【新课衔接】探索图形（思维导图+知识精讲+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年五年级数学寒假学习精讲练人教版

【新课衔接】2025-2026学年五年级数学寒假学习精讲练人教版 探索图形 （思维导图+知识精讲+例题讲解+考点练习） 思维导图 知识精讲 知识点一、探索图形的基本认知 1、问题核心背景 （1）典型应用场景：将棱长为单位长度的大正方体，每条棱平均分成n份，切割为若干个1×1×1的小正方体，对大正方体表面涂色后，研究不同涂色情况的小正方体的位置分布与数量规律。 ①关键前提：大正方体每条棱被等分为n份时，总小正方体数量为n³，且n≥2（n=1时为单个正方体，无分割意义）。 2、小正方体的分类标准：依据小正方体被涂色的面的数量，可分为四类：三面涂色的小正方体、两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体、完全没有涂色的小正方体。 知识点二、不同涂色情况的小正方体位置与数量规律 1、三面涂色的小正方体 （1）位置特征：仅分布在大正方体的8个顶点处，因为顶点是大正方体三个相邻面的交点，所以该位置的小正方体三个面都会被涂色。 ①数量规律：无论n≥2取何值，三面涂色的小正方体数量固定为8个，不受n的变化影响。 2、两面涂色的小正方体 （1）位置特征：分布在大正方体的12条棱上，且排除每条棱两端的顶点部分（顶点已属于三面涂色），仅在每条棱的中间区域。 ①数量规律：每条棱上两面涂色的小正方体数量为(n-2)个，正方体共有12条棱，因此总数量为12×(n-2)。当n=2时，(n-2)=0，即不存在两面涂色的小正方体，符合2×2×2大正方体的实际情况。 3、一面涂色的小正方体 （1）位置特征：分布在大正方体的6个面上，且每个面中排除边缘一圈的区域，仅在每个面的中心部分（不与棱、顶点接触）。 ①数量规律：每个面上一面涂色的小正方体数量为(n-2)²个，正方体共有6个面，因此总数量为6×(n-2)²。当n=2时，(n-2)²=0，即不存在一面涂色的小正方体，符合实际。 4、完全没有涂色的小正方体 （1）位置特征：完全隐藏在大正方体的内部，不与任何外表面接触，是被所有涂色小正方体包裹的核心区域。 ①数量规律： 方法一：用总小正方体数量减去前三类的数量，即n³ - 8 - 12×(n-2) - 6×(n-2)²； 方法二：转化为内部未被切割的小正方体，其棱长为(n-2)，因此数量为(n-2)³。两种方法计算结果一致，当n=2时，(n-2)³=0，即不存在无涂色的小正方体。 知识点三、规律的归纳拓展与验证 1、统一公式归纳（n≥2） （1）三面涂色小正方体数量：8； （2）两面涂色小正方体数量：12×(n-2)； （3）一面涂色小正方体数量：6×(n-2)²； （4）无涂色小正方体数量：(n-2)³。 2、特殊值验证 （1）当n=3时，大正方体总小正方体数为27： ①三面涂色：8个； ②两面涂色：12×(3-2)=12个； ③一面涂色：6×(3-2)²=6个； ④无涂色：(3-2)³=1个； ⑤总数验证：8+12+6+1=27，与总数量一致，规律成立。 3、长方体表面涂色的拓展规律 （1）若长方体的长、宽、高分别被等分为a、b、c份（a、b、c≥2），切割为1×1×1的小正方体后： ①三面涂色小正方体：固定为8个（分布在长方体的8个顶点）； ②两面涂色小正方体：总数量为4×[(a-2)+(b-2)+(c-2)] = 4(a+b+c-6)，即4条长棱、4条宽棱、4条高棱上的两面涂色小正方体数量之和； ③一面涂色小正方体：总数量为2×[(a-2)(b-2)+(b-2)(c-2)+(a-2)(c-2)]，即6个面中每个面中心区域的数量之和（相对面数量相同）； ④无涂色小正方体：总数量为(a-2)(b-2)(c-2)，即内部未接触外表面的小长方体的体积。 知识点四、核心数学思想与实际应用 1、核心思想方法 （1）分类讨论思想：通过对小正方体涂色面数量的分类，逐一分析不同位置的特征，简化复杂的空间计数问题； （2）数形结合思想：结合正方体的空间结构，通过直观观察与逻辑推导相结合的方式，总结数量规律； （3）归纳推理思想：从n=2、3的特殊实例出发，归纳出适用于所有n≥2的通用公式，培养从特殊到一般的推理能力； （4）转化思想：将无涂色小正方体的计数问题转化为内部小长方体的体积计算，降低问题难度。 2、实际应用场景 （1）空间几何计数：如模块化建筑的部件统计、3D打印模型的结构分析，快速计算不同位置的零件数量； （2）包装材料优化：理解立体图形表面与内部的结构差异，合理设计包装的承重与材料分布； （3）空间想象能力提升：通过对正方体结构的分析，强化三维空间认知，为后续中学立体几何学习奠定基础。 例题讲解 题型一、表面涂色的正方体 【例题1】（24-25五年级下·江西九江·期末）用小正方体拼成如图的大正方体，把它们表面分别涂上颜色。其中三面涂色的小正方体有( )个；两面涂色的小正方体有( )个；一面涂色的小正方体有( )个。 【例题2】（23-24五年级下·贵州黔南·期末）如图，下面的几何体是由8个小正方体拼成的，把它的表面涂上颜色。只有3个面涂色的有( )个小正方体。 【例题3】（22-23五年级下·河南南阳·期中）把一个棱长为4dm的正方体木块外面涂上红色，然后切割成棱长是1dm的小正方体，一面涂红色的小正方体有( )块，两面涂红色的小正方体有( )块。    考点练习 练习一、表面涂色的正方体 1．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个大正方体表面涂满灰色，按下面的方法切成64个小正方体，其中恰有三个面涂灰色的小正方体有（    ）个。 A．12 B．10 C．8 D．24 2．（24-25五年级下·四川广元·期末）将棱长为3cm的正方体木块表面涂上蓝色油漆，再将其分割成棱长为1cm的小正方体。其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．10 D．12 3．（24-25五年级下·北京西城·期末）一个正方体木块，表面涂油漆（底面不涂）。王师傅按照下图的方法把它切成若干块棱长相等的小正方体木块。这些小正方体木块中，6个面都没有涂油漆的有（    ）块。 A．1 B．2 C．4 D．8 4．（23-24五年级下·福建莆田·期末）一个大正方体表面涂满灰色，按下面的方法切成若干个小正方体，其中恰有两个面涂有灰色的有（    ）个。 A．6 B．8 C．12 D．24 5．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）用个棱长的小正方体拼成大正方体，再从一个顶点处拿走个小正方体后，把剩下的几何体涂上颜色（如下图），剩下的几何体中三面涂色的小正方体个数是（    ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 6．（23-24五年级下·河南郑州·期末）如图，用棱长2cm的小正方体拼成大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。两面涂色的小正方体有( )块。 7．（23-24五年级下·江西上饶·期末）一个棱长为4厘米的正方体，表面涂满油漆。如果把它切割成棱长为1厘米的小正方体，像这样的小正方体共有( )块，其中两面涂有油漆的小正方体有( )块。 8．（24-25五年级下·江西南昌·期末）用18个小正方体拼成如图的大长方体后，把它的表面涂上颜色。两面涂色的有( )个小正方体，三面涂色的有( )个。 9．（24-25五年级下·天津南开·期中）如图是由125个大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色，一面涂色的小正方体有( )个。 10．（24-25五年级下·河南信阳·期中）如图是由棱长2厘米的正方体搭成的，所有表面涂上了颜色（包括底面）。 (1)一共有( )个正方体，它的体积是( )立方厘米。 (2)只有2个面涂色的正方体有( )个。 (3)只有3个面涂色的正方体有( )个。 (4)只有4个面涂色的正方体有( )个。 11．（24-25五年级下·天津南开·期中）用棱长1cm的小正方体拼搭成一个长8cm、宽和高都是5cm的长方体。在其表面涂上红色，这个长方体中两面涂色的小正方体有( )个。 12．（23-24五年级下·福建莆田·期中）把一根长5分米、宽2分米、高2分米的长方体木料，表面涂满红漆，再锯成棱长1分米的正方体木块。三面涂了红漆的正方体有( )块，两面涂了红漆的正方体有( )块。 13．（21-22五年级下·湖北武汉·期末）在一个棱长4cm的正方体的每个面都涂上红色，再把它切成棱长是1cm的小正方体。小林拿走上面的一圈（如下图），拿走的小正方体中，三面涂色的有( )个，二面涂色的有( )个。 14．（22-23五年级下·浙江杭州·期中）棱长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 15．（23-24五年级下·福建莆田·期末）用棱长1厘米的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？按这样的规律拼下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？ （1）完成下表，看看每类小正方体都在什么位置。你能发现什么规律？ 序号 三面涂色的个数 两面涂色的个数 一面涂色的个数 没有涂色的个数 ① 8 0 0 0 ② 8 12 6 1 ③ 8 24 ④ ⑤ 发现规律（写出一条即可）：__________ （2）如果摆成下面的几何体，当排出10层的几何体它一共有几个小正方体？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【新课衔接】2025-2026学年五年级数学寒假学习精讲练人教版 探索图形 （思维导图+知识精讲+例题讲解+考点练习） 思维导图 知识精讲 知识点一、探索图形的基本认知 1、问题核心背景 （1）典型应用场景：将棱长为单位长度的大正方体，每条棱平均分成n份，切割为若干个1×1×1的小正方体，对大正方体表面涂色后，研究不同涂色情况的小正方体的位置分布与数量规律。 ①关键前提：大正方体每条棱被等分为n份时，总小正方体数量为n³，且n≥2（n=1时为单个正方体，无分割意义）。 2、小正方体的分类标准：依据小正方体被涂色的面的数量，可分为四类：三面涂色的小正方体、两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体、完全没有涂色的小正方体。 知识点二、不同涂色情况的小正方体位置与数量规律 1、三面涂色的小正方体 （1）位置特征：仅分布在大正方体的8个顶点处，因为顶点是大正方体三个相邻面的交点，所以该位置的小正方体三个面都会被涂色。 ①数量规律：无论n≥2取何值，三面涂色的小正方体数量固定为8个，不受n的变化影响。 2、两面涂色的小正方体 （1）位置特征：分布在大正方体的12条棱上，且排除每条棱两端的顶点部分（顶点已属于三面涂色），仅在每条棱的中间区域。 ①数量规律：每条棱上两面涂色的小正方体数量为(n-2)个，正方体共有12条棱，因此总数量为12×(n-2)。当n=2时，(n-2)=0，即不存在两面涂色的小正方体，符合2×2×2大正方体的实际情况。 3、一面涂色的小正方体 （1）位置特征：分布在大正方体的6个面上，且每个面中排除边缘一圈的区域，仅在每个面的中心部分（不与棱、顶点接触）。 ①数量规律：每个面上一面涂色的小正方体数量为(n-2)²个，正方体共有6个面，因此总数量为6×(n-2)²。当n=2时，(n-2)²=0，即不存在一面涂色的小正方体，符合实际。 4、完全没有涂色的小正方体 （1）位置特征：完全隐藏在大正方体的内部，不与任何外表面接触，是被所有涂色小正方体包裹的核心区域。 ①数量规律： 方法一：用总小正方体数量减去前三类的数量，即n³ - 8 - 12×(n-2) - 6×(n-2)²； 方法二：转化为内部未被切割的小正方体，其棱长为(n-2)，因此数量为(n-2)³。两种方法计算结果一致，当n=2时，(n-2)³=0，即不存在无涂色的小正方体。 知识点三、规律的归纳拓展与验证 1、统一公式归纳（n≥2） （1）三面涂色小正方体数量：8； （2）两面涂色小正方体数量：12×(n-2)； （3）一面涂色小正方体数量：6×(n-2)²； （4）无涂色小正方体数量：(n-2)³。 2、特殊值验证 （1）当n=3时，大正方体总小正方体数为27： ①三面涂色：8个； ②两面涂色：12×(3-2)=12个； ③一面涂色：6×(3-2)²=6个； ④无涂色：(3-2)³=1个； ⑤总数验证：8+12+6+1=27，与总数量一致，规律成立。 3、长方体表面涂色的拓展规律 （1）若长方体的长、宽、高分别被等分为a、b、c份（a、b、c≥2），切割为1×1×1的小正方体后： ①三面涂色小正方体：固定为8个（分布在长方体的8个顶点）； ②两面涂色小正方体：总数量为4×[(a-2)+(b-2)+(c-2)] = 4(a+b+c-6)，即4条长棱、4条宽棱、4条高棱上的两面涂色小正方体数量之和； ③一面涂色小正方体：总数量为2×[(a-2)(b-2)+(b-2)(c-2)+(a-2)(c-2)]，即6个面中每个面中心区域的数量之和（相对面数量相同）； ④无涂色小正方体：总数量为(a-2)(b-2)(c-2)，即内部未接触外表面的小长方体的体积。 知识点四、核心数学思想与实际应用 1、核心思想方法 （1）分类讨论思想：通过对小正方体涂色面数量的分类，逐一分析不同位置的特征，简化复杂的空间计数问题； （2）数形结合思想：结合正方体的空间结构，通过直观观察与逻辑推导相结合的方式，总结数量规律； （3）归纳推理思想：从n=2、3的特殊实例出发，归纳出适用于所有n≥2的通用公式，培养从特殊到一般的推理能力； （4）转化思想：将无涂色小正方体的计数问题转化为内部小长方体的体积计算，降低问题难度。 2、实际应用场景 （1）空间几何计数：如模块化建筑的部件统计、3D打印模型的结构分析，快速计算不同位置的零件数量； （2）包装材料优化：理解立体图形表面与内部的结构差异，合理设计包装的承重与材料分布； （3）空间想象能力提升：通过对正方体结构的分析，强化三维空间认知，为后续中学立体几何学习奠定基础。 例题讲解 题型一、表面涂色的正方体 【例题1】（24-25五年级下·江西九江·期末）用小正方体拼成如图的大正方体，把它们表面分别涂上颜色。其中三面涂色的小正方体有( )个；两面涂色的小正方体有( )个；一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 8 12 6 【分析】因为正方体有8个顶点，而位于大正方体顶点处的小正方体是三面都与外界接触的，所以会被涂三面颜色，因此三面涂色的小正方体有8个。 大正方体每条棱上小正方体的个数为3个，每条棱上除去顶点处的2个小正方体（顶点处的小正方体是三面涂色的）中间部分是两面涂色的小正方体，每条棱上有3－2＝1个两面涂色的小正方体。又因为正方体有12条棱，所以两面涂色的小正方体个数为1×12＝12个。 大正方体每个面上除去棱上和顶点处的小正方体，剩下的是一面涂色的小正方体。每个小正方体有1个一面涂色的小正方体，正方体有6个这样的面，用1×6解答。 【详解】其中三面涂色的小正方体有8个； （3－2）×12 ＝1×12 ＝12（个） 1×6＝6（个） 所以用小正方体拼成如图的大正方体，把它们表面分别涂上颜色。其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，一面涂色的小正方体有6个。 【例题2】（23-24五年级下·贵州黔南·期末）如图，下面的几何体是由8个小正方体拼成的，把它的表面涂上颜色。只有3个面涂色的有( )个小正方体。 【答案】1 【分析】通过观察这个由8个小正方体拼成的几何体，来确定只有3个面涂色的小正方体的个数，据此解答。 【详解】只有1个面涂色的有：最中间下面的那个小正方体，共1个； 只有2个面涂色的有：没有2个面涂色的小正方体，共0个； 只有3个面涂色的有：最后排中间的那个小正方体，共1个； 只有4个面涂色的有：下面后两排四个角的小正方体，共4个； 只有5个面涂色的有：最前面的和最上面的小正方体，共2个。 因此只有3个面涂色的有1个小正方体。 【例题3】（22-23五年级下·河南南阳·期中）把一个棱长为4dm的正方体木块外面涂上红色，然后切割成棱长是1dm的小正方体，一面涂红色的小正方体有( )块，两面涂红色的小正方体有( )块。    【答案】 24 24 【分析】用n表示大正方体的棱长，三面涂色的小正方体的块数＝8（顶点的个数），两面涂色的小正方体的块数＝12（n－2），一面涂色的小正方体的块数＝6（n－2）2，没有涂色的小正方体的块数＝（n－2）3。 【详解】6×（4－2）2 ＝6×22 ＝6×4 ＝24（块） 12×（4－2） ＝12×2 ＝24（块） 即一面涂红色的小正方体有24块，两面涂红色的小正方体有24块。 【点睛】此题考查了小正方体的块数与大正方体棱长或顶点数间的关系。 考点练习 练习一、表面涂色的正方体 1．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个大正方体表面涂满灰色，按下面的方法切成64个小正方体，其中恰有三个面涂灰色的小正方体有（    ）个。 A．12 B．10 C．8 D．24 【答案】C 【分析】正方体有8个顶点，而恰有三个面涂灰色的小正方体位于大正方体的顶点处。因为大正方体无论大小，顶点的数量都是8个，所以恰有三个面涂灰色的小正方体有8个。 【详解】正方体有8个顶点，所以三个面涂灰色的小正方体有8个。 故答案为：C 2．（24-25五年级下·四川广元·期末）将棱长为3cm的正方体木块表面涂上蓝色油漆，再将其分割成棱长为1cm的小正方体。其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】棱长为3cm的正方体分割成棱长为1cm的小正方体，每条棱上有3个小正方体。两面涂色的小正方体位于每条棱的中间部分，正方体有12条棱，每条棱上有3－2＝1个两面涂色的小正方体，因为每条棱两端的2个小正方体是三面涂色的。所以两面涂色的小正方体总数为1×12＝12个。 【详解】棱长3cm的正方体分割成棱长1cm的小正方体，每条棱上有3个小正方体。 3－2＝1（个） 正方体有12条棱。 1×12＝12（个） 两面涂色的小正方体有12个。 故答案为：D 3．（24-25五年级下·北京西城·期末）一个正方体木块，表面涂油漆（底面不涂）。王师傅按照下图的方法把它切成若干块棱长相等的小正方体木块。这些小正方体木块中，6个面都没有涂油漆的有（    ）块。 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据正方体表面涂色的特点，6个面都没有涂油漆的小正方体在大正方体的内部，因这个大正方体的底面不涂油漆，那么底面最中间只露出一个面的小正方体的6个面也没有涂油漆； 内部每条棱上没有涂色的小正方体有（3－2）块，根据正方体的体积公式V＝a3，求出大正方体内部小正方体的块数，再加上底面的1块，即是没有涂色的小正方体的总块数。 【详解】（3－2）3＋1 ＝13＋1 ＝1＋1 ＝2（块） 这些小正方体木块中，6个面都没有涂油漆的有2块。 故答案为：B 4．（23-24五年级下·福建莆田·期末）一个大正方体表面涂满灰色，按下面的方法切成若干个小正方体，其中恰有两个面涂有灰色的有（    ）个。 A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】观察图形可知，这个大正方体每条棱上分成了4个小正方体。其中，三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处；两面涂色的小正方体位于大正方体每条棱上（除去2个顶点）的中间位置，每条棱上有4－2＝2（个）；一面涂色的小正方体位于大正方体每个面上（除去棱上）的中间位置。据此解答。 【详解】通过分析可得：大正方体有12条棱，每条棱上有4－2＝2（个）小正方体是两面涂色，则大正方体上两面涂色的小正方形一共有2×12＝24（个）。 故答案为：D 5．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）用个棱长的小正方体拼成大正方体，再从一个顶点处拿走个小正方体后，把剩下的几何体涂上颜色（如下图），剩下的几何体中三面涂色的小正方体个数是（    ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据大正方体的组成个数可知大正方体有个顶点，再根据拿走个小正方体处应该有个三面涂色的解答即可。 【详解】因为个棱长的小正方体拼成大正方体， 即 所以大正方体的棱长为， 所以大正方体有个顶点， 因为从一个顶点处拿走个小正方体， 所以剩下的个顶点处的小正方体三面都涂色，拿走的个小正方体顶点处有个小正方体三面涂色， 所以剩下的几何体中三面涂色的小正方体个数是（个）， 故答案为： 【点睛】本题考查了小正方体组成大正方体的体积以及表面积等相关知识点，根据题目信息得到大正方体的顶点个数是解题的关键。 6．（23-24五年级下·河南郑州·期末）如图，用棱长2cm的小正方体拼成大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。两面涂色的小正方体有( )块。 【答案】12 【分析】两面涂色的小正方体在正方体棱的中间位置，每条棱的中间有1个小正方体两面涂色，正方体有12条棱，每条棱两面涂色小正方体的个数×12＝两面涂色的小正方体的个数。 【详解】1×12＝12（块） 两面涂色的小正方体有12块。 7．（23-24五年级下·江西上饶·期末）一个棱长为4厘米的正方体，表面涂满油漆。如果把它切割成棱长为1厘米的小正方体，像这样的小正方体共有( )块，其中两面涂有油漆的小正方体有( )块。 【答案】 64 24 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用大正方体的体积除以小正方体的体积求出切割小正方体的块数；两面涂漆的小正方体位于大正方体的棱上，每条棱上有2个两面涂漆的小正方体，最后乘大正方体棱的数量，据此解答。 【详解】（4×4×4）÷（1×1×1） ＝64÷1 ＝64（块） 分析可知，每条棱上有2个两面涂漆的小正方体。 2×12＝24（块） 所以，像这样的小正方体共有64块，其中两面涂有油漆的小正方体有24块。 8．（24-25五年级下·江西南昌·期末）用18个小正方体拼成如图的大长方体后，把它的表面涂上颜色。两面涂色的有( )个小正方体，三面涂色的有( )个。 【答案】 8 8 【分析】由18个小正方体拼成大长方体，18＝3×3×2，可知大长方体的长、宽、高分别由3个、3个、2个小正方体边长组成。 三面涂色的小正方体位于大长方体的顶点处。长方体有8个顶点，观察图形可知，这8个顶点处的小正方体均为三面涂色。 两面涂色的小正方体在大长方体的棱上（非顶点位置）。长棱（长为3个小正方体边长）：每条长棱上除去两端顶点，中间有3－2＝1个两面涂色的小正方体；长方体有4条长棱，共1×4＝4个。宽棱（宽为3个小正方体边长）：同理，每条宽棱上有3－2＝1个两面涂色的小正方体；长方体有4条宽棱，共1×4＝4个。高棱（高为2个小正方体边长）：高棱长度仅2个小正方体边长，顶点占满，无中间两面涂色的小正方体。 【详解】长方体有8个顶点，观察图形可知，这8个顶点处的小正方体均为三面涂色。 长棱：3－2＝1（个） 1×4＝4（个） 宽棱：3－2＝1（个） 1×4＝4（个） 4＋4＝8（个） 两面涂色的有8个小正方体，三面涂色的有8个。 9．（24-25五年级下·天津南开·期中）如图是由125个大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色，一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】54 【分析】如图所示，一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中心，大正方体每个面中一面涂色的小正方体有9个，再乘大正方体的面数求出一面涂色的小正方体的总个数，据此解答。 【详解】 分析可知，大正方体的每个面上有9个小正方体一面涂色，大正方体一共有6个面。 9×6＝54（个） 所以，一面涂色的小正方体有54个。 10．（24-25五年级下·河南信阳·期中）如图是由棱长2厘米的正方体搭成的，所有表面涂上了颜色（包括底面）。 (1)一共有( )个正方体，它的体积是( )立方厘米。 (2)只有2个面涂色的正方体有( )个。 (3)只有3个面涂色的正方体有( )个。 (4)只有4个面涂色的正方体有( )个。 【答案】(1) 10 80 (2)2 (3)2 (4)4 【分析】（1）观察组合体可知：上层有3个正方体，底层有7个正方体，所以一共有（3＋7）个正方体；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出一个小正方体的体积，再乘小正方体的个数即可得到给出的图形的体积； （2）据图可知，位于底层最后一排中间的正方体只有下面、后面2个面涂色，位于底层第二排左边的正方体只有左面和下面2个面涂色，据此解答； （3）据图可知，位于上层第二排左边的正方体只有后面和上面、左面3个面涂色，位于底层最后一排左边的正方体只有左面、后面、下面3个面涂色，据此解答； （4）据图可知，①位于底层第一排右边的正方体只有前面、上面、下面、右面4个面涂色；②位于底层第二排右边的正方体只有前面、上面、下面、右面4个面涂色；③位于底层第三排右边的正方体只有前面、上面、下面、右面4个面涂色；④位于上层第二排右边的正方体只有前面、右面、上面、下面4个面涂色，据此解答。 【详解】（1）3＋7＝10（个） 2×2×2×10 ＝4×2×10 ＝8×10 ＝80（立方厘米） 一共有10个正方体，它的体积是80立方厘米。 （2）1＋1＝2（个） 只有2个面涂色的正方体有2个。 （3）1＋1＝2（个） 只有3个面涂色的正方体有2个。 （4）1＋1＋1＋1＝4（个） 只有4个面涂色的正方体有4个。 11．（24-25五年级下·天津南开·期中）用棱长1cm的小正方体拼搭成一个长8cm、宽和高都是5cm的长方体。在其表面涂上红色，这个长方体中两面涂色的小正方体有( )个。 【答案】48 【分析】 如图所示，两面涂色的小正方体位于大长方体的棱上，每条长上面有6个两面涂色的小正方体，每条宽上面有3个两面涂色的小正方体，每条高上面有3个两面涂色的小正方体，由此求出两面涂色的小正方体的总数量，据此解答。 【详解】（8－2）×4＋（5－2）×4＋（5－2）×4 ＝6×4＋3×4＋3×4 ＝24＋12＋12 ＝48（个） 所以，这个长方体中两面涂色的小正方体有48个。 12．（23-24五年级下·福建莆田·期中）把一根长5分米、宽2分米、高2分米的长方体木料，表面涂满红漆，再锯成棱长1分米的正方体木块。三面涂了红漆的正方体有( )块，两面涂了红漆的正方体有( )块。 【答案】 8 12 【分析】如图所示，三面涂了红漆的正方体位于长方体的顶点处，两面涂了红漆的正方体位于长方体的长上，每条长上面可以锯5÷1＝5个正方体木块，去掉顶点处的2个正方体木块，每条长上面两面涂了红漆的正方体木块有5－2＝3个，最后乘长的数量求出两面涂了红漆的正方体木块的总数量，据此解答。 【详解】 长方体有8个顶点，12条棱（4条长、4条宽、4条高）。 （5÷1－2）×4 ＝（5－2）×4 ＝3×4 ＝12（块） 分析可知，三面涂了红漆的正方体有8块，两面涂了红漆的正方体有12块。 13．（21-22五年级下·湖北武汉·期末）在一个棱长4cm的正方体的每个面都涂上红色，再把它切成棱长是1cm的小正方体。小林拿走上面的一圈（如下图），拿走的小正方体中，三面涂色的有( )个，二面涂色的有( )个。 【答案】 4 8 【分析】从图中可知，拿走了12个小正方体，根据正方体表面涂色的特点，三面涂色的小正方体在顶点处，两面涂色的小正方体在每条棱上；据此解答。 【详解】三面涂色的在顶点处，拿走的小正方体有4个在顶点处； 二面涂色的在棱上，每条棱上有2个小正方体两面涂色，共有：2×4＝8（个） 拿走的小正方体中，三面涂色的有4个，二面涂色的有8个。 14．（22-23五年级下·浙江杭州·期中）棱长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】90 【分析】分析原图表面积，其相对面的面积相等，如下： 据此解答即可。 【详解】当重叠到5层时，表面积为： 1×1×（1＋2＋3＋4＋5）×3×2 ＝1×15×3×2 ＝90（平方厘米）。 这个立体图形的表面积是90平方厘米。 【点睛】找出物体摆放的规律，结合正方体的表面积的计算方法解决问题。 15．（23-24五年级下·福建莆田·期末）用棱长1厘米的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？按这样的规律拼下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？ （1）完成下表，看看每类小正方体都在什么位置。你能发现什么规律？ 序号 三面涂色的个数 两面涂色的个数 一面涂色的个数 没有涂色的个数 ① 8 0 0 0 ② 8 12 6 1 ③ 8 24 ④ ⑤ 发现规律（写出一条即可）：__________ （2）如果摆成下面的几何体，当排出10层的几何体它一共有几个小正方体？ 【答案】（1）③24；8； ④8；36；54；27 ⑤8；48；96；64   在正方体中，三面涂色的正方体个数都是8个。（答案不唯一） （2）220个 【分析】观察图形可知，三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处，正方体8个顶点，所以三面涂色的个数总是8； 两面涂色的小正方形位于大正方体的每条棱上（顶点除外），正方体有12条棱，一条棱上涂两面的小正方体的个数×12； 一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间位置，正方体有6个面，中间没涂色的个数×6； 没有涂色的小正方体位于大正方体的内部，用总个数减去所有涂色的正方体个数，据此完成表格并得出规律； （1）根据上述得到的规律，继续写出第③、④、⑤个正方体中四类小正方体的个数；并写出一条自己观察到的任意规律。 （2）分别数出各个立体图形每层正方体的个数，然后再相加即可求出各有多少个正方体。 【详解】（1）③4×6＝24（个）；4×4×4＝64（个）；64－8－24－24＝8（个）； ④8；3×12＝36（个）；9×6＝54（个）；5×5×5＝125（个）；125－8－36－54＝27（个） ⑤8；4×12＝48（个）；16×6＝96（个）；6×6×6＝216（个）；216－8－48－96＝64（个）   在正方体中，三面涂色的正方体个数都是8个。 序号 三面涂色的个数 两面涂色的个数 一面涂色的个数 没有涂色的个数 ① 8 0 0 0 ② 8 12 6 1 ③ 8 24 24 8 ④ 8 36 54 27 ⑤ 8 48 96 64 （2）1＋2＝3（个）   1＋2＋3＝6（个） 1＋2＋3＋4＝10（个） 1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）   1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55（个） 1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝220（个） 答：当排出10层的几何体它一共有220个小正方体。 【点睛】本题主要考查学生对于小正方体涂色面的规律观察以及对于小正方体数量上的规律观察。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $