专题01 平行线分线段成比例（6大题型）（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

专题01 平行线分线段成比例 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用比例的性质进行求解 1 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 4 题型三、黄金分割 7 题型四、由平行判断成比例的线段 10 题型五、由平行截线求相关线段的长 12 题型六、由平行截线求相关线段的比值 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用比例的性质进行求解 1.如果，那么 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2.若，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的内项之积与外项之积相等是解题关键．根据题意得出，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 3.根据已知条件，求下列比的结果． (1)已知，求的值； (2)已知，则的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据已知可得，即可作答． （2）先设，则得，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ （2）解：依题意，设， ∴， ∵， 4.已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】比例的性质、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理，熟知比例的性质是解题的关键． （1）设，则，据此计算求解即可； （2）同（1）得，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出的值，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且两直角边的长为10，24， ∴． 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 5.已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)6 【知识点】比例的性质、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件将整理，再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：由得， ∵， ∴． 6.已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】(1)等比；合比 (2) 【知识点】比例的性质 【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可； （2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等比的基本性质，在第二步解题过程中应用了合比的基本性质； 故答案为：等比；合比． （2）解：依题意，设， 则，，， ． 7.阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 8.已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 题型三、黄金分割 9.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中C为的黄金分割点，即．已知为2米，则的长为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义，即可求出的长． 【详解】解：由得， ， 解得或（舍去）， 故答案为：． 10.黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点C为的黄金分割点，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点C为的黄金分割点，且，， ∴， ∴， 故答案为：． 11.《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为点B为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以 故答案为：． 12.阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 类比运用： （1）______； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1）（2）（3）矩形是黄金矩形，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识． （1）将分子、分母同乘以，再根据平方差公式计算即可； （2）根据黄金矩形的定义结合，进行计算即可解答； （3）根据题意算出的长，从而得出，证明和的比值为即可． 【详解】解：（1）． 故答案为：． （2）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形， ∴黄金矩形的宽， 则黄金矩形的长； （3）矩形为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：， 根据黄金矩形的性质可得： ， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形． 题型四、由平行判断成比例的线段 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：， ，，，； 观察四个选项，选项C符合题意； 故选：C． 14．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：， ， 故选：B. 15．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：， ，即，故A选项错误；B选项正确； ，故选项D错误； ，故选项C错误； 故选B． 16．（2025·辽宁·一模）如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 故选项A结论错误，不合题意； 在中，， ， 不一定等于， 不一定正确， 故选项B结论错误，不合题意； 在中，， ， 故选项C结论正确，符合题意； 在中，， ， 故选项D结论错误，不合题意； 故选C． 题型五、由平行截线求相关线段的长 17．（2025·广东深圳·三模）如图，已知，，如果，那么的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据即可求得的长． 【详解】解：， ， ， 又， 解得：， 故答案为：5． 18．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：2． 19．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理（包括三角形中位线定理的延伸），解题的关键是利用两组平行线、分别得出对应线段的比例关系，通过中间线段建立与的联系． 由，根据平行线分线段成比例定理得；由，同理得=；因此；已知、，代入比例式即可求出的长度． 【详解】解：∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∴（等量代换）． 已知， 设，则，解得． 故答案为： 20．（24-25九年级上·重庆江北·期末）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得； （3）由题意得，结合是的中点，可得，根据可推出，进而得即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ，，， ∵AD平分， ∴， ， ， ． （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， 题型六、由平行截线求相关线段的比值 21．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，，直线、与、、分别相交于点、、和、、．若，则等于 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分段成比例定理：三条平行线 截两条直线，所得的对应线段成比例，代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设DE=2x， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可． 【详解】解：如图，过点作交于点． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，直线与，，分别相交于点A，B，C，直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，解题关键是掌握由平行截线求相关线段的长或比值． 先求出，再利用由平行截线段成比例求解． 【详解】解：∵直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 一、单选题 1．已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.由可得，等式不成立； B.由可得，等式不成立； C.由可得，等式成立； D. 由可得，即，等式不成立； 故选：C． 2．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：， ， 故选：B. 3．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 4．若，则k的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】C 【分析】本题考查比例的性质．分和，两种情况进行讨论，求解即可．掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，则， ， 综上所述，k的值为1或． 故选：C 5．如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．先根据平行四边形性质得到，，再利用平行线分线段成比例定理得出，设，则，求出x的值，最后通过角平分线的定义及平行线的性质证明． 【详解】解：在中，，，， ， 设，则， ， ， 解得， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选C． 6．宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据勾股定理得，根据作图性质，计算，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形，、的中点E、F， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，符合定义， 故选：C． 二、填空题 7．已知，则 ． 【答案】 【分析】由，可知，根据比例的性质即可求出的值，从而得到的值． 本题考查了比例的性质，熟练运用比例的性质，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 8．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段成比例，熟悉掌握线段成比例的比值关系是解题的关键． 根据线段成比例的比值关系列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．如图，已知直线，直线分别与直线、、交于A、B、C三点，直线分别与直线、、交于D、E、F三点，与交于点O，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 10．达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．因为点是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义，可求出长度，再进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵点是线段的黄金分割点， ∴． ∵， ， 故答案为： ． 11．如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点，连接，相交于点．若，且，，则的长为    【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理； 延长交的延长线于点，由题意可证明，即可得的长；由平行线分线段成比例定理可求得，进而求得．构造辅助线得到全等三角形，进而利用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ，， ，． ∵点E是的中点， ． 在和中，， （AAS）， ， ， ，即， ， ．    12．如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为 ： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 【答案】 / 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质； ①过点作于点，根据平行线分线段成比例可得，，再由是的中线，为的中点，可得，，即可求解； ②根据，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：①过点作交于点，   ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 14．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练运用是关键； （1）由得，即可求得； （2）由得，再结合即可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴． 15．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为18，求各边的长． 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识 （1）设，从而用k表示出a，b，c再代入化简即可得解； （2）根据的周长为18，即，从而求出k的值，进而可求出各边的长． 【详解】（1）解：设， 则，，， ∴； （2）解：设， 则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，． 16．已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 【答案】(1)9，6，12 (2) (3) 【分析】（1）设比值为，然后用表示出再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 （3）根据黄金分割比的结论列式求解即可得 【详解】（1）解：设， 则， 解得：， 则：； （2）∵线段 x 是线段 a 、b 的比例中项， ∴， ∴， ∴； （3）∵线段b按黄金分割比例分为两条线段， ∴长边长度为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，黄金分割比，熟记比例中项的概念、黄金分割比的比值结论是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出可以使计算更加简便． 17．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，线段的比，平行四边形的性质，掌握平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，结合（1）可得出，从而即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴． 18．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：∵， ∴由（1）可知，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵点M是线段的黄金分割点， ∴或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； 即的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 19．综合与探究 (1)【问题呈现】 如图1，当，时，求证：． (2)【拓展延伸】 如图2，当，时，求的值． (3)【深入探究】如图3，在中，直线分别与的延长线交于点D，E，F，，，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）解：证明：如图1，过点C作交于点H． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 20．阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 【答案】（1）k，k；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）设，，然后分别代入计算即可； （2）设，则，，，，然后分别代入等式左边计算即可得出结论； （3）①直接利用（2）中的规律解分式方程即可； ②直接利用（2）中的规律即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：k，k； （2）设， 则，，，， ∴ ； （3）①∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； ②∵， ∴，即， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线分线段成比例 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用比例的性质进行求解 1 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 4 题型三、黄金分割 7 题型四、由平行判断成比例的线段 10 题型五、由平行截线求相关线段的长 12 题型六、由平行截线求相关线段的比值 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用比例的性质进行求解 1.如果，那么 ． 2.若，则 ． 3.根据已知条件，求下列比的结果． (1)已知，求的值； (2)已知，则的值． 4.已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 5.已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 6.已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 7.阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 8.已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 题型三、黄金分割 9.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中C为的黄金分割点，即．已知为2米，则的长为 米．（结果保留根号） 10.黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点C为的黄金分割点，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 11.《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是 （结果保留根号）． 12.阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 类比运用： （1）______； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 题型四、由平行判断成比例的线段 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025·辽宁·一模）如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五、由平行截线求相关线段的长 17．（2025·广东深圳·三模）如图，已知，，如果，那么的长为 ． 18．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 19．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么 ． 20．（24-25九年级上·重庆江北·期末）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． 题型六、由平行截线求相关线段的比值 21．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，，直线、与、、分别相交于点、、和、、．若，则等于 22．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 23．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，直线与，，分别相交于点A，B，C，直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，，则的值是 ． 24．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 一、单选题 1．已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．若，则k的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．2 5．如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 二、填空题 7．已知，则 ． 8．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，，，，则 ． 9．如图，已知直线，直线分别与直线、、交于A、B、C三点，直线分别与直线、、交于D、E、F三点，与交于点O，若，，则的长是 ． 10．达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 11．如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点，连接，相交于点．若，且，，则的长为    12．如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为 ： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 三、解答题 13．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 14．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 15．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为18，求各边的长． 16．已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 17．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 18．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 19．综合与探究 (1)【问题呈现】 如图1，当，时，求证：． (2)【拓展延伸】 如图2，当，时，求的值． (3)【深入探究】如图3，在中，直线分别与的延长线交于点D，E，F，，，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 20．阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $