精品解析：广东省白云六中实验中学2025-2026学年上学期九年级数学学情诊断试卷

2025-2026学年第一学期白云六中九年级 数学学情诊断试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意。 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据“的顶点坐标为”即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 3. 下列诗词中所描述的现象属于不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 汗滴禾下土 C. 黄河入海流 D. 大漠孤烟直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件类型的判断，理解不可能事件的含义是关键． 根据不可能事件的定义（在任何情况下都不会发生的事件），判断各选项诗句描述的现象是否可能发生． 【详解】∵ A. 描述手可摘星辰，这在现实中不可能发生，∴ A是不可能事件； ∵ B. 描述加汗滴禾下土是可能发生的随机事件，∴ B不是不可能事件； ∵ C. 描述黄河入海流，是必然发生的必然事件，∴ C不是不可能事件； ∵ D. 描述大漠孤烟直，是可能发生的随机事件，∴ D不是不可能事件； 故选A． 4. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入方程得， 解得：， 故选：． 5. 篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，下面是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 8 39 81 120 160 命中率 0.80 0.78 0.81 0.80 0.80 根据上表，估计张辰一次投篮命中的概率是（ ） A. 0.70 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.85 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由频率估计概率，读懂题意是解决问题的关键． 根据频率估计概率的原理，当试验次数较大时，频率稳定于概率，因此，计算总命中次数与总投篮次数的比值作为估计值，即可得到答案． 【详解】解：当试验次数较大时，频率稳定于概率，由篮球队的队员张辰投篮的统计结果可知，命中率在附近波动，则估计张辰一次投篮命中的概率是， 故选：C． 6. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，则最大深度的长为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由题意可得：，根据垂径定理得，再由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意可得：， ， ， ， ， 故选：C． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当时，一次函数图象过一、三、四象限；反比例函数图象过一、三象限； ②当k＜0时，一次函数图象过一、二、四象限；反比例函数图象过二、四象限， A．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、三象限，故该选项不正确，不符合题意； B．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，而该选项一次函数图象过一、三、四象限，故该选项不正确，不符合题意； C．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； D．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长，利用弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：的长， 故选：． 9. 如图，是等腰直角三角形，，D为边上的点，，绕着点A逆时针旋转后到达的位置，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等边对等角，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由题意得，，则．由旋转得，，则，由勾股定理得． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴． ∵绕着点A逆时针旋转后到达的位置， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负， 再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， ∴， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①符合题意， ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值为， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其函数值不大于， 即， ∴，故②符合题意， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即，故③符合题意， 由函数图象可知，当时，函数值小于零， ∴， 又∵， ∴， 即，故④符合题意， ∵抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零， ∴当时，函数值小于零， 又∵当时，函数值大于零， 则， ∴， ∴，故⑤不符合题意， ∴符合题意的有个， 故选：C． 二．填空题（共6小题，演分18分，每小题3分） 11. 设，是方程的两个根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，． 根据一元二次方程根与系数的关系即可直接得出答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 12. 如图，把绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，再由计算即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， 故答案为：． 13. 已知点关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，不等式组的解法，根据原点对称的性质，点P关于原点的对称点的横纵坐标是点P的横纵坐标的相反数，再根据第四象限点的坐标特征（横坐标大于0，纵坐标小于0）列出不等式组求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 由于在第四象限，则横坐标大于0，纵坐标小于0， 即， 解不等式，得； 解不等式，得． 因此，的取值范围是． 故答案为： 14. 已知抛物线，当时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 15. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 先求长度，再求点坐标，进而得出函数解析式，可求得面积； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案：9． 16. 如图，是的直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，由得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， ∴交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先移项，再利用因式分解法求解即可. 【详解】移项 因式分解，得（x-1）（x+3）=0 ∴x-1=0或x+3=0, 解得：，. 【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则. 18. 如图，是的直径，是的弦，过点的切线交延长线于点．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质． 连接，根据切线的性质得，再利用互余得，由于，则，然后根据三角形外角性质求解． 【详解】解：连接，如图，     为的切线， ． ． ， ． ， ． ． ． 19. 已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】（1）；（2）用电器可变电阻至少. 【解析】 【分析】（1）反比例函数经过点（10，4），代入反比例函数式，即可求得函数解析式． （2）I≤8时，根据反比例函数的单调递减性质，求电阻R的范围． 【详解】（1）设反比例函数表达式为, 将代入得，, ∴反比例函数表达式为； （2）对于，当时，, 由图像可知，随着的增大而减小， ∴当时，， 答：用电器可变电阻至少． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用问题，掌握反比例函数的单调性质是解答本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标为，，． （1）画出，使与关于轴对称，并写出点的坐标； （2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出，并写出点的坐标； （3）在（1）、（2）的基础上，请直接写出的长度． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，； （2） 如图，即为所求，； （3） 【解析】 【分析】此题考查轴对称作图，旋转作图，勾股定理，正确掌握轴对称的性质即旋转的性质是解题的关键： （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 21. 东港市某中学计划开展以“我最喜欢阅读的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．李老师组织部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，文学类书籍对应扇形的圆心角等于______度． （2）若该校有500名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数． （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图法或列表法求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）18；6；72 （2）120 （3） 【解析】 【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解即可； （3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， ， 文学类书籍对应扇形的圆心角， ． 【小问2详解】 解：（人）． 答：最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为120． 【小问3详解】 画树状图如下： 共有9种等可能的结果．其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， 甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 22. 数学活动﹣旋转变换 （1）如图①，在中，，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，求的大小； （2）如图②，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，以为圆心，长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线与的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接，求线段的长度． 【答案】（1） （2）解：（Ⅰ）直线与相切， 由旋转变换的性质可知，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； （Ⅱ） 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系、旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质得到，，，根据等腰三角形的性质求出的大小； （2）（Ⅰ）根据旋转变换的性质求出，根据切线的判定定理证明； （Ⅱ）根据旋转变换的性质和勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）解：由旋转变换的性质可知，，，， ∴， ∴； （2）（Ⅰ）略 （Ⅱ）根据旋转可知，，， ∵为等边三角形， ∴， 在中，， 由勾股定理得，． 23. 根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最右边一棵苗木种植点的横坐标的值． 【答案】（1），，， （2） （3）最前排符合所有种植条件的苗木数量为16棵，最右边一棵苗木种植点的横坐标的值为 【解析】 【分析】（1）根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息即可确定点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）求出当时，的值，再结合函数图象即可确定种植点的横坐标的取值范围； （3）根据种植苗木的要求可得在距离轴的两侧开始种植，即可求出最前排符合所有种植条件的苗木数量和最右边一棵苗木种植点的横坐标的值． 本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【小问1详解】 解：如图，由题意得，，，，， ∴，，，， 设抛物线的解析式为， 将点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， 在图象中标出如下： 结合函数图象可知，当时，种植点的横坐标的取值范围为． 【小问3详解】 解：∵为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）， ∴在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植的数量为（棵）， ∴最右边一棵苗木种植点的横坐标， 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为16棵，最右边一棵苗木种植点的横坐标的值为． 24. 如图，将锐角的边绕点顺时针旋转得到线段，过作，交边的延长线上于点，连接，作的外接圆，交边于点，连接． （1）若，且，求的度数，并求的长； （2）求证：． 【答案】（1）， （2） 证明：如图，作交圆于，连接、， ， 由旋转的性质可得：，， ∴，为圆的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵作的外接圆，交边于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，有内接四边形的性质可得，由旋转的性质可得，，从而得出，由直角三角形的性质可得，求出，再结合，求解即可； （2）作交圆于，连接、，由旋转的性质可得：，，证明四边形为矩形，得出，，进而得出，，由圆周角定理可得，证明，得出，再证明，即可得出，再由全等三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵作的外接圆，交边于点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）当时，y的取值范围是______； （3）当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ （4）当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的图象与性质等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，根据函数图象开口向下得到离对称轴越远函数值越大，据此可确定最小值，进而可得答案； （3）当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，据此分别建立方程求解即可； （4）求出直线分别经过点C，点P和抛物线的顶点时m的值，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时， ∵， ∴当时，函数的最小值为，最大值为9，即； 【小问3详解】 解：解：由（2）得抛物线的顶点坐标为， 在中，当时，，解得或， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或， ∴时，图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得（舍去）， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为； 【小问4详解】 解：当直线恰好经过点C时， 则时， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点，如图： 当直线恰好经过点P时， 则， 解得或（舍去）， 此时图象与直线有且只有两个公共点，如图： 当直线恰好经过抛物线的顶点时， 则， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点； 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得（舍去）， 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得； 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期白云六中九年级 数学学情诊断试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列诗词中所描述的现象属于不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 汗滴禾下土 C. 黄河入海流 D. 大漠孤烟直 4. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，下面是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 8 39 81 120 160 命中率 0.80 0.78 0.81 0.80 0.80 根据上表，估计张辰一次投篮命中的概率是（ ） A. 0.70 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.85 6. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，则最大深度的长为（  ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是等腰直角三角形，，D为边上的点，，绕着点A逆时针旋转后到达的位置，那么为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（共6小题，演分18分，每小题3分） 11. 设，是方程的两个根，则_____． 12. 如图，把绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为_____． 13. 已知点关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是_______． 14. 已知抛物线，当时，的取值范围为______． 15. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 16. 如图，是的直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是________． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 解方程：． 18. 如图，是的直径，是的弦，过点的切线交延长线于点．若，求的度数． 19. 已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标为，，． （1）画出，使与关于轴对称，并写出点的坐标； （2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出，并写出点的坐标； （3）在（1）、（2）的基础上，请直接写出的长度． 21. 东港市某中学计划开展以“我最喜欢阅读的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．李老师组织部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，文学类书籍对应扇形的圆心角等于______度． （2）若该校有500名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数． （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图法或列表法求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 22. 数学活动﹣旋转变换 （1）如图①，在中，，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，求的大小； （2）如图②，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，以为圆心，长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线与的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接，求线段的长度． 23. 根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最右边一棵苗木种植点的横坐标的值． 24. 如图，将锐角的边绕点顺时针旋转得到线段，过作，交边的延长线上于点，连接，作的外接圆，交边于点，连接． （1）若，且，求的度数，并求的长； （2）求证：． 25. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）当时，y的取值范围是______； （3）当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ （4）当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $