寒假作业06 圆锥曲线中的弦长、面积、中点弦问题（6知识点+6大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 圆锥曲线中的弦长、面积、中点弦问题 一、弦长公式 1、直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，则 （1）直线与圆锥曲线相交⇔； （2）直线与圆锥曲线相切⇔； （3）直线与圆锥曲线相离⇔. 2、弦长公式 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 二、三角形的面积 直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法： 1、一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式. 进一步，= 2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 3、坐标法：设，则 4、面积比的转化： 三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型： （1）两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比 （2）两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比） （3）利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比 （4）面积的割补和转化 三、平行四边形的面积 直线为，直线为 注：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【注意】四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解. 四、椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、双曲线的用点差法同理，可得 五、抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，， 将两式相减，可得， 整理可得： 六、点差法在圆锥曲线中的结论 1、椭圆： 2、双曲线： 3、抛物线： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求弦长 1．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 2．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆， 左右焦点分别为，椭圆上的点P到两焦点距离之和是4，且长轴是焦距的2倍. (1)求椭圆的方程； (2)存在一组平行直线， ①直线与椭圆C相交时，求t的取值范围; ②当，直线与椭圆相交于两点，求. 3．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线？ (2)若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 4．已知抛物线，点，直线，记A关于l的对称点为B，且B在抛物线W上. (1)求直线l与直线AB的交点坐标； (2)求抛物线W的标准方程； (3)求直线AB被抛物线W截得的弦长. 题型二 已知弦长求其他量 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 2．（24-25高二下·四川成都·期中）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 3．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 题型三 三角形面积问题（含常规及拆分法） 1．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 2．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 3．（23-24高二下·湖南益阳·月考）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于两点，为的右焦点，求的面积. 4．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 题型四 四边形面积问题 1．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 2．（24-25高二上·山西晋城·月考）已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上. (1)求抛物线的方程； (2)若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积. 3．（23-24高二上·安徽亳州·月考）已知，在椭圆C：上，，分别为C的左、右焦点． (1)求a，b的值及C的离心率； (2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形的面积的取值范围． 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）设是圆上的动点，点是在轴上的射影，为中点， 直线过点，且斜率为 . (1)当在圆上运动时，求点的轨迹的方程； (2)求直线关于原点对称的直线方程； (3)在（2）的条件下，直线与轨迹E的交点分别为(四点顺时针排列)，求四边形的面积. 5．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 题型五 面积的最值范围问题 1．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知直线：（）与抛物线交于、两点，且. (1)求、两点的横坐标之积与纵坐标之积； (2)求面积的最小值，并求此时直线的方程. 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 3．（25-26高二上·山东济南·月考）如图分别是的左、右焦点，点在椭圆上，当最大时，且. (1)求椭圆的标准方程; (2)直线与椭圆的另一交点为，过作直线的垂线与圆交于两点，求四边形面积的最大值. 4．已知椭圆． (1)求该椭圆的离心率； (2)若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线切点分别为，求的面积的最小值． 题型六 中点弦问题（点差法） 1．（23-24高二上·重庆·月考）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率. 2．（23-24高二上·河北·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 4．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 1．已知椭圆的离心率为，右焦点.. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 3．（25-26高二上·浙江湖州·月考）已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点. (1)求抛物线C的方程及； (2)已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k. 4．（25-26高二上·湖北黄冈·月考）已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 5．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为上一点，且． (1)求的标准方程； (2)若的面积为1，求点坐标； (3)直线与交于，两点，若，求． 6．（25-26高二上·江西·月考）已知抛物线过其中两点，为的焦点. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 7．（25-26高二上·天津河东·月考）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 8．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 9．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围. 10．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知动圆与直线相切且与圆外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)直线过点且与轨迹交于，两点. （i）若的倾斜角为，求弦长的值； （ii）若过且与垂直的直线交轨迹于，两点，求四边形的面积的最小值. 11．（25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线：（，）的虚轴长为2，且点在双曲线上. (1)求双曲线的焦距. (2)已知，分别为双曲线的左、右顶点，直线：与双曲线交于，（异于点，）两点，直线与直线交于点. ①若，且的面积是，求直线的方程. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由. 12．（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 13．（23-24高二下·湖北·月考）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 14．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上． (1)求椭圆的方程； (2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值． 15．（24-25高二下·安徽·期中）如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点.线段的垂直平分线l和半径相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线分别交曲线C于另外的点P，Q. ①求证：为钝角； ②求四边形面积的最大值. 16．（25-26高二上·四川巴中·月考）已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆：的右顶点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，点是线段的中点，求直线的方程和线段的长. 2．（25-26高二上·广东江门·月考）已知椭圆，焦距为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l与椭圆C相交于两点，若线段的中点M坐标为，求直线l的方程； (3)设分别是椭圆C的左、右顶点，Q为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点分别为，求四边形面积的最大值． 3．已知和为双曲线上两点. (1)求的离心率； (2)在上是否存在点，使得的面积为？若存在，求所有满足要求的点的坐标；若不存在，说明理由. 4．（24-25高二上·甘肃白银·月考）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过圆的一条直径的两个端点． (1)求椭圆的离心率； (2)求椭圆的标准方程； (3)设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值． 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 圆锥曲线中的弦长、面积、中点弦问题 一、弦长公式 1、直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，则 （1）直线与圆锥曲线相交⇔； （2）直线与圆锥曲线相切⇔； （3）直线与圆锥曲线相离⇔. 2、弦长公式 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 二、三角形的面积 直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法： 1、一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式. 进一步，= 2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 3、坐标法：设，则 4、面积比的转化： 三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型： （1）两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比 （2）两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比） （3）利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比 （4）面积的割补和转化 三、平行四边形的面积 直线为，直线为 注：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【注意】四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解. 四、椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、双曲线的用点差法同理，可得 五、抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，， 将两式相减，可得， 整理可得： 六、点差法在圆锥曲线中的结论 1、椭圆： 2、双曲线： 3、抛物线： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求弦长 1．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解. 【详解】（1）由抛物线的性质，，故抛物线. （2）由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 2．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆， 左右焦点分别为，椭圆上的点P到两焦点距离之和是4，且长轴是焦距的2倍. (1)求椭圆的方程； (2)存在一组平行直线， ①直线与椭圆C相交时，求t的取值范围; ②当，直线与椭圆相交于两点，求. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据椭圆的定义和题设条件列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）①联立直线与椭圆方程得一元二次方程，利用即可求得t的取值范围； ②将代入①中已得的二次方程，写出韦达定理，利用弦长公式化简计算即得. 【详解】（1）由已知可得解得， 故椭圆的方程为； （2）① 联立 ，消元得：（*） 直线与椭圆C相交时， 解得即；                   ②因 ，代入（*）可得，易知 设，则有 ， 故得. 3．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线？ (2)若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【答案】(1)曲线的方程为，曲线是除去左、右顶点的双曲线 (2) 【分析】（1）根据斜率公式表示出和，利用斜率之积为，列方程，化简后得到双曲线方程，并说明曲线类型即可． （2）先求直线的方程，再与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算即可． 【详解】（1）因为，所以直线，的斜率分别为，，则有，化简得， 即曲线的方程为，故曲线是除去左、右顶点的双曲线． （2）根据已知作图如下．    由已知得直线，联立，消去y，整理得，． 设点，点，则，， 所以． 故的值为． 4．已知抛物线，点，直线，记A关于l的对称点为B，且B在抛物线W上. (1)求直线l与直线AB的交点坐标； (2)求抛物线W的标准方程； (3)求直线AB被抛物线W截得的弦长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设知直线，求得直线的方程，再将其与直线l的方程联立，即可求得交点坐标； （2）先按求对称点的方法求出点坐标，再用待定系数法即可抛物线W的标准方程； （3）将直线AB的方程与抛物线的方程联立求出另一个交点坐标，再用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）因为A关于l的对称点为B，所以直线AB与l垂直. 因为l的斜率为所以直线AB的斜率为 故直线AB的方程为 联立，解得 故两直线的交点坐标为 （2）易知点是线段AB的中点， 设所以，解得 将B的坐标代入抛物线W的方程，得，解得 故抛物线W的标准方程为 （3）由（1）得， 由（2）得， 联立，得 设直线AB与抛物线W的另一个交点为， 因为，所以，解得， 故 所以 故直线AB被抛物线W截得的弦长为 题型二 已知弦长求其他量 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式进行求解即可. 【详解】（1）设点，由题可知，由抛物线定义知， 所以，所以，则抛物线的方程为. （2）易知的斜率一定存在，设的方程为，设. 由消去得， 则，且， ， 由，化简整理得，解得（舍去）或， 所以，即的方程为. 2．（24-25高二下·四川成都·期中）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，消得到，结合条件，利用韦达定理和弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由题可得，则， 又由得 ，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组，消得到， 则， 由于，又， 则，整理得到，解得， 又时，，所以满足题意. 3．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，或. 【分析】（1）设动点，根据及斜率两点式列方程求轨迹； （2）设直线与曲线C的交点为，联立轨迹C并应用韦达定理、弦长公式求参数k，即可得结果. 【详解】（1）设动点， 由题意，化简整理得， 故点P的轨迹C的方程是. （2）直线斜率不存在时不合题意， 斜率存在时，设直线与曲线C的交点为， 由，得，， 则，， ，整理得，解得或（舍）. 经检验，符合题意，直线l的方程为，即或. 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义可得，即可求得的方程为； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理由弦长公式计算即可求得，可得直线的方程. 【详解】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 题型三 三角形面积问题（含常规及拆分法） 1．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦半径公式结合的横坐标可求解出的值，由此可求抛物线的方程； （2）先求解出，再计算出到的距离，结合三角形面积公式可求结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以抛物线的方程为. （2）因为，代入抛物线方程可得，且，所以， 又因为，所以，所以， 联立可得，所以， 所以， 又因为，所以到直线的距离为， 所以. 2．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的标准方程； （2）根据题意，得到直线为，联立方程组，得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得弦长和三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为 可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为 联立方程组，整理得， 设，则且， 由弦长公式，可得， 又由原点到直线的距离为， 所以的面积为. 3．（23-24高二下·湖南益阳·月考）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于两点，为的右焦点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率和所过点求得，，，从而求得椭圆的方程． （2）求得直线的方程并与椭圆方程联立，求得，两点的坐标，进而求得的面积． 【详解】（1）由题意可得：，，又， 解得，． 故椭圆的方程为； （2）左焦点，右焦点，设，， 因直线的方程为：， 联立，消去整理得，解得或， 时，；当时，， 所以的面积.    4．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意推理可得，利用点在椭圆上，代入消元后可得，结合即可求得离心率； （2）设、，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长和点 到直线的距离，由三角形面积列出方程，求出参数值即得椭圆方程. 【详解】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、， 依题意，整理得（*）， 因点在椭圆上，则，即， 代入（*），化简得： ，又，所以， 则椭圆的离心率； （2）    如图，设、，由（1）已得， 则由，消去并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以的面积，解得， 故椭圆的方程为． 题型四 四边形面积问题 1．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据条件可求的值，进而求双曲线的离心率. （2）根据双曲线的对称性可得三角形的面积为，进而可得点的纵坐标，进而求. 【详解】（1），，，. ，. 双曲线的离心率. （2）直线与双曲线交于A，B两点， 如图： 两点关于原点为O对称，设，. 又，三角形的面积为. ，. 又点在双曲线上，则. 所以， 所以. 2．（24-25高二上·山西晋城·月考）已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上. (1)求抛物线的方程； (2)若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线过点代入求参得出抛物线方程即可； （2）先设点的坐标，再结合两点间距离公式计算得出，再根据四边形图形特征计算面积即可. 【详解】（1）因为抛物线：过点， 所以，，则抛物线方程为. （2）由题可得，设，则，，， 所以，. 因为，所以，解得或（舍）， 故，，，. 又点，，所以，又， 所以四边形是平行四边形， 设为坐标原点，所以四边形的面积为. 3．（23-24高二上·安徽亳州·月考）已知，在椭圆C：上，，分别为C的左、右焦点． (1)求a，b的值及C的离心率； (2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形的面积的取值范围． 【答案】(1)，，离心率为 (2) 【分析】（1）待定系数法求出椭圆方程，并求出离心率； （2）在（1）的基础上求出，结合P，Q在x轴的两侧，表达出四边形的面积并求出取值范围. 【详解】（1）因为，在椭圆C：上， 所以,解得，， 所以，C的离心率为； （2）由（1）得，， 故， 因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧， 所以四边形的面积， 当且仅当P，Q分别为上顶点和下顶点时，等号成立. 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）设是圆上的动点，点是在轴上的射影，为中点， 直线过点，且斜率为 . (1)当在圆上运动时，求点的轨迹的方程； (2)求直线关于原点对称的直线方程； (3)在（2）的条件下，直线与轨迹E的交点分别为(四点顺时针排列)，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先设，，得到，，再代入求解即可. （2）根据题意得到直线，过点，斜率为，即可得到答案. （3）根据题意得到，直线之间的距离，再求面积即可. 【详解】（1）设，，则，如图所示： 所以，即. 将代入得：，即. （2）直线过点，且斜率为， 则直线关于原点对称的直线，过点，斜率为， 直线：，即 （3）如图所示： ，则，， ， 直线，即，直线 直线之间的距离， 则四边形的面积. 5．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 【答案】(1)8 (2) (3)或或或. 【分析】（1）求出的值，得利用焦点三角形的周长即可； （2）设，结合数量积公式计算结合椭圆方程计算求解； （3）分斜率不存在或斜率为0和斜率存在且不为0两种情况，设直线联立得出弦长结合面积公式计算求斜率即可. 【详解】（1）因为椭圆，所以， 由椭圆几何定义得的周长. （2）由题意，设，，， 故有， 解得，所以点的坐标为， （3）当斜率不存在或斜率为0时，得，与条件矛盾舍去， 故斜率存在且不为0时， 设 ， ， 故， 同理， 所以或， 故直线方程为或或或. 题型五 面积的最值范围问题 1．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知直线：（）与抛物线交于、两点，且. (1)求、两点的横坐标之积与纵坐标之积； (2)求面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1) (2)最小值为16，直线的方程为 【分析】(1)先设出，，分别表示出，的斜率，利用二者垂直判断出二者斜率乘积为，求得，把抛物线的方程代入即可求得和. (2)接着联立直线和抛物线方程组，得出直线与轴交点的坐标，根据，表示出面积，利用基本不等式求得面积的最小值. 【详解】（1）设，，， 即，，，， ，，. （2）由题知，令直线方程中， 可得直线与轴交点，联立，得 ，由(1)知，， ，即点坐标为， 则 ， 当且仅当时，等号成立. ∴面积的最小值为16，此时直线的方程为. 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，求出双曲线方程，写出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； （2）由，得到或，表达出，根据对称轴为得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以， 对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 3．（25-26高二上·山东济南·月考）如图分别是的左、右焦点，点在椭圆上，当最大时，且. (1)求椭圆的标准方程; (2)直线与椭圆的另一交点为，过作直线的垂线与圆交于两点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当最大时，点与椭圆的上顶点或下顶点重合，由余弦定理结合向量的数量积的坐标表示和椭圆的性质可求基本量，从而可得标准方程； （2）分直线的斜率存在与否，当斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程后用韦达定理表示出弦长，然后再结合圆的弦长公式得到，表示出面积可得. 【详解】（1）当最大时，点与椭圆的上顶点或下顶点重合， 不妨设①，②， 由①②得，于是， 所以椭圆的标准方程是. （2）当直线的斜率不存在时，容易求得， 则四边形的面积是. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 将与联立并消去， 整理得，则， 则， 由于直线与直线垂直，且经过点， 所以直线的方程为， 所以点到直线的距离为， 则四边形的面积为 ， 令，而在上为增函数， 所以，于是 (当时取得最大值). 综上可知，四边形的面积为. 4．已知椭圆． (1)求该椭圆的离心率； (2)若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线切点分别为，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆离心率定义即可求得该椭圆的离心率； （2）先求得直线的方程，求得弦的长度，进而求得的面积表达式，进而求得的面积的最小值． 【详解】（1）椭圆中，，则， 则，则椭圆的离心率为 （2）设，， 设过点的切线方程为， 由， 则， 此时方程的根为： ， 则切线方程为：， 当切线斜率不存在时，其切点为或，切线方程为：，满足， 所以过点的椭圆的切线方程为：， 同理过点的切线方程为， 又在两条切线上，则，， 则直线AB的方程为，即 由整理得，， 则， 则 ， 又点M到直线AB的距离， 则的面积为 令，则，， 则， 令，， 则恒成立， 则在上单调递增，则 当且仅当即点M坐标为时等号成立， 则的面积的最小值为. 题型六 中点弦问题（点差法） 1．（23-24高二上·重庆·月考）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）根据两点间距离公式，结合绝对值的性质进行求解即可； （2）利用点差法进行求解即可. 【详解】（1）设，由题意可知：， 两边同时平方， 得 所以的方程为或. （2）由题可知曲线为， 设，，则. 由 得， 所以的斜率为. 2．（23-24高二上·河北·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设方程，求出，即可求解. （2）设两点坐标，代入双曲线方程，两式作差，结合中点坐标公式，即可求出直线的斜率，由直线的点斜式方程，求出直线的方程，与双曲线联立方程，满足，即可得到直线的方程. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以可设其方程为， 将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为． （2）设，，因为的中点为，则，， 因为，所以， 即，则，所以， 所以直线的方程为，即． 当直线为时，联立方程，得，，符合题意，故直线的方程为. 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度. （2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程. 【详解】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 4．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的焦点求出的值，然后由椭圆的离心率计算，再由平方关系得到，可写出椭圆的方程； （2）设的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标. 【详解】（1）依题意得： ，即，解得 ，解得 椭圆的方程为 （2）如图所示：    设，中点为， 所以 则 又两点在椭圆上，可得， 两式相减可得，整理得 ，①. 过点斜率为的直线为. 因为在直线上，故，② 联立①②，解得 所以中点坐标为. 1．已知椭圆的离心率为，右焦点.. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求的值，可得椭圆方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，利用韦达定理可得和，进而得，再利用弦长公式求弦长. 【详解】（1）由椭圆的离心率为， 可设，，则， 由右焦点，可知，则，， 即椭圆的标准方程为. （2）如图： 过且倾斜角为45°的直线的方程为， 与椭圆联立可得： ，即， 可得，. 所以， 所以. 所以. 2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由椭圆的长轴及点在椭圆上建立方程，解得，即可求得椭圆离心率； （2）由（1）得到椭圆方程，设交点坐标，然后代入椭圆方程，由中点坐标即可求出直线斜率. 【详解】（1）由题可知， 解得， 则的离心率. （2）由（1）可知的方程为， 设， 则， 则， 整理得. 因为弦的中点为，所以， 则的斜率. 3．（25-26高二上·浙江湖州·月考）已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点. (1)求抛物线C的方程及； (2)已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k. 【答案】(1)，； (2)3. 【分析】（1）利用给定的准线方程求出即可求解. （2）设出点的坐标，利用三角形重心坐标公式求出，再利用点差法求出斜率. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，则，解得， 抛物线的方程为，由是抛物线上，得，解得， 所以抛物线C的方程为，. （2）设，由点为的重心，得， 解得，由点在抛物线上，得， 两式相减，得，即， 所以直线l的斜率. 4．（25-26高二上·湖北黄冈·月考）已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设坐标为，利用直线，相交于，且它们的斜率之积为，即可确定出的轨迹方程； （2）设出与坐标，分别代入的轨迹方程，整理由根据为中点，求出直线斜率，即可确定出直线方程． 【详解】（1）设，直线，相交于， 且它们的斜率之积为，，化简得， 则动点的轨迹方程为； （2）由（1）得的轨迹方程为， 设点，，则有，， 得：， 整理得：， 为的中点，，， 直线的斜率， 直线的方程为，即. 5．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为上一点，且． (1)求的标准方程； (2)若的面积为1，求点坐标； (3)直线与交于，两点，若，求． 【答案】(1) (2)，，， (3) 【分析】（1）根据条件求得，求得椭圆方程； （2）利用三角形面积公式求得点的纵坐标，代入椭圆方程求得点坐标； （3）联立椭圆方程和直线方程，得到根与系数关系，利用弦长公式列式求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，则，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设点，则，得， 又， ，解得， 所以点的坐标为，，，. （3）设，， 联立，消去整理得， ，，， ， 化简整理得，解得. 6．（25-26高二上·江西·月考）已知抛物线过其中两点，为的焦点. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）分别选两点，代入抛物线方程求解即可； （2）设直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理及面积求出即可. 【详解】（1）若点在上，则，解得， 此时，点B不在E上； 若点在E上，则，无解； 若点在E上，则，无解. 综上，E的方程为. （2）如图，可知直线的斜率可能不存在，但不为0， 设 联立l及E的方程得，则 此时，，解得. 故直线的方程为或. 7．（25-26高二上·天津河东·月考）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与双曲线的方程，结合题意列式计算即可； （2）设直线与轴交于点，进而根据韦达定理及的面积为列方程计算即可. 【详解】（1）设，， 联立，得， 因为直线与双曲线左右两支各交于一点， 则，解得， 则求斜率k的取值范围为. （2）由（1）知，，， 设直线与轴交于点， 则 ， 解得或（舍去）， 则直线的方程为. 8．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的性质得到焦点和渐近线方程，再由点到直线的距离公式解得，再由离心率和求出双曲线方程即可； （2）设直线的方程为：，直曲联立，表示出韦达定理，再由三角形的面积公式结合韦达定理化简即可； 【详解】（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. （2）设直线的方程为：， 联立， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得. ， .    9．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先的面积求得，然后利用点在椭圆上求得，即可求解椭圆方程； （2）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，得，然后利用二次函数性质求解范围即可. 【详解】（1）由题意知，的面积是，所以， 点在椭圆上，解得， 故椭圆的方程为. （2）依题意得，设直线， 联立消去得， 由解得， 设，，则，， 所以， 因为，所以， 所以，即的取值范围是. 10．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知动圆与直线相切且与圆外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)直线过点且与轨迹交于，两点. （i）若的倾斜角为，求弦长的值； （ii）若过且与垂直的直线交轨迹于，两点，求四边形的面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）8； （ii）32 【分析】（1）判断直线与圆相离，设动圆圆心，根据题意列出相应的方程组，化简可得圆心的轨迹的方程； （2）（i）由（1）知轨迹为抛物线，设，，联立抛物线与直线的方程，由韦达定理求得，结合抛物线的焦半径公式，求得弦长；（ii） 【详解】（1）定圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离为，所以直线与圆相离，且在圆左侧. 设圆心的坐标为，动圆的半径为， 由动圆与直线相切，得， 由两圆外切，得，即，化简得. 所以圆心的轨迹的方程为. （2）（i）抛物线的方程为：，焦点为， 直线的方程为：， 联立方程，消去得. 设，，则， 得弦长. （ii）设直线的方程为，则直线的方程为. 联立方程，消去得. 设，，则，， 所以， 联立方程，即以代换，可得. 所以四边形的面积为：， 当且仅当，即，即时，等号成立. 所以四边形的面积的最小值为：32. 11．（25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线：（，）的虚轴长为2，且点在双曲线上. (1)求双曲线的焦距. (2)已知，分别为双曲线的左、右顶点，直线：与双曲线交于，（异于点，）两点，直线与直线交于点. ①若，且的面积是，求直线的方程. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②点在定直线上. 【分析】（1）由题知，进而解方程并根据求解即可； （2）①设，，进而联立方程得或，且，，再根据解方程即可得答案； ②根据题意求得直线、直线的方程，进而联立方程，并结合韦达定理得即可得到点在定直线上. 【详解】（1）解：（1）由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为：， 所以双曲线的焦距为. （2）    解：由（1）知，设，， 由得， 则即或，且，. ①因为的面积是，直线与轴交点坐标为 所以， 所以， 即，解得或. 因为，所以，所以， 则直线的方程为，即. ②由题意可知，， 则直线的方程为，直线的方程为， 所以. 因为，，所以， 所以， 所以，则点在定直线上. 12．（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由短轴长求出，由点到直线的距离得到，再结合，求出、，即可得解； （2）方法一：设直线的方程为：，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由则，从而得到，即可得到，再由基本不等式计算可得；方法二：设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，依题意可得，列出韦达定理得到，再表示出及点到的距离，最后由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由椭圆短轴长为，得， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 即，解得， 又，解得，， 椭圆的标准方程为； （2）方法一：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，，， 联立，消去整理得， 显然，，， ，，则，， 代入可得，所以， 的面积， ，当且仅当时取等号， 面积的最大值为. 方法二：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，， ，， 联立，消去整理得， 所以，. ，， ，， 则， 可得， 又 ， 设原点到直线的距离为，则， 的面积， 当且仅当时取等号， 面积的最大值为1.    13．（23-24高二下·湖北·月考）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． （2）如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 14．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上． (1)求椭圆的方程； (2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设易得，结合椭圆定义及两点距离公式求得，进而可得椭圆方程； （2）讨论直线斜率，设直线方程并联立椭圆求相交弦长，进而得到四边形的面积关于直线斜率的表达式，即可得求最小值. 【详解】（1）由题意，椭圆的左、右焦点分别为，，即， 所以， 即，，所以椭圆的方程为． （2）①当直线的斜率不存在或为0时，，，，分别为椭圆的四个顶点，所以． ②当直线的斜率存在且不为0时，设，则， 设，，，， 联立，解得，即， 所以，同理， 所以． 令，则，， 所以，， 当时，又， 所以四边形的面积的最小值为． 15．（24-25高二下·安徽·期中）如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点.线段的垂直平分线l和半径相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线分别交曲线C于另外的点P，Q. ①求证：为钝角； ②求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②6 【分析】（1）运用椭圆定义得到，根据焦距算出，得到. （2）①借助向量工具，结合韦达定理证明数量积为负数即可； ②由①知，算出四边形面积为.再换元，结合对勾函数单调性计算最值即可. 【详解】（1）由题意知，， 由椭圆定义得，点N的轨迹是以E，F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以，因此曲线C方程为. （2）①由（1）知，， 由椭圆对称性，不妨设， 直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为， 直线的方程为. 由，消去y得， 由韦达定理得，即. 由，消去y得， 由韦达定理得，即. 则， 因此， 所以为钝角. ②由①知，四边形面积为 . 设，则，当且仅当时取等号， 由对勾函数性质知在上单调递增， 则， 因此当时，四边形的面积最大，为6，此时点M的坐标为， 由对称性知，当点M的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6. 16．（25-26高二上·四川巴中·月考）已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可； （2）（i）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可； （ii）法一：根据三角形面积之间的关系，结合一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可； 法二：根据三角形面积公式，结合点到直线距离公式、一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为的周长等于8， 所以， 由椭圆的定义可知：， 所以， 由题意可得椭圆焦点在轴上， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0.    （ii）由（i）可得， 所以， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 法二： 点到直线的距离 所以 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆：的右顶点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，点是线段的中点，求直线的方程和线段的长. 【答案】(1) (2)，5 【分析】（1）根据题意和椭圆的性质求出，的值，写出椭圆方程； （2）用点差法求直线斜率，再结合韦达定理求弦长. 【详解】（1）由题意：，所以. 又因为椭圆：的右顶点为，所以，， 所以的标准方程为. （2）设交点坐标，， 因为弦被点平分，所以，.    又，两式相减得：， 所以直线的斜率， 故直线的方程为. 因为：，与椭圆方程联立， 所以，， 由弦长公式可知. 2．（25-26高二上·广东江门·月考）已知椭圆，焦距为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l与椭圆C相交于两点，若线段的中点M坐标为，求直线l的方程； (3)设分别是椭圆C的左、右顶点，Q为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点分别为，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据已知条件求出，然后根据经过的点坐标求出，进而求出方程即可. （2）先根据中点的坐标判断直线存在斜率，然后设出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理和中点坐标求出，进而得到结果. （3）设先求出直线的方程，将它们分别与椭圆方程联立，求出与的关系，进而可将四边形的面积 表示出来，最后根据函数的单调性求出最大值即可. 【详解】（1）由于椭圆的焦距为，所以，即. 由于该椭圆经过点，则，化简得. 因为，所以，所以方程变为，即. 又，所以解得，所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆图像关于轴对称，而线段的中点M坐标为，横坐标不为0， 所以直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与椭圆方程得 ，化简得. 设，根据韦达定理得. 由于线段的中点M坐标为，所以，所以， 解得，所以直线的方程为. （3）因为椭圆及直线关于轴对称，不妨设. 直线的方程为：，直线的方程为：， 联立，消得，解得； 同理由得，则四边形的面积为： . 设，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以. 由于在上单调递增，所以时即时取得最小值为， 因此最大为. 3．已知和为双曲线上两点. (1)求的离心率； (2)在上是否存在点，使得的面积为？若存在，求所有满足要求的点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)2 (2)存在，，，，. 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，结合离心率的计算公式，即可求解； （2）方法1：假设存在满足条件的点，当垂直于轴时，求得，满足题意；当不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式和点到直线的距离公式，列出方程求得的值，进而得到点的坐标； 方法2：求得，且的方程为，根据题意，得到点到直线的距离，利用点到直线的距离公式，求得或，联立方程组，进而求得点的坐标. 【详解】（1）解：由点和为双曲线上两点， 可得，解得，此时双曲线的方程为， 所以双曲线的离心率. （2）解：方法1：假设存在满足条件的点，且设为直线， 当垂直于轴时，，此时，满足题意； 当不垂直于轴时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且，可得且， 设，可得，所以， 则， 又因为到的距离为，所以的面积为， 令，可得或， 解得或或， 因为，故当时，， 又因为，可得，故； 同理可得，当时，；当时，， 综上，所有满足要求的点的坐标为，，，.     方法2：因为点和，可得， 且直线的方程为， 假设存在满足条件的点，设点到直线的距离为， 若的面积为3，则，解得， 设过且平行于直线的直线为，则， 解得或， 当时，可得，联立方程组，解得，， 代入的方程，可得或；     当时，可得，联立方程组，解得，， 代入的方程，可得或， 综上可得，所有满足要求的点的坐标为，，，. 4．（24-25高二上·甘肃白银·月考）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过圆的一条直径的两个端点． (1)求椭圆的离心率； (2)求椭圆的标准方程； (3)设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆离心率公式直接可得解； （2）设椭圆经过圆的一条直径的两端点，已知中点，且，设直线方程，联立直线与椭圆，根据韦达定理及弦长公式可得直线方程与椭圆方程； （3）设直线方程，联立直线与椭圆可得弦长，再结合点到直线的距离可得三角形面积，进而可得最值. 【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍， 可得，， 所以椭圆的离心率； （2）设椭圆经过圆的一条直径的两端点， 由（1）可知椭圆的方程为， 由题意得圆心是线段的中点，且， 可知直线的斜率存在．设直线的方程为， 由，得， 设，， 则，解得， 所以， 所以， 解得，满足判别式， 所以椭圆的标准方程为；    （3）    由（2）可得椭圆的右焦点的坐标为， 设，， 由题意知直线的斜率不为，可设直线的方程为， 联立，得， 则，， 所以， 原点到直线的距离， 所以， 设，则， 则， 当且仅当，时，的面积取得最大值． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则，可求出，求的面积的最大值就是求的最大值，根据的范围可得，由得到，通过解方程组得到的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）（i）设直线的方程，直线和椭圆联立方程组，消去，得到的一元二次方程，设的坐标，由题意可知的一元二次方程的，从而解出的取值范围，利用韦达定理求出和，从而得到同号，求出，由和求出，由的范围求出的范围，换元法设，由点在点，之间得到， 由的范围求出的范围，即得到的范围，继而得到的范围即为所求；（ii）得到和四边形为平行四边形，求出即得的坐标，将点代入椭圆的方程求出的值，利用弦长公式求出，设点直线的距离为，利用点到直线的距离公式求出，则代入数集求解即可. 【详解】（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则， ， 当取最大值时，的面积取得最大值时， ，时，取最大值，此时，或， 的最大面积为，的最大面积为， ，此时，则， ，， 又，联立，解得， 椭圆的标准方程； （2）（i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意， 设直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得， 设，，， 过点的直线与椭圆交于不同的两点，， ，， ，，同号， ， ，同号，， ，， ，，， ， 设，点在点，之间，则， 转化为， ，，，， ，，，， 的取值范围. （ii）如图，作出符合题意的图形， ，， ，，且四边形为平行四边形， ，， ，为椭圆上一点，， ，， ， ，， 设点直线的距离为，， . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $