第07讲求函数的值域专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第07讲求函数的值域 【题型1】二次型函数的值域 例题1.函数y=-x2-4x+3(x∈R)的值域为 例题2.函数y=-x2+2x+3(0≤x≤3)的值域 【针对训练】 1.函数f(x)=3+2x-x2(-2≤x≤3)的值域是 2.函数y=-2x2+4x+ 的值域为 3.函数f(x)=√-x2+2x+2的值域是 【题型2】根式型函数的值域 例题1.函数y=x+√-x的最大值为 例题2.函数y=1-x+V1+2x的值域为 【针对训练】 1.函数y=x-2V1-x+2的值域为 2.函数f(x)=2x-√2-x的值域为 3.函数f(x)=V1-4x-2x的值域为 试卷第1页，共3页 4.函数f(x)=V1-2x-x的值域为() A.(-0,-1 n.. C.【-l,+0） D.[ 【题型3】分式型函数的值域 例题1.函数y=2x+的值域为 x-1 例题2。函数y一经60台值城是。一 例题3.若函数f)=3+x+3的最大值为a,最小值为b,则a+b=（） x2+1 A.4 B.6 C.7 D.8 例题4.若f==3x+3x>小，则函数fx的值域为 x-1 【针对训练】 1函数y=-+1的值域为 x2 2函数f(x=-x+4x>1的最小值为 x-1 3质数y:e02的价城为 4.函数f)=2x-3的值域为 3x+1 5.函数f(x)= 下)x>3)的值域为 试卷第1页，共3页 6.雨数小：品在区间[店]上的值城为 7.函数y=+5x+6的值域为 x2+2x-3 函数)上1在0上的值为 9.函数y=+的最大值为 Γx2+8 10.已知x>0,则函数y=X+的最小值是 11.函数y=-4x+3的值域是一 【课后检测】 1.已知函数fx=x2+2x+1. (I)求∫(x)的图象的顶点坐标： (2)求f(x)在-2,2上的值域. 2.求函数y=3x-的值城. x2+2 试卷第1页，共3页 3.求丽数y12的值蚊 4.(1)己知函数fx的定义域是[-2,2]，求函数f(x-1)的定义域； (2)求函数y=-2x+4x>2的值域 x-2 5.(1)a,b>0,M=a3+b3,N=a2b+ab2,比较M,N的大小. (2)求函数y=+2(x>1)的值域。 x-1 6.求函数)=8x+15的最大值、最小值 x2+3x+4 试卷第1页，共3页第07讲求函数的值域 【题型1】二次型函数的值域 例题1.函数y=-x2-4x+3(x∈R)的值域为 【详解】因为y=-x2-4x+3=-(x+2)2+7≤7，当且仅当x=-2时， 所以函数y=-x2-4x+3(xeR)的值域为(-0,7] 例题2.函数y=-x2+2x+3(0≤x≤3)的值域 【详解】函数y=-x2+2x+3的对称轴为x=1,开口向下， 且x=0时，y=3;x=1时，y=4;x=3时，y=0, 则函数y=-x2+2x+3(0≤x≤3)的最小值为0，最大值为4， 所以y=-x2+2x+3(0≤x≤3)的值域为[0,4] 【针对训练】 1.函数f(x)=3+2x-x2(-2≤x≤3)的值域是 【详解】因为f(x)=3+2x-x2(-2≤x≤3)的图象对称轴为直线x=1 所以fx)mx=f0)=3+2x1-1P=4,f(x)mn=f(-2)=3+2×(-2)-( 故函数f(x)=3+2x-x2(-2≤x≤3)的值域是[-5,4 2.函数y= -2x2+4x+ 的值域为 4 【详解】令u川)=-2x+4r+4 1 由y=-22+4x+有意义可得-22+4x+之0， 所以4-3V2 xs4+3 4 4 1 则0s82+4a2x-1为 4 所以0≤y≤ 3 即函数y= r+4+的城为0引 3 故答案为： 0 3.函数f(x=√-x2+2x+2的值域是 【详解】令ux=-x2+2x+2, 试卷第1页，共3页 等号成立， 开口向下， 2)2=-5, 由f(x)=V-x2+2x+2有意义可得-x2+2x+2≥0， 所以1-√5≤x<1+√5， 则0≤μ(x)=-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3， 所以0≤y≤V5 故答案为：[0，V5] 【题型2】根式型函数的值域 例题1.函数y=x+√1-x的最大值为. 【详解】令1=20，则x=1-,y=1-+1=++1=--+ 5 当t=。时，yx=A 2 4 例题2.函数y=1-x+√1+2x的值域为 【详解】令1=+2x≥0，则x=1, 2 所以y=1-- 1 31 +1=-+1+-20-12+2,20, 2 2 所以ye(-o,2],即函数的值域为-0,2 【针对训练】 1.函数y=x-2√1-x+2的值域为 【详解】由1-x≥0，得x≤1，所以该函数的定义域为(-∞，]， 令t=V1-x,则t≥0，x=1-t2, 所以y=1-t2-2t+2=-t2-2t+3, 是一条开口向下的抛物线，对称轴为t=-1, 所以该二次函数在[0，+∞)上单调递减，且当t=0时，y=3, 所以y≤3， 即函数y=x-2V1-x+2的值域为(-0,3] 故答案为：(-0,3] 试卷第1页，共3页 2.函数f(x)=2x-√2-x的值域为 【详解】令√2-x=t,则1≥0，x=2-t2, g(t)=22-t2)）-t=-22-t+4的图像开口向下，对称轴t .gt在[0，+0）上是减函数， 8)mx=80)=4, 所以f(x)的值域为-0,4 故答案为：（-00,4 3.函数f(x)=V1-4x-2x的值域为 【详解】令√1-4x=t,则t≥0，x= 1-t 4 因为回=1-产+1分开日向上且对称转为1 22 所以gt)在[0，+0上是增函数，所以gt)≥g(0)=- 1 所以f()的值域为2+切 故答案为： 4.函数f(x)=V1-2x-x的值域为() A.（-0,-l C.[-1,+∞） 【详解】令1=-2x20,则2=1-2x,可得x=1- 2 所以=-2x-x=1号-+1分 22 因为二次函数y=+1-}在0，+m上为增函数， 2 2 当120时，y=+1- 2 2'故函数f(x)的值域为 试卷第1页，共3页 1 -4' -1, D 【题型3】分式型函数的值域 例题1.函数y 2x+上的值域为， x-1 【详解】要使函数y=2x+1 x-1 意义，则x≠1，所以定义域为-0,1U1,+0) y-2x+1-2x-)+3-2+3 x-1 x-1 -1 %,品 ≠0，所以y≠2 所以函数的值域为-0,2)U2,+0 故答案为：（-0,2)U(2,+0） 例题2.函数y= 3x+4 (x≤0)的值域是」 X+2 【详解】y-3x+4-3x+2)-2-3-2 X+2 x+2 x+2 :X≤0： :该函数在(-2,0]，（-o,-2)上单调递增； x∈(-2,0]时，y≤2；x∈(-o,-2)时，y>3; 原函数的值域为(-0,2]U(3,+o). 故答案为：（-0,2]U(3,+0). 例题3.若函数f(x) 3r+x+3的最大值为a,最小值为b,则a+b=（） x2+1 A.4 B.6 C.7 D.8 【详解】设y= 3x2+x+3 ,x2+y=3x2+x+3,(y-3)x2-x+y-3=0, x2+1 x=0时，y=3, y3,回为e,所以a=14g-那≥0，解将3即月5y且3. 7 .7 2 综上≤y3子最大值是子，最小值是和为6 例题4.若=-3x+3r>小，则函数f(x的值域为 x-1 【详解】因为x>1,则x-1>0, 所以fy=-3x+2+1_x-x-2+1 x-1 x-1 x-2+1 试卷第1页，共3页 ≥2x-小-11， x-1 当且仅当x-1=1（x>)时，即当x=2时，等号成立， x-1 医此八-4x>的值城为网 【针对训练】 1函数y--+的信线为 【详解】y=-x+1=1-上+1 x2 令1=1，则1≠0， 当：时y(+取待最小为 则函数y= 的值蚊为[+ 故答案为： 工质致-子>的是个清为 【详解】由题意得函数f(x)=-x+4_x-+4 x4 x-1+4 +1(x>1, x-1 x-1 x-1 x-1 4 因为x>1,所以x-1>0, ,>0 - 所以-1+2-归哥=4，当且仅当1即，等号度立 所以fx≥5，且当x=3时，函数∫(x)取得最小值，最小值为5. 故答案为：5. 3函数，=华e0,2的值城为 【详解】：0≤x≤2， .1≤x+1≤3， 试卷第1页，共3页 1s11, 3-x+1 2s2 ≤2， 3x+1 s1+2 ≤3， +1 ·函数y=+3 1+ 的值域为 x+1 x+1 4.函数f(x) 2x-3的值域为 3x+1 【详解】由题意得f)=3 3x+1 333x+1) 11 而33x+) 0,则号 可得函数f()= 的位城为（仔】 3x+1 故答案为： 5.函数f(x)= 3-x(>3)的值域为 x-2 【详解】函数f(x)= 1+2-,当>3图，2>1，则0<江 x-2x-2 因此1< 1<0,所以函数f=3x>3)的值域为(-1,0) x-2 x-2 故答案为：(-1,0) 6.弱数f=在区间[2习 上的值域为 1+x 【详解】f川)=-1-x+-2-1-2 因为2，所以x+1孕 1+xx+1 x+1 2 45 22 21 1 所以(x)的值域为5] [11 故答案为： 周 7.函数y= 2+5x+6的值域为 x2+2x-3 【详解】y= x2+5.x+6（x+2)x+3 x2+2x-3(x-1)(x+3 其中x≠1且 试卷第1页，共3页 所以y=+2=1+3 x-1 所以y≠1且y≠4' 1 所以函数的值域为{yy≠1且y≠ 8.函数f(x)= 上2在（上的值域为 x2+2 详解】当x=号时，/x)=0 t 4t 4 当x时，20，x专，则26 12-21+9 9-2 t 9 9 9 t+9-2≥2，.2-2=4，当且仅当t=,即1=3，x=-1时取等号，此时0<y≤1， t 所以所求值域为[0，] ?两或5的最大做为。 【详解】原函数可以化简为y·x2-x+8y-1=0在x∈R时有解， 当y=0时，x=-1, 当y不等于0时，△=1-4y(8y-1≥0， 解得-日y≤对且y不等于0 10.已知x>0,则函数y=x+二的最小值是 1 【详解】当x>0时，由基本不等式可知y=x+≥2， =2,当且仅当x=即x=1时等 号成立 故函数y=x+1的最小值是2 故答案为：2. 11.函数y= X2-4x+3的值域是 x2-1 【详解】函数y=-4r+3中，x2-1≠0，则x-1且x1, x2-1 于是y=红-1x-3)-x-3 14 (x-1)(x+1)x+1 ，由40，得y1:由x1,得y≠一卫 x+1 所以原函数的值域为{yy0-1且y≠1} 故答案为：{yy0-1且y≠1} 试卷第1页，共3页 【课后检测】 1.已知函数f(x=x2+2x+1 (1)求∫(x)的图象的顶点坐标； (2)求f(x在[-2,2]上的值域， 【详解】(1)f(x)=(x+1)2则f(x)的图象的顶点坐标为-1,0) (2)当x=-1时，f(x)取得最小值，且最小值为0. 因为f(-2)=1,f(2)=9所以fx)的最大值为9. 故f(x)在[-2,2]上的值域为[0,9] 2.求函数y=3-的值域. x2+2 【详解】法一：y= 3x2-13x2+2-7 x2+2x2+2 37 x2+2 x2+2≥2， 1 7 .0< . ≤。，则0< 777 -≤ ≤- x2+22 2+22’- 2x2+2 <0, 得3 2s3 7 2><3,即二2≤严3， 12 即函数的值域为23 法二：由y 3x-1得w2+2y=3r2-1, x2+2 即(3-y)x2=2y+1, 当y=3时，方程等价为0=7，不成立，则y≠3， 则x2=2”+≥0，得2y+1X3-)20且y≠3，解得 3-y ≤y<3, 故函数的值域为一 x-1 3.求函数y 1+2r+x2的值域 x-1 x-1 【详解】因为y=1+2x+(x+2, 所以定义域为{xx≠-1}， 令1=x-1,则t≠-2， 试卷第1页，共3页 x-1 t t 得y= x+1(+222+4+4: 当t=0时，得y=0, t 1 当10时，得yP+4+4 4+4 得1手之4，成+≤+等号成立时，分别测应=2和1-， 因为t≠-2， 则+424，或t+4<4, t 得t+4+4≥8，或6+4+4<0， 则0<一s 1 <0 +48,或：+4+4 t x-1 综上，国数y二1+2+2的值城为 4.(1)已知函数f(x)的定义域是[-2,2]，求函数∫(x-1的定义域； (2)求函数y=-2x+4x>2)的值域 x-2 【详解】(1)因为函数f(x)的定义域是[-2,2]，令-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3， 所以函数fx-1)的定义域是[-1,3]； (2)因为x>2,则x-2>0, 可得w-2x+4=x-2+二2+2≥22x47 +2=6, x-2 x-2 当且仅当x-2=- 一2即x=4时，等号成立， 4 所以函数的值域为6，+∞) 5.(1)a,b>0,M=a3+b3,N=a2b+ab2,比较M,N的大小. (2)求函数y=+2 (x>1)的值域. x-1 【详解】(1)由题意得M-N=a3+b-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2） 试卷第1页，共3页 =(a-b)2(a+b), 因为a,b>0,所以a+b>0,(a-b)2≥0， 故(a-b)2(a+b)≥0，当a=b时等号成立， 所以M≥N; (2)由题意知x>1,则y=+2_(x-+2(x-1)+3、 2=x-1+3+2, x-1 x-1 x-1 由于1，故-1>0，故=-1+名+22- =2√5+2， x-1 x-1 3 当且仅当x-1= x即r=V5+1时取等号， 即y=+2≥25+2，即函数y=+2（x>1)的值域为[25+2，+w】 x-1 x-1 6.求函数f()= 8x+15的最大值、最小值 2+3x+4 【】亚=心=广+34好0相发立，所以定义装为 x2+3x+4 则yx2+(3y-8)x+4y-15=0, 当=0时，x=-15 9 当y≠0时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 16 则判别式△=(3y-8)2-4y4y-15)≥0→7 解得154且y20, ≤y≤4 y≠0 所以函数小g的最大值为4，最小为9 试卷第1页，共3页