22.2二次函数与一元二次方程同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程 一、单选题 1．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．抛物线与轴的交点数是（　　） A．没有交点 B．有两个交点 C．只有一个交点 D．交点数不能确定 3．函数经点．时，x的取值范围为或．m可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 5．若二次函数的图象与x轴交点个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 6．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（    ）    A．， B．， C．， D．， 7．如图，已知抛物线开口向上，与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 8．已知二次函数（是常数，），当时，，若此一元二次方程有两个不相等的实数根，则该二次函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 9．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是( ) A． B． C．或 D． 10．若二次函数的图像与x轴有两个交点，则k的取值范围是（    ） A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞1 11．如图，抛物线经过点（-1，0），与y轴交于点（0，2），抛物线的对称轴为直线，关于此题，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：，； 乙：方程的解为-1和3； 丙：．下列判断正确的是（　　） A．甲对，乙错 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 12．华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是（  ） A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 二、填空题 13．抛物线与y轴的交点坐标是 ． 14．以x为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是 ． 15．将抛物线向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为 ． 16．二次函数的图象如图所示，则方程的解是 ．    17．如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是 ． 三、解答题 18．已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点． (2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上． (3)已知点，线段AB与函数的图象有公共点，则a的取值范围是　 　． 19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)一次函数的图象也经过点，，结合图象，若成立，则的取值范围是_______． 20．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 21．已知二次函数． (1)求证：对于任意实数m，二次函数的图象与x轴总有交点； (2)若这个二次函数的图象与x轴交于点A，，求点A的坐标． 22．已知函数． (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当取哪些值时，函数值为？ 23．如图所示，抛物线的顶点坐标（1，4）,与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)当=-5时，求自变量x的值为______； (3)当0<x<3时，的取值范围是________； (4)当时，x的取值范围是________． 24．某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表：其中__________． … -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … … 3 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 … (2)根据表格数据，请画出该函数图象． (3)观察函数图象，写出函数的一条性质________________________________________； (4)进一步探究函数图象解决问题： ①方程有__________个实数根； ②在（2）的图象所在坐标系中画出直线，根据图象写出方程的一个正数根约为__________．（精确到0.1） ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 学科网（北京）股份有限公司 《22.2二次函数与一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D C B D C C B 题号 11 12 答案 D A 1．D 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴的交点即可判断①②；当时，，即可判断③；根据抛物线与轴有2个交点，即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， ∵， ∴， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ，故①符合题意； ，故②符合题意； 观察函数图象，可知： 当时，， ，故③符合题意； 抛物线与轴有2个交点， ，故④符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于． 2．B 【分析】令，根据一元二次方程的根的判别式的符号进行判断方程的根的情况即可得出结论． 【详解】解：令，则方程中， 由得方程有两个不相等的实数解， 则对应抛物线与x轴有两个交点， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解答的关键是转化为对应一元二次方程的根的判别式与根的关系：当时，抛物线与x轴交点有2个；当时，抛物线与x轴交点有1个，当时，抛物线与x轴没有交点． 3．A 【分析】由，x的取值范围为或，可以得出或是方程的两个根，则，再由，可得，即，将点代入函数解析式可得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∵当，x的取值范围为或， ∴或是方程的两个根， ∴， ∴， ∴， ∴是函数的对称轴， 又∵，x的取值范围为或， ∴， ∴， ∵函数经点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴m可能取值为1， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项符合， 故选：． 5．C 【分析】根据一元二次方程的判别式，即可得出结论． 【详解】∵二次函数， ∴， ∵， ∴，即， ∴二次函数的图象与轴交点个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数判别式，进行判断二次函数图象与轴交点个数，正确掌握方法是解题的关键． 6．B 【分析】直接根据图像求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵两个交点坐标分别为，， ∴方程的解为，，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型． 7．D 【分析】根据二次函数的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴；由图象知， ∴，故A不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故B不符合题意； ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴，故C不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线 ∴，即，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线的增减性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键． 8．C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数图象与轴交点解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实根，可得，二次函数图象与轴有两个交点，由此即可求解． 【详解】解：当时，有两个不相等的实根， ∴，即二次函数图象与轴有两个交点， ∴根据图示可得， A、与轴无交点，不符合题意； B、与轴有一个交代，不符合题意； C、与轴有两个交点，符合题意； D、与轴有一个交代，不符合题意； 故选：C ． 9．C 【分析】本题考查了二次函数以一次函数的综合，先根据一次函数的解析式求出和时，的值，再分，和三种情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得． 【详解】对于一次函数， 当时，， 当时，， 二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： （1）当时， 若两个函数的图象没有交点，则当时，二次函数的函数值大于6；或当时，二次函数的函数值小于0， 即或， 不等式可化为， 利用因式分解法解方程得：， 由二次函数的性质可知，当时，或(舍去)， 同理可得：不等式无解， 综上，此时的取值范围为； （2）当时， 若两个函数的图象没有交点，则无解， 即关于的方程无解， 则方程的根的判别式， 解得， 则此时的取值范围为； （3）当时， 当时，二次函数的函数值为， 所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点， 则此时的取值范围为； 综上，的取值范围为或， 故选：C． 10．B 【分析】根据二次函数与x轴交点个数由所决定，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数与x轴交点个数，熟练掌握二次函数与x轴交点个数是由决定的是解题的关键． 11．D 【分析】甲：由抛物线经过（-1，0）可得，由抛物线对称轴为可得； 乙：由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而可得方程的解为-1和3； 丙：由抛物线与y轴交点坐标可得c的值，由抛物线开口向下可得，从而可判断． 【详解】解：抛物线经过点（-1，0）， ， ， 抛物线的对称轴为， ， ，故甲正确； 抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为（-1，0）， 抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， 方程的解为-1和3，故乙正确； 抛物线与y轴交于点（0，2）， ， 抛物线开口向下， ， ，故丙正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键． 12．A 【分析】根据题意可知，方程的根的情况是函数与的交点情况，画出函数图象草图即可求解． 【详解】解：依题意，函数与的函数图象如图所示， 根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根， 故选:A． 【点睛】本题考查了方程的根与函数图象交点的关系．数形结合的思想是解题的关键． 13． 【分析】把代入解析式求出y,根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，， 则抛物线与y轴交点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键． 14． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．分两种情况讨论：①当抛物线在x轴的上方时，此时抛物线与轴无交点或只有一个交点；②当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限，此时抛物线与轴有两个交点，且对称轴在轴正半轴，与轴交于正半轴，根据二次函数的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象不经过第三象限，且， 抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限， ①当抛物线在x轴的上方时，此时抛物线与轴无交点或只有一个交点， ， 解得：； ②当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限，此时抛物线与轴有两个交点，且对称轴在轴正半轴，与轴交于正半轴， ，，， 解不等式得：； 解不等式得：； 解不等式得：或， 此时无解， 这种情况存在， 综上可知，实数b的取值范围是， 故答案为：． 15．6 【分析】根据平移规律得出平移后的二次函数的解析式为，令，求其解即可得抛物线与x轴的交点坐标，进而可得答案． 【详解】解：将抛物线向下平移8个单位长度后其解析式为， 当时， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∴抛物线向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减． 16．， 【分析】图象法求一元二次方程的解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴的交点坐标为， ∴当或时，， ∴方程的解是，； 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键是掌握抛物线与轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解． 17． 【分析】抛物线在直线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当时，抛物线在直线上方， 因此不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据二次函数与一次函数图象的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1 ）计算判别式的值得到，从而根据判别式的意义得到结论； （ 2）利用配方法得到二次函数的顶点坐标为，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断； （ 3）先计算出抛物线与直线的交点的横坐标，然后结合图象得到且． 【详解】（1）证明：∵ ， 所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点； （2）证明：， 二次函数的顶点坐标为 当时，， 所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上； （3）当时，，解得， 当且时，线段AB与函数的图象有公共点， 所以a的范围为． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 19．(1) (2) 【分析】（1）将，分别代入得到方程组，解方程组即可求解； （2）根据图象进行判断即可； 【详解】（1）解：将，分别代入中， 得，， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为． （2）结合图象，若成立，则的取值范围是． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查二次函数解析式，根据函数图象判断x的取值范围，掌握相关知识是解题的关键． 20．， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程根的联系，解题的关键是根据一元二次方程对应的二次函数为，画出函数图象，与轴的交点，即为一元二次方程的根，即可． 【详解】∵对应的函数是，在平面直角坐标系内画出函数图象，如下： ∵函数与轴的交点坐标为，， ∴的近似根为：，． 21．(1)见解析 (2)点A的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，把二次函数与x轴的交点的问题，转化为求的问题进行解答即可． （1）依题意可计算出，得出，即可得出二次函数图象与x轴总有公共点； （2）令求出两交点为，从而分类讨论得解． 【详解】（1）证明：， ， 对于任意实数，二次函数的图象与轴总有公共点； （2）解：令，则， 解得：， 即这个二次函数的图象与x轴交于点， 当即为点时，，； 当即为点时，，； ∴点A的坐标为或 22．(1)见解析 (2)当或3时，函数值为 【分析】本题主要考查了画函数二次函数图象，二次函数的性质： （1）根据题意，列表，然后画出函数图象，即可； （2）直接观察图象，即可． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 3 0 0 3 …… 画出函数图象，如下图： （2）解：观察图象得：当或3时，函数值为． 23．(1) (2)4或 (3) (4)或 【分析】（1）根据抛物线交轴于点，顶点坐标为，可以求得该抛物线的解析式，从而可以求得点的坐标，然后即可求得直线的函数解析式； （2）把函数值为5代入解析式求得的值便可； （3）根据函数图象写出答案便可； （4）根据函数图象求出结果便可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， ， 解得， 该抛物线解析式为， 即该抛物线解析式为； （2）当时，， 解得或， 故答案为：4或； （3）由函数图象可知，当时，， 故答案为：； （4）由函数图象知，当时，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24．(1) (2)见解析 (3)当时，随的增大而增大 (4)①4，② 【分析】（1）直接把代入即可； （2）描点画出如下函数图象即可； （3）根据函数图象，函数的性质有：当时，随的增大而增大；函数的最小值为0，（答案不唯一）； （4）①函数图象与直线有4个交点，即可求解； ②作函数的图象，再根据函数图象的交点位置，即可求解． 【详解】（1）把代入， 得，即． 答案： （2）如图所示；    （3）由函数图象知：当时，随的增大而增大（答案不唯一） （4）①由函数图象知，函数图象与直线有4个交点，所以对应的方程有4个实数根． 答案：4 ②如图，    由图象和表格可知方程的一个正数根约为． 答案： 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$