数学（湘教版）-2024-2025学年高一下学期学业能力评鉴一（第一次月考）

2024一2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高一数学（一) 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.化简以下各式：①AB+BC+CA;②AB+AC-BD+CD;③OA-OD+AD;④ NO+OP+MN-MP,结果为零向量的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列说法正确的是 A.质量、速度、位移、加速度、功都是向量 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C.两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点相同 D.向量的模可以比较大小 3.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(k,2).若(3a-b)/c,则实数k的值为 A.-8 B.-6 C.-1 D.6 4.在平行四边形ABCD中，点P是线段AC上一点，且满足AP=2PC,点E是边BC的 中点，则PE等于 A.-1AB+1AD B.-1AB+1AD C.IAB-1AD D.AB-IAD 3 6 6 3 3 3 6 5.在△ABC中，若AB=AC=AB-AC,则△ABC的形状为 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.在△ABC中，∠A=60°，a=√6，b=3,则△ABC解的情况是 (湖南教育)高一数学（一)第1页（共4页）》 A.无解 B.有一解 C.有两解 D.不能确定 7.已知|=1,1b=2,(a,b)=120°，则2a-3b A.2W7 B.2W6 C.213 D.4 8.△ABC的重心为O,过点O的直线与AB,BC所在直线交于点E,F,若BE=-xAB, BF=yBC(x,y>0),则xy的最小值为 A号 c.g D.4 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是 A.AB=DC B.AD+AB=AC C.AB-AD=BD D.AD+CB=0 10.已知A(2,-1),B(3,2),C(-1,3),则 A.AB=(-1,-3) B.AB.AC=9 C.cos(B.C)10 50 D.A西在AC上的投影的数量为 11.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点， 且BC=3EC,F为AE的中点，则 A.亚-写证+0 B.0丽+西 c.-丽-40 D.8=-花+ 3 第I卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量OA=(4,1),OB=1,5),则向量AB的单位向量是 (湖南教育)高一数学（一)第2页（共4页）》 13.已知P是△ABC所在平面内一点，AB=3,AP=1,AC.AB=6, 则AB.CP的最大值是 14.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于30km, C 东 40 灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向，灯塔B在观察站C的南偏东40° 的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为 km. 南 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知A(2,1),B(3,-1),C(-3,0),求口ABCD的顶点D的坐标. 16.(15分)已知ā=(2，-1)，b=(3,1). (1)设向量a,b的夹角为B,求θ的值； (2)若向量ā-2b与a+b互相垂直，求k的值. 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinB+sin2C+sinBsinC=sin2A. (1)求角A的大小； (2)若a=4,△ABC的面积为√5，求△ABC的周长. (湖南教育)高一数学（一)第3页（共4页) 18.(17分)如图，在△ABC中，M是BC的中点，N是AM的中点，设AB=a,AC=b. (1)用a、b分别表示AM、BN, (2)若a=2,=3,cs(a6）=3,求M-B 《 M 19.(17分)如图，在直角梯形ABCD中，已知AB/CD,∠DAB=90°，AB=2AD=2CD=2, 点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点（含端点）· (1)若D丽-c,求4C,亚的夹角的余弦值； (2)求EA.EF的取值范围. (湖南教育)高一数学（一)第4页（共4页)2024一2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高一数学（一）参考答案 一、 单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.C2.D3.B4.D5.A6.A7.C8.C 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.ABD 10.BCD 11.ABD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 34 13.-3 14.305 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：设D(xy),因为A(2,1),B(3,-1),C(-3,0), 所以AB=(3,-1)-(2,1)=(1,-2,DC=(-3,0)-(x)=(-3-x,-, (6分) 在□ABCD中，AB=DC,则 -2y,解得/=4 -3-x=1 U=2,即D(42) (13分) 16.(15分) 解：(1)a.b=2x3-1×1=5, 同=V22+(-1=5,=3+=0, 所以c0s0= a.b 5 √2 455xo2, 因为9=0可，则0=圣 (7分) (2)因为向量ā-2五与a+b互相垂直， 所以（ā-2b)(a+b)=t+(1-2a.b-2=C, 即5k+(1-2)×5-20=0,解得：k=-3. (15分)》 (湖南教育)高一数学（一）参考答案第1页（共3页） 17.(15分) 解：(1)由正弦定理可得b2+c2+bc=d, 由余弦定理可得cosA=+e-Q-1, 2bc 2 因为0<A<元，所以A=27) 3 (7分) (2)若a=4,则b2+c2+bc=16, △ABC面积为S=2cinA=5,则bc=4, 2 所以(b+c)2=20,即b+c=25, △ABC周长为a+b+c=4+2W5. (15分) 18.(17分) 解：(1)因为M为BC的中点， 则aW-+m=丽+号C=c丽}丽+}C-a+, 2 2 (4分) 因为N为4M的中点，则B=--M-沥-}a+五-a-五-3a； 4 4 4 (8分) (2)因为=2，=3，csa.6）-背， 由平面向益数益积的定义可得a万-5c0s位，万}2x3x号2， (12分) wBN-a6)6-3a56-2a6-3a)50-2x2-3x4 (17分) 19.(17分) 解：(1)法一： 由图知：AC=AD+DC, AD.4B-DC.AD=0,AC=D+DC=, 因为D正=号DC,所以E是DC的中点， 厨-可网-5， (湖南教育)高一数学（一）参考答案第2页（共3页） 所以丽-D丽=5-0)， 所以4CE丽=)AD+Dc)B-AD) =(D西+Dc正-4D-Dc4D) =2-= 所以co,酮- AC.EF 2 10 d属2×5 109 法二：以A为原点，AB、AD所在直线分别为术y轴，建立如图所示的平面直角 坐标系，则40c传小引 则aC=,丽-1》， AC.EF 1 所以os(c. 10 ACE丽 ×1+ 10 (8分) (2)由(1)中的法二，设E(x,1),x∈[0,1]， 厨-()，函-合x, 所以原=到片》6 因为e0,所以赢丽引 (17分) (湖南教育)高一数学（一）参考答案第3页（共3页）