9.2 坐标方法的简单应用（题型专练，8基础&3提升题型+培优）数学新教材人教版七年级下册

9.2 坐标方法的简单应用 题型一、实际生活中用坐标表示位置 1．如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”的坐标为，“兵”的坐标为，则“马”的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的是一所学校的平面示意图，小方格都是边长为1个单位长度的正方形．若用，分别表示教学楼、体育馆的位置，则图书馆的位置表示为（    ） A． B． C． D． 4．今年九月，国内首个无人机夜间配送服务落地，标志着我国低空经济发展开始迈向全天候运营的新阶段．淇淇家附近的无人机外卖投放点（“★”标记处）如图所示，则离他家最近的投放点的位置为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，若白棋A飞挂后，黑棋C尖顶．黑棋C的坐标为 ． 6．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 题型二、用方位角和距离确定物体位置 7．一艘轮船在港口的北偏西方向，距离港口处，若以港口O为观测点，用方位角和距离描述该船相对于港口的位置是（    ） A．北偏东， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏西， 8．小方家和科技馆的位置关系如图表示，下列说法正确的是（   ） A．科技馆在小方家的东偏北方向，处 B．科技馆在小方家的北偏东方向，处 C．小方家在科技馆的南偏西方向，处 D．小方家在科技馆的南偏西方向，处 9．小霖同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇C在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（   ） A．小艇A在游船的北偏东，距游船处 B．小艇B在游船的北偏西，距游船处 C．小艇A在游船的北偏东，距游船处 D．小艇B在游船的南偏西，距游船处 10．如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 11．如图是乐乐家到学校的路线图    (1)乐乐家在超市的 方向，距离 米． (2)邮局在学校的北偏西方向900米处，请你在图上标出邮局的位置． (3)如图，乐乐从家经过超市步行去学校，用时20分钟，乐乐步行的平均速度是 米/分． 12．看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 题型三、求沿x轴或y轴平移后的坐标 13．将向右平移个单位后得到，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．如图，将“笑脸”图标先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，则在“笑脸”图标中的点P的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 15．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 16．点在平面直角坐标系中的坐标为，将坐标系中的轴向上平移2个单位长度，轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 17．在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ． 18．在龙岭学校的科技节开幕式上，一个无人机编队正在进行表演，以表演区域中心为原点建立平面直角坐标系，初始队形中，1号无人机位于点．表演第一个动作，所有无人机同时向右平移5个单位长度，此时1号无人机的位置坐标是 ． 题型四、根据点平移前后的坐标确定平移方式 19．若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都小，则此四边形（   ） A．向上平移个单位 B．向左平移个单位 C．向下平移个单位 D．向右平移个单位 20．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 21．点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，，则（    ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 23．在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 24．三架飞机A，B，C保持编队飞行（飞机之间的距离保持不变）．它们现在的坐标为，，．后，飞机A飞到位置，此时飞机B，C分别飞到，位置． (1)请在图中标出，位置点； (2)写出这三架飞机在新位置的坐标． 题型五、已知图形的平移求坐标 25．已知点和点，将线段先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 26．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 27．如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为 ． 28．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 29．在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)直接写出点，的坐标． (2)若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为．求和的值． 30．如图，在平面直角坐标系中有三点、、． (1)请在图中画出三角形； (2)若是线段上任一点，线段平移后的对应点的坐标是，点随一起平移，平移后点的对应点的坐标是 ． 题型六、已知平移后的坐标，求原坐标 31．点A沿x轴的正方向平移3个单位长度得到点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 32．将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 33．若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 34．如图，先将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形． (1)画出三角形 (2)已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，请求出，的值； (3)求三角形面积； (4)设线段与轴的交点为，则点的坐标为 ． 题型七、根据平移方式确定点坐标 35．如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 36．将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点，则点的坐标为 ． 37．已知点N先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好落在原点上，则点N的坐标为 ． 38．将点先向左平移3个单位长度，之后又向下平移4个单位长度得到点，则 ， ． 39．在平面直角坐标系中有点，现将点向上平移个单位长度得到点，则点的坐标是 ． 题型八、根据方位描述确定问题位置 40．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 41．春天到了，七年级2班组织同学们到人民公园春游，李明、张华利用平面直角坐标系画出人民公园示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表，每个小正方形的对角线长为），规定正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且景点A和景点B的坐标分别是和．李明、张华分别对景点C的位置进行了描述，则下列判断正确的是（   ） 李明：景点C的坐标是； 张华：景点C在景点D的北偏东方向，相距处． A．只有李明说得对 B．只有张华说得对 C．两人说得都对 D．两人说得都不对 42．如图，在正方形网格中，点B在点A的南偏东方向上，则点B的位置可能是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 43．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，，，为的中点，回答下列问题：    (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方向？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 题型一、中点坐标公式的应用 44．已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 45．数学书的综合与实践中学到，重心是一个物体受力的平衡点．在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，，分别是长方形的重心，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”图形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 46．已知点与点关于点对称，则 ． 47．在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论： ①当，点B是线段的中点； ②无论m取何值，都为定值； ③存在唯一一个m的值，使得； ④存在唯一一个m的值，使得． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 48．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：，，则点是点M和N的衍生点． 已知点是点，的衍生点． (1)请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）． (2)若直线交x轴于点H，当时，求点E的坐标． 题型二、平面直角坐标系中的规律探究问题 49．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第55个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 50．如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第2025次跳动至的坐标是（    ） A． B． C． D． 51．如图，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 52．如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的坐标为 ． 53．如图，在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，依次得到点；；；；；……，则点的坐标是 ． 54．如图，在单位长度为1的方格纸上，，，，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 题型三、平面直角坐标背景下平行线的性质与判定应用 55．如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点A、B、C的坐标． (2)如图2，设D为线段OB上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数；（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段OB上运动时，作交BC于M点，、的平分线交于N点，则点D在运动过程中，的大小是否会发生变化?若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 56．对数轴上的点A进行如下操作：先把A点向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，如图1，在坐标系中，，，，且满足． (1)的值为________，的值为________； (2)若动点M从坐标原点出发，以每秒2个单位长度的速度在坐标轴上运动，当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，求点M的运动时间的值； (3)如图2，过点C作轴，交轴于点D，点P为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点P运动时，求的值． 57．已知，在平面直角坐标系中轴于点B，点满足，平移线段使点A与原点重合，点B的对应点为点C． (1)________，________，点C坐标为________； (2)如图1，点是射线上一个动点．过点A作直线轴，在l上取点M，使得，若的面积为4，请求出点D的坐标． (3)如图2，以为边作，交线段于点G，E是线段上一动点，连接交于点F，当点E在线段上运动过程中，的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出其值． 58．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于点B． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D．且，分别平分，．求的度数： (3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从点B出发在射线上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 59．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段AB交y轴于点D．在y轴上存在一动点E（点E不与点O重合）．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点M，在点E的运动过程中的度数始终不变，则的度数是 ． 60．如图1，点，且满足．         (1)直接写出M、N的坐标：M________，N________； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①当时，求的面积； ②当时． （Ⅰ）用代数式表示的面积和； （Ⅱ）求证：； ③如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点G为的角平分线上一点，且满足，请将图2补全，并直接写出、、之间的数量关系． 61．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 62．在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，若点D的坐标为，求点C的坐标． (2)平移线段到线段，使点D在轴的负半轴上，如图2，连接，若三角形的面积为10，求点C、D的坐标． (3)在（2）的条件下，将三角形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点P从D点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，请直接写出当等于多少时，三角形的面积与三角形的面积相等． 63．在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ． 64．如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 当点运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， 65．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称两点为轴距等点．例如，图中的两点即为轴距等点． (1)已知点，在点中，点的轴距等点是___________； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是___________（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是___________； (3)已知点，点，连接．点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得两点为轴距等点，求的最小值． 66．如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______； (2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ； (3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 67．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 68．在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 试卷第2页，共69页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.2坐标方法的简单应用（答案版） 基础达标题 题型一、实际生活中用坐标表示位置 1.A2.C3.B4.D5.-1,1 6.【详解】(1)解：平面直角坐标系如图所示： 体育场 市场 文化馆 火车站 超市 (2)解：根据坐标系可得：体育场坐标(-2,5)，市场6,5)，超市坐标(4，-1). (3)解：如图所示，点A,B即为所求， 体育场 市场 游乐场 文化馆 火车站 超市 B ………………… 图书馆 题型二、用方位角和距离确定物体位置 7.B8.D9.C10.(3,225 11.【详解】(1)解：乐乐家在超市的南偏东60°（或东偏南30°）； 1/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 距离600米： 故答案为：南偏东60°（或东偏南30°)：600. (2)解：邮局的位置如图， 北 邮局 超市 35×乐乐家 60 学校 300 (3)解：乐乐从家经过超市步行去学校的距离为600+900=1500(m), .1500÷20=75(米/分)， 则乐乐步行的平均速度是75米/分. 故答案为：75 12.【详解】(1)解：小明家在学校的正南方向上，估一估小明家距离学校约200米， 故答案为：正南，200； (2)解：书店在学校北偏西60°方向上， 故答案为：北偏西60°； (3)解：由题意知超市在学校北偏东45°方向600米处，则超市位置如图所示： 书店 产超市 459 30 少年宫 ● 学校 小明家 200m 题型三、求沿x轴或y轴平移后的坐标 13.A14.A15.A16.D17.(0,118.（7,4) 题型四、根据点平移前后的坐标确定平移方式 19.C20.B21.D22.（2,6 2/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.【详解】(1)解：如图：由平面直角坐标系坐标可得：A(2,3),A'(4,2). (2)解：观察图形中ABC和aAB'C'的位置，可知将ABC向右平移2个单位，再向下平移1个单位得 到△A'B'C'. 24.【详解】(1)解：由图可知，A4,-2)移动后到达A'(4,7),即向上平移了9个单位， 作图如下： -+- 2 110 3211.2346_7 (2)解：由平面直角坐标系可知，A'(4,7),B'(2,4,C'(6,4. 题型五、己知图形的平移求坐标 25.D26.A27.(1,128.（2,2) 29.【详解】(1)解：由图可知：A1,0,A-4,4: (2):A1,0平移后的对应点为A'(-4,4, :ABC先向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到△A'B'C', :点M(m,4-n是ABC内部一点，平移后对应点M'的坐标为2m-8,n-2), 2m-8=m-5,n-2=4-n+4, 解得m=3,n=5. 30. 【详解】(1)解：如图： 3/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 4 B 2345 2 5 (2)解：：A-4,2),它的对应点A的坐标是-1,0)， :三角形可以是向右移动3个格子后，再向下移动2个格子， :平移后D点的对应点D的坐标是(m+3,n-2). 故答案为：(m+3,n-2). 题型六、已知平移后的坐标，求原坐标 31.A32.A33.(0,3) 34.【详解】(1)解：：将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，如图， .A-4,-1,B（2,0),C（-13, 连接AB、B,C、AC, ∴.三角形AB,C,即为所作； (2)平移后点P的对应点P(a-3,b-2), :P-2,1, a-3=-2 b-2=1 解 .a=1,b=3: 4/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)S6c=4×6-x6x1-x3x3-x4×3=2 1 , :三角形ABC面积为气： 21 (4)设点Dm,0), .BD=2-m, :S△ABC=SAC,DB+S△4DB, 12-m则x3+22-mx1- 2 解得：m=-13 4 30 :点D的坐标为4 故答案为： 13。 40 y个 5 B D A朗 B 4-3-210 2345x A 2 3 题型七、根据平移方式确定点坐标 35.D36.(5,-137.(2,3)38.6 239.25,5 题型八、根据方位描述确定问题位置 40.A41.A42.D. 43. 【详解】如图， 5/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 北 B商场 北 、 4学校 : 北 →东 60￥30、 小明家O: 北 C公园 - 北 P停车场 (1):C是OP中点，0P=4cm, :0C=20P=2cm, 2 ∴.0A=0C=2cm, 故图中距小明家距离相同的是学校A与公园C; (2)如上图，商场B在小明家的北偏西30°方向；学校A在小明家的东北方向；公园C、停车场P在小明 家的南偏东60°方向. (3)学校距离小明家400m,而0A=2cm, ∴.图上1cm表示实际距离为200m 故商场距离小明家2.5×200=500(m);停车场距离小明家4×200=800(m). B 能力提升题 题型一、中点坐标公式的应用 44.A.45.A.46.3.47.①②③， 48.【详解】(1)解：由题意知点T的坐标为 (2)解：如图， 6/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ↑E(m,m+2) OH D :∠DHT=90°， .点E与点T的横坐标相同. :3+ 3 =n, 3 解得m=)冫则m+2= :E点坐标为22 37) 题型二、平面直角坐标系中的规律探究问题 49.D50.C51.A52.(8,353.(675,1 54.(1014,0 题型三、平面直角坐标背景下平行线的性质与判定应用 55.【详解】(1)：a-3+(b+4)=0, .a-3=0,b+4=0, 解得a=3,b=-4, .A3,0)、B(0,-4. .0A=3,0B=4. 1 :S边能40c=2XO1+BC)xOB=16, E)X3+BC×4=16 解得，BC=5, C在第四象限， C5,-4): (2):∠A0D=90°， 7/28 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠0DA+∠0AD=90°. :AD⊥AC, ∠CAD=90°. .∠CAE+L0AD=90°. ∠ODA=∠CAE. :OP平分∠ODA,FA平分∠CAE, ∠ODP=LEAF=LOAP, ∠APD=∠A0D=90°； (3)在图3中，∠N=45°，大小不会发生变化， 珠 NK M 图3 理由如下：过D作DK∥OA,NH∥OA,则∠OAD=∠ADK. :OA∥BC, .DK∥BC, ∴.∠KDM=∠DMB, .∠OAD+∠DMB=∠ADK+∠MDK=∠ADM=90°， 同理可得∠ANM=∠OAN+∠NMB, :AN平分∠OAD,MN平分∠DMB, ∠04w=号<0AD,∠NwB=5<DWB. 2 d∠OAN+∠MB=201D+∠DM8=ADM, ∠ANM=∠ADM=45°. 2 56.【详解】(1)m+2+(m+n-2)2=0, [m+2=0 m=-2 (m+n-2=0'解得 n=4 故答案为：-2,4： 8/28 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)m=-2,n=4, A-2,0,B4,0, AB=4-（-2=6, :.SA8C=2 ×6×2=6， ÷当三角形C0M的面积等于三角形ABC的面积的一半时，S.cov=25c=3, 当点M在x轴上运动时，OM=2t, 3.cow=20M×2=3, 即x21x2=3, 邻得子 当点M在y轴上运动时，OM=2, .5.cw3 即2×21x1=3, 解得t=3, 综上，或3 (3):OE平分∠AOP, .∠EOP=∠AOE, :OF⊥OE, ∴∠E0P+∠P0F=90°，∠A0E+∠B0F=90°， :.∠POF=∠BOF, 设∠POF=∠BOF=x,∠DOE=y, :CD⊥y轴， CD∥x轴， .∠OPD=∠POB=2x, .∠POD=90°-2x, :∠E0F=90°， y+90°-2x+x=90°， 9/28 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得x=y, .∠OPD=2∠DOE, ∠OPD=2 ∠DOE 故答案为：2. 57. 【详解】(1)解：：√a-6+lb-3=0, a-6=0,b-3=0, a=6,b=3, “AB=OC=3,且C在y轴负半轴上， :C(0,-3) 故答案为：6,3，(0，-3 (2)解：①如图1，过D作DH⊥x轴于H,DN⊥y轴于N,连接OD· B W女-- D 图1 :A6,3,Dm,n),C(0,-3,AB⊥x轴， .OB=6,OC=3,MD=-n(D纵坐标为负)，ND=m, s80C面：Sm-08.0c-6x3=9 又S.BOC=S.BOD+ScoD,其中： S.wop-OB-MD-1x6x(-n)=-3n, 2 2 1 1 3 S.COD=2OC.ND=5×3×m=号m. 2 2 3 2m-3n=9, ∴.m-2n=6. 如图1-1，设直线AM交y轴于T,连接DT、CM、CM'· 10/28 9.2 坐标方法的简单应用 题型一、实际生活中用坐标表示位置 1．如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”的坐标为，“兵”的坐标为，则“马”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据“帅”的坐标为，在象棋盘上建立平面直角坐标系，再读取“马”的坐标，即可作答． 【详解】解：∵“帅”的坐标为， ∴在象棋盘上建立平面直角坐标系，如图所示： ∴“马”的坐标为， 故选：A 2．如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，由旋转木马位于点以及过山车位于点建立平面直角坐标系，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵旋转木马位于点，过山车位于点． ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， 故摩天轮位于点， 故选：C． 3．如图所示的是一所学校的平面示意图，小方格都是边长为1个单位长度的正方形．若用，分别表示教学楼、体育馆的位置，则图书馆的位置表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知点坐标得出原点位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：图书馆位置的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 4．今年九月，国内首个无人机夜间配送服务落地，标志着我国低空经济发展开始迈向全天候运营的新阶段．淇淇家附近的无人机外卖投放点（“★”标记处）如图所示，则离他家最近的投放点的位置为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据图形以及已知位置的表示方法解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图可知，离他家最近的投放点位于行第列，即投放点的位置为， 故选：． 5．已知，，若白棋A飞挂后，黑棋C尖顶．黑棋C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知A，B两点的坐标建立坐标系，然后确定其他点的坐标． 【详解】解：根据，，建立平面直角坐标系如图所示： 所以， 故答案为:． 6．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 【答案】(1)图见解析 (2)体育场坐标，市场，超市坐标 (3)图见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出两个点的坐标； （3）根据坐标系分别标A，B的位置，即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场坐标，市场，超市坐标． （3）解：如图所示，点A，B即为所求． 题型二、用方位角和距离确定物体位置 7．一艘轮船在港口的北偏西方向，距离港口处，若以港口O为观测点，用方位角和距离描述该船相对于港口的位置是（    ） A．北偏东， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏西， 【答案】B 【分析】此题考查了方位角，根据方位角的概念以及确定位置的方法，可得答案． 【详解】∵轮船在港口的北偏西方向，距离， ∴若以港口O为观测点，位置描述为北偏西，， 故选：B． 8．小方家和科技馆的位置关系如图表示，下列说法正确的是（   ） A．科技馆在小方家的东偏北方向，处 B．科技馆在小方家的北偏东方向，处 C．小方家在科技馆的南偏西方向，处 D．小方家在科技馆的南偏西方向，处 【答案】D 【分析】本题主要考查了位置与方向的表示，根据位置的相对性可知，它们的方向相反，角度相等，距离相等，据此解答． 【详解】解：由图知：小方家在科技馆的南偏西方向，处 故选：D． 9．小霖同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇C在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（   ） A．小艇A在游船的北偏东，距游船处 B．小艇B在游船的北偏西，距游船处 C．小艇A在游船的北偏东，距游船处 D．小艇B在游船的南偏西，距游船处 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解方向角的表示方法是解题关键，利用方向角的表示方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、小艇A在游船的北偏东，且距游船处，故A错误，不符合题意； B、小艇B在游船的北偏西，且距游船处，故B错误，不符合题意； C、小艇A在游船的北偏东，且距游船处，故C正确，符合题意； D、小艇B在游船的北偏西，且距游船处，故D错误，不符合题意； 故选：C． 10．如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】解： A，B的位置分别记为， 坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数， 由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上， 目标的位置记为． 故答案为：． 11．如图是乐乐家到学校的路线图    (1)乐乐家在超市的 方向，距离 米． (2)邮局在学校的北偏西方向900米处，请你在图上标出邮局的位置． (3)如图，乐乐从家经过超市步行去学校，用时20分钟，乐乐步行的平均速度是 米/分． 【答案】(1)南偏东（或东偏南）；600 (2)见解析 (3)75 【分析】此题主要考查用方向角和距离确定物体的位置； （1）根据方向角和距离解答即可； （2）根据方向角和距离确定物体的位置，画图即可． （3）用乐乐从家经过超市步行去学校的距离除以20，计算即可． 【详解】（1）解：乐乐家在超市的南偏东（或东偏南）； 距离600米； 故答案为：南偏东（或东偏南）；600． （2）解：邮局的位置如图，    （3）解：乐乐从家经过超市步行去学校的距离为， ∴（米/分）， 则乐乐步行的平均速度是75米/分． 故答案为：． 12．看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【答案】(1)正南， (2)北偏西60° (3)见解析 【分析】本题考查了根据方向和距离确定物体的位置，掌握方向角的定义是解题的关键． （1）根据图形及方向角的定义解答即可； （2）根据图形及方向角的定义解答即可； （3）根据方向及距离标出超市位置即可； 【详解】（1）解：小明家在学校的正南方向上，估一估小明家距离学校约米， 故答案为∶正南，； （2）解：书店在学校北偏西方向上， 故答案为∶北偏西； （3）解：由题意知超市在学校北偏东方向米处，则超市位置如图所示： 题型三、求沿x轴或y轴平移后的坐标 13．将向右平移个单位后得到，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解：将向右平移个单位后得到， 故点向右平移个单位后得到， 根据点的坐标的平移规律，点的坐标为，即． 故选：A． 14．如图，将“笑脸”图标先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，则在“笑脸”图标中的点P的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标与图形变化中平移的特征即可求解． 【详解】解：由题意，向右平移个单位，再向下平移个单位， 点的对应点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标中图形平移的特征，熟练掌握相关性质是解题关键． 15．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移规律与轴上点的坐标特征，掌握点向左平移时横坐标减、轴上点的横坐标为是解题的关键． 点向左平移，横坐标减，纵坐标不变；点在轴上，则其横坐标为，由此求出的值，再代入求坐标． 【详解】解：∵点向左平移1个单位得到点， ∴的坐标为，即， ∵在轴上， ∴， ∴， ∴的坐标为，即． 故选：A． 16．点在平面直角坐标系中的坐标为，将坐标系中的轴向上平移2个单位长度，轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标与坐标系平移的关系．熟练掌握了平面直角坐标系中点的坐标与坐标系平移的关系是解题的关键． 坐标系平移时，点在新坐标系中的坐标可通过点相对于原坐标系进行相反的平移得到．轴向上平移2个单位，相当于点向下平移2个单位；轴向左平移3个单位，相当于点向右平移3个单位． 【详解】∵轴向上平移2个单位， ∴ 点的坐标减少2； ∵轴向左平移3个单位， ∴ 点的坐标增加3． ∴ 新坐标，，即点在新坐标系中的坐标为． 故选D． 17．在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据点的平移规则，向左平移横坐标减少，向上平移纵坐标增加，计算即可． 【详解】解：点向左平移3个单位，得到点，即； 再向上平移3个单位，得到点，即； 故答案为：． 18．在龙岭学校的科技节开幕式上，一个无人机编队正在进行表演，以表演区域中心为原点建立平面直角坐标系，初始队形中，1号无人机位于点．表演第一个动作，所有无人机同时向右平移5个单位长度，此时1号无人机的位置坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据平面直角坐标系中点的平移性质，向右平移5个单位长度，点的横坐标增加5，纵坐标不变即可解答． 【详解】解：点向右平移5个单位长度后，横坐标变为，纵坐标保持4不变，因此平移后的位置坐标是； 故答案为． 题型四、根据点平移前后的坐标确定平移方式 19．若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都小，则此四边形（   ） A．向上平移个单位 B．向左平移个单位 C．向下平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握：点坐标平移的规律：左减右加，上加下减．据此解答即可． 【详解】解：∵四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都小， ∴四边形向下平移个单位长度． 故选：C． 20．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平移的性质解题即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， ∴线段向左平移了个单位，向上平移了个单位， ∴点，的坐标分别为，， ∴． 故选：B． 21．点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移，由已知可得，，进而得到线段先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到线段，即得到，，再代入代数式计算即可求解，由对应点坐标的变化得出平移的方式是解题的关键． 【详解】解：∵点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，， ∴，， ∵将线段平移至，点，的坐标分别为，， ∴线段先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到线段， ∴，， ∴， 故选：． 22．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标确定平移规则，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移后，点的对应点为， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∵点的坐标为， ∴，即； 故答案为：． 23．在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 【答案】(1)， (2)将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到 【分析】本题主要考查了点的坐标的平移、写出直角坐标系中的坐标点、确定图形平移的方式等知识点，熟练掌握点的坐标的平移规律是解题的关键． （1）根据点A，在平面直角坐标系中的位置确定其坐标即可； （2）根据和位置的确定平移方式即可解答． 【详解】（1）解：如图：由平面直角坐标系坐标可得：，． （2）解：观察图形中和的位置，可知将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到． 24．三架飞机A，B，C保持编队飞行（飞机之间的距离保持不变）．它们现在的坐标为，，．后，飞机A飞到位置，此时飞机B，C分别飞到，位置． (1)请在图中标出，位置点； (2)写出这三架飞机在新位置的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查了点的平移． （1）根据A到坐标的变化求出平移方式，进而标出，位置点即可； （2）直接根据平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）解：由图可知，移动后到达，即向上平移了9个单位， 作图如下： （2）解：由平面直角坐标系可知，，，． 题型五、已知图形的平移求坐标 25．已知点和点，将线段先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，即“右加左减，上加下减”．根据平移的性质求解即可． 【详解】解：先向右平移个单位， 横坐标变为，纵坐标不变，得点； 再向下平移个单位， 纵坐标变为，横坐标不变，得点， 点的坐标为， 故选：D． 26．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，掌握平移规律是解题的关键． 首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移3个单位， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 27．如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换，理解平移性质，正确得到对应点的位置是解答的关键．先确定平移方式：先向下平移3个单位，再向右平移4个单位，进而求出结论． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，其中点与原点重合， ∴平移方式可以是先向下平移3个单位，再向右平移4个单位， ∴按以上平移方式，点平移后对应点的坐标为， 故答案为：． 28．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，根据点，，确定平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴正方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到正方形， ∵， ∴，即：点的坐标为； 故答案为：． 29．在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)直接写出点，的坐标． (2)若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为．求和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，确定平移规则是解题的关键： （1）根据点的位置，写出点的坐标即可； （2）根据对应点的坐标确定平移规则，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：，； （2）∵平移后的对应点为， ∴先向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到， ∵点是内部一点，平移后对应点的坐标为， ∴， 解得． 30．如图，在平面直角坐标系中有三点、、． (1)请在图中画出三角形； (2)若是线段上任一点，线段平移后的对应点的坐标是，点随一起平移，平移后点的对应点的坐标是 ． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了网格作图，图形平移的性质等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据、、，描点、顺次连接三点，形成三角形即可； （2）根据与对应点的坐标变化，明确图形移动的方法，写出平移后点的对应点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：，它的对应点的坐标是， 三角形可以是向右移动3个格子后，再向下移动2个格子， 平移后点的对应点的坐标是． 故答案为：． 题型六、已知平移后的坐标，求原坐标 31．点A沿x轴的正方向平移3个单位长度得到点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由平移后的坐标点求原坐标点，根据平移方式以及平移后的坐标求出原坐标即可． 【详解】解：将沿x轴的负方向平移3个单位长度得到， 故选：A． 32．将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点向左平移个单位长度后点的坐标为，根据点在轴上知，据此知，再代入即可得． 【详解】解：将点向左平移个单位长度后点的坐标为 点在轴上， 即， 则点的坐标为． 故选：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了轴上的点横坐标为的特征． 33．若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移，掌握“纵坐标上加下减，横坐标左加右减”是解题关键．根据平移的规律求解即可． 【详解】解：点向下平移3个单位后位于坐标原点， ，， ， 点坐标为， 故答案为：． 34．如图，先将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形． (1)画出三角形 (2)已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，请求出，的值； (3)求三角形面积； (4)设线段与轴的交点为，则点的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据三角形平移的方向和单位长度分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据点平移的坐标变化规律：左减右加纵不变，上加下减横不变，构建方程组即可解决问题； （3）利用分割法求出三角形的面积即可； （4）设点，则，然后利用建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，如图， ∴，，， 连接、、， ∴三角形即为所作； （2）平移后点的对应点， ∵， ∴， 解：， ∴，； （3）， ∴三角形面积为； （4）设点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—平移变换，点坐标平移的规律，两点间距离，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积． 题型七、根据平移方式确定点坐标 35．如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中线段的平移，解题的关键是利用已知点的坐标变化确定平移规律（横、纵坐标的变化量），再将规律推广到其他点．要解决线段平移后点的坐标问题，需先确定点到的平移规律（横坐标和纵坐标的变化量），再将该规律应用到点 上，从而得到 的坐标． 【详解】已知点的坐标为，平移后点 的坐标为． 横坐标的变化量：，即点的横坐标向左平移了4个单位； 纵坐标的变化量：，即点的纵坐标向下平移了3个单位． 点的坐标为，根据上述平移规律（横坐标减4，纵坐标减3）： 横坐标：； 纵坐标：． 因此，点 的坐标为． 故选D 36．将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律．点的平移规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】将点向右平移3个单位，横坐标增加3，变为；再向上平移2个单位，纵坐标增加2，变为． 因此点的坐标为． 故答案为：． 37．已知点N先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好落在原点上，则点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，根据坐标平移规律，向左平移横坐标减少，向下平移纵坐标减少，平移后点落在原点，列出方程求解． 【详解】解：设点N的坐标为，向左平移2个单位长度，横坐标变为；向下平移3个单位长度，纵坐标变为，平移后点落在原点，因此有： ，， 解得，， ∴点N的坐标为． 故答案为：． 38．将点先向左平移3个单位长度，之后又向下平移4个单位长度得到点，则 ， ． 【答案】 6 2 【分析】本题考查了点的平移规律，掌握点向左平移横坐标减对应单位、向下平移纵坐标减对应单位是解题的关键． 根据点的平移规则，向左平移3个单位，横坐标减少3；向下平移4个单位，纵坐标减少4，根据平移后的坐标列方程求解． 【详解】解：点M向左平移3个单位后，坐标为，即； 再向下平移4个单位，坐标为，即， 此点与点相同，因此， 解得， 故答案为：，． 39．在平面直角坐标系中有点，现将点向上平移个单位长度得到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，点向上平移时，横坐标不变，纵坐标增加平移的单位长度，据此求解即可． 【详解】解：∵将点向上平移个单位长度得到点， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 题型八、根据方位描述确定问题位置 40．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是根据方位角找出对应的图形，掌握方位角的定义是解决此题的关键． 根据方位角的定义判断即可． 【详解】解：A．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，故本选项符合题意； B．货轮A在岛屿O的南偏西方向上，故本选项不符合题意； C．货轮A在岛屿O的南偏东方向上，故本选项不符合题意； D．货轮A在岛屿O的北偏西方向上，故本选项不符合题意； 故选：A． 41．春天到了，七年级2班组织同学们到人民公园春游，李明、张华利用平面直角坐标系画出人民公园示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表，每个小正方形的对角线长为），规定正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且景点A和景点B的坐标分别是和．李明、张华分别对景点C的位置进行了描述，则下列判断正确的是（   ） 李明：景点C的坐标是； 张华：景点C在景点D的北偏东方向，相距处． A．只有李明说得对 B．只有张华说得对 C．两人说得都对 D．两人说得都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系和方位角的知识，理解并掌握相关知识是解题关键．根据景点A和景点的坐标确定平面直角坐标系的原点，即可判定李明的说法；根据方位角的知识判定张华的说法． 【详解】解：根据景点A和景点的坐标分别是和，可知平面直角坐标系的原点在景点处，故李明的说法正确； 根据所规定的正东、正北方向，可知景点在景点D的南偏西方向，相距处，故张华的说法不对； 综上分析可知：只有李明说得对． 故选：A． 42．如图，在正方形网格中，点B在点A的南偏东方向上，则点B的位置可能是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】D 【分析】本题考查的是方位角的判定，理解方位角的含义是解本题的关键. 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可判断． 【详解】解：如图， 根据题意和图示可知： 射线表示南偏东方向，射线表示南偏东约方向，射线表示南偏东方向， ∴点B的位置可能是． 故选：D． 43．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，，，为的中点，回答下列问题：    (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方向？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】(1)A与； (2)商场在小明家的北偏西方向；学校在小明家的东北方向；公园、停车场在小明家的南偏东方向； (3)商场距离小明家米；停车场距离小明家米． 【分析】（1）先根据中点的定义，结合，得出，根据，得出图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）根据方向角的定义，得出学校、商场、公园、停车场分别在小明家的方位，并得出公园和停车场的方位是相同的； （3）先根据题意，得出图上表示的实际距离，然后根据商场和停车场分别距离小明家的图上距离，得出实际距离． 【详解】如图，    （1）∵是中点，， ∴， ∴， 故图中距小明家距离相同的是学校与公园； （2）如上图，商场在小明家的北偏西方向；学校在小明家的东北方向；公园、停车场在小明家的南偏东方向． （3）学校距离小明家，而， ∴图上表示实际距离为 故商场距离小明家；停车场距离小明家． 【点睛】本题主要考查了用方向角和距离表示物体的位置，解题关键是灵活运用解决问题的能力和阅读理解能力． 题型一、中点坐标公式的应用 44．已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 45．数学书的综合与实践中学到，重心是一个物体受力的平衡点．在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，，分别是长方形的重心，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”图形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；根据题意可得点，，，进而根据中点坐标公式可得，，最后代入题中所给重心坐标公式可进行求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，， ∵是长方形的对角线，且交于一点， ∴点是的中点， ∴根据中点坐标公式可得，即， 同理可得， ∴，， ∴此“L”形的重心坐标为； 故选A． 46．已知点与点关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答． 【详解】解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 47．在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论： ①当，点B是线段的中点； ②无论m取何值，都为定值； ③存在唯一一个m的值，使得； ④存在唯一一个m的值，使得． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标与线段长度的计算，根据点的坐标，分别计算相关线段长度，并判断各结论是否正确，①通过计算中点坐标验证；②直接计算长度；③④通过解绝对值方程判断解的个数． 【详解】解：点，，，轴，点Q的纵坐标为m，故， ①当时，，，，线段的中点坐标为，与点B坐标相同，故B是的中点，①正确； ②，为定值，与m无关，故②正确； ③，，设，即，解得（唯一解），故③正确； ④设，即，解得或，有两个解，故④错误． 综上所述，正确结论为①②③． 故答案为：①②③． 48．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：，，则点是点M和N的衍生点． 已知点是点，的衍生点． (1)请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）． (2)若直线交x轴于点H，当时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查坐标与图形，理解新定义是解题关键． （1）直接根据衍生点的定义求解． （2）垂直于x轴的直线上的点横坐标相等，进而求出m的值和E点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知点T的坐标为，即； （2）解：如图， ∵， ∴点E与点T的横坐标相同． ∴， 解得，则 ∴E点坐标为． 题型二、平面直角坐标系中的规律探究问题 49．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第55个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可得横坐标为n的点有n个，它们的纵坐标分别为，根据即可确定第55个点的坐标． 【详解】解：∵这些点的坐标分别为，，，，，，… ∴横坐标为n的点有n个，它们的纵坐标分别为， ∵， ∴第55个点的横坐标为10， ∵偶数列的点是由下往上排列， ∴第55个点的纵坐标为9， ∴第55个点的坐标为， 故选：D． 50．如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第2025次跳动至的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，观察可知点的坐标为（其中，为正整数）． 【详解】点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，观察可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，归纳得：点的坐标为（其中，为正整数）． ， 点的坐标为． 故选：C 51．如图，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象与点坐标可知，每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现，由，可得，求解作答即可． 本题考查了点的坐标规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 【详解】解：由题意知：每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，，循环出现，得即， 故选：A． 52．如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探究，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2025除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点， ∵， ∴当点P第2025次碰到矩形的边时为第338个循环组的第3次反弹， 点P的坐标为． 故答案为． 53．如图，在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，依次得到点；；；；；……，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据、可得规律：，进而求得，据此可解． 【详解】解：由、可得规律：， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 故答案为：． 54．如图，在单位长度为1的方格纸上，，，，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据部分点的坐标找到规律． 由，，，，可得（，且为整数），据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴可得（，且为整数）， ∵， ∴，即， 故答案为：． 题型三、平面直角坐标背景下平行线的性质与判定应用 55．如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点A、B、C的坐标． (2)如图2，设D为线段OB上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数；（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段OB上运动时，作交BC于M点，、的平分线交于N点，则点D在运动过程中，的大小是否会发生变化?若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)、， (2) (3)不变， 【分析】（1）根据实数的非负性，结合图形的面积，点所在象限，计算点C的坐标即可． （2）根据角的平分线定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理计算即可． （3）过点D作，过点N作，利用平行线的判定和性质，角的平分线的定义，解答即可． 【详解】（1））∵， ∴，， 解得，， ∴、． ∴，． ∵， ∴， 解得，， ∵C在第四象限， ∴； （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴； （3）在图3中，，大小不会发生变化， 理由如下：过D作，，则． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵AN平分，MN平分， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了实数的非负性，平行线的判定和性质，垂直的应用，角的平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 56．对数轴上的点A进行如下操作：先把A点向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，如图1，在坐标系中，，，，且满足． (1)的值为________，的值为________； (2)若动点M从坐标原点出发，以每秒2个单位长度的速度在坐标轴上运动，当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，求点M的运动时间的值； (3)如图2，过点C作轴，交轴于点D，点P为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点P运动时，求的值． 【答案】(1) (2)或3， (3)2 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积，一元一次方程的应用，利用非负数的性质求出m、n的值是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得解方程组即可求解； （2）由（1）可得求出得到分点M在x轴上运动和点M在y轴上运动两种情况解答即可求解； （3）设则由，可得，得得到即可求解． 【详解】（1）∵ ∴，解得 故答案为：； （2）∵ ∴ ∴ ， ∴当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，， 当点M在x轴上运动时， ∴， 即， 解得； 当点M在y轴上运动时， ， 即， 解得 综上，或3， （3）∵平分 ∴ ∵ ∴，， ∴ 设 ∵轴， ∴轴， ∴ ∴ ∵， ∴， 解得 ∴ 故答案为： 57．已知，在平面直角坐标系中轴于点B，点满足，平移线段使点A与原点重合，点B的对应点为点C． (1)________，________，点C坐标为________； (2)如图1，点是射线上一个动点．过点A作直线轴，在l上取点M，使得，若的面积为4，请求出点D的坐标． (3)如图2，以为边作，交线段于点G，E是线段上一动点，连接交于点F，当点E在线段上运动过程中，的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出其值． 【答案】(1)6，3，. (2)或 (3)的值不变化，值为. 【分析】（1）利用二次根式，绝对值的定义即可求解； （2）① 作辅助线、，用“面积和差（）”建立等式，推导、关系；② 分在左、右侧，用面积法列方程求解坐标． （3）利用平行线的性质、三角形外角的性质证明即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，且C在y轴负半轴上， 故答案为：6，3，. （2）解：①如图，过作轴于，轴于，连接 ． ∵，，，轴， ∴，，（纵坐标为负 ）， ． 面积： ． 又，其中： ， ． ∴， ∴ ． 如图，设直线交轴于，连接、、 ． 当在左侧时： 由，得，即 ． 根据 ，代入坐标关系列方程： ， 解得，则 ． 当在右侧时： 同上述面积法思路，可得 ． 综上，坐标为或 ． （3）解：的值不变，值为2.理由如下： 线段是由线段平移得到， ， ， 又， ， 根据三角形外角性质，可得，， ， . 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了二次根式、绝对值的意义，平行线的性质及平移的性质，解决问题的关键是作出辅助线，用面积法、角的和差关系、以及平行线的性质求解． 58．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于点B． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D．且，分别平分，．求的度数： (3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从点B出发在射线上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图象性质． （1）根据非负数的性质易得，，从而得出点A，C的坐标，然后根据轴交x轴于点B得出点B的坐标； （2）过点E作，根据平行线性质得，且，，所以，然后把代入计算即可； （3）分类讨论：设P，Q点运动的时间为t，①当点P在y轴正半轴上，设，；②当点P在y轴负半轴上时，设点P的坐标为，，利用可得到关于t的方程，再解方程求出t，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， 解得，， 又∵，， ∴点A坐标为，点C坐标为， ∵轴交x轴于点B， ∴点B的坐标为， 即点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． （2）解：如图，过点E作， ∵轴， ∴轴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴． （3）解：由题意知，设P，Q点运动的时间为t， 当点P在y轴正半轴上，如图： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； ②当点P在y轴负半轴上时，如图： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】 59．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段AB交y轴于点D．在y轴上存在一动点E（点E不与点O重合）．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点M，在点E的运动过程中的度数始终不变，则的度数是 ． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积计算、非负数的性质． （1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）根据（1）的结论求得的面积，设点的坐标为，用含的代数式表示出的面积，根据题意列出方程，解方程即可； （3）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：，，，， ，，， 解得，，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，，； （2）解：存在， 理由如下：∵点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴ 设点的坐标为， 由题意得，，， 的面积， 依题意， 解得： ∴或 点坐标的坐标为或． （3）解：过点作，如图2， ∵， ， ，，， ， ， 、分别为，的平分线， ，， ． 故答案为：． 60．如图1，点，且满足．         (1)直接写出M、N的坐标：M________，N________； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①当时，求的面积； ②当时． （Ⅰ）用代数式表示的面积和； （Ⅱ）求证：； ③如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点G为的角平分线上一点，且满足，请将图2补全，并直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①1；②，；（Ⅱ）证明见解析；③或 【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由非负数的性质可得：，，从而可得答案； （2）①求出此时的长，进而得到的长，再根据三角形面积计算公式求解即可； ②（Ⅰ）求出此时的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）所求可得，再根据图形面积之间的关系可证明结论； ③先根据题意补全图形，设，设，则，再求出，的度数，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴点， 故答案为：； （2）解：①当时，点Q的运动路程为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②（Ⅰ）由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴， ∴； ③如图，补全图形如下： 当点在上方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， 如图，∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 61．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或，理由见详解 【分析】本题考查坐标与图形变化–平移，掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）根据点的坐标平移规律，即可求解； （2）设时间为t，根据轴，即M、N两点纵坐标相等，列方程，即可求解； （3）根据点P在x轴正半轴上的不同位置分为两种情况，结合三角形内角和以及四边形内角和，即可求解． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得，． （2）设秒后轴， 根据题意，可得， 解得， 经过秒后，轴． （3）①如图，当点在线段上（不与点B重合）时， ； ②如图，当点在点的右侧时，， ； 综上所述，可知与的关系为或． 62．在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，若点D的坐标为，求点C的坐标． (2)平移线段到线段，使点D在轴的负半轴上，如图2，连接，若三角形的面积为10，求点C、D的坐标． (3)在（2）的条件下，将三角形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点P从D点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，请直接写出当等于多少时，三角形的面积与三角形的面积相等． 【答案】(1) (2)，或， (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形变换－平移，三角形的面积． （1）先根据点A的对应点为点D，判断出平移的方式，进而求出点C的坐标； （2）先根据三角形的面积为10求出点C的坐标，然后分两种情况求解即可； （3）分点P在点B的左侧和点P在点B的右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）∵点的对应点为点， ∴把点A先向左平移1个单位，再向下平移2个单位到达点D， ∵点B的坐标为， ∴点C的坐标，即； （2）如图，作于点H，设， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵三角形的面积为10， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， 当点A与点D对应时，则把点A先向左平移4个单位，再向下平移4个单位到达点D，此时点B的对应点C的坐标为，即； 当点B与点D对应时，则把点B先向左平移6个单位，再向下平移1个单位到达点D，此时点A的对应点C的坐标为，即； 综上可知，，或，； （3）由题意得平移后各点坐标为：，，，， ∴, 当点P在点B的左侧时，如图， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点P在点B的右侧时，如图， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， ， ∴， 解得． 综上可知，当或时，三角形的面积与三角形的面积相等． 63．在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可． 【详解】解：把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点； 把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点； 把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点； 把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点， 第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位得到下一个点， 到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， 到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度， 到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度， 到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， 到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， 可以看作每四次坐标变换为一个循环， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 64．如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的，使得四边形的面积等于，理由见解析 (3)为定值，故其值不会变化，理由见解析 【分析】（）利用绝对值与平方的非负性求出的值，即可求解； （）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （）分点在线段上，点在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点和点的坐标分别为和； （2）存在． 理由：过作的延长线，垂足为，如图所示： 由题意得点和点的坐标分别为和， ∴ ， 设点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， 存在这样的，使得四边形的面积等于； （3）不变．理由如下： 当点在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过作的延长线，垂足为 ，连接， ∵，， ∴ ， 当点运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ∴为定值，故其值不会变化． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，非负式性质求解，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 65．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称两点为轴距等点．例如，图中的两点即为轴距等点． (1)已知点，在点中，点的轴距等点是___________； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是___________（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是___________； (3)已知点，点，连接．点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得两点为轴距等点，求的最小值． 【答案】(1) (2)①（答案不唯一，满足条件即可）；② (3) 【分析】本题主要考查了新的定义、线段的平移、坐标与图形等知识点，正确理解轴距等点的定义是解题的关键． （1）根据轴距等点的定义逐个判断即可解答； （2）①根据轴距等点即可列出等式，再找一组满足等式的值即可解答；②求出平移后的的坐标，再轴距等点列出等式求解即可； （3）设，可得，且，再根据轴距等点即可列出等式，即可判断出a的最小值． 【详解】（1）解：点两条坐标轴的距离之和为，点到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为． 故点A的轴距等点是． 故答案为：． （2）解：设点E的坐标为， ∵点在第三象限，点E与点为轴距等点， ∴，，，即，满足该等式的值不唯一， 如，，即． ②由①得，， ∴， ∵点与点R为轴距等点， ∴，即， ∴，即， ∴或（不合题意，舍去），得， ∴， ∴． 故答案为． （3）解：设， ∵ ∴，且， ∵两点为轴距等点， ∴， ∴， ∴时，， ∴a的最小值为． 66．如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______； (2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ； (3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意点在轴上，解出值，利用点坐标得到平移向上平移1个单位，向右平移2个单位到线段，进而求出点的坐标； （2）连接，通过割补法计算出的面积，通过等式的性质得到，，进而求值； （3）通过平移至，将四边形面积转化为求面积，当时，可得面积面积最大，进而得到四边形面积最大值． 【详解】（1） 且点在轴上， ， ， 从平移到，即平移向上平移2个单位，向右平移1个单位到线段， ， 即， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作的垂线交于点，连接， ，，，， ， ， ， ， 即， 根据题意， ， ； （3）四边形面积最大值为，理由如下： 平移至，交延长线于，过点作， 则，， ， 当四边形面积最大时，的面积也是最大， 当时，的面积最大， 最大值为， 四边形面积最大值为． 【点睛】本题考查坐标系中的平移的性质及坐标系中计算三角形、四边形面积综合，根据平移的性质准确得到坐标是解题的关键． 67．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）由题意得，，再分点在上和点在的延长线上两种情况解答即可； （）设点，由平移的性质得，过点作轴于，可得，，进而得到，即得到，再根据得，解方程即可求解； 本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，轴于，轴于， ∴，， 由题意得，，， 当点在上，即时，则， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在的延长线上，即时，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的取值范围为或； （3）解：设点，则， ∵，， ∴由平移的性质得，， 过点作轴于，如图， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 68．在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3） 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． （1）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （3）由平移的性质得到，由题意得，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可． 【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴， ∴的长为， 故答案为：4； ②∵轴，点， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （2）∵正方形的边长为4， ∴， ∵的坐标是轴， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为； ∵正方形， ∴， ∵轴， ∴顶点B的坐标为，即； 故答案为：，； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴． 试卷第2页，共69页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $