数学（北师大版）-2024-2025学年高一下学期学业能力评鉴三（第二次月考）

2024一2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高一数学（三) 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.若z(1-i)=2,则三= A.-1-i B.1+i c.1-i D.-1+i 2.若向量a,i满足a=1,=2,且a+=2,则a.i= A.-1 B.1 D. 1 3.已知a是三角形的内角，且sina+cosa= 方，则tana的值是 A.3 B.- 4 4 3 c.3 D 3 4.设ac0孕，若a-号，则coa+孕的值是 A. √2 B. 7W2 C.-72 D. 10 10 10 10 5.如图有三个正方形相连，则a+B的值是 a B A.写 B. c.8 2 D. 6.在△ABC中，若cosA=2 sin B sin C,则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 (北京师大)高一数学（三)第1页（共4页）》 7.为得到函数y=cos 2r+π 的图象，只需将函数y=sin2x的图象 4肉左平移铅个长度单位 B。向右平移沿个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向有平移证个长度单位 8.革命烈士陵园内的革命烈士纪念碑，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称 之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量 并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为 A点，纪念碑的最底端记为B点(B在A的正下方)，在 广场内（与B在同一水平面内）选取C,D两点，测得CD 的长为15米，在C,D两点处测得纪念碑最顶端A处的仰 角分别为45°和30°，∠CBD=30°，则纪念碑的高度为 A.17米 B.16米 C.15米 D.14米 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.设z为复数（为虚数单位），下列命题正确的有 A.若z∈R,则z=z B.若z2∈R,则z∈R C.若z2+1=0,则z=i D.若z=i,则°++2+3=0 10.已知向量a=4,-2),b=1,3),则下列说法正确的是 A.a+b=5 B。向量a与5的夹角为牙 C.若e= 5 _2W5 5，-5 则e是与a垂直的单位向量 D。向量a在向益6上的投影向量为（行》 11.已知函数f(x)=2cos2x+3sin2x(o>0)的最小正周期为π，下列选项中正确的 是 A.f(x)的最大值为3 B.将()的图象向左平移背后所得的函数是倜函数 C.f(x)的图象关于直线x=二对称 6 D.f(x)在区间 136上单调递增 (北京师大)高一数学（三）第2页（共4页）》 第Ⅱ卷（非选择题共92分) 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）》 12.已知cosa-言，则cos2u= sin 2a= 13.已知某扇形的周长为30cm,当其面积最大时，圆心角的弧度数为 14.如图，O是△ABC的重心，AB=a,AC=b,D是边BC 上一点，且BD=3DC,OD=a+b,则九+L= B D 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)设复数z=(m2-4-5)+(2+5m+4)i,m为实数 (1)当为何值时，z是纯虚数； (2)若=-2，求=的值； (3)若复数二在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围 16.(15分)如图，在△4BC中，AM=AB,N=BC.设B=a,4C=i. (1)用a,b表示BC,MN; (2)若点P为△ABC内部一点，且亚=a+五.求证：M,P,V三点共线 12 4 17.(15分)已知函数f(x)=inox+cosr (1)若o=2,求函数f(x)在[0，]上的零点； ②)已知a=l,网效g6=-5cas2,eA月，求蓝数)的值城 (北京师大)高一数学（三）第3页（共4页） 18.(17分)在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0),B(t,2),C(6,0,t∈R,O为坐标原 点 (1)若△ABC是直角三角形，求t的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求OD的最小值 19.(17分)在0a=-2y5g+abc0sC;②c082A-c0s2B+cos20=1+2in4imC,两 3 个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,三角形面积为S,若D为AC边 上一点，满足AB⊥BD,BD=2,且 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求角B的大小； (2)求之+是的取值范围。 AD CD (北京师大)高一数学（三）第4页（共4页）2024—2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高一数学（三)参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.C2.D3.B4.A5.B6.B7.A8.C 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.AD 10.AD 11.ACD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12, ±5 13.214.} 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(13分) m2-4m-5=0 解：(1)若z是纯虚数，则 r2+5m+4≠0'解得m=5, 所以当=5时，z是纯虚数； (4分) (2)若=-2，则z=7-2i, 所以V7+(-2)}=V53; (8分) (3)三=(2-4m-5)-（m2+5m+4)i, 对应的点为(m2-4m-5),-(m2+5+4)], 若复数：在复平面内对应的点在第三象限， m2-4H-5<0 则 -(m2+5+4<0,解得-1<m<5, 故实数m的取值范围为(-1,5) (13分) 16.(15分) (1)解：由题图，BC=AC-AB=i-a, 西-丽m--6-a-+a, (6分) (2)证明： 4w+-写4+ac-W-写+4c-c-写+6-6-0-a-, 又4P=昌a+,所以4D-+号，即证-a-A.即 MP=P,又MP与NP有公共点P,故M,P,N三点共线， (15分) (北京师大)高一数学（三)参考答案第1页（共3页） 17.(15分) 解：(1)o=2时，f()=sin2x+cos2x=2sin(2x+, e®对时，2x-经1.当2x片元孩2江时，=0， 4 此时=芒或受，所以零成为音和受 7π (7分) 8 (2)w=1时，f(x)=sinx+cosx, g(x)=(sinx+cosx)+3 cos 2x=sin2x+2sinx cosx+cosx+3cos 2x 1+n2+v5cw2=2n2+5o20-12and2x+3+1,eo, 则2x+背e号及，}n(2x孕，所以e6)的值减是2 (15分) 18.(17分) 解：(1)由题意得，AB=(t-4,2),AC=(2,t),BC=(6-t,t-2), 若LA=90°，则AB.AC=(t-4,2)(2,t)=2t-8+2t=0→t=2； 若LB=90°，则 AB.BC=(t-4)(6-0+2(t-2)=0→-12t+28=0→t=6±2V5; 若LC=90°，则AC.BC=12-2t+t2-2t=t2-4t+12=0,无解， .t的值为2或6±22； (8分) (2)若四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC,设点D的坐标为(x,y), 即(K-4,)=(6-,-2,所以=t-2 [x-4=6-t 三D10-t,t-2), 则|0D1=V10-t)+t-2)=22-24t+104=√2(t-6)}2+32, 所以当仁6时，1OD的最小值为4V2 (17分) 19.(17分) 解：()逃择①，d=-2 -S+abcosC, 3 absin C+abcosC,a -bsinC+bcosC, 3 由正弦定理得，sim4=-V -sin BsinC+sin B cosC, 3 sin(B+C)=3 sin Bsin C+sin Bcos C, .cos BsinC=- 3 sin BsinC, siC≠0，tanB=-5,即B=2 ； (北京师大)高一数学（三)参考答案第2页（共3页） 选择②，·：cos2A-cos2B+cos2C=1+2 sin Asin C, .2cos2 A-1-2cos2 B+1+2cos2 C-1=1+2sin Asin C, .cos2 A-cos2 B+cos2C=1+sin AsinC, ..1-sin2 A-1+sin2 B+1-sin'C=1+sin Asin C, .'.-sin2 A+sin2 B-sin2C=sin AsinC, 由正弦定理得，-a2+b2-c2=c, 即ad2+c2-b2=-ac, 所以，cosB=4+c2-b1 2即8=； 3 (8分) 2ac (2)由(1)知，B=2π， 3， 因为AB⊥BD,所以∠ABD= 2，<DBC= 6 在△BCD中，由正弦定理得，DC BD sin∠DBC sinC' 即DC 2sinπ 6=1, sinCsinC 在Rt△ABD中，AD= BD 2 sinA sinA' 2+1 2 AD CD 2+- 1=sinA+sinc 1 sinA sinC ·∠ABC=2 ，A+C=π 39 2+1 AD CD m4+ac-m后c小ncsm写4mc=mc+司 2+1 所以D+CD的取值范围为 (17分) (北京师大)高一数学（三)参考答案第3页（共3页）