第二章直线与圆的方程单元测试-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 一、单选题 1．若直线：与圆：有两个交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D．1 4．直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 5．已知Q为直线l：上的动点，点P满足，记点P的轨迹为E，则（    ） A．E是一个半径为的圆 B．E是一条与l垂直的直线 C．E是两条与l平行的直线 D．E上的点到l的距离为 6．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 7．已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 8．已知曲线与直线有两个公共点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与互相垂直，则实数 C．已知直线与平行，则或 D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或 10．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．圆与轴相交于两个不同点 C．若与圆相交，则 D．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 11．已知直线和圆，则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．存在实数，使得直线与圆相切 C．当时，直线被圆截得的弦长等于2 D．当时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1 三、填空题 12．平行直线与之间的距离是 . 13．已知圆，直线与圆交于两点，则的面积等于 . 14．已知实数满足的方程为，则的最大值为 ． 四、解答题 15．直线与直线垂直，且经过点. (1)求的方程； (2)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； (3)若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 16．直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程. 17．已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 18．在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过两点. (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，证明：为定值. 19．已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二章直线与圆的方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C D A A D BCD AC 题号 11 答案 AB 1．D 【分析】根据直线与圆的位置关系，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，列式可求的取值范围. 【详解】易得圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，因为直线与圆有两个交点， 所以，解得． 故选：D 2．B 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，代入点A坐标，即可求得答案. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 解得，所以所求直线的方程为：. 故选：B. 3．C 【分析】根据两直线垂直的充要条件列式求解. 【详解】由题意知，所以. 故选：C. 4．C 【分析】由题意列方程组计算即可求解. 【详解】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C 5．D 【分析】设，由可得点坐标，由在直线l上，将点坐标代入，得P轨迹，结合选项即可得出正确答案. 【详解】设，由，则，由在直线l上， 故，化简得，即点P的轨迹E为直线且与直线l平行， 所以E上的点到直线l的距离，故A、B、C错误，D正确. 故选：D. 6．A 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 7．A 【分析】求得直线的定点，求得圆的圆心与半径，计算可得，可得结论. 【详解】由，可得直线恒过定点， 由圆的标准方程为，可得圆心为，半径， 因为，所以点在圆内， 直线和圆相交． 故选：A． 8．D 【分析】先得到曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围即可. 【详解】由题意得，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 而恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最大值，最大值为， 当与相切时， 由到直线距离等于半径可得，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则，故D正确. 故选：D 9．BCD 【分析】根据题意，求出各直线的斜率，依次判断各选项的正误. 【详解】对A，直线恒过定点，所以A错误； 对B，若，则，解得，所以B正确； 对C，若，则有，即，解得或， 当时，，，所以符合题意， 当时，，所以符合题意，所以C正确； 对D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为：，又因为过点，所以，解得，所以直线方程为，所以D正确. 故选：BCD 10．AC 【分析】令，得，分析可判断A的正误；求出圆的圆心和半径，分析可判断B的正误；由题意，圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式，即可判断C的正误；分析可得圆心在直线上，代入计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：令，得，易知直线过定点，故A正确； 选项B：整理圆的方程，得，则圆心到轴的距离为4，又，所以圆与轴相切，故B错误； 选项C：设圆心到直线的距离为，可得，解得，故C正确； 选项D：因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，所以圆心在直线上，则，解出，故D错误. 故选：AC. 11．AB 【分析】利用直线过定点的求法判断A，利用圆心到直线的距离等于半径求解判断B，根据半弦长、半径、弦心距的关系求解判断C，由直线过圆心判断D. 【详解】由圆可知圆心，半径， 对于A，方程可化为， 由得，故直线恒过定点，故A正确， 对于B，当与圆相切时，则圆心到直线距离，解得， 即存在，使得直线与圆相切，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，圆心到直线距离， 则直线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，当时，直线方程为，圆心在直线上，故圆上存在2个点到直线的距离等于1，故D错误. 故选：AB 12．2 【分析】由两条平行直线的距离公式直接可得. 【详解】因为直线与平行， 所以由平行线间的距离公式可得. 故答案为：2. 13． 【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可根据面积公式求解. 【详解】的圆心为半径为， 故圆心到直线的距离为， 弦长， 故， 故答案为：. 14．/ 【分析】根据的几何意义并结合图象求解出最大值. 【详解】，其表示圆上的点与点连线的斜率， 如图所示，显然当直线与圆相切时，切点与原点的连线斜率有最值，即有最值，    当与圆相切时，则，解得， 所以的最大值为，即的最大值为， 故答案为：. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用垂直可得斜率，利用点斜式可求直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案； （3）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把的坐标代入可求轨迹方程. 【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. （2）圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. （3）设线段MN中点的坐标为，，则，即 因为点在圆上运动，所以， 所以， 即，所以线段MN中点的轨迹方程为. 16．(1) (2)或 【分析】（1）求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 17．(1) (2) 【分析】（1）先求出直线BC的斜率k，代入点斜式方程，整理即可得答案. （2）设出圆的一般方程，将A、B、C点坐标代入，待定系数，即可得答案. 【详解】（1）直线BC的斜率，则方程为，变形为. （2）设外接圆的一般方程为， 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程， 所以，即，解得， 故所求圆的一般方程为. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可设，由求得的值，从而得到圆心坐标及半径，求出圆的方程； （2）设点的坐标为，根据两点间距离公式，结合圆的方程可证得为定值. 【详解】（1）由题可设，由得，解得. 所以圆心，半径. 所以圆的方程为. （2）设，则. . 即为定值. 19．(1) (2)最小值为，最大值为． 【分析】（1）根据对称可得圆的圆心为，半径为2，从而得到圆的方程； （2）方法一：整理可得，由的几何意义，得到，确定点在圆外，所以，，从而求出的最值； 方法二：可设，从而表达出，由三角函数有界性求出最值. 【详解】（1）的圆心为，半径为2， 因为圆与圆关于原点对称， 所以圆的圆心为，半径为2， 所以圆的标准方程为； （2）方法一：由（1）知，圆的圆心，半径，， 因为表示点与之间的距离，即， 所以． 又， 所以点在圆外，所以， 则的最小值为， 最大值为． 方法二：由点为圆上任意一点， 且圆的标准方程为，可设 则． 因为， 所以的最小值为，最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $