精品解析：甘肃省临夏州2025-2026学年上学期期末质量监测九年级数学试卷

临夏州2025—2026学年度秋季学期期末质量监测 九年级数学 本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、县/区、考点、考场、座号填写清楚． 2．答题请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 刘家峡大红枣果实色泽鲜红、皮薄、肉厚、核小、清脆、质地细嫩、香甜可口．现跟踪调查了刘家峡大红枣树苗的移植成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计刘家峡大红枣树苗移植成活的概率是（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 5. 若圆内接正多边形的一个中心角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 6. 已知二次函数的图象经过点，两点，若，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 7. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 12. 如图，已知在中，则的度数是_________． 13. 把抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线，则_________． 14. 如图1是某博物馆屋顶的部分图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，半径为的弧，，则的长是_________cm． 15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） （1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形； （2）求出的面积． 19. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 20. 黄河流域作为中华文明的摇篮，孕育了多个重要的史前文化，新石器时代晚期文化有龙山文化、大汶口文化、马家窑文化、齐家文化．这四种文化的陶器是其重要标志，反映了农业经济、手工业发展和社会复杂化．以下是几种陶器的图片：A．蛋壳黑陶；B．彩陶盉；C．涡纹彩陶瓮；D．蚕纹二联陶罐． （1）小夏从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．涡纹彩陶瓮”的概率是_________． （2）为学习和宣传黄河文化，小甘先从上面四幅图中任选一幅，小夏再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．蛋壳黑陶”和“D．蚕纹二联陶罐”的概率． 21. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系． 22. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称＂彩塑＂，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作每件成本为30元，销售一段时间后发现，当泥塑每件售价为40元时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价上涨1元，则月销售量将减少10件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑每件应涨价多少元？ 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 24. 如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系． （1）求图中水柱所在抛物线的函数解析式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 25. 如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 26. 如已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标： （3）抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值． 27. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临夏州2025—2026学年度秋季学期期末质量监测 九年级数学 本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、县/区、考点、考场、座号填写清楚． 2．答题请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念，即在一定条件下一定会发生的事件．根据成语的含义，判断哪个事件是必然发生的． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，分析各成语描述的事件，只有“瓮中捉鳖”表示一定能做到的事情，属于必然事件． 【详解】必然事件是必然会发生的事件； 项“守株待兔”是偶然事件，不一定发生； 项“水中捞月”是不可能事件，不会发生； 项“刻舟求剑”是不可能事件，不会发生； 项“瓮中捉鳖”比喻事情很容易成功，一定会发生，属于必然事件； 故选． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程配方法的解题步骤，准确计算是解题的关键． 通过配方法，将方程转化为完全平方式的形式即可． 【详解】， ， ， ． 故选． 4. 刘家峡大红枣果实色泽鲜红、皮薄、肉厚、核小、清脆、质地细嫩、香甜可口．现跟踪调查了刘家峡大红枣树苗的移植成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计刘家峡大红枣树苗移植成活的概率是（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等． 由图可知，成活的频率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，故成活的概率估计值约是． 故选：C． 5. 若圆内接正多边形的一个中心角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 正多边形的中心角度数等于除以边数，根据给定中心角建立方程求解． 【详解】解：设正多边形的边数为， 中心角为， ， ， 这个正多边形的边数是． 故选：． 6. 已知二次函数的图象经过点，两点，若，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性得到的取值范围，根据取值范围确定的值． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时， ， ， 当时， 点的对称点是， ， ， 的值可能是． 故选：C． 7. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 每名学生需要给其他名学生写留言，因此总留言数为份，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意，列出方程为， 故选：B． 8. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在轴上方时对应的的取值范围即可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下，， ∴． 故选：C． 9. 如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动， ∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒． 由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t， ，为开口向上的抛物线的一部分． 当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4， ，为直线（一次函数）的一部分． 观察所给图象，符合条件的为选项D．故选D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 【答案】(1，) 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接写出答案． 【详解】解：点A（-1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（1，-3）， 故答案为（1，-3）． 12. 如图，已知在中，则的度数是_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可求得． 【详解】解：与是同弧对的圆心角与圆周角，， ． 故答案为. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题关键． 13. 把抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握变化规律是解题的关键． 抛物线平移时，二次项系数不变，仅常数项改变，计算即可． 【详解】抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线， 与比较，得，， 故； 故答案是． 14. 如图1是某博物馆屋顶的部分图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，半径为的弧，，则的长是_________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的应用，准确计算是解题的关键． 利用弧长公式为，其中是圆心角度数，是半径，计算即可． 【详解】已知，， 弧长． 故答案是． 15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 【答案】2 【解析】 【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键． 根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解． 【详解】正方形绕点逆时针旋转， ，每旋转次回到原来位置， 余， 点的坐标与点的坐标相同， 已知点，则点，旋转后点，再旋转后点， 点的坐标为． 故答案是． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 利用因式分解法计算即可； 【详解】， ， 则或， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） （1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形； （2）求出的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用面积的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为：． 19. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． 【小问1详解】 解：将代入方程可得： ，解得： 【小问2详解】 略 20. 黄河流域作为中华文明的摇篮，孕育了多个重要的史前文化，新石器时代晚期文化有龙山文化、大汶口文化、马家窑文化、齐家文化．这四种文化的陶器是其重要标志，反映了农业经济、手工业发展和社会复杂化．以下是几种陶器的图片：A．蛋壳黑陶；B．彩陶盉；C．涡纹彩陶瓮；D．蚕纹二联陶罐． （1）小夏从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．涡纹彩陶瓮”的概率是_________． （2）为学习和宣传黄河文化，小甘先从上面四幅图中任选一幅，小夏再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．蛋壳黑陶”和“D．蚕纹二联陶罐”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】从四幅图中随机选择一幅，有种等可能的结果，恰好选中对应种结果，则概率是；小甘先任选一幅，小夏从剩下的三幅中任选一幅，共有种等可能的结果，两人恰好选中“．蛋壳黑陶”和“．蚕纹二联陶罐”包含其中的种结果，则概率是，即． 【小问1详解】 从四幅图中随机选择一幅，恰好选中“．涡纹彩陶瓮”的概率是； 【小问2详解】 小甘 小夏 由上表可知，共有种等可能的结果，其中两人恰好选中“．蛋壳黑陶”和“．蚕纹二联陶罐”的结果有种， (两人恰好选中“．蛋壳黑陶”和“．蚕纹二联陶罐”)． 【点睛】本题考查了等可能事件的概率，明确等可能结果的个数，以及事件包含的结果个数是解题的关键． 21. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系． 【答案】（1）作出线段的垂直平分线，连接；    以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2） 【解析】 【分析】（1）①分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，②按照语句依次作图即可； （2）由作图可得： 再证明 再证明 从而可得结论． 【详解】解：（1）作出线段的垂直平分线，连接； 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）结论：．理由如下： 由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键． 22. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称＂彩塑＂，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作每件成本为30元，销售一段时间后发现，当泥塑每件售价为40元时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价上涨1元，则月销售量将减少10件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑每件应涨价多少元？ 【答案】任务1：；任务2：该泥塑每件应涨价为10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （任务1）设该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x,利用该泥塑作坊9月份制作泥塑的数量该泥塑作坊7月份制作泥塑的数量1+该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （任务2）该泥塑的涨价定为y元/件，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：任务1：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去）， 答：7月份到9月份的月平均增长率为； 任务2：设该泥塑每件应涨价元， 由题意得：， 整理得： 解得：， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴不符合题意舍去，符合题意 答：该泥塑每件应涨价为10元． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 【答案】（1）60°；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；  （2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长． 【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO． ∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°， ∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC=60°． （2）由旋转的性质得：AD=OB=4． ∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5． ∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理. 24. 如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系． （1）求图中水柱所在抛物线的函数解析式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 【答案】（1）抛物线解析式为 （2）水平距离为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式和二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键， （1）由题意可得抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入，求出值，即可得答案； （2）把代入（1）中解析式，求出的值，即可得答案． 【小问1详解】 解：∵水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为， ∴抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴图中水柱所在抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，（舍去）， ∴此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为． 25. 如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：连接， 是的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）连接，因为点是的中点，所以．又因为，所以．因为，所以，可通过角度关系证明，从而证明是的切线． （2）设半径为，根据勾股定理，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径为， 在中，，，， 根据勾股定理可得， 解得， ． 26. 如已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标： （3）抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值． 【答案】（1） （2）二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）将点和点，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）将解析式化为顶点式即可求解； （3）根据二次函数图象的对称性得出的最小值为的长，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点和点， ∴ 解得： ∴； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为 【小问3详解】 解：令中，，则， ∴， ∵，关于对称轴对称， 则， 连接，交对称轴于点，则此时取最小值， ∵,， ∴， 此时． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 27. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】（1）， （2） 解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $