2.1.3圆的一般方程（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“圆的一般方程”，从圆的标准方程展开，通过问题链引导学生探究展开式特征、方程表示圆的条件及参数影响，构建从“形”到“数”的知识支架，衔接前后内容。 其亮点在于以问题驱动探究，通过配方推理方程成立条件（逻辑推理），设计辨析、变式及轨迹问题（数学运算），对比小结标准与一般方程特征（数学抽象）。学生能提升方程转化与问题解决能力，教师可直接使用分层练习与典例，优化教学效率。

2.1.3圆的一般方程 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：理解圆的一般方程概念及特征，掌握一般方程与标准方程的转化。 教学难点：圆的一般方程中系数满足圆的条件理解，含参数圆的一般方程问题分析。 理解圆的一般方程形式及适用条件； 掌握一般方程与标准方程的互化，能运用方程解决圆的相关问题； 深化数形结合思想，提升代数与几何转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：圆的一般方程概念提炼； 逻辑推理：一般、标准方程转化； 数学运算：方程互化及圆相关计算； 直观想象：一般方程与圆的几何特征关联理解； 数学建模：圆的一般方程模型构建。 新知引入 我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程. 新知探究 我们知道，方程表示以为圆心，为半径的圆.可以将此方程变形为. 问题1：一般地，把展开，会得到怎样的式子？ 二次项 一次项 常数项 结论：任何一个圆的标准方程可以写成下面二元二次方程的形式： 新知探究 思考1：方程一定表示圆吗？ 例：判断下列方程分别表示什么图形？ （1）; （2）； （3）. 圆 点 不存在 问题2：方程中的满足什么条件时，这个方程表示圆？ 新知探究 问题2：方程什么时候表示圆？ 将方程左边配方, 得 (1)当时，方程表示以为圆心，为半径的圆； (2)当时，方程只有实数解，，它表示一个点； (3)当时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形. 新知探究 因此，当时，方程表示一个以为圆心，以为半径的圆. 我们把方程叫做圆的一般方程. 思考2：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 圆的标准方程明确地表达了圆的几何元素，即圆心坐标和半径长(重“形”).圆的一般方程表现出明显的代数形式(重“数”)，圆心和半径长需要代数运算才能得出. 练习巩固 辨析1：判断正误. (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) (2)二元二次方程一定是某个圆的方程.( ) (3)方程表示圆.( ) 【答案】： 辨析2：圆的圆心坐标是( ). A. B. C. D. 【答案】： 练习巩固 辨析3：求下列各圆的圆心坐标和半径: （1）； （2）； （3） 【答案】：（1）圆心坐标为，半径长为； （2）圆心坐标为，半径长为； （3）圆心坐标为，半径长为. 新知探究 问题3：点在圆的一般方程内的条件是什么？在圆外的条件是什么？ A A(a,b) A A(a,b) A A(a,b) 点在圆上 点在圆内 点在圆外 练习巩固 辨析4：判断下列各点与圆的位置关系： (1) 点，圆: ； (2) 点，圆: ； (3) 点，圆: . 【答案】：（1）点在圆内；（2）点在圆外；（3）点在圆上 练习巩固 练习1：若方程表示圆，求： (1)实数的取值范围； (2)圆心坐标和半径. 解：(1)据题意知， 即，解得， 故的取值范围为. (2)将方程写成标准方程为， 故圆心坐标为，半径. 练习巩固 变式1-2：若方程表示的图形是圆,则实数m的取值范围为( ) A.　　　　B. C.　　　　D. 变式1-1：已知，方程表示圆，则圆心坐标为________，半径为________. 【答案】：，. 变式1-3：若圆C:过坐标原点,则实数的值为(　　) A.或　　　 　B.或 C.　　　 　D. 典例精讲 例5：求经过、、三点的圆的方程。 解：设所求圆的方程为 其中是待定常数。 因为点、、在所求圆上，所以有方程组 ，解得 此时，.因此，所求圆的方程为 练习巩固 练习2：求过三点，的圆的方程，并求这个圆圆心坐标和半径. 解：设圆的方程是.① ∵，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①，得到关于的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是. 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是， 半径. 练习巩固 变式2-1：求过，两点，且在轴上截得的线段长为的圆的方程. 解：设圆的方程为，将的坐标分别代入上式， 得，令，得，③ 由已知，其中，是方程③的两根. ∴.④ 联立解得，或 故所求圆的方程为或. 练习巩固 变式2-2：求圆心在直线上，且过点和的圆的一般方程. 解：设所求圆的一般方程为，则圆心为. ∵圆心在直线上，∴. 又∵点和在圆上， ∴. .③ 解③组成的方程组，得. ∴所求圆的一般方程为. 典例精讲 例6：若圆与直线相交于两点，且（其中点为坐标原点）。求的值和圆的方程。 解：由圆的一般方程，知，即 设两个交点的坐标分别为、，它们应满足如下方程组 将②代入①，整理得 因为方程③有两个相异实根和，所以 典例精讲 例6：若圆与直线相交于两点，且（其中点为坐标原点）。求的值和圆的方程。 解： 即的值应满足，此时，满足圆方程的条件。 由根与系数的关系，得，再由方程②，得， 所以， 再由，得，满足条件。 因此，所求圆的方程为 练习巩固 练习3：已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 解：设点的坐标是，点的坐标是.由于点的坐标 是，且是线段的中点，所以 于是有，. ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的 方程，即. ② 把①代入②， 得，整理，得. 这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为的圆. 练习巩固 变式3-1：求圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 解：（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则. 又，所以， 所以直线的方程为，即. 由得圆心， 则半径， 所以圆的方程为. 练习巩固 变式3-1：求圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 解：（2）设 ∵点的坐标为，∴即 又点在圆上运动， ∴，即. 整理得. 即所求线段的中点的轨迹方程为. . 练习巩固 变式3-2：点是圆上的定点，点是圆内一点，为圆上的动点. (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)若，求线段的中点的轨迹方程. 解：(1)设线段的中点为，由中点公式得点坐标为. ∵点在圆上，∴， 故线段的中点的轨迹方程为. (2)设线段的中点为，在中，. 设为坐标原点，连接，则， ∴， ∴， 故线段的中点的轨迹方程为. 小结 标准方程 一般方程 方程 代数特征 系数 圆心 半径 平方和 特殊的二元二次方程 （a,b） r 我们把方程叫做圆的一般方程. 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $