寒假作业06 数列求和（6知识点+5大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 数列求和 一、公式法：已知和、已知和、已知数列的某些项，求.. （等差，等比） 二、裂项相消法 ①等差型裂项，， ， ②根式型裂项，， ③指对数型裂项， 三、错位相减法（通项公式为等差×等比，求Sn） （1）已知数列为等差，数列为等比，数列的前项和为Sn，求Sn. （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； 四、分组求和法（通项公式为等差+等比，求Sn） 已知数列为等差，数列为等比，数列的前项和为Sn，求Sn. 五、并项求和法（通项公式形如，求Sn） 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 一般分两步：①找通项公式 ②由通项公式确定如何分组. 还有一种数列，单个项的一个一个看看不出什么名堂，但可以考虑几组固定数目的项合起来一起加或者乘了看看，或许会有所发现 例：已知，可推出 六、倒序相加法 例：已知函数，若公比为等比数列满足，， 可推出1010 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 裂项相消基础型 1．（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 2．（25-26高二上·河南·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 3．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 题型二 裂项相消根式、指数、其他型 1．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 2．已知函数，点在曲线上且 (1)求证：数列为等差数列； (2)设，记，求 3．已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 4．已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 5．已知正项数列的前n项和为，且． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为，求． 题型三 错位相减法 1．已知数列的前n项和为，且满足 (1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 2．（23-24高二下·云南保山·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知是正项等比数列，且和是方程的两个不等实根． (1)求的通项公式； (2)若是递增数列，设，求数列的前项和． 4．在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型四 分组、并项求和 1．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知为等差数列，，，令. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前n项和. 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 3．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 4．（24-25高二下·云南临沧·月考）已知数列满足：． (1)若，求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求． 5．已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前100项的和. 题型五 含绝对值、倒序相加求和 1．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 2．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知数列中，，数列满足. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)令；求． 3．设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值； (2)若且求； 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 1．（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． 3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）在数列中，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和. 5．（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足：，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，求数列的前n项和. 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 7．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列的通项公式为，数列的前项和为. (1)求； (2)求. 8．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和. 9．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的前项和为，且．求证： (1)数列为等比数列； (2)数列的前项和． 10．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 11．记分别为数列的前项和，已知，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 12．已知等差数列为递增数列，其前n项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和. 13．已知数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：． 14．设数列的前n项和为，已知． (1)求的值和数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，求证：． 15．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求的前项和． 16．（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 17．（2025高二·全国·专题练习）设，，求的值． 18．已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)证明： 1．（2025高二上·全国·专题练习）设是数列的前n项和，已知，令，求. 2．（25-26高二上·江苏常州·月考）设正项数列的前n项和，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列为等差数列，前n项和为，．数列的前n项和为． (1)求数列，的通项公式； (2)令，其前n项和，证明：． 4．（25-26高二上·河南商丘·月考）已知数列满足，． (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)设，记为数列的前n项和，证明：． 5．（23-24高二下·湖南益阳·月考）已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 6．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 数列求和 一、公式法：已知和、已知和、已知数列的某些项，求.. （等差，等比） 二、裂项相消法 ①等差型裂项，， ， ②根式型裂项，， ③指对数型裂项， 三、错位相减法（通项公式为等差×等比，求Sn） （1）已知数列为等差，数列为等比，数列的前项和为Sn，求Sn. （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； 四、分组求和法（通项公式为等差+等比，求Sn） 已知数列为等差，数列为等比，数列的前项和为Sn，求Sn. 五、并项求和法（通项公式形如，求Sn） 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 一般分两步：①找通项公式 ②由通项公式确定如何分组. 还有一种数列，单个项的一个一个看看不出什么名堂，但可以考虑几组固定数目的项合起来一起加或者乘了看看，或许会有所发现 例：已知，可推出 六、倒序相加法 例：已知函数，若公比为等比数列满足，， 可推出1010 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 裂项相消基础型 1．（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求出，进而求出通项公式； （2）由（1）求出通项，利用裂项相消法求得，得证. 【详解】（1）由题意等差数列中，，，设公差为， 可得，解得， 故. （2）由（1）可得， 故. 因为，所以，得证. 2．（25-26高二上·河南·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行计算证明即可. 【详解】（1）由题意，得且， 解得 所以. （2）证明：由（1）得，因为， 所以. 则 因为，所以，所以. 3．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为， 所以. 题型二 裂项相消根式、指数、其他型 1．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据作差计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，，所以， 当时，也成立，所以； （2）由（1）可得， 所以. 2．已知函数，点在曲线上且 (1)求证：数列为等差数列； (2)设，记，求 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）将点代入，化简推出，利用等差数列的定义即可证得； （2）由（1）求出数列的通项公式，继而求得数列的通项公式，推出，应用裂项相消法求. 【详解】（1）因为点在曲线上，所以且 ， 所以，结合题设，故数列是首项、公差均为1的等差数列． （2）由（1）及，知，则． 因为 ，所以，则， 故． 3．已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用等式变形，可以得到等差数列递推关系，从而问题得证； （2）利用裂项法来求和，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 由，两边同时除以可得：， 两边再同时乘以可得：， 又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． （2）由（1）可得：，则， 即， 所以. 4．已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出及并裂项，再按分奇偶求出，进而求出的最小值即可. 【详解】（1）在正项数列中，， 则，所以是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项，公差，则，， ，于是，而满足上式， 因此，， 则， ， 显然，且数列单调递增，， 因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 5．已知正项数列的前n项和为，且． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2)5 【分析】（1）在递推关系中令可求，利用可得，故可证是等差数列，求出可求的通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法可求. 【详解】（1）令得，解得或， 而，. 由得，故， 整理得到：， 故是等差数列，且首项为，公差为2， 故， 而为正项数列，故， 故， 当时，，且也满足该式， 故． （2）， 故 ． 题型三 错位相减法 1．已知数列的前n项和为，且满足 (1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）根据递推式可得，结合等比数列的定义判定证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求 【详解】（1）由题设，则，整理得， 又， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，则. （2）由，则， 所以， 所以， 所以. 2．（23-24高二下·云南保山·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据数列递推公式特征，凑项组成等比数列，即可求得数列通项； （2）求出数列的通项，利用错位相减法即可计算出的前项和. 【详解】（1）， 又， 数列是首项､公比均为3的等比数列， ，即 （2）由（1）得， 则， 则， 两式相减得 ， . 3．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知是正项等比数列，且和是方程的两个不等实根． (1)求的通项公式； (2)若是递增数列，设，求数列的前项和． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解方程得到或，分两种情况，求出公比和通项公式； （2）是递增数列，故，，错位相减法求和即可. 【详解】（1），解得或9， 故或， 设的公比为， 当时，，，解得， 所以； 当时，，，解得， 所以； （2）是递增数列，故， ， 所以①，②， 式子①-②得， 故. 4．在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）通过对递推式变形，构造出常数列，利用首项求出该常数列的数值，进而推导得的通项. （2）由得的表达式后，采用错位相减法计算得. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以数列为常数列， 又，所以，所以. （2）由（1）得， ， 两边同乘以，得， 两式相减，得 ， 所以. 题型四 分组、并项求和 1．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知为等差数列，，，令. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用等差数列通项公式和求和公式即可求解； (2)利用分组求和，再结合等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设为等差数列的公差为，则由， 又由， 所以，， （2）由于， 所以 . 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据等式构造数列相邻两项，并求得其比值，即可证明； （2）由（1）求得数列的通项公式，即可求得的通项公式； （3）由（2）中的通项公式，通过等比数列的前项和公式求得结果. 【详解】（1）∵，∴，即， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）可知， ∴ （3） . 3．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列通项公式和前项和公式列出关于首项和公差的方程组，解方程组即可得解； （2）由，结合的公差计算可得. 【详解】（1）设数列的公差为d， 依题意可得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 则 . 4．（24-25高二下·云南临沧·月考）已知数列满足：． (1)若，求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据给定条件，按奇偶讨论求出数列的递推关系，再利用构造法求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）依题意，，当 时， ，当时， ， 则，，而，则， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以数列的通项公式 （2）由（1）知， ，则 ， ， 所以 . 5．已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前100项的和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据作差得到，从而得到，结合等差数列的定义计算可得； （2）由（1）可得，记，则，利用并项求和法计算可得. 【详解】（1）由，， 两式相减得，即， 因为，所以，即， 故是首项为，公差为的等差数列， 所以； （2）由（1）知， 所以， 记，则， 题型五 含绝对值、倒序相加求和 1．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2)最小值为-42，无最大值. (3)106 【分析】（1）根据等差数列的求和公式建立方程组可得答案； （2）根据通项公式的特点可求最小值，没有最大值； （3）先求出的通项公式，根据等差数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 则 解得， 故的通项公式为. （2）因为，所以单调递增. 因为，所以的最小值为，无最大值. （3）由（1）可知，， 所以易知为等差数列. 设的前项和为，则， 所以数列的前20项和为 2．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知数列中，，数列满足. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)令；求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义计算即可； （2）先算出数列的前项和为，根据或分类讨论即可. 【详解】（1）证明：， 又数列是为首项，1为公差的等差数列. （2）记的前项和为，则 由，得，即时，时，， ①时，. ②时， 所以. 3．设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值； (2)若且求； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运算法则，可以得到常数； （2）利用（1）中所求，当时，，可以采用倒序相加法，求和即可. 【详解】（1）证明：设，因为，故可得， 由知，故， 故. 故点的纵坐标为定值. （2）由（1）知 ， 两式相加得： ， 故. 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 1．（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据数列的递推公式构造等比数列，再由等比数列的通项公式化简即得； （2）先求得，求出的通项，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）因为， 所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以，则. （2）由（1）可得，所以， 故 . 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据给定的递推关系式，令得，再令得. （2）根据给定的递推关系式得，从而根据等比数列定义即可证明. （3）先利用累加法求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）由题意，， 又，所以，解得． 因为，所以. （2）因为， 所以， 又，又， 则. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （3）由（2）知，所以， 所以 ， 所以. 3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求解即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 又，也适合，所以. （2）因为， 所以 . 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）在数列中，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)数列是首项为，公比为的等比数列，详解见证明 (2) 【分析】（1）变形给定的递推公式，再利用等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出的通项公式，再分组求和即可. 【详解】（1）已知，移项整理得：， 两边同时加上得：, 整理得：， 又，则， 故数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得：, . 5．（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足：，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将变形为，进而利用等差数列定义证明即可； （2）先利用等差数列通项公式求解，则，然后利用裂项相消法求和即可； （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意，由得， 所以，又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）可得，即， 所以． 所以 ； （3）由知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2)（i）且  （ii） 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，列式求解即可； （2）写出，解不等式即可；按照和两种情况结合等差数列的前项和公式求出即可. 【详解】（1）因为，， 则，解得或， 则数列的通项公式或. （2）（i）因为公差不为0，则，， 令，即，且， 所以的取值为且. （ii）由时，令，则， 当时，，此时， 则此时； 当时，，此时， 则 综上，. 7．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列的通项公式为，数列的前项和为. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入求解即可， （2）分奇数项以及偶数项，利用分组求解，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1） ； （2） . 8．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，列方程求解； （2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解. 【详解】（1）等差数列的前项和为，， ，即， 又，， 则有，， （2）记数列的前项和为， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 综上，. 9．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的前项和为，且．求证： (1)数列为等比数列； (2)数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用的关系可得，进而则可证结论； （2）由（1）可求得，利用裂项相消法可求得，计算可证结论. 【详解】（1）当时，由，① 得，② 由①-②得，，所以． 又，且，所以，且． 所以，． 所以，数列为以2为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得数列为以2为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以，所以， 所以． 所以， ． 又，所以，． 10．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）依题意，，， 则，由，得，解得， 而，所以. （2）①由数列是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，所以，从而； ②由①知， 故 . 11．记分别为数列的前项和，已知，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用和的关系式，消去得到的递推关系，利用等差数列的定义求出通项即可； （2）根据（1）的结论和的关系式，利用裂项相消法求出的表达式，结合数列增减性即可证明. 【详解】（1）因为①， 当时，，解得． 当时，②， 由 ①－②得， 即，所以． 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 则，所以． （2）由（1）可知， 从而， 因为，单调递增，则． 12．已知等差数列为递增数列，其前n项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，结合等差数列的性质构成方程组解出，求出公差和首项，然后可得； （2）由裂项可得，然后求和即可. 【详解】（1）∵等差数列为递增数列，∴， ∵，即，∴， ∴， 联立，解得， ∴， ∴． （2）由（1）可得， ∴， ∴数列的前n项和 . 13．已知数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证. （2）由（1）求得，再利用累加法求出通项. （3）由（2）求得，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在数列中，由，得， 由，得， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知， 当时， ，满足上式， 所以的通项公式为. （3）由（2）得，， 则 ，显然是递增数列，因此，又，则， 所以. 14．设数列的前n项和为，已知． (1)求的值和数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)； ， (2)证明见解析 【分析】（1）由递推关系求出，再给出数列是以首项为，公差为的等差数列，进而写出数列的通项公式； （2），由裂项相消法求出前n项和为，即可求证． 【详解】（1）数列中，， 当时，，而，则； 当时，，所以． ， 当时，， 两式相减，得， 即，整理，得． 又因为， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即． （2）因为， 所以 15．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列，进而可得数列的通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）因为，且， 当时，则，可得； 当时，则，即， 整理可得，解得或（舍去）； 当时，则， 可得， 则，可得， 两式相减得，整理可得， 且，可得； 且，可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列， 所以. （2）因为， 所以. 16．（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 17．（2025高二·全国·专题练习）设，，求的值． 【答案】 【分析】计算得出为常数，再运用倒序相加法求和即可． 【详解】 因为， 所以 ． 故 ， 所以． 18．已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用即可求解； （2）由（1）知，得，利用错位相减法即可求解； （3）由（2）知，，又，利用裂项相消法即可得证. 【详解】（1）在中令，得，即，解得． 当时，， 又，所以，即 又，所以，数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以； （2）由（1）知，所以． 设数列的前项和为， 则， 两边同时乘以4，得， 两式相减，得 ，所以； （3）证明：由（2）知，所以， 所以． 因为，所以， 所以， 所以， 综上所述，． 1．（2025高二上·全国·专题练习）设是数列的前n项和，已知，令，求. 【答案】 【分析】根据偶数项和奇数项的关系可得，进而根据分组求和即可. 【详解】当时，， 当时，， 两式相加可得，得， 由于，所以 2．（25-26高二上·江苏常州·月考）设正项数列的前n项和，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）由得，可知 两式相减得，，即， 即 因为数列是正项数列，所以，所以，即， 又时解得， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 数列的通项公式为； . （2）由（1）知，所以，， 所以数列的前n项和. 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列为等差数列，前n项和为，．数列的前n项和为． (1)求数列，的通项公式； (2)令，其前n项和，证明：． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【分析】（1）由题意求出等差数列的公差和首项，即可求得数列的通项公式；利用数列的前n项和为，根据前n项和与第n项的关系，即可求得的通项公式； （2）结合（1）可得的表达式，说明当时，，当时，利用错位相减法可求出的表达式，即可说明，综合可知结论成立. 【详解】（1）因为数列为等差数列，前n项和为，， 设数列公差为d，则，解得， 故； 数列的前n项和为， 当时，， 当时，，不适合该式， 故； （2）由题意可得， 当时，； 当时，， 则， 两式相减得 ， 故， 则时，，故， 结合当时，； 综合可得. 4．（25-26高二上·河南商丘·月考）已知数列满足，． (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)设，记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)14，254； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题设得，进而代值依次求解即可； （2）由题设得，进而得到数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解即可； （3）由题设得，结合裂项相消法求得，进而结合指数函数的性质求证即可. 【详解】（1）由，得． 由得，，． （2）由得，， 两边取以2为底的对数，， 又，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， 所以，故． （3）证明：由得，， 所以， 则， 故， 因此 ， 由于，则，即， 所以，则， 所以，故． 5．（23-24高二下·湖南益阳·月考）已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用数列的前项和，求通项； （2）根据（1）的结果，利用错位相减法求和； （3）观察数列的形式，求得，再利用倒序相加法求和. 【详解】（1）由 ① 得 ② ①－②得：， 在①式中令得，合适上式，所以对任意的正整数n都有： （2）， 两式相减得： 整理得： （3）， 所以 所以，为定值，则 且，两式相加得，因此 6．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）对已知等式进行递推，结合等差数列的性质，利用前项和与第项之间的关系进行求解即可； （3）利用放缩法进行运算证明即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，或， 当时，：，，，显然，，成等比数列， 当时，，，，显然，，不能成等比数列， 所以，于是； （2）令， ， 两式相减，得， 因为等差数列的公差为，且， 所以， 即，即， ，所以数列的前项和， 当时，， 显然不适合，所以； （3），即， 由， 于是 . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $