，则 . 【变式1-1】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【变式1-2】（24-25高三上·上海·月考）函数在点处的切线方程为 ． 【变式1-3】（24-25高三上·上海·期中）曲线在点处的切线是 .（一般式方程） 题型四 求过某点的切线方程 【例1】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 【变式1-1】（22-23高三下·上海浦东新·开学考试）已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为 . 【变式1-2】（23-24高二上·上海·课后作业）求过点且与曲线相切的直线的方程． 【变式1-3】（23-24高二上·上海·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 题型五 公切线的问题 【例1】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 【变式1-2】（2025·陕西汉中·一模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则 ． 题型六 切线条数的问题 【例1】（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（24-25高二下·江西·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式1-3】（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 题型七 导数的四则运算与复合函数的导数 【例1】（25-26高三上·上海浦东新·期中）若，则 . 【变式1-1】（25-26高三上·上海普陀·月考）已知，则 . 【变式1-2】（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数，则的值为 . 【变式1-3】（24-25高二下·上海虹口·期末）函数的导数 ． 题型八 求已知函数的单调区间 【例1】（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期中）函数的单调减区间是 . 【变式1-2】（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期中）函数的严格减区间为（   ） A． B． C． D．和 题型九 由函数的单调区间求参数 【例1】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式1-1】（24-25高三·上海·随堂练习）若函数，其中，函数是严格增函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 题型十 函数含参的单调性讨论 【例1】（2024高二·上海·专题练习）已知． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【变式1-1】（2024高二·上海·专题练习）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【变式1-2】（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【变式1-3】（2023·上海徐汇·一模）已知. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 题型十一 求已知函数的极值 【例1】（25-26高一上·上海浦东新·月考）设函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程. (2)当，求函数的极值. 【变式1-1】（24-25高一下·上海·期末）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【变式1-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数．求函数的单调区间和极值． 【变式1-3】（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 题型十二 由函数的极值求参数 【例1】（24-25高二下·上海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 【变式1-1】（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【变式1-2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，若的极大值为1，求实数的值； 【变式1-3】（23-24高三上·上海嘉定·月考）若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有 . ①；②；③；④ 题型十三 求已知函数的最值 【例1】（24-25高三上·上海·期中）记函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-1】（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 【变式1-2】（23-24高二下·上海浦东新·月考）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 【变式1-3】（23-24高三下·河南·开学考试）函数在区间上的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 题型十四 由函数最值求参数 【例1】（24-25高二下·上海·月考）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·上海松江·二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【变式1-3】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 题型十五 函数不等式恒成立问题 【例1】（2025高三上·上海·专题练习）已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式1-1】（25-26高三上·上海闵行·期中）设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为 ． 【变式1-2】（25-26高三上·上海·月考）已知，，关于x的方程有三个实数解，且，若满足不等式恒成立的最大整数m为 . 【变式1-3】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是 . 题型十六 用导数解决实际问题 【例1】（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为 平方千米． 【变式1-1】（2025·上海松江·三模）如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 【变式1-2】（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 【变式1-3】（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为 ．    基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 2．（24-25高二下·上海青浦·期中）已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高三上·上海黄浦·期中）函数的严格减区间是 . 4．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知曲线在处的切线方程为，则 ． 5．（24-25高二下·上海杨浦·期中）函数 在 到 之间的平均变化率是 . (用含 的代数式表示) 6．（25-26高三上·上海·月考）函数在上的极大值点为 . 7．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是 ． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为 . 9．（24-25高三·上海·课堂例题）质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 10．（25-26高三上·上海·月考）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 . 11．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知是函数的极大值点，那么的取值范围是 . 12．（24-25高一下·上海·期中）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ． 13．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为 ． 14．（24-25高二下·上海闵行·月考）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 15．（2025高三上·上海·专题练习）若函数是偶函数，则曲线在处的切线方程为 . 16．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则函数在处的导数 . 17．（24-25高二下·上海·期末）设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数 图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是 ． 三、解答题 18．（24-25高二下·上海虹口·期末）设 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； 19．（25-26高三上·上海·期中）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 20．（25-26高三上·上海·期中）设． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (3)若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·开学考试）已知，，，如果有，，则的值为（   ） A．-1 B．0 C．0.5 D．1 2．（24-25高三上·上海·期中）我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，给出下列两个命题：命题p：若函数满足为奇函数，且的图像与函数的图像有2024个交点，记为（，2，…，2024），则；命题q：函数的导函数的图像关于直线对称.则下列说法正确的是（    ） A．命题p是真命题，命题q是假命题 B．命题p是假命题，命题q是真命题 C．命题p、命题q都是真命题 D．命题p、命题q都是假命题 3．（24-25高二下·上海·期中）已知泰勒展开式：，如果使用泰勒展开式求 的值，下列最接近的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高二下·上海·期末）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 . 5．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 . 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为 . 7．（24-25高三上·上海·期中）已知是曲线上一点，作曲线在点处的切线，与轴、轴分别交于点、，为坐标原点，则 . 8．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则 ； . 9．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 10．（24-25高二下·上海虹口·期末）曲线与曲线分别交于两点，设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，若，则 ． 11．（24-25高二下·上海·期末）已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是 . 三、解答题 12．（24-25高二下·上海·期末）已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 13．（25-26高三上·上海·月考）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米. (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)求三条轨道的总长度的最小值. 14．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 15．（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 16．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. (1)设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； (2)若函数是“逆构造函数”，求的取值范围； (3)已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. 17．（24-25高二下·上海·期末）已知 (1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数e为自然对数的底）； (2)根据（1）的结论，判断与的大小关系： 18．（25-26高三上·上海·期中）若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足：对任意的，均有，则称区间为和的“区间”． (1)写出和在上的一个“区间”（无需证明）； (2)若是和的“区间”，证明：不是偶函数； (3)若，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点． 19．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 20．（24-25高二下·上海静安·期末）设． (1)求函数图象上以点为切点的切线方程； (2)经过点是否还存在函数图象的另一条切线？如果存在，求出该切线与（1）中切线的夹角大小（用反三角函数值表示），如果不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $