数学（北师大版）-2024-2025学年高二下学期学业能力评鉴一（第一次月考）

2024一2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高二数学（一) 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知等差数列{a},且a4+a6=12,则s= A.4 B.6 C.8 D.12 2.已知数列V,√6,3,2√5,5，，则33是这个数列的 A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项 3,各项为正的等比数列{a}中，4，与a4的等比中项为2√5，则log2a,+l1og24,的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,且S?=a,则=7”是“{a}的公比为2”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若数列{a,}满足4=2，a,=3a,=a(≥3且neN"）),则aa的值为 dm-2 3 A.3 B.2 6.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬霜雪冬小大寒”，这首二十 四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧。“二十四节气”已经 被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录。我国古代天文学和数学著作《周 髀算经》中有一个问题：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测 定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节 气晷长减少或增加的量相同，周而复始。已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长 为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的为 (北京师大)高二数学（一)第1页（共4页）》 晷长逐渐变小 夫 立夏 大寒300 60小满 小寒 芒种 270 大雪 小暑 小雪空24 120大暑 立冬 立秋 秋分 晷长逐渐变大 A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B.立春和立秋两个节气的晷长相同 C.春分的晷长为七尺五寸 D.立春的晷长比秋分的晷长长 7.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,其中S2=48,S2。=-240,则当Sn取得最大值 时，n= A.6 B.7 C.5 D.8 8.已知数列{a}的首项a=1,且满足a1-a=2(n∈N),记数列 a+1 (an+2)(an+1+2) 的前n项和为T,若对于任意n∈N,不等式1>T.恒成立，则实数入的取值范围为 C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.下列结论正确的是 A.数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列 B.任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 C.若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点 D.若数列a}的前n项和为S,则对任意n∈N,都有aH=S1-S l0.满足下列条件的数列{a}(n∈N)是递增数列的为 A.a,-1 B.a =n2+n C.a.=1-2n D.4=2"+1 11.若数列{an}满足4=3，a.=3a1+3(n≥2)，则 A.}是等差数列 B 经}是等比数列 C.数列{a}的通项公式4，=n3” D. 数列和}的通项公式a= 第I卷（非选择题 共92分) 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） (北京师大)高二数学（一)第2页（共4页）》 12.设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=3+2n+1,则数列{a}的通项公式a= 13.一个等差数列的前三项为4,2a-1,3-a.则这个数列的通项公式为 14.一个小球从54米高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的号处，则小球第2 次落地时，经过的路程是米；小球第（≥2）次落地时，经过的路程是 米， 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)在数列{a}中，a=1,且点P(a,a)(n∈N)在直线2x-y=0上，b.=l1og24. (1)求数列{a}、也}的通项公式； (2)若cn=a-b.,求数列{cn}的前n项和Sn. 16.(15分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=-27,a,=-17 (1)求等差数列{a}的通项公式； (2)求出数列的前n项和Sn. 7.(15分)已知数列a满足4H三a,g= 2 1 (1)求证： 数列a}为等差数列： (2)设数列{am}前n项和为Sn,且S2m-Sn>k对任意的eN恒成立，求k的取值范围. （北京师大)高二数学（一）第3页（共4页）》 1 ,n为偶数 18.(17分)设数列{an}的首项a=a,且an1= Q+子n为奇数 记 6.=a月n=123 (1)求a2,43; (2)判断数列{b}是否为等比数列，并证明你的结论； (3)求b1+b2+.+bn 19.(17分)公差d不为0的等差数列{a}的前n项和为Sn,其中S1,S2,S4成等此数 列，且满足42·4=27. (1)求a}的通项公式； (2)已知d<0,Cn=(2-a)4".求数列cn}的前n项和Tn· （北京师大)高二数学（一）第4页（共4页）》2024—2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高二数学（一）参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.B2.B3.D4.A5.D6.B7.B8.C 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.ACD 10.BD 11.AC 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 「6，n=1 1 12. 2.3°+2.22 13.a=4+1 14.90 108、162 3 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：(1)由题意可得4+=2an,.数列{an}是公比为2的等比数列， :4=1，∴a=1×2”-1=21,bn=log221=n-1； (6分) (2)cn=2-1-(0-1), Sn=c+c2+…+cn=(a+42+…+a6+b2++b。) =(2°+2+22++2"1）[0+1+2++(0r1] -11-2）_0+n-Dxn2-10-D (13分) 1-2 2 2 16.(15分) 解：(1①)由题意，等差数列a,}的公差d=4-0=17-(27）2, 7-25 4=42-d=-27-2=-29, (北京师大)高二数学（一）参考答案第1页（共3页） 所以{an}的通项公式为a,=4+(n-1)d=-29+(n-1)2=2n-31; (7分) (2)3.=m+,1L-29+n-=2=n30. 2 2 所以数列{an}的前n项和S,=-30n. (15分) 17.(15分) (1)证明：因为a1=8 ,+1,所以 1=+1=1+1, 11-1, dd 1 所以数列 是首项为一=2，公差为1的等差数列； (7分) a (2)解：由4)）得2=+1，所以a= 1 n+1, 要使Sn-Sn>k对任意的neN恒成立，只需要k<(S2n-Sn)m即可， 令bn=S2m-S, -b=S2m+2-S-(Sin-S)=aim2+a-a 1 11、1 11 1 1>0， 2n+3'2n+2n+22n+3'2n+4n+22n+32n+4 所以数列b}是递增数列， 所以6)-4-品，--4-专，即区.-S 则<子，即k的取值范围是 (15分) 18.(17分) ,11.1.11 (1)解：由题意可知：4=a+4a+4a=2a=2a+8 (4分) 111.1 (2)证明：由b.=4-144-2n42 2-3+14 11 而6=a-4a-4' (北京师大)高二数学（一）参考答案第2页（共3页） 若a=寻，则6-0，显然他，}不能是等比数列， 若a≠子，则物，}是以a-为首项，为公比的等比数列； (10分) (3)解：由(2)可知，若a=},则0，}为指数列，各项均为0，故么+6++6=0； 若a￥子，则物，}是以a}为首项，为公比的等比数列， 则9数来和公式：有+内-6口-的-到 4 1- 22-1 (17分) 19.(17分) 解：(1)依题意，S=S·S4,则(2a+d)2=4(4a+6d),整理得：d2=2a,d, 而d≠0，则有d=2a, 又4a=27,即(a+d)(a+4d)=27,于是得3a9a=27,解得：a=±1，即 a=1∫a=-1 d=2或d=-2 所以{a}的通项公式是：4.=2n-1或a=1-2n; (8分) (2)由(1)及d<0得：an=-2n+1,c.=(2n+1)4", 则T2=3×4+5×42+7×43+…+(2n-1):4-1+(2n+1)×4, 因此，47=3×42+5×4+7×4++(21-1)×4+(2n+1)×41, 两式相减得： -3江=3x4+24+4+44++4y2n+1)×4+=12+320-4）(2m+1)4+， 1-4 于是得：Z=(6+D.41_4、 9 9, 所以数列{c}的前n项和T=6+少.4H_4 (17分) 9 9 (北京师大)高二数学（一）参考答案第3页（共3页）