22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时课件2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过复习上节课y=a(x-h)²+k的知识，以问题导入建立前后联系，引导学生探究两者关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过配方法推理转化一般式为顶点式，结合任务驱动（如顶点在坐标轴求a值）和分层作业，培养学生推理能力、几何直观与模型意识。教师可利用分层资源实施教学，学生能在探究中提升数学思维与应用能力。

九年级·数学·人教版·全一册册 导学案课堂同步导学 22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 单击此处编辑母版文本样式 第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 单击此处编辑母版文本样式 1.能用配方法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向和对称轴. 2.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象,知道其性质. ◎重点:二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质. ◎难点:用二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质解决简单的问题. 单击此处编辑母版文本样式 上一节课我们学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,那么二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k有怎样的关系?这节课我们一同来探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质     请你阅读课本本课时“练习”以上的部分,思考:y=ax2+bx+c的图象是什么样的?有什么性质? 单击此处编辑母版文本样式 形式转化:怎样把二次函数y=x2-6x+21化为y=a(x-h)2+k的形式?请写出详细过程. 答:y=x2-6x+21=(x2-12x)+21=(x2-12x+36)+21-18=(x-6)2+3. 单击此处编辑母版文本样式 观察对比:由以上配方结果可知,抛物线y=x2-6x+21可以由抛物线y=x2通过怎样的平移得到? 答:先向右平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度或先向上平移3个单位长度,再向右平移6个单位长度. 单击此处编辑母版文本样式 归纳画图步骤:请你阅读画抛物线y=x2-6x+21的过程,总结画图的步骤: (1)用配方法将函数转化成　 　的形式;  (2)找出　 　和　 　;  (3)利用函数的　 　性列表;  y=a(x-h)2+k 顶点坐标 对称轴 对称 单击此处编辑母版文本样式 (4)描点,画图. 函数的增减性:请你观察函数y=x2-6x+21的图象,说一说它的增减性. 答:当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大. 单击此处编辑母版文本样式 深入讨论: 小组讨论完成:用配方法将抛物线y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式. 答:y=ax2+bx+c=a(x2+x+)=a[(x2+x+)-+] =a[(x+2+] =a(x+)2+. 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是　 　,顶点坐标是  　.若a>0,当x<　 　时,y随x的增大而减小;当x>　 　时,y随x的　 　而　 　.若a<0,当x<　 　时,y随x的　 　而　 　;当x>　 　时,y随x的　 　而　 　.  直线x=- (-,） - - 增大 增大 增大 - 增大 - 增大 减小 单击此处编辑母版文本样式 顶点和对称轴 1.已知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上,求a的值. 解:抛物线的顶点坐标是 ( ,) .当顶点在x轴上时,有=0,解得a=4或a=-8;当顶点在y轴上时,有=0,解得a=-2.所以当抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上时,a的值为-2或4或-8. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 系数与图象的关系 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有下列结论:①abc>0;②b=2a;③a+b+c<0;④a-b+c>0.其中正确有( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 B 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　二次函数y=ax2+bx+c的图象与其系数之间的关系:　 　决定开口方向;　 　决定对称轴的位置;　 　决定抛物线与y轴的交点位置.  a的符号 a和b的符号 c 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象如图所示,下面四个结论:①abc<0;②a+c<b;③2a+b=1;④a+b≥m(am+b).其中正确的是　 　.  ①②④ 单击此处编辑母版文本样式 抛物线y=ax2+bx+c的平移 3.抛物线y=x2+bx+c先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新的抛物线的解析式为y= (x-1)2 -4，则b、c的值为( ) A.2、6 B.2、0 C.-6、8 D.-6、2 B 单击此处编辑母版文本样式 函数的增减性 4.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1<x2<1,则y1与y2的大小关系是( )  A.y1≤y2 B.y1<y2 C.y1≥y2 D.y1>y2 　　 B 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　抛物线y=ax2+bx+c,若a>0,在对称轴的左侧,y随x的　 　而　 　;在对称轴的右侧,y随x的　　而　　.若a<0,在对称轴的左侧,y随x的　 　而　 　;在对称轴的右侧,y随x的　 　而　 　.    增大 减小 增大 增大 增大 增大 增大 减小 单击此处编辑母版文本样式 1抛物线y=-x2+4x+7的顶点坐标为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-2,3) B.(2,11) C.(-2,7) D.(2,-3) B 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2若抛物线y=x2-2x+c与y轴交于点(0,-3),则下列说法不正确的是 ( ) A.抛物线开口方向向上 B.抛物线的对称轴是直线x=1 C.当x=1时,y的最大值为-4 D.当x<1时,y随x的增大而减小 C 单击此处编辑母版文本样式 3要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象,需将y=-x2的图象 ( ) A.向左平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度 C.向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度 D 单击此处编辑母版文本样式 4抛物线y=2x2-12x-12变为y=a(x-m)2+n的形式,则m·n=　 　.  5抛物线y=-x2+bx+c的最高点为(-1,-3),则b+c=　 　.  -90 -6 单击此处编辑母版文本样式 6已知二次函数y=x2-3x-4,用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴. 解:∵y=x2-3x-4=x2-3x+()2-()2-4=(x-)2-, ∴该二次函数图象的顶点坐标是 (,-) ,对称轴是直线x=. 单击此处编辑母版文本样式 7已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0),B(3,0). (1)求抛物线的对称轴. (2)将抛物线的顶点M先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度后恰好与抛物线上的点B重合,求点M到点B的距离. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0),B(3,0), ∴抛物线的对称轴为直线x==2. (2)∵顶点M先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度后恰好与抛物线上的点B重合, ∴MB==. 单击此处编辑母版文本样式 8二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点,则y1与y2的大小关系是 ( ) A.y1<y2 B.y1=y2 C.y1>y2 D.不能确定 C 单击此处编辑母版文本样式 9二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列五个式子:①ac;②a+b+c;③4a-2b+c;④2a+b;⑤2a-b.其中值大于0的式子有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 单击此处编辑母版文本样式 10二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,请写出与其关系式、图象相关的两个正确结论:　 　.(对称轴方程,图象与x轴正半轴、y轴交点的坐标例外)  b<0,c=3(答案不唯一) 单击此处编辑母版文本样式 11已知二次函数y=ax2+4ax+3a-1的图象开口向下. (1)若点(m,-9)和(1,-9)是该图象上不同的两点,求m的值. (2)当-4≤x≤4时,函数的最大值与最小值的差为6,求a的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵y=ax2+4ax+3a-1=a(x2+4x+4-4)+3a-1=a(x+2)2-a-1, ∴抛物线对称轴为直线x=-2. ∵点(m,-9)和(1,-9)是该图象上不同的两点, ∴=-2, ∴m=-5. 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵抛物线对称轴为直线x=-2,a<0, ∴当x=-2时,函数的最大值为-a-1, 当x=4时,y有最小值,最小值为16a+16a+3a-1=35a-1.  ∵函数的最大值与最小值的差为6, ∴-a-1-(35a-1)=6, 解得a=-. 单击此处编辑母版文本样式 12已知点A(m,y1)、B(m+2,y2)、C(x0,y0)在二次函数y=ax2+4ax+c(a≠0)的图象上,且C为抛物线的顶点.若y0≥y1>y2,则m的取值范围是 ( ) A.m<-3 B.m>-3 C.m<-2 D.m>-2 B 单击此处编辑母版文本样式 解析:抛物线的对称轴为直线x=-=-2. ∵C为抛物线的顶点, ∴x0=-2. ∵y0≥y1>y2, ∴抛物线开口向下. ∵m<m+2,y0≥y1>y2, 单击此处编辑母版文本样式 ∴当点A(m,y1)和B(m+2,y2)在直线x=-2的右侧,则m≥-2; 当点A(m,y1)和B(m+2,y2)在直线x=-2的两侧,则-2-m<m+2-(-2),解得m>-3. 综上所述,m的范围为m>-3. 单击此处编辑母版文本样式 13设二次函数y=-4x2-4ax-a2+2a -≤x≤ 有最大值-2,求实数a的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:由题意可知对称轴x=-. (1)若-≤-≤,即-1≤a≤1,当x=-时,ymax=2a=-2,a=-1符合题意; (2)若-<-,即a>1,当x=-时,ymax=-a2+4a-1=-2,a=2+符合题意; (3)若->,即a<-1,当x=时,ymax=-a2-1=-2,a=±1 不符合题意. ∴a=-1或2+. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 37 $