21.1.2 多边形及其内角和 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦多边形及其内角和，涵盖概念、内角和公式（(n-2)×180°）、外角和公式（360°）。课堂导入结合生活中多边形图片，联系三角形、四边形知识，通过类比搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生理解概念。 其亮点是通过顶点引对角线、内部取点等多种方法推导内角和公式，培养推理能力，结合冰裂纹窗格、机器人行走等实例发展几何直观与应用意识。课堂小结系统梳理知识，助学生用数学语言表达规律，提升学生探究能力，为教师提供结构化教学资源。

第二十一章 四边形 21.1.2 多边形及其内角和 21.1 四边形及多边形 八下数学 RJ 1.探索并掌握多边形内角和与外角和公式; 2.能运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题， 提升推理能力. 学习目标 多边形在生活中也很常见，观察下图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？ 课堂导入 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段 A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 边 顶点 对角线 内角 外角 新知探究 知识点1 多边形及其相关概念 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段 A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 边 顶点 对角线 内角 说明 ： n(n≥3)边形共有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角，从一个顶点处可以引(n-3)条对角线. 外角 新知探究 知识点1 多边形及其相关概念 多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似. 多边形有几条边就叫作几边形. 多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”. A E D C B F 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 新知探究 知识点1 多边形及其相关概念 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.下图中是正多边形的一些例子. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 新知探究 知识点1 多边形及其相关概念 例1 下列图形中，一定是正多边形的是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.长方形 D.正方形 三条边不都相等，三个角不都相等. 三条边不一定都相等，三个角也不一定都相等. 四个角都相等，但四条边不一定都相等. 四条边都相等，四个角都相等. D 新知探究 知识点1 多边形及其相关概念 探究 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ 新知探究 知识点2 多边形的内角和 (1)从四边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将四边形分成______个三角形，四边形的内角和等于_____×180°； (2)从五边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将五边形分成______个三角形，五边形的内角和等于_____×180°； 2 2 1 3 3 2 新知探究 知识点2 多边形的内角和 (3)从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将六边形分成______个三角形，六边形内角和等于_____×180°； (4)从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将n边形分成______个三角形，n边形内角和等于_____×180°. 4 4 3 (n-2) (n-3) (n-2) 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ 新知探究 知识点2 多边形的内角和 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表 方法 图示 方法1： 如图所示，在n边形内任取一点P，连接 PA₁, PA₂, ..., PAn，把n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角的度数，即得n边形的内角和为 n×180° - 360° = (n-2)×180°. 新知探究 知识点2 多边形的内角和 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表 方法 图示 方法2：如图所示，在n边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得(n-1)个三角形，n 边形内角和等于这 (n-1) 个三角形的内角和减去在点P处的一个平角的度数，即得n边形的内角和为 (n-1)×180° - 180° = (n-2)×180°. 新知探究 知识点2 多边形的内角和 这样就得出了多边形的内角和公式： n边形的内角和等于(n-2)×180°. 新知探究 知识点2 多边形的内角和 例2 若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 解析：∵ 一个六边形的每个内角都是x°， ∴ 6×x°=(6−2)×180°， 解得 x=120. C 新知探究 知识点2 多边形的内角和 跟踪训练 如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAE的度数是_______． 60° 解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴每个内角为（6-2）×180°÷6=120°， △ABC和△AFE为等腰三角形， ∴∠BAC=∠FAE==30°， ∴∠CAE=∠BAF-∠BAC-∠FAE =120°-30°-30°=60°. A D C E B F 新知探究 知识点2 多边形的内角和 探究 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角、它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？请你说明理由. 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此 n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于 n×180°-(n-2)×180°=360°. 新知探究 知识点3 多边形的外角和 这样就得出了多边形的外角和公式： n边形的外角和等于360°. 也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360°：如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360° 新知探究 知识点3 多边形的外角和 例3 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n. 因为它的内角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°，所以 (n-2)×180°=2×360°. 解得 n=6. 因此这个多边形是六边形. 新知探究 知识点3 多边形的外角和 跟踪训练 图(1)是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图(2)是从图(1)冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的一个图形.已知∠3+∠4=180°，∠2=61°，∠5=52°，则∠1的度数为（ ） A.57 B.66° C.63° D.67° 解析：∵多边形的外角和等于360°， ∴∠1+2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴∠1=360°-∠2-∠3-∠4-∠5=67°. D 图（ 1 ） 图（ 2 ） 新知探究 知识点3 多边形的外角和 1.求出下列图形中x的值： x° x° x° x° x° 2x° 150° 120° (1) (2) (3) 135° 150° x° AB//CD B A C D E 解：(1)由2x+x+150+120+90=(5-2)×180，得x=60. (2)由4x+90+90=(6-2)×180，得x=135. (3)∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°. 由x+150+180+135=(5-2)×180，得x=75. 随堂练习 2.(1)一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形是几边形？ 解：（1）设这个多边形的边数为 n， 则 (n-2)×180° = 1 080°， 得 n= 8， 所以这个多边形是八边形. 随堂练习 2.(2)一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？ 解：（2）方法一：∵该多边形的每一个内角都等于 120°， ∴该多边形的每一个外角都等于 60°。 360° ÷ 60° = 6， ∴这个多边形是六边形. 方法二：设这个多边形的边数为 n， 则 (n-2)×180° = 120°×n， 解得 n= 6， 所以这个多边形是六边形. 随堂练习 2. (3)一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？ 解：（3）∵该多边形的每一个外角都等于 72°， 360° ÷ 72° = 5， ∴这个多边形是五边形. 利用多边形的内角（和）、外角（和）求边数的方法 1.已知n边形的内角和（或已知正n边形的一个外角），可利用n边形的内角和公式（或利用n边形的外角和为360°）求边数； 2.已知正n边形的一个内角的度数为m,可通过列方程(n-2)·180°=mn求边数； 3.已知多边形内角和与外角和之间的数量关系，可列方程求边数. 随堂练习 3.参加科创兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转18°，再沿直线前进1米，又向左转18°……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是 （ ） A.10米 B.18米 C.20米 D.36米 解析：由题意，得机器人走的路径是一个边长为1米， 每个外角都为18°的正多边形. 360°÷18°=20，20×1=20(米)， ∴机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是20米. C 随堂练习 多边形及其内角和 相关 概念 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 内角和 公式 n边形的内角和等于(n-2)×180° 外角和 公式 多边形的外角和等于360° 课堂小结 $