寒假作业09 二次函数的性质和应用14大题型（巩固培优）九年级数学苏科版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 二次函数的性质和应用 一．二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 二．二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 三．二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 四．二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 五．二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 六．用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 二次函数的定义 1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）下列函数中，属于二次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A．，x的最高次数为1，不是二次函数，该项错误； 选项B．，x的最高次数为3，不是二次函数，该项错误； 选项C．，符合形式，且，是二次函数，该项正确； 选项D．，含分式，不是二次函数，该项错误． 故选C． 2．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 题型二 求二次函数的解析式 3．（25-26九年级上·北京·期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②顶点坐标为．此二次函数的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握好二次函数的顶点式是关键． 利用二次函数的顶点式，根据顶点坐标和开口方向确定参数． 【详解】解：设二次函数的解析式为， ∵顶点坐标为， ∴，，即， ∵开口向下， ∴，取，得． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26九年级上·广东汕尾·月考）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)当时，写出的取值范围． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； (2)当时，的取值范围为． 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、将化为顶点式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将，代入二次函数解析式后，再化为顶点式即可得解； （2）结合二次函数的图象与性质即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数， 得， 解得， 二次函数解析式为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数解析式为，对称轴为直线， 又二次项系数， 该二次函数在时取最大值，离对称轴越远值越小， 在这个范围内， 时，取最大值， 又， 时，， 故当时，的取值范围为． 5．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，已知抛物线（b为常数）经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作x轴的平行线，交抛物线于A、B两点，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）由，轴得时代入解析式，即可求． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：，轴， 当时，， 解得：，， ． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，抛物线与轴相交于，两点，与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)求以点B、C、D为顶点的三角形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法将点B，C代入抛物线表达式中即可求解； （2）先求出抛物线的顶点，再得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是抛物线与x轴交点， ∴将点B，C代入得：，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由（1）知，将抛物线表达式化为顶点式得：， ∴， ． 7．（25-26九年级上·北京·月考）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，记二次函数的最大值与最小值之差为t，求t的最小值，并写出此时对应的n． 【答案】(1)； (2)t的最小值为2，此时． 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，运用二次函数的增减性求相关最值，是解题关键． （1）由二次函数过点，以及二次函数对称轴为直线，运用待定系数法建立方程组，解得b，c的值，即可求得二次函数表达式； （2）讨论n和与对称轴的位置关系，分类讨论，逐一求出每种情况下的t值，最后得到t的最小值及对应的n值． 【详解】（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为，且二次项系数，函数图象开口向上， 分三种情况进行讨论： ①当，即时， ∵在时，y随x的增大而减小， 函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而减小， ∴， 即当时，t有最小值8； ②当时， ∵在时，y随x的增大而增大， 函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而增大， ∴， 即当时，t有最小值8； ③当时， 若， 则函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而减小， ∴当时，t有最小值2； 若， 则函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而增大， ∴此时，t没有最小值； 综上所述，t的最小值为2，此时． 题型三 二次函数的图像与性质 8．（25-26九年级上·重庆·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．抛物线开口向上 D．函数的最小值是1 【答案】B 【分析】由二次函数顶点式可确定对称轴、顶点坐标、开口方向及最值，逐项判断即可；本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数顶点式和二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线，故A不正确，不符合题意； ∴抛物线的顶点坐标是，故B正确，符合题意； ∴，抛物线开口向下，故C不正确，不符合题意； ∴抛物线的最大值是3，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 9．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）已知，即当时，．若，，则（  ） A．-2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，特别是二次函数的对称轴以及利用函数的对称性来求解函数值．解题关键在于熟练利用二次函数图象的对称性找出二次函数的对称轴，再利用二次函数图象的对称性，找出与的关系．由确定二次函数的对称轴．分析与到对称轴的距离，判断它们关于对称轴对称的关系．根据二次函数图象的对称性，得出与的函数值关系，进而求出的值． 【详解】解：∵ ∴对称轴 设点关于的对称点， ∴， 解得， 根据二次函数的对称性， ∴． 故选：D． 10．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数（m是常数）． (1)若． ①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　； (2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； (3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】(1)①；②2 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握其图像性质是解题的关键． （1）将代入得到二次函数，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标，验证顶点坐标是否在二次函数上即可； （3）由（2）可知该二次函数开口向下，对称轴为，根据当时，总有，说明当时，随的增大而减小，据此解答即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数， ①该函数的顶点坐标为， 故答案为：； ②由①知该函数的顶点坐标为， 由于， 则当时，该函数的最大值为2， 故答案为：2； （2）证明：二次函数， 则顶点坐标为， 将代入得， 因此，不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； （3）解：由（2）可知该二次函数的顶点坐标为， 当时，总有， 则当时，随的增大而减小， 由于该二次函数开口向下，对称轴为， 则， 故答案为：． 明天去 11．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在该抛物线上，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数表达式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求的坐标； (3)作点关于坐标原点的对称点，连接、． ①点的坐标为______（用含的代数式表示）； ②当点在轴右侧时，若此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，则的取值范围为______； ③当抛物线的顶点落在边上时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②；③或 【分析】（1）将点代入，即可求解解析式，写出顶点式即可得顶点坐标； （2）由已知可得，根据轴可得点的坐标，将坐标代入，即可求解； （3）①根据关于原点对称的点的坐标互为相反数即可求解； ②根据已知结合图象可知需满足在抛物线上或抛物线的内部，列出不等式，求解的取值范围，结合可得； ③当抛物线的顶点落在边、、上时，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线（是常数）经过点， ， ， 抛物线对应的函数表达式为； ， 顶点坐标为； （2）解：点在该抛物线上，其横坐标为， ， 轴，点的横坐标为， ， 点在抛物线上， ， 解得或（舍）， ，， 点的坐标为； （3）解：①，关于原点对称的点的坐标互为相反数， ； 故答案为：； ②点在轴右侧， ，且在轴左侧， 抛物线的对称轴为直线， 在的左侧随的增大而减小， 要使抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小， 需满足内部的抛物线部分在对称轴的左侧， 即满足在抛物线上或抛物线的内部，如图： 将代入，得， ， ， 移项整理得， 对应方程的根为，， 函数的图象开口向上， 不等式的解为， 又， 的取值范围为； ③抛物线的顶点坐标为， 当抛物线的顶点落在边上时，即， 解得，此时顶点即点，顶点也落在边上； 当抛物线的顶点落在边上时， ，， 过两点的直线的解析式为， 将代入得， 解得或， 当时，，， 顶点不落在边上， 当时，，， 顶点落在边上， 或． 【点睛】本题是二次函数几何综合题，将几何问题转化为坐标运算，如通过点的坐标求直线解析式；分析顶点落在三角形三边的不同情况，主要验证顶点是否在线段上，而非直线的延长线上，这也是本题的易错点． 12．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含有a的式子表示b，并求抛物线的对称轴； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求a的取值范围． 【答案】(1)；对称轴 (2)①6；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，函数值的计算与线段的长度，二次函数的最值，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将点和点代入抛物线方程即可得a与b的关系，再由求解对称轴即可； （2）①根据，，可将点M与点N的坐标求解出来，再求解长度即可； ②先将点M与点N的坐标表示出来，再表示的长，根据二次函数的对称轴求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，即， 可得； ∴对称轴； （2）解：①若，， 则点，抛物线为，直线， ∵点作x轴的垂线，交抛物线于点M， ∴当时，，即点， ∵过点作x轴的垂线，交直线于点N， ∴当时，，即点， ∴的长度为； ②∵，， ∴抛物线为， ∵点作x轴的垂线，交抛物线于点M， ∴当时，，即点， ∵过点作x轴的垂线，交直线于点N， ∴当时，，即点， ∴， ∴对称轴为，如图， ∵点P从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，由图象得 ∴或， 即或， ∴或． 题型四 比较函数值问题 13．（湖北省宜昌教育集团2025-2026学年九年级上学期期末联考数学试题）已知函数的图象经过点，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的对称轴和开口方向，比较两点到对称轴的距离即可判断函数值大小． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∵函数的图象经过点，，且， ∴． 故选：B 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知二次函数，，，为该二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质(增减性) ．掌握二次函数图象增减性的性质及“逢点必代”方法可解此题．由点，，为二次函数图象上的点可知，将对应点的坐标依次代入二次函数的表达式中，并依次求出对应，，的值，再进行大小比较即可． 【详解】解：∵， ∴ 当时，； 当时，； 当时，； ∴，，即 ． 故选：A． 题型五 二次函数的图像与系数综合 15．（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由抛物线的图像，开口向上， ∴，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，故③错误； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y取得最小值为， ∴当时，， 即，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 16．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）二次函数的图象如图所示，它的对称轴为直线，给出下列结论：①；②当时，；③；④（为任意实数）．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线开口向上，推出；由对称轴为直线，推出；由抛物线与轴的交点在负半轴，推出；即可判断①；根据当时，；推出由对称性可知：当时，：得当时，、、都有可能，即可判断②；由图象可知：当时，：推出，；，即可判断③；由图象可知：当，；对于任意的实数，都有，即可判断④； 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴； ∵抛物线与轴的交点在负半轴， ∴； ∴，故①错误； ∵当时，； ∴由对称性可知：当时，： ∴当时，、、都有可能：故②错误； 由图象可知：当时，： ∵， ∴，； ∵； ∴，即，故③错误； 由图象可知：当，； ∴对于任意的实数，都有， 即， ∴，故④正确； 故答案为：④ 题型六 求参数范围问题 17．（25-26九年级上·山东德州·月考）如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得对称轴为直线，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，求出二次函数与轴的交点坐标为，则该点关于对称轴的对称点为，结合，且得出，解得，当点、都在对称轴左边时，由可得，，解得，当点、在对称轴两侧时，由可得，，解得，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点和点纵坐标相同， ∴对称轴为直线， ∵二次函数解析式为， ∴，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 在中，当时，，即二次函数与轴的交点坐标为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵，且， ∴， 解得：， 当点、都在对称轴左边时，由可得，， 解得， 当点、在对称轴两侧时，由可得，， 解得， 综上所述，由或，结合的条件， 的取值范围是或 故选：B． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知点，，均在二次函数图象上，若，则下列选项不成立的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的顶点式，以及二次函数的对称轴与顶点坐标，解决本题的关键是求解出该函数的顶点式，并分析各点的特征． 由二次函数解析式可得对称轴为，且顶点纵坐标为，结合可知点为顶点，即，根据二次函数的性质，函数值的大小与点到对称轴的距离有关，依此分析各选项即可． 【详解】解：∵函数， ∴对称轴为，顶点纵坐标为， 即顶点坐标为， ∵， ∴点为顶点，即， 选项A：若且，则函数图像开口向下，函数值越小则离对称轴越远， ∴，即，成立； 选项B：若且，则函图像象开口向上，函数值越大则离对称轴越远， ∴，即，但选项结论为，不成立； 选项C：若，即， 则有两点关于对称轴对称，即，成立； 选项D：若，即， ∵，，则，成立． 故选：B． 19．（25-26九年级上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点．当，时， ；若对于，都有，则a的取值范围为 【答案】 0 或 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 由求出，，再根据得到，代入计算即可；的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论，即可解答． 【详解】解：当时，，， 将代入得，，即 ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点A、B不重合， ∴； ∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴， 解得， 此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴， 解得， 此时； 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：0；或． 20．（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点， ∴点与点关于直线对称， ∵， 即点在与之间， 点在与之间， ， 故选：C． 题型七 二次函数的最值问题 21．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． 二次函数开口向上，顶点横坐标为．根据顶点与的位置关系，分三种情况讨论最小值点，并令最小值为求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为，开口向上． ∵当时，抛物线的最小值为， 当时，y随x的增大而增大， ∴，y取得最小值， ∴， 解得，不满足． 当时，，y取得最小值， ∴， 解得或，均不满足． 当时，y随x的增大而减小， ∴，y取得最小值， ∴． 解得，满足． 综上，． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·江苏南通·期中）二次函数与轴交于点，点是该二次函数图象上位于点右侧的一个动点，当点变化时，若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差等于，则的值为 ；若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于，则的取值范围是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想求解． 先求二次函数与y轴交点A的坐标，顶点坐标，以及点A关于对称轴的对称点坐标，再根据二次函数的性质，分情况讨论． 【详解】解：（1）由二次函数，当时，，故点A坐标为， 将二次函数化为顶点式：， ∴顶点为，开口向下， 当时，， 此时最大值为，最小值为，； ∵顶点为， ∴对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， 当时，，如图： 此时最大值为，最小值为，； 当时，此时最大值为7，最小值为，，如图： 则，即，且 解得或（舍）， ∴当时，函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差等于， 故答案为： （2）由（1）分析可得若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于，则的取值范围是， 故答案为：， 23．（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式： (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍去）， ∴m的值为； （3）解：由题可知，二次函数，开口向上，对称轴为， 所以当时，二次函数在时，随增大而减小， 时，，时，， 又最大值与最小值的差为， 所以，解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 所以时，，时，， ， 则时，符合题意； 当时，， 所以时，，时，， 则， 解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 24．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数（是常数）． (1)若抛物线经过． ①求二次函数解析式． ②抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该抛物线上，求点的坐标． (2)若抛物线与x轴有且仅有一个交点，令，是否存在一个常数，使得当时，的最大值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)存在， 【分析】（1）①把代入解析式计算即可求解；②设点，则平移后点的坐标为：，将该点的坐标代入即可求解； （2）先通过抛物线与x轴的交点得到，进而可求出的解析式，然后利用二次函数的性质进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为：； ②设点，则平移后点的坐标为：， 将该点的坐标代入得：， 解得：， 则点的坐标为：； （2）解：存在，，理由如下： ∵抛物线与x轴有且仅有一个交点， ∴， 故， ∴， ∴关于直线对称，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 当时，，当时，， ∴当时，函数在时取得最大值，此时，解得：或（舍）， 当时，函数在时取得最大值，此时，解得（舍）， ∴综上，的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，能够进行分类讨论是解题关键． 25．（25-26九年级上·北京·月考）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，记二次函数的最大值与最小值之差为t，求t的最小值，并写出此时对应的n． 【答案】(1)； (2)t的最小值为2，此时． 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，运用二次函数的增减性求相关最值，是解题关键． （1）由二次函数过点，以及二次函数对称轴为直线，运用待定系数法建立方程组，解得b，c的值，即可求得二次函数表达式； （2）讨论n和与对称轴的位置关系，分类讨论，逐一求出每种情况下的t值，最后得到t的最小值及对应的n值． 【详解】（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为，且二次项系数，函数图象开口向上， 分三种情况进行讨论： ①当，即时， ∵在时，y随x的增大而减小， 函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而减小， ∴， 即当时，t有最小值8； ②当时， ∵在时，y随x的增大而增大， 函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而增大， ∴， 即当时，t有最小值8； ③当时， 若， 则函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而减小， ∴当时，t有最小值2； 若， 则函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而增大， ∴此时，t没有最小值； 综上所述，t的最小值为2，此时． 26．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点． (2)若，点在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求函数的表达式； ②若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2)①，②或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，理解二次函数与不等式的关系是解题的关键． （1）把代入抛物线方程，根据抛物线与一元二次方程的关系求解即可； （2）把代入抛物线方程，得，①根据抛物线的开口向上，且顶点为最低点列方程求出m的值即可；②先求出当和时的函数值，比较后，根据最大函数值小于列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：当时，抛物线方程化为， ∵ 抛物线与轴一定有两个交点； （2）解：当时，抛物线方程化为， 抛物线的顶点为，开口向上， ①抛物线开口向上，对称轴为且， 当时，抛物线的最小值为，即顶点纵坐标， ， ， 故函数表达式为； ②当时，， ∵抛物线开口向上，在内的最大值出现在区间端点离对称轴更远的点， 若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于， 当时，， 当时，， ， 化简，得， 解得：或， 的取值范围为或． 27．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若该抛物线上任意两点，都满足：当时，，当时，，试判断点是否在抛物线上； (3)，是抛物线上的两点，且总满足，求t的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)不在 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据的值把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据题意可推出函数的增减性，进而可确定对称轴，则可确定解析式，进而可得结论； （3）求出对称轴，根据开口向上得到离对称轴越远函数值越大，据此建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴， ∴当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴， ∴当时，y随x增大而增大， 又∵抛物线开口向上， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 将代入得， ∴点不在抛物线上． （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵． ∴， ∴， 解得． 题型八 二次函数的平移、旋转和对称 28．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数平移规则“左加右减，上加下减”，先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，计算新解析式． 本题主要考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题关键． 【详解】∵ 原抛物线为 ， 向左平移1个单位长度，得 ， 再向下平移2个单位长度，得 ， ∴ 所得抛物线解析式为 ． 故选:． 29．（25-26九年级上·江苏南京·月考）若二次函数有最大值为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，求得抛物线关于轴对称后的函数解析式为，然后将函数向右平移个单位，再向上平移个单位得到，即可求得函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数有最大值为， ∴二次函数关于轴对称的函数有最小值为，即函数有最小值，将函数向右平移个单位，再向上平移个单位得到，则此时函数的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 30．（25-26九年级上·江苏南京·月考）将函数的图象沿y轴翻折所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称，熟练掌握二次函数的对称点的特征是解题的关键． 根据关于y轴对称的点的特征，横坐标互为相反数，纵坐标不变，将原函数中的x替换为即可得到新函数表达式． 【详解】解：函数的图象沿y轴翻折后，变为， 将替换为得， 故答案为：． 31．（25-26九年级上·重庆·月考）如图是函数的图象，则图象与y轴的交点坐标为 ；若直线与函数图象有2个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画出函数的图象是解题的关键．求得函数的图象与坐标轴的交点，然后根据图象即可求得符合题意的交点坐标；根据函数与直线的图象之间的位置关系即可求出m的取值范围． 【详解】解：令，即， 解得，， 函数与x轴的交点坐标为，， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为， 作出的图象，如图所示， 当直线经过点时与函数的图象只有一个交点， 当直线经过点时与函数的图象有三个交点， 联立， 消去y后可得：， 令，可得， 解得， 即时，直线与函数的图象只有3个交点， 观察图象，当或时，直线与函数的图象有2个交点． 故答案为：或． 32．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图1，二次函数与y轴交于点A，二次函数经过点A： (1)求函数的解析式； (2)直线与函数有三个交点，求出m的取值范围； (3)如图2，将函数向右平移8个单位得到函数，且函数与函数交于B，C两点，直线与交于点M； ①若直线与的交点的最大值与最小值均不随m的变化而变化，求m的取值范围； ②若点M位于B，C两点之间的封闭曲线内，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的性质，抛物线与直线的交点，正确列出方程，结合图象是解题的关键． （1）利用求得点的坐标，将点的坐标代入即可解答； （2）求得抛物线的顶点，根据图象即可解答； （3）①求得，列方程求得点和点的坐标，利用二次函数的性质列不等式即可解答； ②得到点M在直线上，即，列方程求得与的交点即可解答． 【详解】（1）解：令中，则， ， 把代入得： ， 解得， ； （2）解：， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， 当直线经过两抛物线的顶点时，与函数有两个交点， ∴直线与函数有三个交点时，； （3）解：①由平移得， 由得， 解得，， 把代入可得， 把代入可得， ∴点，， 当时， 解得：，（舍）， 则当时，直线与的交点的最大值与最小值均不随m的变化而变化 ∴m的取值范围是； ②， ∴点M在直线上，即， 由， 解得：， 把代入， 可得或， 由， 解得，不在B，C两点之间，不合题意， ∴m的取值范围是． 题型九 二次函数的应用--几何面积问题 33．（25-26九年级上·河南郑州·月考）自《义务教育课程方案》和课程标准（2022版）发布以来，河南省各地区学校积极响应劳动教育课程改革，开展多种形式劳动教育．为便于劳动实践活动，某校要建一个如图所示的矩形菜园，其中一边靠墙，另外三边用总长为36米的篱笆围成．已知墙长25米．若设矩形菜园的边长为x米，矩形菜园的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的矩形菜园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当时，满足条件的矩形菜园面积最大，最大面积为162平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）矩形菜园的边长为米，则边长为米，进而根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据墙长25米，进而得出自变量x的取值范围； （2）根据配方法化为顶点式，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形菜园的边长为米， ∴边长为米， ∴， 自变量x的取值范围是； （2）解：， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当时，满足条件的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米． 34．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F分别在上，交于点H．设． (1)当四边形为正方形时，求x的值； (2)求矩形的最大面积． 【答案】(1) (2)最大面积为5 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质．利用相似确定线段的数量关系是解题的关键． （1）由，可得，则，由，证明，则，即，计算求解即可； （2）设，则，，同理（1），则，即，解得，，由，二次函数的图象与性质求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， ∵， ∴， ∵四边形为正方形，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即，解得，， ∴x的值为； （2）解：设，则，， 同理（1）， ∴，即，解得，， ∴， ∵， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积为5． 35．（25-26九年级上·江苏·假期作业）在中，． (1)若，，以为直角边作，并且与相似，请你直接写出的周长 ； (2)如图，点、、、在边上，设正方形、、周长分别为、、，求证，； (3)作，，设、，的周长分别为、、，直接写出的最大值 ． 【答案】(1)15或20 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，利用三角函数解直角三角形，二次函数性质等知识，难度较大﹒ （1）根据勾股定理求出，分、两种情况分类讨论即可求解； （2）设，，，得到，，，，证明，得到，即可证明，从而得到； （3）设，，则，，，得到，证明，得到﹒同理可得﹒证明，得到，，进而得到，，，得到 ，即可得到当时，有最大值，最大为． 【详解】（1）解：，，， ， 当时， ， 即； 当时， ， 即． 故答案为：15或20； （2）证明：设，，， 正方形，，， ，，，， 由题意得，， ， ， 即， ∴， 整理得， 由题意得， ， 由题意得，，， ； （3）解：设，，则，， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ﹒ 同理可得， ∴﹒ ∵， ∴， ∴﹒ ，， ，，， ， 当时，有最大值，最大为． 故答案为： 36．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）【问题提出】 （1）如图，是的中位线，则 ； 【问题探究】 （2）如图，在一个直角中，以斜边上任意一点E向两直角边作垂线，分别交于点D、F．若，求出矩形面积的最大值； 【问题解决】 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图，现有一块四边形的荒地计划改造公园，经测量，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，且顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，想让活动场所面积尽可能大．请求出符合设计要求的活动场所的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识点，解题的关键是正确理解题意，通过数学建模的思想解决问题． （1）根据三角形中位线得到，，则，再由相似三角形的性质即可求解； （2）设，根据表示出，则，再由矩形面积公式建立二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）如图所示，先证明，则，设，则，那么，则，再由建立二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴故答案为：； （2）解：设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，矩形的面积取得最大值为； （3）解：如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当点Q与点A重合时，则， ∴ ， ∵，， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为． 题型十 二次函数的应用--利润问题 37．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出400个，调查表明：该台灯的售价不超过50元，且不低于成本（售价为整数），台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把台灯售价定为x元． (1)该商场平均每月可售出 个台灯（用含x的代数式表示）； (2)为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)台灯售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为45元 (3)台灯售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是6000元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个列式求解即可； （2）根据总利润等于单个台灯的利润乘以销售量建立方程求解即可； （3）设月销售利润为W元，根据总利润等于单个台灯的利润乘以销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，该商场平均每月可售出个台灯， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为45元； （3）解：设月销售利润为W元， 由题意得， ， ∵该台灯的售价不超过50元，且不低于成本（售价为整数）， ∴，且x为整数， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， 答：台灯售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是6000元． 38．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）贵州糯薏仁颗粒饱满、糯性十足，深受消费者喜爱．某特产店在旺季购进一批礼盒装贵州糯薏仁进行售卖，已知贵州糯薏仁每盒的进价为30元，当每盒的售价为50元时，每星期可卖出100盒．经市场调研发现，每盒的售价每下降1元，每星期可多卖出10盒．现该特产店进行降价销售，每盒的售价下降元． (1)若该特产店想要实现每星期卖出贵州糯薏仁的利润为2240元的目标，同时尽可能地让利于顾客，则每盒贵州糯薏仁的售价应为多少元？ (2)当每盒的售价下降多少元时，每星期卖出贵州糯薏仁的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)44元 (2)当每盒下降5元时，利润最大，最大利润是2250元 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的应用． （1）根据每星期卖出贵州糯薏仁的利润为2240元，列出一元二次方程，即可求解． （2）设每星期卖出贵州糯薏仁的利润为元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 整理，得，解得． ∵要尽可能地让利于顾客， ， （元）． 答：每盒贵州糯薏仁的售价应为44元． （2）解：设每星期卖出贵州糯薏仁的利润为元． 由题意，得． ，， ∴当时，有最大值，最大值为2250． 答：当每盒的售价下降5元时，每星期卖出贵州糯薏仁的利润最大，最大利润是2250元． 39．（2025八年级上·全国·专题练习）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格（元）与周次（是正整数，）的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格（元）从第5周的6元/下降至第6周的元/，与周次（）的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格（元）之间的关系可近似用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同，求与的函数表达式； (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值（）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用、求一次函数解析式、一元二次方程的应用，从图象获取准确的信息、理解题意得到等量关系并列出方程是解题的关键． （1）根据图象取相应点代入对应的函数即可求解； （2）设函数关系式为，根据图象取两个点代入即可求解； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得， 故答案为：，； （2）解：设函数关系式为， 把代入得：， 解得， 与的函数表达式为； （3）解：当时，， 由题意得： ， 解得：或（舍去）， ∵， ∴． 题型十一 二次函数的应用--抛物/喷水问题 40．（2022·福建福州·一模）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 s． 【答案】1.6 【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，令即可解得答案． 【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为， 将，代入，得 ， 解得， ， 令得， 解得或， 足球从踢出到落地所需的时间是． 故答案为：1.6． 41．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，确定二次函数的解析式是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得，再解方程即可． 【详解】（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 由图知图象过以下点：， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）设球出手时，他跳离地面的高度为， 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为， ∴， ∴， 答：球出手时，他跳离地面的高度为． 42．（25-26九年级上·北京·期末）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米．以O为原点，地面所在的水平线为x轴，墙面所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)已知车棚的宽度为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）． ①请通过计算，回答至少需要 个消防喷淋头； ②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围． 【答案】(1) (2)①4；②． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点． （1）由题意可知：顶点M的坐标为，点E的坐标为，然后运用待定系数法求解即可； （2）①设抛物线上横坐标为4的点为P，则，得到一个喷淋头在高度覆盖的水平宽度为4米，据此求解即可； ②由题意可设消防喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为，当抛物线经过点或时，求得或，据此计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：顶点M的坐标为，点E的坐标为， 则可设最外层水柱所在抛物线的表达式为， 将点代入，得，解得， 最外层水柱所在抛物线的表达式为； （2）解：①∵， ∴当时，，解得或， 设抛物线上横坐标为4的点为P，则， ∴一个喷淋头在高度覆盖的水平宽度为4米， ， ∴至少需要4个消防喷淋头； ②由题意可设消防最后一个喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为， 当抛物线经过点时，有， 解得（舍去）或， 此时米， 米． 当抛物线经过点时，有， 解得（舍去）或， 此时米， 米． 综上所述，在满足所需条件时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离的取值范围为． 43．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】(1)水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； (2)为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内； (3)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数（第一象限部分）的顶点式，代入点，求出值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，代入点可求出值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵如图所示，可知第一象限的顶点坐标为，经过， ∴设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （2）∵当时，代入得：， ， ， ， ， ∴解得：，(舍)． ∴为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内． （3）设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． ∵改造前，当时，， 又∵喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合， ∴． ∵改造前后喷出水柱形状不变， ∴，即． ∵水池的直径扩大到米， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）与轴交于， 将代入得： ， ， ， ， 即． ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 题型十二 二次函数的应用--过桥问题 44．（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得B的纵坐标为，把代入解析式确定A、B的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意B的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴，， ∴， 即水面宽度为． 故答案为：20． 45．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] (1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径； (2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 【答案】(1) (2)选择方案一，见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）连接，由垂径定理得到，设，则．由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则，求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到结论；方案二：求出抛物线的解析式，再求出函数值为5时自变量的值即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意得， ， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． 此圆弧形拱桥的半径为． （2）解：方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则， ∵， ． ． 在中，由勾股定理得， 货船能顺利通过这座拱桥． 方案二：设抛物线解析式为， 题型十三 二次函数的应用--其他问题 46．（25-26九年级上·北京朝阳·月考）某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为， ①求a，b的值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． (2)当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的图像与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）①将代入抛物线和直线解析式并求解即可；②首先确定抛物线的顶点坐标，得出比火箭运行的最高点低的高度为，进而求得当时，对应的x的值，然后进行计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可获得答案． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴和直线， 解得； ②由①知，，， ∴， ∴火箭运行的最高点高度为， 当时，则有， 解得， 又∵时，， ∴将代入直线， 可得，解得， ∴火箭在运行过程中高度比火箭运行的最高点低的两个位置分别为， ∵，， ∴这个位置与火箭第二级引发点之间的距离为或； （2）解：当火箭落地点与发射点之间的水平距离超过时，火箭第二级的引发点为， 将，代入， 得，解得， ∴． 47．（25-26九年级上·吉林延边·期末）青蛙起跳后的运动路线为抛物线．某仿青蛙机器人从水平地面起跳并落回地面，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． (2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图①，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． (3)仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于2cm，才能安全通过．如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，，，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．如图③，若团队人员想放置一个平台，使仿青蛙机器人从平台上起跳，且能够刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】(1)顶点的坐标为，抛物线的解析式为 (2)起跳点与落地点的水平距离的长为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，核心是利用抛物线的顶点式求解解析式，并结合平移、函数值计算等知识解决实际问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）通过抛物线的顶点坐标特征（最高点对应顶点），结合已知的水平距离和高度确定顶点，再代入原点坐标求出抛物线解析式； （2）根据“抛物线形状不变”判断其平移规律，得到新抛物线解析式后，求与轴交点的正坐标，进而得到水平距离； （3）先求出障碍物上表面的直线解析式，再结合“竖直距离不少于”的条件，通过函数差值的最小值建立不等式，求解平台高度． 【详解】（1）解：其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为， 顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 图像过原点， ， 解得：， ； （2）解：抛物线的形状不变，， 新的抛物线可以看作由开始的抛物线向上平移了个单位长度得到的， 新的抛物线的表达式为， 当时，， 解得：，（舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； （3）解：设直线的函数表达式为， 由题意，，， 将，代入得： 解得： 则， 设该平台的高度为， 由题意，设从平台起跳的函数表达式为， 设， 由题意知，， 当时，取最小值为， 解得， 该平台的高度为． 48．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）综合与实践 问题情境：冬季来临，温度渐低，为保证蔬菜产量与品质，某农户给蔬菜大棚加固钢材长度及安装供暖设备． 数学建模：如图1、该蔬菜大棚其形状可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，以所在直线为轴，以地面（所在直线）为轴建立平面直角坐标系，现要在大棚上的点处（点在点的右侧）焊接内部加固钢材，，且，． 数据展示：已知大棚的跨径米，顶端点到保温墙的距离为米，到地面所在的直线的距离为米． 问题解决： (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)若点在大棚上，且加固大棚需要8米钢材，求点的坐标． (3)如图2，在加固钢材上方安装矩形供暖设备，其中点，在抛物线上，点，在上，米，若当点到保温墙的距离为米时，直接写出供暖设备所占的面积． 【答案】(1)函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)所占的面积为 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意并掌握数形结合是解题的关键． （1）根据题意，判断出顶点的坐标以及点的坐标，采用顶点式表示其函数表达式，利用待定系数法进行计算，得出其函数表达式即可； （2）结合题意，可知点、点关于直线对称，，结合，得出点的坐标为，代入函数表达式进行求解即可； （3）由点横坐标，得点纵坐标，结合，可得点纵坐标，又米，得点纵坐标，代入函数表达式，求出点、点的横坐标，即可得出所占的面积． 【详解】（1）解：∵大棚的跨径米，顶端点到保温墙的距离为米，到地面所在的直线的距离为米， ∴点的坐标为，点的坐标为， 令抛物线对应函数表达式为， ∵点为顶点坐标， ∴故，， ∴，将点， 代入得， 解得， ∴函数表达式为． （2）解：∵， ∴点、点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴所在直线为， ∵， 假设，， ∴点的坐标为， 将该坐标代入， ∴， 化简得， 解得或（舍去）， ∴，， 故点的坐标为． （3）解：∵点到保温墙的距离为7.5米， ∴点横坐标为， 代入求其纵坐标为， ∵，， ∴点纵坐标为， ∴， 解得或， ∵轴， ∴点横坐标为，点横坐标为， ∴， ∵， ∵， 得所占的面积为． 题型十四 二次函数的应用--二次函数与几何 49．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 【答案】(1)， (2)且 (3)或或或 (4)或 【分析】（1）将原点O，点B代入解析式中求解，即可得到抛物线的解析式，再将其化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，结合点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以及垂直于y轴，画出草图，推出满足题干条件的临界点，利用数形结合进行分析，即可解题； （3）根据二次函数解析式得到，再分两种情况，当点在点的上方时，当点在点的下方时，结合矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2，建立方程求解，即可解题； （4）由（3）可知，根据矩形为正方形，得到，据此建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过原点O，点B在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m， 又以为对角线作矩形，垂直于y轴，且抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，如图： 则当M在C上方时满足条件， 当点重合时，为满足题干条件的临界点， 当时，有， 解得， 此时，， 当且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； （3）解：点M横坐标为m， ， 当点在点的上方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 当点在点的下方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 综上，当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为或或或； （4）解：由（3）可知， 矩形为正方形， ， ，即 或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 综上，当矩形为正方形时， m的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，矩形的性质，坐标与图形的性质，正方形的性质，数形结合是解答本题的关键． 50．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)的取值范围为或 【分析】（1）①根据，，可得对称轴为直线，求出的值，再根据抛物线经过点，求出，从而得出抛物线解析式； ②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把代入解析式即可求出的值； （2）根据题意分对称轴在轴左侧和右侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，， ，两点关于抛物线的对称轴对称，， ∴对称轴为直线， 根据对称轴公式可知：， ， ∴， 把代入得：， 解得， ∴该抛物线的表达式为； ②∵， ∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0， ∴把代入二次函数解析式得：， ∴， ∴二次函数解析式， 当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：， ∵， ∴由图象可知：只有当时，成立， ∴， 解得：， 当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：只有满足题意， ∴， 解得：； 当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都大于0，故不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． 51．（25-26九年级上·北京·期末）如图，已知抛物线，过，两点，其中，． 有以下四个结论： ①；②； ③点，在抛物线上，，当时，总有，则；④若点，在抛物线上且在对称轴的同侧，总有，则．其中正确的结论为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质逐项分析即可判断． 【详解】解：抛物线，过，两点，且， 抛物线的对称轴为， 即， ． ， ， 故①错误； ， 当时，． 抛物线的对称轴为， 时与时的函数值相等． ， 抛物线的开口向下． 又且， 当时，， 当时，， 即， 故②正确； 抛物线的开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 又当时，总有， 点在对称轴左侧，点在对称轴左侧或右侧且距离对称轴较近， 当时，要保证，则， 故③正确； 点，在抛物线上且在对称轴的同侧，总有， ， 化简得，． ， ． ， 当时，， ， 故④正确． 综上，正确的结论为②③④． 故选：D． 52．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）抛物线（、、为常数，）开口向下且过点，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、函数值、顶点坐标），二次函数与一元二次方程，结合抛物线与轴的交点分析对称轴、函数值的符号是解题的关键． 由抛物线开口向下且过点和（其中），可得，对称轴在轴负半轴，进而得，①通过在两交点之间，结合开口向下的抛物线交点间函数值为正，得；②利用化简，结合对称轴得；③代入化简式子，结合、、，得；④将方程转化为抛物线与直线的交点问题，结合顶点纵坐标公式与的不等号变换，得． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线过点和， ∴对称轴， ∵， ∴， ∴，即对称轴在负半轴， 由和对称轴位置，可得， 对于①，为时的函数值， ∵， ∴， ∴在交点与之间， ∵开口向下的抛物线，在两个交点之间的区域，函数值大于 ∴当时，即； 故①正确； 对于②，∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴为，，对称轴为， ∴， ∵， ∴不等式两边乘得， ∴，即； 故②错误； 对于③，∵， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故③正确； 对于④，方程有两个不相等的实数根，即有两个不等实根， ∵抛物线（、、为常数，）过点，， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴顶点纵坐标大于时，方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴； 故④正确； 综上，结论正确的序号是①③④． 故答案为：①③④． 53．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点D，二次函数的图象经过点A，且与二次函数的图象的另一个交点为C，且点C的横坐标为． (1)求点A的坐标及a，c的值； (2)连接，，点P为抛物线上一点，若时，求点P的坐标； (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，新函数的最小值为，最大值为2，请直接写出t的值． 【答案】(1)点A的坐标为，， (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）令，再根据图象可求出点A和点B，最后根据点在上，横坐标为，即可求解； （2）过点C作轴交于点H，由（1）知点C的坐标为，点D的坐标为，证明四边形是矩形，进而可得，再根据题意分为两种情况：当点P在上方时和当点P在下方时，根据相似三角形的判定和性质求解即可； （3）由题意得新函数为，根据最大值为，可求出或，再根据新函数图象进行分情况求解即可． 【详解】（1）解：由，令， 得 解得， ∵点在点右侧， ∴，， ∵点在上，横坐标为， ∴ ， ∴， ∵经过和， ∴， 解得，； （2）解：过点C作轴交于点H， 由（1）知点C的坐标为，点D的坐标为， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， 当点P在上方时，设与y轴交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点C与点M代入解析式， 得， 解得， 直线的解析式为：， 令 解得（舍去）， 点P的坐标为； 当点P在下方时，设与y轴交于点N， 同理可得：， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点C与点N代入解析式， 得， 解得， 直线的解析式为：， 令 解得（舍去）， 点P的坐标为； （3）解：由题意得，， 当时，最大值为， ∴在上时， 解得，则设该点为点F； 在上时， 解得（舍去），则设该点为点E， 过点E和点F作x轴的垂线，如图， ∴存在三种情况， 当时，则在C点处，函数取最小值， ∴， ∴（与假设矛盾，故舍去） 当时，则， ∴， 由图可知，该范围内的图象在x轴上方，故最小值大于0，则与最小值为相矛盾， ∴此情况不存在； 当时，函数在点A处取最小值0， ∴ ∴ 解得（舍去）， 综上所述，t的值为． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、矩形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，学会分情况讨论是解决本题的关键． 54．（24-25九年级下·福建宁德·月考）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了把化成顶点式，的图象与性质，根据二次函数的对称性求函数值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将抛物线的解析式写成顶点式，求出顶点坐标，再结合画出大致图象，结合图象求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴可以大致画出图象如图， ∵该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界） ∴点、、、必在区域内． 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为， 这样区域内有6个整点， 当代入抛物线解析式，得， 解得：， 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为， 这样区域有8个整点， 将代入抛物线解析式，得， 解得：， ∴当时，区域恰有6个整点． 故选：D． 55．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与与与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标A为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与与与都关于点A对称， ∴， 又， ∴ =， 故选：D． 56．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”，例如点是函数的图象的“相反点”． 基础求解 （1）请直接写出函数图象上的“相反点”的坐标． 综合分析 （2）若抛物线上有两个“相反点”，分别为点和，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合），当面积为12时，求点B的坐标． 拓展探究 （3）若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有3个“相反点”时，求t的值． 【答案】（1）和 （2）或 （3）或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程；熟练掌握函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）由“相反点”的定义可知，“相反点”在上，再联立求解即可； （2）由题意知，再将“相反点”代入得，，进而得到，再由三角形面积公式得，接着解绝对值方程即可； （3）先根据定义先求出的“相反点”，接着分有且仅有1个“相反点”，且与的“相反点”不重合，有2个“相反点”，有1个与的“相反点”重合，结合一元二次方程的求解即可． 【详解】解：基础求解：（1）“相反点”满足横、纵坐标互为相反数，即， 联立，得， 即，， 解得或， 对应坐标为和； 综合分析：（2）点是“相反点”，故，即， 点在抛物线上，代入， 得：， 点代入抛物线得：，即， 将（2）代入（1）：， 即， 抛物线对称轴为， 点关于对称轴的对称点为，故， 的高为，面积，即， 解得或， 所以或； 拓展探究：（3）函数，其顶点为， 所以绕旋转后，的顶点为，开口向上， 则解析式为：， “相反点”满足，分别联立、与： 联立：，即， 解得或，则有2个“相反点”和， 联立：，即， 因、组成的图象恰有3个“相反点”， 有且仅有1个“相反点”，且与的“相反点”不重合， 方程有两个相等的根， 即，解得； 有2个“相反点”，有1个与的“相反点”重合， 若“相反点”重合，则，解得， 时，方程为，解得或， 此时有2个“相反点”和， ，共有3个“相反点”、、，符合题意； 若“相反点”重合，则，解得， 时，方程为，解得或， 此时有2个“相反点”和， ，共有3个“相反点”、、，符合题意； 综上，或或． 57．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为，点 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，图形的轴对称变换，分类讨论思想，正确推导抛物线轴左侧部分翻折后的解析式是解题关键． （1）利用二次函数对称轴公式求对称轴，代入求点的坐标即可； （2）根据的取值范围分类讨论点和点在图形上的位置，得到与的关系式，结合和随增大而增大的条件，通过分析函数单调性得到的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线为， ∴对称轴为， 当时，， 故点的坐标为． 答：对称轴为，点． （2）解：已知抛物线为，配方得， 与轴交点的坐标为， 故直线的方程为， 翻折后，根据翻折的性质和坐标特征， 轴左侧部分的图象表达式为：， 故图形的分段函数为： ， 点和点是图形上的点，分情况讨论： 当时，在轴右侧，故， 在轴左侧，， 故， 此时， 由可知其是开口向下的函数，对称轴为， 当时，随的增大而增大； 当时，、都位于轴左侧，时，Q点在y轴上， 故，， 可得，，增大等价于减小， 通过代入特殊值验证： 当，； 当，； 当，； 可见随增大而减小，不符合； 当时，可得，，此时随的增大而增大，但随的增大而减小，则随的增大而减小，不符合． 故的取值范围为． 答：． 58．（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为．    (1)已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式： (2)如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，．②的值为．③或 【分析】（1）根据“随轴函数”的定义，先确定二次函数中、、，代入公式计算和的值，即可求得“随轴函数”的表达式； （2）①用待定系数法求二次函数解析式，解方程组得到、的值，根据 “随轴函数” 的定义，代入二次函数的、、，得到随轴函数的解析式，将二次函数与随轴函数的解析式联立，解一元二次方程，得到的根对应交点、的横坐标，代入函数解析式可得纵坐标； ②根据直线与二次函数、直线，对、两点进行表示，求、纵坐标的差的绝对值，得到，利用四边形的面积公式列方程，解方程得的值； ③分析新函数是分段函数，先确定二次函数的最值、一次函数的单调性，分析出点、的位置关于对称，分和两种情况讨论，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴，， ∴该二次函数的“随轴函数”为． 答：． （2）解：①∵交轴于点，交轴于点， ∴，∴， ∴， ∴该二次函数的“随轴函数”为， 令， 则， 解得，， 则，， ∴，．    ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故的值为． ③∵，，∴， ∴点、到直线的距离相等， 当，， 当时，， ∵、之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 而当时，，时，， 当，如图：    由题意得：， ∴； 当，如图：    由题意得：， ∴， 综上：或． 答：①，．②的值为．③或 【点睛】本题考查新定义的理解与应用，二次函数解析式求解，平面直角坐标系中图形的面积计算，函数与方程的综合应用，分段函数的最值与取值范围，准确理解新定义是解题关键． 1 / 87 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 二次函数的性质和应用 一．二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 二．二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 三．二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 四．二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 五．二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 六．用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 二次函数的定义 1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）下列函数中，属于二次函数的是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 题型二 求二次函数的解析式 3．（25-26九年级上·北京·期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②顶点坐标为．此二次函数的解析式可以是 ． 4．（25-26九年级上·广东汕尾·月考）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)当时，写出的取值范围． 5．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，已知抛物线（b为常数）经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作x轴的平行线，交抛物线于A、B两点，求线段的长度． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，抛物线与轴相交于，两点，与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)求以点B、C、D为顶点的三角形的面积． 7．（25-26九年级上·北京·月考）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，记二次函数的最大值与最小值之差为t，求t的最小值，并写出此时对应的n． 题型三 二次函数的图像与性质 8．（25-26九年级上·重庆·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．抛物线开口向上 D．函数的最小值是1 9．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）已知，即当时，．若，，则（  ） A．-2025 B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数（m是常数）． (1)若． ①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　； (2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； (3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　． 11．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在该抛物线上，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数表达式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求的坐标； (3)作点关于坐标原点的对称点，连接、． ①点的坐标为______（用含的代数式表示）； ②当点在轴右侧时，若此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，则的取值范围为______； ③当抛物线的顶点落在边上时，直接写出的值． 12．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含有a的式子表示b，并求抛物线的对称轴； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求a的取值范围． 题型四 比较函数值问题 13．（湖北省宜昌教育集团2025-2026学年九年级上学期期末联考数学试题）已知函数的图象经过点，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知二次函数，，，为该二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型五 二次函数的图像与系数综合 15．（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 16．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）二次函数的图象如图所示，它的对称轴为直线，给出下列结论：①；②当时，；③；④（为任意实数）．其中正确的有 ．（填序号） 题型六 求参数范围问题 17．（25-26九年级上·山东德州·月考）如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 18．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知点，，均在二次函数图象上，若，则下列选项不成立的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 19．（25-26九年级上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点．当，时， ；若对于，都有，则a的取值范围为 20．（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七 二次函数的最值问题 21．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为 ． 22．（25-26九年级上·江苏南通·期中）二次函数与轴交于点，点是该二次函数图象上位于点右侧的一个动点，当点变化时，若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差等于，则的值为 ；若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于，则的取值范围是 ． 23．（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式： (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 24．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数（是常数）． (1)若抛物线经过． ①求二次函数解析式． ②抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该抛物线上，求点的坐标． (2)若抛物线与x轴有且仅有一个交点，令，是否存在一个常数，使得当时，的最大值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25．（25-26九年级上·北京·月考）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，记二次函数的最大值与最小值之差为t，求t的最小值，并写出此时对应的n． 26．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点． (2)若，点在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求函数的表达式； ②若对于，都有，求的取值范围． 27．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若该抛物线上任意两点，都满足：当时，，当时，，试判断点是否在抛物线上； (3)，是抛物线上的两点，且总满足，求t的取值范围． 题型八 二次函数的平移、旋转和对称 28．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·江苏南京·月考）若二次函数有最大值为，则的最小值为 ． 30．（25-26九年级上·江苏南京·月考）将函数的图象沿y轴翻折所得到的图象对应的函数表达式是 ． 31．（25-26九年级上·重庆·月考）如图是函数的图象，则图象与y轴的交点坐标为 ；若直线与函数图象有2个交点，则m的取值范围是 ． 32．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图1，二次函数与y轴交于点A，二次函数经过点A： (1)求函数的解析式； (2)直线与函数有三个交点，求出m的取值范围； (3)如图2，将函数向右平移8个单位得到函数，且函数与函数交于B，C两点，直线与交于点M； ①若直线与的交点的最大值与最小值均不随m的变化而变化，求m的取值范围； ②若点M位于B，C两点之间的封闭曲线内，求m的取值范围． 题型九 二次函数的应用--几何面积问题 33．（25-26九年级上·河南郑州·月考）自《义务教育课程方案》和课程标准（2022版）发布以来，河南省各地区学校积极响应劳动教育课程改革，开展多种形式劳动教育．为便于劳动实践活动，某校要建一个如图所示的矩形菜园，其中一边靠墙，另外三边用总长为36米的篱笆围成．已知墙长25米．若设矩形菜园的边长为x米，矩形菜园的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的矩形菜园面积最大？最大面积是多少？ 34．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F分别在上，交于点H．设． (1)当四边形为正方形时，求x的值； (2)求矩形的最大面积． 35．（25-26九年级上·江苏·假期作业）在中，． (1)若，，以为直角边作，并且与相似，请你直接写出的周长 ； (2)如图，点、、、在边上，设正方形、、周长分别为、、，求证，； (3)作，，设、，的周长分别为、、，直接写出的最大值 ． 36．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）【问题提出】 （1）如图，是的中位线，则 ； 【问题探究】 （2）如图，在一个直角中，以斜边上任意一点E向两直角边作垂线，分别交于点D、F．若，求出矩形面积的最大值； 【问题解决】 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图，现有一块四边形的荒地计划改造公园，经测量，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，且顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，想让活动场所面积尽可能大．请求出符合设计要求的活动场所的面积． 题型十 二次函数的应用--利润问题 37．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出400个，调查表明：该台灯的售价不超过50元，且不低于成本（售价为整数），台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把台灯售价定为x元． (1)该商场平均每月可售出 个台灯（用含x的代数式表示）； (2)为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)台灯售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 38．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）贵州糯薏仁颗粒饱满、糯性十足，深受消费者喜爱．某特产店在旺季购进一批礼盒装贵州糯薏仁进行售卖，已知贵州糯薏仁每盒的进价为30元，当每盒的售价为50元时，每星期可卖出100盒．经市场调研发现，每盒的售价每下降1元，每星期可多卖出10盒．现该特产店进行降价销售，每盒的售价下降元． (1)若该特产店想要实现每星期卖出贵州糯薏仁的利润为2240元的目标，同时尽可能地让利于顾客，则每盒贵州糯薏仁的售价应为多少元？ (2)当每盒的售价下降多少元时，每星期卖出贵州糯薏仁的利润最大？最大利润是多少？ 39．（2025八年级上·全国·专题练习）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格（元）与周次（是正整数，）的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格（元）从第5周的6元/下降至第6周的元/，与周次（）的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格（元）之间的关系可近似用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同，求与的函数表达式； (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值（）． 题型十一 二次函数的应用--抛物/喷水问题 40．（2022·福建福州·一模）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 s． 41．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 42．（25-26九年级上·北京·期末）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米．以O为原点，地面所在的水平线为x轴，墙面所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)已知车棚的宽度为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）． ①请通过计算，回答至少需要 个消防喷淋头； ②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围． 43．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 题型十二 二次函数的应用--过桥问题 44．（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为 ． 45．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] (1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径； (2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 题型十三 二次函数的应用--其他问题 46．（25-26九年级上·北京朝阳·月考）某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为， ①求a，b的值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． (2)当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 47．（25-26九年级上·吉林延边·期末）青蛙起跳后的运动路线为抛物线．某仿青蛙机器人从水平地面起跳并落回地面，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． (2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图①，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． (3)仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于2cm，才能安全通过．如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，，，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．如图③，若团队人员想放置一个平台，使仿青蛙机器人从平台上起跳，且能够刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 48．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）综合与实践 问题情境：冬季来临，温度渐低，为保证蔬菜产量与品质，某农户给蔬菜大棚加固钢材长度及安装供暖设备． 数学建模：如图1、该蔬菜大棚其形状可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，以所在直线为轴，以地面（所在直线）为轴建立平面直角坐标系，现要在大棚上的点处（点在点的右侧）焊接内部加固钢材，，且，． 数据展示：已知大棚的跨径米，顶端点到保温墙的距离为米，到地面所在的直线的距离为米． 问题解决： (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)若点在大棚上，且加固大棚需要8米钢材，求点的坐标． (3)如图2，在加固钢材上方安装矩形供暖设备，其中点，在抛物线上，点，在上，米，若当点到保温墙的距离为米时，直接写出供暖设备所占的面积． 题型十四 二次函数的应用--二次函数与几何 49．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 50．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 51．（25-26九年级上·北京·期末）如图，已知抛物线，过，两点，其中，． 有以下四个结论： ①；②； ③点，在抛物线上，，当时，总有，则；④若点，在抛物线上且在对称轴的同侧，总有，则．其中正确的结论为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 52．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）抛物线（、、为常数，）开口向下且过点，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的序号是 ． 53．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点D，二次函数的图象经过点A，且与二次函数的图象的另一个交点为C，且点C的横坐标为． (1)求点A的坐标及a，c的值； (2)连接，，点P为抛物线上一点，若时，求点P的坐标； (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，新函数的最小值为，最大值为2，请直接写出t的值． 54．（24-25九年级下·福建宁德·月考）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 55．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 56．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”，例如点是函数的图象的“相反点”． 基础求解 （1）请直接写出函数图象上的“相反点”的坐标． 综合分析 （2）若抛物线上有两个“相反点”，分别为点和，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合），当面积为12时，求点B的坐标． 拓展探究 （3）若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有3个“相反点”时，求t的值． 57．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 58．（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为．    (1)已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式： (2)如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，求的取值范围． 1 / 87 学科网（北京）股份有限公司 $