数学一模突破卷01（浙江专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为 A． B． C． D． 3．已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象大致为（   ） A．B．C．D． 5．已知一个多边形的周长为，各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为，则该多边形是（    ） A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形 6．已知正数a，b满足，则下列结论不正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最小值8 C．有最小值4 D．有最小值 7．已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（   ） A． B． C． D． 8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（   ） A．， B．若，则 C． D． 10．过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则下列判断正确的是（    ） A．可能为锐角三角形B．过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条 C．若，则的面积为D．最小值为 11．设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为 . ①在其定义域内有；②，有；③. 13．的展开式中常数项为 ． 14．在三棱锥中，两两垂直，，若点为三棱锥外接球上一动点，则点到平面距离的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求C；(2)若D是边的中点，且，求的面积. 16．（15分）某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 17．（15分）如图，四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形. (1)证明：；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点. (1)求椭圆的方程； (2)当直线AB的斜率为2时，求AB的长度； (3)若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围. 19．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)证明：.. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A A A B B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD CD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】（答案不唯一） 13．【答案】40 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【答案】(1)；(2). 【解】（1）由得：， 由正弦定理得：， 又，由余弦定理得： ， 又，.（6分） （2）由为中点知：，所以， 两边平方得：， 由（1）知，，所以， 解得，所以，. 又. 所以的面积为.（7分） 16．（15分）【答案】(1)，说明见解析，；(2)分布列见解析，，. 【解】（1）依题意，，而，，，（2分） 则.（3分） 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为.（3分） （2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，，（2分） 由全概率公式得： ，（2分） 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ，.（4分） 17．（15分）【答案】(1)证明见解析；(2) 【解】（1）连接，取中点O，连接， 在直角梯形中，，， 则，从而， 所以是等边三角形，则，又是等边三角形，所以， 又，平面， 所以平面，而平面，所以.（6分） （2）由（1）的证明知是二面角的平面角，所以， 以为原点，分别为轴，过与平面平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，轴在平面内， 又，同理， 则，，，， 则，， ，，（4分） 设平面的一个法向量是， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则．（5分） 18．（17分）【答案】(1)；(2)；(3). 【解】（1）焦点为，则，即， 点在椭圆：上，即， 解得或（舍去），则， 所以椭圆的方程为.（4分） （2）直线设其方程为，，， 联立，可得， 则①， 又②，③ 以为直径的圆过原点即 ， 将②，③代入得， 解得④， .（6分） （3） 当直线斜率存在时，设其方程为，，， 联立，可得， 则①， 又②，③ 以为直径的圆过原点即， 化简可得， 代入②③两式，整理得， 即④， 将④式代入①式，得恒成立，则， 设线段中点为，由，所以， 又， 又由，则点坐标为， 化简可得， 代入椭圆方程可得，即， 则 ， 当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴， 易得，，， 综上，四边形面积的取值范围为.（7分） 19．（17分）【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析 【解】（1）， 当时，易知，所以函数在上单调递减， 当时，令，解得， 令，解得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增；（5分） （2）令， ，故恒成立，即， ，令，则， 所以在上单调递增， 当时，，又， 有，即单调递减， ，即单调递增， 所以， 所以当时，成立； 当时，可得，， 所以 又 所以存在，使得，即， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，由可得， ， 综上，的取值范围为；（6分） （3）由（2）知，当时，有，即， 令，得， ， ，即.（6分） 【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得，再令，可得，再累加即可得证. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为 A． B． C． D． 3．已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象大致为（   ） A．B．C．D． 5．已知一个多边形的周长为，各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为，则该多边形是（    ） A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形 6．已知正数a，b满足，则下列结论不正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最小值8 C．有最小值4 D．有最小值 7．已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（   ） A． B． C． D． 8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（   ） A．， B．若，则 C． D． 10．过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则下列判断正确的是（    ） A．可能为锐角三角形B．过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条 C．若，则的面积为D．最小值为 11．设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为 . ①在其定义域内有；②，有；③. 13．的展开式中常数项为 ． 14．在三棱锥中，两两垂直，，若点为三棱锥外接球上一动点，则点到平面距离的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求的面积. 16．（15分）某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 17．（15分）如图，四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形. (1)证明：；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点. (1)求椭圆的方程； (2)当直线AB的斜率为2时，求AB的长度； (3)若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围. 19．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)证明：.. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】因为集合，. 故选：C 2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为 A． B． C． D． 【答案】B 【解】   复数，那么的共轭复数为，故选B. 3．已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】因为， 所以，，所以，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 4．函数的部分图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【解】函数是定义域为 函数，是奇函数，所以排除B，C， 又函数在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数， 如0.1，得，所以排除D． 故选：A. 5．已知一个多边形的周长为，各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为，则该多边形是（    ） A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形 【答案】A 【解】设该多边形为边形，最小的边长为，则， 解得：（舍）或，多边形为十二边形.故选：A. 6．已知正数a，b满足，则下列结论不正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最小值8 C．有最小值4 D．有最小值 【答案】B 【解】对于A，因为，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以A正确， 对于B，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9，所以B错误， 对于C，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以有最小值4，所以C正确， 对于D，因为，，所以，而，所以当时，有最小值，所以D正确， 故选：B 7．已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由题意可知，，由于， 所以，故，解得，故， 令，解得， 故单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为. 故选：B 8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（   ） A．， B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【解】因为（单位：小时）服从正态分布，， 根据正态分布知识，，，A正确； 若，则，得，B错误； ， 根据原则，可得，C正确； ， ， 由对称性可知， 所以，D正确. 故选：ACD 10．过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则下列判断正确的是（    ） A．可能为锐角三角形B．过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条 C．若，则的面积为D．最小值为 【答案】CD 【解】对于A：因为抛物线C：的焦点为F，所以， 设，，AB方程为， 由，得，所以，， 故，所以∠AOB为钝角，故A错误； 对于B：因为对于，当时，， 所以在抛物线外，显然过与抛物线C相切的直线有2条， 当此直线与x轴平行时，与抛物线C也是仅有一个公共点， 所以过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，故B错误； 对于C：当时，设，则， ，即，不妨设， 此时，故AB方程为， 联立抛物线C：，解得， 所以，故C正确； 对于D：由选项A知，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确． 故选：CD． 11．设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解】对于A，，， 即关于对称，故A错误； 对于B，为偶函数，故，即关于对称， 由关于对称，知，故B正确； 对于C，关于对称和关于对称可得：， 故，即的周期为4， 所以，故C正确； 对于D，由得：， 即，令得，， 故，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为 . ①在其定义域内有；②，有；③. 【答案】（答案不唯一） 【解】，可知是偶函数，在上单调递减，符合①②两个条件， 又，所以符合条件③. 同理可得也符合条件. 故答案为：（答案不唯一） 13．的展开式中常数项为 ． 【答案】40 【解】：由展开式的通项公式为, 则 的展开式中常数项为-=40, 故答案为40. 14．在三棱锥中，两两垂直，，若点为三棱锥外接球上一动点，则点到平面距离的最大值为 . 【答案】 【解】因为两两垂直，所以三棱锥可补成一个长方体，如图所示： 所以长方体的体对角线为三棱锥外接球的直径， 所以，所以外接球的半径， 又球心到平面的距离为， 因为点为三棱锥外接球上一动点， 所以点到平面距离的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求C；(2)若D是边的中点，且，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【解】（1）由得：， 由正弦定理得：， 又，由余弦定理得： ， 又，. （2）由为中点知：，所以， 两边平方得：， 由（1）知，，所以， 解得，所以，. 又. 所以的面积为. 16．（15分）某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 【答案】(1)，说明见解析，；(2)分布列见解析，，. 【解】（1）依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. （2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ，. 17．（15分）如图，四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形. (1)证明：；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解】（1）连接，取中点O，连接， 在直角梯形中，，， 则，从而， 所以是等边三角形，则，又是等边三角形，所以， 又，平面， 所以平面，而平面，所以. （2）由（1）的证明知是二面角的平面角，所以， 以为原点，分别为轴，过与平面平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，轴在平面内， 又，同理， 则，，，， 则，， ，， 设平面的一个法向量是， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则． 18．（17分）椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点. (1)求椭圆的方程； (2)当直线AB的斜率为2时，求AB的长度； (3)若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解】（1）焦点为，则，即， 点在椭圆：上，即， 解得或（舍去），则， 所以椭圆的方程为. （2）直线设其方程为，，， 联立，可得， 则①， 又②，③ 以为直径的圆过原点即 ， 将②，③代入得， 解得④， . （3） 当直线斜率存在时，设其方程为，，， 联立，可得， 则①， 又②，③ 以为直径的圆过原点即， 化简可得， 代入②③两式，整理得， 即④， 将④式代入①式，得恒成立，则， 设线段中点为，由，所以， 又， 又由，则点坐标为， 化简可得， 代入椭圆方程可得，即， 则 ， 当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴， 易得，，， 综上，四边形面积的取值范围为. 19．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析 【解】（1）， 当时，易知，所以函数在上单调递减， 当时，令，解得， 令，解得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）令， ，故恒成立，即， ，令，则， 所以在上单调递增， 当时，，又， 有，即单调递减， ，即单调递增， 所以， 所以当时，成立； 当时，可得，， 所以 又 所以存在，使得，即， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，由可得， ， 综上，的取值范围为； （3）由（2）知，当时，有，即， 令，得， ， ，即. 【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得，再令，可得，再累加即可得证. 4 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $