第17期 15.4 等腰三角形-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

4 素养·拓展 数理极 题型空回中 策略1：三边相等的 巧用30角妙解题 三角形是等边三角形 例1 如图1， △ABC是等边三角形，分 ©湖南 陆虹 别延长AB至点F,BC至 “在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 因为CH⊥BE,∠CBE=30°，所以BC= 那么它所对的直角边等于斜边的一半”，这是解2CH. 点D,CA至点E,使AF= 河 3AB,BD 3BC,CE 含30°角的直角三角形中线段问题的常用定理， 所以AB=4CH. 这个定理可以将特殊直角三角形中的角度关系 因为∠CMH=∠DMB=45°，所以∠MCH 3CA.求证：△DEF是等陈 转化到边的等量关系上.遇到30°角时，常用的方 边三角形 =45. 法为直接应用或添加辅助线，其中添加辅助线就 所以CH=MH. 是构造含30°角的直角三角形，现举例说明， 所以AB=4MH 策略 一、直接应用30°角求解 二、构造含30°角的直角三角形后求解 判定等边三角形 例1如图1，在Rt△ACB 例2如图2，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30 是等边三角形，点E是AC ∠ABC的平分线BE交AC于点E 的中点，过点E作EF⊥AB 证明：因为△ABC 点D为AB上一点，且AD=AC 于点F,延长BC交EF的反 是等边三角形， CD交BE于点M. 向延长线于点D.若EF= 所以∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB (1)求∠DMB的度数： 图1 1,则DF的长为 BC CA. (2)若CH⊥BE于点H,求证：AB=4MH. A.2B.2.5 C.3 D.3.5 所以180°-∠BAC=180°-∠ABC= 分析：(1)根据角平分线的定义得到∠ABE 分析：连接BE,由等边三角形的性质可求 180°-∠ACB,即∠EAF=∠FBD=∠DCE= =∠CBE=30°，根据等腰三角形的性质得到得∠ABC的度数，根据等边三角形的“三线合 120. ∠ACD=∠ADC=75°，根据三角形外角的性质 一”可求得∠ABE和∠CBE的度数，结合直角 因为AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA, 计算即可； 三角形的性质可求∠D的度数及BE的长，由 所以AF=BD=CE,AE=BF=CD. (2)根据含30°角的直角三角形的性质、等“等角对等边”可求得ED的长，进而可求解 所以△AEF≌△BFD≌△CDE. 腰直角三角形的性质计算即可得证 解：连接BE,如图2 所以EF=FD=DE. 解：(1)因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以 因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC= 所以△DEF是等边三角形 ∠ABC=60° 60°. 策略2：三个角都相等的三角形是等边三 因为BE是∠ABC的平分线，所以∠ABE= 因为E为AC的中点，所以∠ABE=∠CBE 角形 ∠CBE=30°. =30°. 例2如图2，四边形 因为∠A=30°，AC=AD,所以∠ACD= 因为EF⊥AB,EF=1,所以∠D=90°- ABCD中，AB∥DC,DB平 ∠ADC=75° ∠ABC=30°，BE=2EF=2. 分∠ADC,∠A=60°.求 所以∠DMB=∠ADC-∠ABE=45° 所以ED=BE=2. 证：△ABD是等边三角形. (2)因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以AB 所以DF=ED+EF=3. 证明：因为AB∥DC =2BC. 故选C. ∠A=60°， 十十十w十十十w十 所以∠ABD=∠CDB,∠ADC=180° 第16期2版参考答案 因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, ∠A=120°. 15.2线段的垂直平分线 所以PA=PQ=PD. 基础训练1.A;2.D;3.5;4.15, 第16期3版参考答案 因为DB平分∠ADC, 5.图略. 题号12345678 所以∠ADB=∠CDB= 6.PQ的长为2. 2∠ADC=600 答案C DB C D BB B 7.∠D0F的度数为49° 所以∠A=∠ADB=∠ABD=60, 8.(1)线段BC的长为8cm. 二、9.3；10.26；11.10；12.24 所以△ABD是等边三角形. (2)因为L,是AB边的垂直平分线，所以OA 三、13.图略. 策略3：有一个角是60°的等腰三角形是等 =OB.因为l2是AC边的垂直平分线，所以OA= 14.设PA交直线1于点C,连接BC,图略. 边三角形 OC.所以OB=OC.所以点O在线段BC的垂直 因为直线1是线段AB的垂直平分线， 平分线上 例3如图3，在△ABC 所以CA=CB. (3)线段OA的长为5cm 中，∠ACB=90°，过点A沿 所以PA=CA+CP=CB+CP>PB. 15.3角的平分线 15.(1)因为EF垂直平分AC,所以AE= 直线AE折叠这个三角形，使 基础训练1.B;2.D;3.C;4.A; EC.因为AD⊥BC,BD=DE,所以△ABD≌ 点C落在AB边上的点D处， 5.117°；6.3或5；7.12. △AED.所以AB=AE.所以AB=EC. 连接DC,DE.若AE=BE,求证：△ADC是等边 8.过点0作OM1AB于点M,图略. 三角形. 因为BD是△ABC的一条角平分线，OM⊥ (2)DC的长为5.5cm 16.(1)∠MAB的度数为33 AB,OE⊥BC, 证明：根据折叠的性质，得AC=AD, (2)由作法知AM平分∠CAB,所以∠CAM 所以OE=OM ∠CAE=∠DAE. 由题意知OE=OF,OF1AC, =∠MAB.因为AB∥CD,所以LMAB= ∠CMA.所以∠CAM=∠CMA.因为CN⊥AM, 因为AE=BE,所以∠B=∠DAE= 所以OM=OF. ∠CAE. 所以点O在∠BAC的平分线上 所以∠ANC=∠MNC.在△ACN和△MCN中， 9.过点P作PQ⊥BC于点Q,图略， r∠CAN=∠CMN, 因为∠ACB=90°， 所以∠B+∠CAB=3∠B=90° 因为AD⊥CD,所以∠ADC=90° 因为 ∠ANC=∠MNC,所以△ACN兰 因为AB∥CD, CNCN, 解得∠B=30° 所以∠BAD=180°-∠ADC=90°.所以 △MCN. 所以∠CAB=60° AD⊥AB. (下转1,4版中缝) 所以△ADC是等边三角形 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话， 数评橘 2025年10月22日·星期三 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 第 17期总第1161期 沪科 0351-5271248 八年级(AH】 上接4版参考答案 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 17.(1)连接 PA,PB,PC,图略 品味方法 因为PE垂直平分 等腰分类 巧解答 本进 AB,PM垂直平分 AC,所以PA=PB 15.4等腰三角形 PA=PC.所以PB 学习目标：1.掌握并会运用等腰三角形的性 ©广东 蒋卫山 =PC.所以点P在 质定理及判定定理 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三 解：由于给出的边长没有指明是底边还是 线段BC的垂直平分 角形，同学们在求解有关等腰三角形的多解问 腰，所以要分两种情况进行讨论 2.掌握并会运用等边三角形的性质定理及 线上. 判定定理」 (2)由(1)知 题时，一定要注意对等腰三角形进行分类讨论， (1)当10cm是腰长时，则底边长为5cm, 现举例说明如下 满足三角形的三边关系，所以它的周长为：10+ 3.运用“在直角三角形中，30°角所对的直 PA=PB=PC,所 以∠PAB=∠PBA 一、角不确定，按顶角和底角分类 10+5=25(cm); 角边等于斜边的一半”解题。 LPBF=LPCN.因 例1已知等腰三角形的一个角等于70°， (2)当5cm是腰长时，则底边长为10cm 认知重点：熟练等腰三角形和等边三角形 为PE垂直平分AB 求另外两个角的度数. 不满足三角形的三边关系，不能构成三角形 性质定理和判定定理的应用 所以FA=FB.所以 解：由于70°的角没有指明是底角还是顶 故选B. ∠FAB=∠FBA.所 三、高不确定，按高的位置分类 角，所以要分两种情况进行讨论 以∠PAF=∠PBF (1)当底角是70°时，等腰三角形的另外两 例3等腰三角形一腰上的高与另一腰的 同理可得∠PAW 夹角为46°，则该等腰三角形的一个底角的度数 个角的度数分别为70°和180°-70°×2=40°； ∠PCN.所以∠PAF 为 =∠PAW,即AP平 (2)当顶角是70°时，等腰三角形的另外两 解：由于本题没有给出图形，也没有指明腰 分∠FAN 个角的度数均为：7×(180-70）=50 (2)当腰上的高在等腰三角形的外部时，如 上的高是在三角形的内部，还是在三角形的外 图2 (3)∠EPN的 部，所以需分两种情况进行讨论， 因为∠ADB=90°，∠ABD=46° 度数为80。-a 因此，等腰三角形的另外两个角的度数分 (1)当腰上的高在等腰三角形的内部时，如 2 别为70°，40°或55°，55° 所以∠BAD=90°-∠ABD=44° 图1. 附加题 二、边不确定，按腰和底边分类 因为∠BAD=LABC+∠C, 因为∠ADB=90°，∠ABD=46°， (1)∠BPD的 例2已知等腰三角形的一边长为10cm, 所以∠A=90°-∠ABD=44° 所以∠AC=∠C-)∠BMD=2 度数为60°. 另一边长为5cm,则它的周长为 (2)过点A作 A.20 cm B.25 cm 所以∠ABC=∠C= 分180-∠) 综上，该等腰三角形的一个底角的度数为 68°或22. BD,DP的垂线，垂 C.20cm或25cm D.18 cm 故填68°或22 足分别为G,F,图 略.因为∠APC= 课堂在线 ∠BDE=∠CDF ∠APD,所以AH= 在△BED和△CFD中， BD CD. AF.因为∠BDP= L∠B=∠DCF, 30°，∠BPD=60° 直击“三线合一 所以△BED≌△CFD(ASA) 所以∠DBP=90° 因为∠ABC=45° O安徽刘泽梦 所以BE=CF 所以∠GBA “三线合一”是等腰三角形所特有的性质，DE=2.5,则BF= 例3如图4，在 ∠DBP-∠ABC= 即等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线 解：因为AB=AC,AD⊥ △ABC中，AB=AC, 45°=∠CBA.所以 重合 BC,所以BD=CD. ∠BAC=100°，中线 AG=AH.所以AG= 该性质其实包括以下三方面的内容： 所以SAARG=2SABD= AD与角平分线BE相 AF.所以点A在 如图1，在△ABC中，AB ∠GDP的平分线上 =AC,D是BC上的一点. 2×AB·DE=2.5MB 交于点F,求∠AFE的 度数 因为∠BDP=30° (1)若AD是等腰 解：因为AB=AC,∠BAC=100°，AD是 所以∠GDP 又因为S△Bc= AC·BF,所以AC·BF △ABC底边BC上的中线，那 150°.所以∠ADP= 么AD是顶角∠BAC的平分 =2.5AB △BC的中线，所以∠ABC=∠C=(180- 1∠GDP=75.因 线，也是底边BC上的高， 因为AC=AB,所以月 BF=2.5 BAC)=40°，LBAD=7∠BAC=50P 为点C关于直线PA (2)若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平 的对称点为D,所以 分线，那么AD是底边BC上的中线，也是底边 所以BF=5 因为BE是△ABC的角平分线，所以∠ABE ∠C=∠ADP= BC上的高. 故填5， 例2如图3，在△ABC中，AB 2∠ABC=20 75°.因为AH为 (3)若AD是等腰△ABC底边BC上的高， △APC的高，所以 那么AD是顶角∠BAC的平分线，也是底边BC =AC,AD是∠BAC的平分线，交 所以∠AFE=∠ABE+∠BAD=709 ∠AHC=90°.所以 上的中线 BC于点D,点E是AB上一点，作 ∠CAH=90°-∠C “三线合一”的性质给我们提供了说明角相∠DCF=∠ACB,交ED延长线于 热身练习 =15°.所以∠BAP 等、直线垂直、线段相等的新思路和新方法.在点F.求证：BE=CF =∠CAH. (全文完) 解答一些与图形有关的问题时，要注意灵活运 证明：因为AB=AC,AD是 如图5，在△ABC中 用它，下面举例来说明这一性质的重要应用 ∠BAC的平分线，所以∠B= AB=AC,AD是BC边上 例1如图2，在△ABC中，AB=AC,AD⊥ ∠ACB,BD=CD 的中线.已知∠BAD= B BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F.若 因为∠DCF=∠ACB,所以∠DCF=∠B. 60°，则∠C= 2 素养专练 数理极 15.4.2等边三角形的性质 (1)若∠BAC=52°，求∠FBC的度数： 跟踪训练 (2)求证：BF=AB. 垦础训练 GENZONGXUNLIAN 1.如图1，在等边三角形ABC中，AD是BC边 15.4等腰三角形 上的中线，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则 15.4.1等腰三角形的性质 ∠AEB的度数为 X A.105 B.120 C.1359 D.140 垦础训练 1.等腰三角形的顶角为50°，则该三角形的底 角为 () A.75°B.70°C.65° D.60° 2.如图1，在△ABC中，AB=AC=10,AD是 图1 图2 BC边上的高，若BD=8,则BC的长为() 2.如图2，直线1∥m,等边△ABC的顶点B, 15.4.4等边三角形的判定 A.8 B.12 C.16 D.18 C分别在1，m上.若∠1=20°，则∠2的度数为 垦出训练 A.70° B.40 1.如图1，一场暴雨过 C.30° D.20 后，垂直于地面的一棵树在距 + 3.如图3，在等边三角形ABC 地面3m处折断，树顶B恰好 中，BD⊥AC,BF=BD,则∠CDF 碰到地面.经测量，∠ABC= 3.若等腰三角形的一边长为3cm,周长为的度数是 30°，则树高为 15cm,则此等腰三角形的底边长为 A.6 m B.9 m C.10mD.12m 4.如图4，△ABC是等边三角 4.如图2，在△ABC中，BD平分∠ABC,BC的形，CD是中线，过点B作BE∥CD, 2.如图2，将含30°的直角三角板直角顶点C 图 垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.交AC的延长线于点E. 放置在直尺的一边上，AC,AB与直尺的交点分别 若∠A=50°，∠ABD=30°，则∠ACF的度数为 (1)求∠E的度数； 为点E,F,D.若点E,F对应的刻度分别为2cm, (2)求证：BC是△ABE的中线， 6cm,∠ACD=60°，则AE的长是 5.如图3，在△ABC中，AB=AC,点D为BC A.2 cm B.4 cm 边的中点，连接AD,E为AD上一点，连接BE.若 C.5 cm D.6 cm ∠ABE=25°，BE=AE,求∠BAC的度数. 图2 图3 3.如图3，已知射线OM,以点0为圆心，任意 长为半径作弧，与射线OM交于点A,再以点A为 圆心，A0为半径作弧，两弧交于点B,作射线OB, 15.4.3等腰三角形的判定 过点B作BD⊥OA于点D,那么∠OBD的度数是 屋础训练 4.某数学社团的小欢同学画了一个等边 1.为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆 △ABC,并在AC边上取了一定点E(不与顶点重 般与桥面呈三角形结构，如图1是桥面上两条 合). 绳索AB,AC与桥面BC的示意图，已知∠ABC= (1)请在图4中求作等边三角形CEF,使点F ∠ACB,AB=6m,则AC的长度为 ( 能刀提高 在BC边上（尺规作图，保留作图痕迹）； A.3 m B.5 m C.6m D.8 m (2)如图5，点D为BC边上任意一点，连接 6.如图4，在△ABC中，AC=BC,点D在线段 DE,以DE为边在其右侧作等边△DEF,连接CF, AC上，点E在AC左侧，连接BD,CE,AE,BD=CE 请写出线段CF,CD,CE之间的数量关系，并说明 且∠ADB=∠BCE,延长BD交AE于点F 理由 (1)求证：AE=CD: 图1 (2)若∠FAB=107°，求∠ACB的度数 2.如图2，∠AOB的两边OA,OB均为平面反 光镜，一束光线从OB上的C点射出，经OA上的D 点反射后，反射光线DE恰好与OB平行，已知 ∠ADE=∠ODC,OC=10,则光线CD的长度是 ( A.8 B.10 C.15 D.20 3.如图3，在△ABC中，AB=AC =8,E,M,F分别是AB,BC,AC上的 点，并且ME∥AC,MF∥AB,则四边 形MEAF的周长是 B 4.如图4，在等腰△ABC中，AB M 图3 =AC,AD为中线，延长DC至点E,使 DE=AD,连接AE,过点B作AC的垂线，垂足为 数理报社试题研究中心 G,交AE于点F + (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 16.(12分)在△ACD中，∠CAD=60°，P是 同步检测 CD的中点，B是AD延长线上的一点，连接BC, AP,已知BD=AC. (1)如图14，若∠ACB=90°，试判断AP与 TONGBUJIANCE CD的位置关系； 【检测范围：15.4】 (2)如图15，过点D作DE∥AC,交AP延长 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 的几何性质是 线于点E,试说明：BC=2AP. 题号12 345 6 8 10.如图8，△ABC是等边三角形，BC=BD, ∠CBD=90°，则∠1= 答案 1.等腰三角形的一个底角为40°，则其顶角的 度数是 ( A.40° B.80° C.100° D.120° 2.如图1，在等边△ABC中，点D在AB上，若 图8 图9 ∠ADC=75°，则∠BCD的度数为 ( 11.如图9，在△ABC中，BC=AC,∠B=35°， A.15° B.20° C.25 D.30° ∠ECM=15°，AF⊥CM.若AF=2.5,则AB的长 为 /50 12.如图10，Rt△ABC中，A, ∠ACB=90°，∠ABC=30°， 680° AC=6,D是线段AB上一个动 图1 图2 3.如图2，一张三角形纸片被不小心撕掉一个 点，以BD为边在△ABC外作C 17.(14分)截长补短法是初中几何题中一种 图10 添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的 角，则这个三角形是 等边△BDE.若F是DE的中 种策略 A.直角三角形 B.钝角三角形 点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 【方法初探】(1)如图16，在△ABC中，AD1 C.等边三角形 D.等腰三角形 三、耐心解一解（共52分） BC于点D,CD=BD+AB.求证：∠B=2∠C. 4.如图3，△ABC 13.(8分)如图11，AD是等腰三角形ABC的 解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决 中，∠C=90°，AC=4 底边BC上的高，DE∥AB,交AC于点E. 该问题，在CD上截取DE=DB,连接AE,如图16 ∠B=30°，点P是BC边 (1)求证：EA=ED; 从而证明出结论.请写出证明过程. 上的动点，则AP长不可 ch 30P (2)求证：AE=CE. 【方法应用】(2)如图17，在等腰直角三角形 能是 图3 ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点 A.4.2 B.5.7 C.7 D.8.5 D.求证：AC=AB+BD, 5.在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，D是 1 BC的中点.若AD=2,则AB的长为 ( A.2 B.4 C.6 D.8 6.如图4，点P在∠A0B内，0P与0C关于0A 对称，OP与OD关于OB对称，若CD=OP,则 ∠AOB的度数是 () A.10° B.159 C.309 D.459 14.(8分)如图12，D,E分别是等边三角形 ABC的边AB,AC上的点，且AD=CE. (1)求证：BE=CD; (2)求∠BPD的度数 图4 图5 7.如图5，在△ABC中，点D为AC的中点，点 附加题⊙ E是AC下方一点，连接BE,CE,BD平分∠ABE, (以下试题供各地根据实际情况选用) CE∥AB.若CE=3,BE=7,则AB的长为 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E. A.11B.10 C.9 D.8 (1)如图1，连接EC,求证：△EBC是等边三角 8.如图6，△ABC是等边三 形； 角形，D是线段BC上一点（不与 15.(10分)如图13，△ABC中，AB=AC,点D (2)如图2，点M是线段CD上的一点（不与点 点B,C重合)，连接AD,点E,F 分别在线段AB,AC的延长线上， 在边BC的延长线上，点E在边AC上，且DE=BEC,D重合)），以BM为一边，在BM下方作LBMG= =AE,延长线段DE交边AB于点F. 60°，MG交DE延长线于点G.试探究MD,DG与AD 且DE=DF=AD,点D从B运 隆图6 (1)求证：△AEF是等腰三角形； 之间的数量关系，并说明理由· 动到C的过程中，△BED周长的变化规律是 (2)若△BEF是等腰三角形，求∠A的度数 A.不变 B.一直变小 C.先变大后变小D.先变小后变大 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 9.如图7，工匠们用这个工具 检测屋梁是否水平.当重垂线经过 等腰三角尺底边的中点时，可以确 定三角形的底边与梁是水平的，否 数理报社试题研究中心 则梁就不是水平的，这样测量利用 图7 (参考答案见下期)八年级数学沪科(AH) 第14~18期 发理极 答案详解 2025~2026学年 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 第14期综合测评卷 20.(1)因为∠ABD=∠CBE,所以∠ABD+∠DBC= ∠CBE+∠DBC,即∠ABC=∠DBE=90°.在△ABC和△DBE 题号1 2345678910 r∠ABC=∠DBE, 答案CBD AAC DD C D 中，因为AB=DB, 所以△ABC≌△DBE(ASA). 二、11.4；12.70°；13.28；14.=2β；15.①②③. I∠BAC=∠BDE, 三、16.因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= (2)过点A作AM⊥BD于点M,图略.所以∠AMB=90° AB DE. =∠EBD.因为F是AE的中点，所以AF=EF,由对顶角相等， EF.在△ABC和△DEF中，因为 AC=DF,所以△ABC≌ 得∠AFM=∠EFB.在△AFM和△EFB中，因为 BC EF, ∠AMF=∠EBF, △DEF(SSS).所以∠B=∠DEF=65°.又因为∠A=88°，所 ∠AFM=∠EFB,所以△AFM≌△EFB(AAS).所以AM= 以∠ACF=∠A+∠B=153°. AF EF 17.根据题意，得∠OAB=∠C=90°.在△AOB和△COD EB=BC,MF=BF.所以BM=2BF.因为∠DBC+∠ABF= AB CD. 90°，∠ABF+∠BAM=90°，所以∠DBC=∠BAM.在△ABM 中，因为 ∠OAB=∠C,所以△AOB≌△COD(SAS).所以 AB BD. A0=C0. 和△BDC中，因为 ∠AOB=∠COD.所以点D,O,B三点共线，即钻头正好从点B ∠BAM=∠DBC,所以△ABM≌ 处打出. AM BC, 18.如图1，过点D作DH⊥BC于点 D △BDC(SAS).以BM=CD.所以CD=2BF H.所以∠EHD=90°.因为DE⊥AC,所 21.(I)因为EF⊥AC,AD⊥AE,所以∠AFE=∠EAD= 以∠AFD=90°.因为∠BAC=90°，所 ∠ACB=90°所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAF= 以AB∥DE.所以∠B=∠DEH.在 90°.所以∠ADC=∠EAF.在△AFE和△DCA中，因为 △ABC和△HED中，因为 B r∠AFE=∠DCA, r∠BAC=∠EHD, 图 ∠EAF=∠ADC,所以△AFE≌△DCA(AAS).所以AC= ∠B=∠DEH,所以△ABC≌ EA AD. BC ED, △HED(AAS).所以HD=AC=4.因为SACE=6,所以 EF=3,AF=DC=1.所以CF=AC-AF=2. (2)如图2，过点E作EM⊥AP,交AP的延长线于点M因 2CBH0=6所以CB=3 为EM⊥AP,AD⊥AE,所以∠AME=∠EAD=∠ACB=90°. 19.(1)因为点O是线段AB的中点，所以OA=OB.因为 所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAM=90°.所以 AC=AO,BD=BO,所以AC=BD.因为CE⊥AB,DF⊥AB, ∠EAM=∠ADC.在△AME和△DCA中，因为 所以∠CEA=∠DFB=90°.在Rt△AEC和Rt△BFD中， ∠AME=∠DCA, [AC=BD,所以Rt△AEC≌R△BFD(HL).所以∠A=∠B. ∠EAM=∠ADC,所以△AME≌△DCA(AAS).所以EM= LCE DF. AE DA. (2)由(1)得∠CE0=∠DF0=90°.因为Rt△AEC≌ Rt△BFD,所以AE=BF.因为OA=OB,所以OA-AE=OB- AC.因为BC=AC,所以BC=ME.在△BCP和△EMP中，因为 BF,即OE=OF.在△CEO和△DFO中，因为 r∠BPC=∠EPM, CE DF. ∠BCP=∠EMP,所以△BCP≌△EMP(AAS).所以BP= ∠CE0=∠DFO,所以△CEO≌△DFO(SAS) BC EM, OE =OF, EP.所以BE=2BP 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 6.图略. 7.(1)图略. (2)(-a,b). (3)△ABC的面积为6. 能力提高8.B. 图2 图3 9.(1)(3,2) (3)如图3，过点E作EN⊥AP,交AP的延长线于点N.因 (2)点A,B沿x轴翻折后的对应点的坐标分别为C(-1, 为DB=2,BC=4,所以CD=DB+BC=6.因为EN⊥AP, -1),D(-4,-1) AD⊥AE,所以∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°.所以∠DAC 点C,D沿直线m翻折后的对应点的坐标分别为(3，-1)， +∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°.所以∠ADC=∠EAN. (6,-1) ∠ANE=∠DCA, 所以点A,B的<x轴，m>伴随图形点A',B的坐标分别 在△AWE和△DCA中，因为 ∠EAN=∠ADC,所以△ANE≌ 为(3，-1)，(6，-1). EA AD. 第15期3版 △DCA(AAS).所以EN=AC,AN=CD=6.所以CW=AN- AC=2.因为AC=CB,所以BC=NE.在△BCP和△ENP中， 题号12345678 r∠BPC=∠EPW, 答案ACBBBCAC 因为{∠BCP=∠ENP,所以△BCP≌△ENP(AAS).所以BP 二、9.①：10.(5.5,4)；11.45°；12.10°或70° BC EN. 三、13.(1)图略；(4,0)，(-1，-4)，（-3，-1). =EP,CP=PN=L.所以AP=AC+CP=5.所以S△E= 2S△BP=AP·BC=20. (2)△4BC的面积为：号×(3+4)×7-子×2x3- 第15期2版 ×5×4=11.5. 15.1轴对称图形 14.因为△ABE关于直线AE的对称图形是△AFE,所以 15.1.1轴对称 ∠AEB=∠AEF,∠B=∠AFE.因为∠B=∠D,所以∠AFE 基础训练1.C；2.B;3.1;4.10;5.18°； =∠D.所以EF∥CD.所以∠BEF=∠C=72°.所以∠AEB 6.①②③；7.4. =子∠BBF=360 8.图略。 15.(1)E;F;G;H;EH;EF;GH;∠GFE;∠EHG. 9.(I)因为△ABC中点A,B,C关于直线MW的对称点分 (2)图略.AE∥BF,理由：对应点的连线互相平行或共线， 别为点A',B,C',AC=8cm, 这里不共线，所以平行 所以BC=B'C',A'C'=AC=8cm. (3)对称轴MW垂直平分AE.理由：对称轴垂直平分对称 因为A'C=12cm, 点的连线。 所以△A'B'C的周长为：A'B'+B'C'+A'C=A'C+AC= 16.(1)图略 12+8=20(cm) (2)因为点D关于直线AB的对称点是E,所以∠DAB= (2)图略 ∠EAB,∠D=∠AEB. 根据轴对称的性质，得∠A'=∠A=90° 因为∠DAB=∠ABC,所以∠BAE=∠ABC.所以AE∥ 所以△ACC的面积为：AC·ArC=48cm. BC. 10.(1)因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，所以 所以∠AEB+∠EBC=180°.所以∠D+∠EBC=180° △ACF和△ADF关于直线AE对称.所以∠ACD=∠ADC.因为 17.(1)∠1+∠2=2∠A.理由如下： 由折叠性质，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED.所以 ∠C4B=36°，所以∠ADC=(180°-∠CAB)=72 ∠1+∠2=180°-∠ADE-∠A'DE+180°-∠AED-∠A'ED (2)因为∠CAB=36°，∠B=48°，所以∠ACB=180°- =360°-2（∠ADE+∠AED)=360°-2(180°-∠A)=2∠A. ∠B-∠CAB=96°.因为△ACE和△ADE关于直线AE对称， (2)猜想：∠1-∠2=2∠A.证明如下： 所以∠ADE=∠ACE=96°.所以∠DEB=∠ADE-∠B= 由折叠性质，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED.所以 48°. ∠1-∠2=180°-∠ADE-∠A'DE-(∠A'ED-∠DEB)= 15.1.2画轴对称图形 180°-2∠ADE-∠A'ED+∠DEB=180°-2∠ADE-∠AED 基础训练1.B;2.B;3.B;4.上，5；5.4. +∠A+∠ADE=2∠A. 2 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 附加题(1)因为A(2,-5)向左平移5个单位长度后的 因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°. 坐标为(-3，-5)，(-3，-5)关于y轴的对称点的坐标为(3， 因为AB∥CD, -5),(3,-5)与A1不重合，所以点A(2,-5)不是不动点； 所以∠BAD=180°-∠ADC=90°.所以AD⊥AB. 因为A2(2.5,0)向左平移5个单位长度后的坐标为 因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, (-2.5,0),(-2.5,0)关于y轴的对称点的坐标为(2.5,0)， 所以PA=PQ=PD. (2.5,0)与A2重合，所以A2(2.5,0)是不动点. 第16期3版 (2)点A(a,3)向左平移5个单位长度后的坐标为(a-5, 3),(a-5,3)关于y轴的对称点的坐标为(5-a,3).因为点 题号 2 345678 A(a,3)为不动点，所以a=5-a.解得a=2.5. 第16期2版 15.2线段的垂直平分线 二9.3；10.26；11.10：1224 5 基础训练1.A;2.D;3.5;4.15. 三、13.图略 5.图略. 14.设PA交直线l于点C,连接BC,图略. 6.因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC,所以AP=PB, 因为直线I是线段AB的垂直平分线， AQ=CQ.因为△APQ的周长为12，所以AQ+PQ+AP=12. 所以CA=CB. 所以CQ+PQ+PB=BC+2PQ=12.因为BC=8,所以PQ 所以PA=CA+CP=CB+CP>PB. =2. 15.(1)因为EF垂直平分AC,所以AE=EC.因为AD⊥ 7.连接OA,OC,图略. BC,BD=DE,所以△ABD≌△AED.所以AB=AE.所以AB= 因为OE,OF分别是AC,BD的垂直平分线， EC. 所以OA=OC,0B=OD,∠DF0=90°. (2)因为△ABC的周长为20cm,AC=9cm,所以AB+BC .AB CD =11cm.因为AB=EC,BD=DE,所以DC=DE+EC= 在△AB0和△CD0中，因为{OA=OC, 5.5cm. -OB OD. 16.(1)因为AB∥CD,所以∠ACD+∠CAB=180°.因为 所以△AB0≌△CDO(SSS). ∠ACD=114°，所以∠CAB=66°.由作法知，AM是∠CAB的 所以∠AB0=∠CD0=79° 因为∠CDB=38°， 平分线所以∠MAB=之∠C1B=33 所以∠ODF=∠CD0-∠CDB=41°. (2)由作法知AM平分∠CAB,所以∠CAM=∠MAB.因 所以∠D0F=90°-∠0DF=49°. 为AB∥CD,所以∠MAB=∠CMA.所以∠CAM=∠CMA.因 8.(1)因为1是AB边的垂直平分线，所以DA=DB.因为 为CN⊥AM,所以∠ANC=∠MNC.在△ACN和△MCW中，因 l2是AC边的垂直平分线，所以EA=EC.因为△ADE的周长为 r∠CAW=∠CMWN, 8cm,所以BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=8cm. 为{∠AWC=∠MWC,所以△ACN≌△MCN. (2)因为41是AB边的垂直平分线，所以OA=OB.因为2 LCN CN, 是AC边的垂直平分线，所以OA=OC.所以OB=OC.所以点 17.(1)如图4，连接 O在线段BC的垂直平分线上. PA,PB,PC.因为PE垂直平 (3)因为△OBC的周长为18cm,BC=8cm,所以OB= 分AB,PM垂直平分AC,所以 0C=5cm.所以0A=5cm. PA=PB,PA=PC.所以PB 15.3角的平分线 =PC.所以点P在线段BC的 基础训练1B;2.D;3.C；4.A; 垂直平分线上 图4 5.117°；6.3或5；7.12. (2)如图4，由(1)知PA=PB=PC,所以∠PAB= 8.过点O作OM⊥AB于点M,图略. ∠PBA,∠PBF=∠PCN.因为PE垂直平分AB,所以FA=FB. 因为BD是△ABC的一条角平分线，OM⊥AB,OE⊥BC, 所以∠FAB=∠FBA.所以∠PAF=∠PBF.同理可得∠PAW 所以OE=OM. =∠PCN.所以∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN. 由题意知OE=OF,OF⊥AC, (3)因为PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,所以FA= 所以OM=OF FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=90°.设∠B=x°，∠C=y 所以点O在∠BAC的平分线上 所以∠B=x°=∠BAF,∠C=y°=∠CAN.在△ABC中，因 9.过点P作PQ⊥BC于点Q,图略. 为∠B+∠C+∠CAB=180°，∠FAN=a,所以x°+y°+x°+ -3 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 y+a=180,即l1809-=x°+y AC=BC.所以AC=CE.所以BC是△ABE的中线. 2 15.4.3等腰三角形的判定 在四边形AEPM中，因为∠AEP+∠AMP+∠EAM+ 基础训练1.C；2.B;3.16 ∠FPW=360°，所以∠FPV=360°-90°-90°-(x°+y°+ 4.(1)因为△ABC是等腰三角形，∠BAC=52°，所以 a）=180°-(1809=a+a)=1809-g 2 2 ∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)=64因为BG1AC, 附加题(1)因为∠PAB=15°，∠ABC=45°，所以 1 所以∠BGC=90°.所以∠FBC=90°-∠ACB=26°. ∠APC=∠PAB+∠ABC=60°.因为点C关于直线PA的对称 (2)因为AB=AC,AD为中线， 点为D,所以∠APC=∠APD=60°.所以∠BPD=180°- 所以∠BAD=∠CAD,AD⊥BC.所以∠ADC=90. ∠APC-∠APD=60°. 所以∠DAC+∠DCA=90°. (2)如图5，过点A作BD,DP的垂线，G 因为∠GBC+∠GCB=90°，所以∠GBC=∠DAC= 垂足分别为G,F.因为∠APC=∠APD,所 ∠DAB. 以AH=AF.因为∠BDP=30°，∠BPD= 因为DE=DA,所以∠DAE=∠DEA.所以∠AFB= 60°，所以∠DBP=90°.因为∠ABC= ∠CBG+∠DEA=∠DAB+∠DAE=∠BAF.所以BF=AB. 45°，所以∠GBA=∠DBP-∠ABC=45° 图5 15.4.4等边三角形的判定 =∠CBA.所以AG=AH.所以AG=AF.所以点A在∠GDP的 基础训练1.B;2.B;3.30° 平分线上.因为∠BDP=30°，所以∠GDP=150°.所以∠ADP 4.(1)如图6，等边三角形CEF即为所求。 =号∠GDP=75因为点C关于直线PA的对称点为D,所以 ∠C=∠ADP=75°.因为AH为△APC的高，所以∠AHC= 90°.所以∠CAH=90°-∠C=15°.所以∠BAP=∠CAH. 第17期2版 15.4等腰三角形 图6 图7 15.4.1等腰三角形的性质 (2)CD=CE+CF.理由如下： 基础训练1.C；2.C;3.3cm;4.40° 如图7，在CD上截取CH=CE,连接EH.因为△ABC是等 5.因为BE=AE,∠ABE=25°，所以∠BAD=∠ABE= 边三角形，所以∠ACB=60°.所以△ECH为等边三角形.所以 25°.因为AB=AC,点D为BC边的中点，所以∠BAC= EC=EH=CH,∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形，所以 2∠BAD=50°. EF=ED,∠FED=6O°.所以∠CEH-∠FEH=∠FED- 能力提高6.(1)因为∠ADB=∠BCD+∠DBC,∠BCE ∠FEH,即∠CEF=∠HED =∠BCD+∠ECA,∠ADB=∠BCE,所以∠ECA=∠DBC. EF ED. AC CB 在△CEF和△HED中，因为 ∠CEF=∠HED,所以 在△ECA和△DBC中，因为 ∠ECA=∠DBC, EC EH, CE BD. △CEF≌△HED(SAS). 所以△ECA≌△DBC(SAS).所以AE=CD. 所以CF=HD.因为CD=CH+HD,所以CD=CE+CF (2)因为△ECA≌△DBC,所以∠EAC=∠DCB.又因为 第17期3版 ∠FAB=∠EAC+∠CAB=1O7°，所以∠DCB+∠CAB= 107°.所以∠ABC=180°-（∠DCB+∠CAB)=73°.因为AC 题号12345678 =BC,所以∠BAC=∠ABC=73°.所以∠ACB=180°- 答案CADDBCB D ∠BAC-∠ABC=34°. 二、9.等腰三角形的“三线合一”；1075°；11.5； 15.4.2等边三角形的性质 基础训练1.C;2.B;3.15 12.18. 4.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°.因为 三、13.(1)因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， 所以∠BAD=∠CAD.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD.所 CD是△ABC的中线，所以∠BCD=∠ACD=∠ACB=30 以∠DAE=∠ADE.所以EA=ED. 因为BE∥CD,所以∠E=∠ACD=30° (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.因为DE∥AB,所以 (2)因为BE∥CD,所以∠CBE=∠BCD=30°，所以 ∠EDC=∠B.所以∠EDC=∠C.所以DE=CE.由(1)得EA ∠CBE=∠E.所以BC=CE.因为△ABC是等边三角形，所以 =ED.所以AE=CE 4 八年级数学沪科(AH)第14~18期 14.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=∠A=2∠C.所以∠B=2∠C. 60°，BC=CA. (2)如图8，过点D作DH⊥AC于点H.所 BC=CA. 以∠AHD=∠CHD=90°.因为AD是△ABC 在△BCE和△CAD中，因为 ∠BCE=∠CAD,所以 的角平分线，所以BD=HD. CE AD. 在Rt△ABD和Rt△AHD中，因为 △BCE≌△CAD(SAS).所以BE=CD. AD=AD,所以R△ABD≌t△AHD(HL) (2)因为△BCE≌△CAD,所以∠CBE=∠ACD.所以 BD HD. ∠BPD=∠PCB+∠CBE=∠PCB+∠ACD=∠ACB=6O°. 所以AB=AH 15.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BE= 因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠C=45°.所以 DE,所以∠CBE=∠D.所以∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠D, ∠HDC=90°-∠C=45°.所以HD=HC.所以BD=HC.因 即∠ABE=∠CED. 为AC=AH+CH,所以AC=AB+BD 因为AE=BE,所以∠A=∠ABE. 附加题因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠ABC= 由对顶角相等，得∠AEF=∠CED. 60,BC=之AB.因为BD平分∠ABC,所以∠DBA=LABC 所以∠A=∠AEF.所以△AEF是等腰三角形. (2)由(1)得∠BFE=∠A+∠AEF=2∠A.所以∠BFE =30°=∠A.所以AD=BD,∠BDC=∠A+∠DBA=60°. ≠∠ABE.所以当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： (I)因为DE⊥AB,所以AE=BE=4B所以BC=BE ①当∠BFE=∠BEF=2∠A时，在△BEF中，5∠A= 所以△EBC是等边三角形. 180°，解得∠A=36°； (2)AD=DG+MD.理由如下： ②当∠BEF=∠ABE=∠A时，在△BEF中，4∠A= 如图9，延长ED至点P,使得DP 180°，解得∠A=45°. =MD,连接MP.因为DE⊥AB,所以 综上所述，∠A的度数为36°或45° ∠AED=90°.因为∠A=30°，所以 16.(1)因为∠ACB=90°，∠CAD=60°，所以∠B=90 ∠ADE=90°-∠A=60°.所以 G -∠CAD=30°.所以AB=2AC.因为AC=BD,所以AD=AC. 图9 ∠PDM=60°.又因为DM=DP,所以 所以△ADC是等边三角形.因为P是CD的中点，所以AP⊥ △PDM是等边三角形.所以∠P=∠PMD=60°，MP=MD. CD. 因为∠BMG=60°，所以∠PMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG, (2)连接BE,图略.因为P是CD的中点，所以CP=DP.因 即∠PMG=∠DMB.在△PGM和△DBM中，因为 为DE∥AC,所以∠CAP=∠DEP. ∠P=∠MDB. ∠CAP=∠DEP, MP MD. 所以△PGM≌△DBM(ASA).所以PG= 在△CPA和△DPE中，因为 ∠CPA=∠DPE,所以 ∠PMG=∠DMB, CP DP, DB.因为PG=DP+DG=MD+DG,所以AD=DG+MD. △CPA≌△DPE(AAS) 第18期2版 所以AP=EP=AE,AC=ED因为BD=AC,所以BD 专题一 轴对称图形 =DE. 1.B:2.-1. 因为DE∥AC,所以∠BDE=∠CAD=60°.所以△BDE 3.答案不惟一，图略。 是等边三角形.所以BD=BE,∠EBD=60°.所以AC=BE. 专题二 线段的垂直平分线与角的平分线 AC BE 1.B;2.4. 在△CBA和△EAB中，因为 ∠CAB=∠EBA,所以 3.如图10，过点A作AH⊥EF于点H, AB BA. 由题意得AB⊥EB,因为EA平分 △CBA≌△EAB(SAS).所以BC=AE=2AP. ∠BEF,AH⊥EF,所以AH=AB. 17.(I)因为AD⊥BC,BD=DE,所以AB=AE.所以∠B 因为AB=AD,所以AH=AD. E 图10 =∠AEB.因为CD=BD+AB=DE+AE=DE+CE,所以AE 所以Rt△ADF≌Rt△AHF(HL) =CE.所以∠C=∠EAC.所以∠AEB=∠C+∠EAC= 所以∠AFD=∠AFH.所以FA平分∠DFE. 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 4.因为∠BAC=90°，所以∠ABC+∠C=90°.因为AM⊥兰△BDC.所以∠BAC=∠BDC. BC,所以∠AMB=90°.所以∠ABC+∠BAM=90°.所以∠C (2)连接AP,如图13.因为△BAC =∠BAM.因为AD平分∠MAC,所以∠MAD=∠CAD.所以 ≌△BDC, ∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.因为∠ADB=∠C+∠CAD, 所以AB=DB=12,∠DBN= 所以∠BAD=∠ADB.所以AB=BD.因为BE平分∠ABC,所 ∠ABN=60 以BF⊥AD,AF=FD,即线段BF垂直平分线段AD. 所以∠EBD=180°-∠DBN- 专题三等腰三角形 ∠ABN=60°. 图13 1.D;2.D;3.6. 所以△BDE为等边三角形.所以DE=12. 4.(1)等边 因为点A关于射线BN的对称点为D,所以△BAP≌ (2)△BEF是等腰三角形.理由如下： △BDP 因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠BAD=∠DAE- 所以PA=PD.所以PE+PD=PE+PA ∠BAD,即∠DAC=∠EAB. 因为PE+PA≥AE,所以当点P运动到点B时，PE+PA的 又因为AC=AB,AD=AE,所以△DAC≌△EAB(SAS). 值最小，为24. 所以∠C=∠EBA. 此时△PDE周长最小，为36. 因为EF∥BC,所以∠EFB=∠ABC. 20.(1)△DEF是等边三角形.理由如下： 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠EFB=∠EBA 因为AB=AD,∠DAB=60°，所以△ABD是等边三角形. 所以EB=EF.所以△BEF是等腰三角形 所以∠ABD=∠ADB=60°. 第18期3,4版综合测评卷 因为CE∥AB,所以∠CED=∠DAB=60°，∠DFE= ∠ABD=60. 题号1 2345678 9 10 所以△DEF是等边三角形. (2)因为AB=AD,CB=CD,所以AC是BD的垂直平分 二、11.21°；12.50°；13.3265；14.3；15.2. 线.所以AC平分∠DAB. 三、16.(1)图略. (3)因为AC平分∠DAB,∠DAB=60°， (2)点C的坐标为(4,3). 所以∠BAC=∠DAC=30°. 17.(1)如图11所示. 因为CE∥AB,所以∠ACE=∠BAC=30°=∠CAD. (2)如图11，由(1)可得，BD=CD,因 所以AE=CE=8.所以DE=AD-AE=4. 为△ABD的周长为14， 因为△DEF是等边三角形，所以EF=DE=4. 所以AB+AD+BD=AB+AD+CD= 所以CF=CE-EF=4. AB +AC 14. 图11 21.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C 因为AC=8, 因为BD=BC,所以∠BDC=∠C.所以∠ABC=∠BDC 所以AB=6. 因为∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD, 因为∠A=90,所以△ABC的面积为：7×6×8=24 所以∠A=∠DBC.所以BD是△ABC的“等角分割线” (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C 18.如图12，在AB上截取AD=AC,连接 所以∠A=180°-2∠C. CD. 因为BD⊥AC,所以∠BDC=∠BDA=90° 因为∠A=60°，所以△ACD是等边三角 所以∠ABD=90°-∠A=2∠C-90°，∠DBC=90°- 形 ∠C. 所以CD=AD,∠ADC=∠ACD=60°. 图12 因为BD是△ABC的“等角分割线”，所以 因为4C=4B。 ①若∠A=∠ABD,则180°-2∠C=2∠C-90°，解得 所以AD=之AB所以BD=AD=CD所以∠B=∠BCD ∠C=67.5°； ②若∠A=∠DBC,则180°-2∠C=90°-∠C,解得∠C =30° =90°（舍去）. 所以∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°.所以△ABC是直角 综上所述，∠C的度数为67.5°. 三角形。 19.(1)因为点A关于射线BN的对称点为D,所以△BAC (3)45°或180 7 6