知识梳理与专项练习-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（湘教版2024）

数理招 知识回顾 1.因式分解的定义 一 般地，把一个多项式表示成若干个 的 的形式，称为把这个多项 式因式分解. 2.因式分解的一般方法 (1)提公因式法 公因式：几个多项式的 的因式称 为它们的公因式 提公因式法：如果一个多项式的各项有 ,可以把这个公因式提到括号外面，这 种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法 值得注意的是提公因式法的依据是乘法 律的“逆用”. 确定公因式的原则是“五看”： ①看系数.若各项系数都是整数，应提取 各项系数的最大 ②看字母.提取各项 的字母. ③看字母的次数.各字母的指数取次数 的.如多项式9x2y-18x2y+12x2y2x, 各项系数的最大公约数是3，各项中都含有的 字母是x,y,x的指数取最低为2，y的指数取最 低为1，因此公因式是3xy. ④看整体.如果公因式含有多项式因式 时，应注意符号的变换.如(a-b)2=(b-a)2, (a-b)3=-(b-a)3,然后取相同因式中次 数最低的因式作为公因式的一部分. ⑤看首项符号.若多项式中首项是负数， 则公因式符号取 号，使多项式的第一 项系数变为正数，需注意的是在提取出“-” 后，多项式的各项都要 如-27x2y+ 9x2=-(27x2y-9xy2)=-9xy(3x-y）.当 某项全部提出后，剩下的是 ,而不是 0.如m2+mn-m=m(m+n-1),而不能发生 m2+mn-m=m(m+n)的错误， (2)公式法 平方差公式：把乘法公式中的平方差公式： 反过来，就得到因式分 解的平方差公式： ·也就 是说，两个数的平方差等于这两个数的和与这 两个数的差的积 完全平方公式：把乘法公式中的完全平方 公式： 反过来，就得到因 式分解的完全平方公式： 也就是说两个数的平方和加上（或减去）这两 个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的 平方 3.因式分解的步骤 (1)对于一个多项式，首先观察能否提公 因式，再看可否利用公式法分解； (2)因式分解必须分解到每个多项式都不 能再分解为止 注意：因式分解与整式乘法的区别与联系： 因式分解与整式乘法是两个互逆的变形过程： ①整式乘法是把几个整式相乘化成一个多项 式；②因式分解是把一个多项式化为几个整式 的积的形式 专题复习 3 第1章 因式分解 ◎湖南浦师伍 考点解密 故选A. ●专项练习 考点1：因式分解的概念 7.下列各式不能运用公式法进行因式分解 例1下列各式从左到右的变形中，因式的是 () 分解正确的是 ( A.-a2+b2 B.16m2-25n2 A.(a+3)2=a2+6a+9 C.4x2+4x+1 D.a2+2ab-2 B.a2-4a+4=a(a-4)+4 8.若4x2-(k+1)x+9能用完全平方公式 C.5ax2-5y2=5a(x+y)(x-y) 因式分解，则k的值是 D.a2-2a-8=(a-2)(a+4) A.±6 B.±12 解：由因式分解的定义及方法可知选项A C.-13或11 D.13或-11 B,D错误 9.已知x2-2ax+b=(x-3)2,则b2-a2 故选C. 的值是」 10.计算：1252-50×125+252=」 ●专项练习 例4因式分解：3ma2-6mab+3mb2= 1.下列各式从左到右的变形中，属于因式 分解的是 () 解：原式=3m(a2-2ab+b2) A.a2-16+3a=(a-4)(a+4)+3a =3m(a-b)2 B.10x2-5x=5x(2x-1) 故填3m(a-b)2. C.x2-4x+4=x(x-4)+4 D.a(m +n)am an ●专项练习 2.下列分解因式中，不正确的是 ( 11.将a3b-ab3因式分解，结果正确的是 A.a2+2ab+1=(a+b)2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) A.ab(a2-62) B.a(a'b-b3) C.a2+ab2=a(a+b2) C.ab(a-b)(a+b)D.ab(a-b)2 D.a2+4ab+4b2=(a+2b)2 12.已知ab=2,a+b=3,则多项式a3b+ 3.若多项式x2+kx-6有一个因式是x-2,2a2b2+ab的值是 则k= 13.新定义：对于任意实数x,都有(x)= 考点2：因式分解的方法 ax2+bx.若f1)=5,f(2)=12,则将f(x2-4x) 因式分解的结果是 例2因式分解：3x2-9x= 14.把下列各式因式分解： 解：原式=3x(x-3) (1)5a2b-10ab2; 故填3x(x-3). ●专项练习 (2)(x2+4)2-16x2; 4.多项式7x2y+21xy2的公因式是( A.7xy B.7x'y C.xy D. (3)(a-b)2-a+b: 5.把2(x-3)+x(3-x)提取公因式(x 3)后，另一个因式是 A.x-2 B.x+2 (4)2x2-2x2-12x C.2-x D.-2-x 6.已知x+y=10,xy=1,则代数式x2y+ xy2的值是 考点3：因式分解的应用 例3分解因式：4a2-1= A.(2a-1)(2a+1) 例5利用因式分解的知识说明：对于任 B.(a-2)(a+2) 意自然数n,(n+11)2-n2都能被11整除。 C.(a-4)(a+1) 解：(n+11)2-n2=(n+11+n)(n+11 D.(4a-1)(a+1) -n)=11(2n+11). 解：原式=(2a-1)(2a+1). (下转第4版) 4 专题复习 数理极 (上接第3版) 中主卧与客卧都是正方形，它 整除；675不是“优数”，因为6,7,5都不为0，且6 因为n为任意自然数， 们的边长分别为a,b,其面积之 +7=13,13不能被5整除. 所以2n+11为正整数， 和比其余面积（阴影部分）多 (1)判断312,643是否是“优数”？并说明理 所以11(2n+11)一定能被11整除， 6.25平方米.则主卧与客卧的 客卧 主卧 由 周长差为 ( (2)求出十位数字比百位数字大5的所有 ●专项练习 A.2.5米 B.5米 “优数”。 15.小南是一位密码编译爱好者，在他的密 C.6米 D.10米 码手册中有这样一条信息：a-b,x-1,3,x2+1, 17.在数的学习过程中，我们总会对其中一 ,x+1分别对应下列六个字：你、爱、中数、学、些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数 国，现将3(x2-1)-36(x2-1)因式分解，结果时，我们发现一种特殊的自然数一“优数”.定 呈现的密码信息可能是 ( )义：对于三位自然数n,各位数字都不为0，且百 A.你爱数学 B.你爱学 位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除， C.爱中国 D.中国爱你 则称这个自然数n为“优数”.例如：426是“优 16.如图为某正方形的房屋结构平面图，其 数”，因为4,2,6都不为0，且4+2=6,6能被6 (参考答案见15版) 第2 考点2：分式有无意义的条件 式 例2若分式，2，有意义，则x的取值范 围是 8.解分式方程的步骤 解析：分式有意义的条件是分母不为0. 知识回顾 (1)方程两边同乘以最简公分母，化分式方 1.分式的概念 程为 因为分式子有意义，所以x-1≠0， 般地，如果A是整式，B是非零整式并且B (2)解这个整式方程； 解得x≠1.故填x≠1. (3)检验，即将整式方程的解代入 中含有字母，那么式子分叫作 ,其中A ·专项练习 ,看结果是否为0，若是0，则此解为增 叫作分式的 B叫作分式的 根，若不是0，则此解为原方程的解； 3.当x为任意实数时，下列分式有意义的是 (4)写出此方程的解 () 2.分式的值不存在的条件 9.分式方程的应用 对于分式会当 A.+2 时，分式的值存在； 解分式方程应用题的分析方法、解题步骤与 x2 C:3T D+ 4.根据表格中的信息，y可能为 当 时，分式的值不存在 前面我们学过的列方程解应用题的基本相同，不 同之处在于它侧重于用分式列代数式表示数量 3.分式的值为0的条件 x…-2-1012 关系和寻找相等关系列方程，并且最后要进行 当 时，分式的值为0 y…*无意义*1*一 “双验根”. 4.分式的基本性质 A+3B.-3C.-3 D.+3 x-1 x-1 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个 x+1 x+1 整式，分式的值不变 考点解密 考点3：分式的值为0的条件 A_A·CA=A÷C(C是 用式子表示为B=B·C·B=B÷C 考点1：分式的定义 到3当x=一时，分式42的值为袋 不等于0的整式) 例1下列各式中，是分式的是 ( 解析：分式的值为0的条件是分子为0且分母 5.分式的运算 (1)分式的乘法法则：分式乘分式，用 A B. 不为0. x+1 作为积的分子， 作为积的分母. C. 因为分式2=0，所以2x=0且x+2≠ (2)分式的除法法则：分式除以分式，把 D.+1 0,解得x=0且x≠-2.故填0 后，与被除式相乘 解析：判断分式的依据是看分母中是否含有 ●专项练习 (3)分式的加减法法则：同分母分式相加 字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则 减， 不变，把 相加减：异分母分 不是分式 5.使式子-4x+3 的值为0的x的值为 式相加减， 先 变为 2,云，3+1的分母中均不含字母，都是整 xxx x-3 ( ,再加减 (4)分式的乘方：分式的乘方是把 式， +的分母中含有字母，是分式故选B A.3或1 B.3 C.1 D.-3或-1 各自乘方 ●专项练习 6.整数指数幂 考点4：分式的基本性质 同底数幂的除法： 2 (a≠0) 1.在代数式 T,32, +7,3 例4 不改变分式的值，将分式 零次幂：a°= (a≠0). 2x+5x中，分式有 ( 0.02x+0,51中的分子、分母的系数都化为整 负整数指数幂：a”= 2x x+0.004y （a≠0，且n为 A.2个 B.3个 C.4个 正整数) D.5个 数，其结果为 科学记数法：a×10-",1≤|al<10,n是 2.若分式2-2x+1 x+2 的值为正数，则x的取 A0t02 B.20x+500 ·100x+4y 个正整数. 值范围是 ( 2x+50y 7.分式方程 C-1000x+4y D.2x+5 A.x>-2 B.x<1 x+4y 分母中含 的方程叫作分式方程， C.x>-2且x≠1D.x>1 (下转第13版) 数理报 (上接第4版) 解析：此题考查分式的基本性质.分式的分 子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式， 分式的值不变 将分子，分母同时乘1000，得0.02x+0.5y x+0.004y 20x+500.故选A 1000x+4y 专项练习 6.下列各式中，正确的是 B. Xy C.+b =0 D. b a+b c 7.把分式2x 中的x和y都扩大2倍，分式 2x +y 的值 A.不变 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.扩大4倍 考点5：分式的约分、通分 a'4ab2 例5 先约分，再求值：。-4ab+4ab, 其中a=-26=分 解析：分式约分需注意：①分式约分的结果 可能是最简分式，也可能是整式；②当分子与分 母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前 面；③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如 果是多项式的，必须先因式分解。 原式= a +2b a 2b" 当a=-2,6=2时，原式=行 专项练习 8.下列分式属于最简分式的是 6xy 5x7 B.*-r y-x c.+2 D.-9y x+y +3y 9.约分： 18xy 27x2y 10.通分： 0,3 2 ②2)+2y+2F 考点6：分式的运算 例6 试卷上一个正确的式子 (a十5+*=子6被小颗同学不小心 滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式为( A. Ba-b Aa a-b C.a a a+b 解析：此题考查分式的混合运算，解题的关 键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则： •专题复习 被墨汁遮住部分的代数式是： a-b+a+b (a+b)(a-b) a +b 2 。6故选 专项练习 1.若m-n=2,则代数式m-元. 2m m m 的值是 ( A.-2 B.2 C.-4 D.4 12.计算： 1)(·(: 2后-小 (3)(a- 1+8》0 -1 13.先化简，再求值：(m+2-m52 m2-3m+2,其中m=4. m+3 考点7：整数指数幂 例7 比较大小：22一3°（选填 >”“=”或“<”) 解析：此题考查负整数指数幂和零次幂，先 分别计算22和3°的值，再比较大小 因为22=4,3”=1，所以22<39故填<. 专项练习 14.下列计算正确的是 A(-2)=-8B( c(-2)°=2(-2)'=2 15.已知4“×8”=(2)，则n的值是 A.1 B.2 C.3 D.4 16.计算：(3am2n2)-2÷（a3n)2. 例8 石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬 的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理 论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学 记数法表示为 解析：此题考查用科学记数法表示小于1的数 0.00000000034=3.4×10-0.故填3.4× 10-10 专项练习 17.科学家在实验室检测出某种病毒的直径 13 约为0.000000103米，该直径用科学记数法表 示为 米 18.用科学记数法表示的数-5.6×104写 成小数是 A.-0.00056 B.-0.0056 C.-56000 D.0.00056 考点8：分式方程及其应用 3 例9 解方程： =0. x2+x x2-x 解析：(1)解分式方程的基本思想是转化思 想，即把分式方程转化为整式方程求解；(2)解 分式方程一定注意要验根 方程两边同时乘x(x+1)(x-1),得4(x- 1)-3(x+1)=0. 解得x=7. 检验：当x=7时，x(x+1)(x-1)≠0. 所以x=7是原分式方程的解. 专项练习 19若关于x的方程=3无解，则n 的值为 () A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或3 20.解方程： (1) x-1 x-1 -2x 2 3 (2) 2 3 例10 为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在 劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活 动甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班 挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的 时间相同.已知甲班平均每小时比乙班多挖100 千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ 解析：此题考查分式方程的应用.解题的关 键是根据题意找出题中的相等关系，求得分式方 程的解后要“双验根”. 设乙班平均每小时挖x千克土豆，则甲班平 均每小时挖(x+100)千克土豆， 根据题意，得1500 1200 解得x= x+100 400. 经检验，x=400是原分式方程的解，且符合 题意 答：乙班平均每小时挖400千克土豆. 专项练习 21.某校购进一批篮球和排球，篮球的单价 比排球的单价多30元.已知330元购进的篮球数 量和240元购进的排球数量相等. (1)篮球和排球的单价各是多少元？ (2)现要购买篮球和排球共20个，总费用 不超过1800元.篮球最多购买多少个？ (参考答案见15版) 数理极 专题复习 27 二次根式，再将 的二次根式进 第3章 行合并合并时，仅合并 不 二 次根式 变 (2)二次根式的乘法：√a·b= ⊙安徽徐浩飞 (a≥0，b≥0) 知识回顾 小结：常见的具有非负性的数：a(a≥0)， (3)二次根式的除法： (a≥ 1.二次根式的有关概念 (2)两个重要性质： 0,b>0) (1)定义：形如 的式子叫作二次根 (4)二次根式的加、减、乘、除混合运算. ①(a)2=a( 式 注意：(1)合并同类二次根式与合并同类项 注意：被开方数a只能是正数或0，即a≥0. ②√=la1= (a≥0)， 类似，被开方数不同的二次根式不能合并 (a<0). (2)最简二次根式：①被开方数不含 (2)二次根式运算的最后结果应化为 小结：若√a>a,则a<0. ②被开方数中不含能 (3)积的算术平方根：ab= (a (3)二次根式的混合运算顺序与实数的混 满足这两个条件的二次根式，叫作最简二次 ≥0，b≥0) 合运算顺序相同，即先乘除，后加减，有括号的先 根式 (4)商的算术平方根：√ 算括号里面的.实数的各种运算定律也同样适用 于二次根式的混合运算.二次根式相乘时，对于 2.二次根式的性质 ≥0，b>0) 较小的被开方数直接相乘再化简，积即为最简二 (1)非负性：√a(a≥0)是一个 ,并 3.二次根式的运算 次根式；较大的也可先化简，再相乘；二次根式相 且a也是 (常说a具有双重非负性) (1)二次根式的加减：先将二次根式化成除时，可先将被开方数相除，再开根号. 考点解密 C.ab2 D.3 考点4：二次根式的化简 解析：本题考查最简二次根式的概念，根据 考点1：二次根式有意义的条件 被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或 例4实数a在数轴上的位置如图1所示， 因式的二次根式叫做最简二次根式逐一判断即 则√匠+1+1a-11的化简结果是() 例1若二次根式√2x-I在实数范围内可. 有意义，则x的取值范围是 A选项中被开方数含有能开得尽方的因数 解析：此题主要考查了二次根式有意义的条4，B选项中被开方数是分数，C选项中被开方式 。 -10 图1 件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题含有能开得尽方的因式2，D选项中尽是最简二 A.1 B.2 的关键如果所给式子中含有分母，则除了保证次根式 C.2a D.1-2a 被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零. 故选D, 解析：本题主要考查了实数与数轴之间的对 根据题意，得2x-1≥0. 应关系，以及二次根式的性质，学会根据表示数 。专项练习 解得≥子 的点在数轴上的位置判断含数式子的符号，掌握 4.若最简二次根式√m+2023与2可以 绝对值的化简及二次根式的性质是解题的关键 欲产 合并，则m的值为 ( 根据数轴，得0<a<1. A.2021 B.-2021 所以a-1<0 ·专项练习 C.2025 D.-2025 所以原式=a+1+1-a=2. 故选B. 1.下列各式中，一定是二次根式的是 5.我们把形如a+b(a,b为有理数，为 最简二次根式)的数叫做型无理数，如22+ ●专项练习 A.√e-1 B. 1是2型无理数，则(6-2)2属于无理数的类 8.计算：√(5-3)2= C.x2+1 D.x+1 型为 ( 9.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图2 2.使式子2x+工有意义的x的取值范围 A.2型 B.5型 所示，化简1a+b1+√(a-b)2的结果是 x-1 C.6型 D.√2型 ( 是 考点3：二次根式的性质 Ax≥-且x≠1 图2 例3若√(a-3)7=3-a,则a与3的大 B.x≠1 A.-2a-b B.-2a +b 小关系是 ( C.-2b D.-2a C.x≥-2 A.a<3 B.a≤3 10.当m>n时，化简二次根式-mn的 D.x>-3且x≠1 C.a>3 D.a≥3 正确结果是 ( 解析：此题主要考查二次根式的非负性， A.-m√-mn B.-m√/mn 3.已知y=√x-2+2-x+2,则x的 根据题意，得3-a≥0. C.m mn D.m mn 值为 解得a≤3. A.0 B.2 C.4 D.8 故选B. 考点5：二次根式的运算 考点2：最简二次根式 ·专项练习 例计筑(V27-2)×√写的结果 例2 下列二次根式是最简二次根式的是 6.计算：(-√（-5)2)2= 是 7.若2a-2与1b+21互为相反数，则a A. 3 B.1 C.5 D.3 +b的值为 A.⑧ 3 A.1 B.2 C.-2 D.-1 (下转第28版) 28 (上接第27版) 解析：根据二次根式的混合运算法则进行计 算即可得出答案 (2-m)×写 =(35-25)×√写 =5×√=1. 故选B. ●专项练习 11.计算：5÷√20= 12.下列计算正确的是 A.3+万=10 B.3+7=3万 C.5×万=√21 D.27-2=√7 13.计算： (1)(3+2)2; (2)丽-2写+ ()s÷5-√5×厄+v24: (4)8-1√2-11-(6-3)°+(5+ 5)(5-5). 14.先化简，再求值： (1)(、任-万×历，其中a=2,b=8: (2)2(x+√3)(x-3)-x(x-2)+6,其 中x=√2+1. (参考答案见15~16版) 专题复习 数理极 第4章 三角形 知识回顾 的方法证实 的过程称 为证明， 1.三角形的基本概念 (7)经过 的真命题称为定理 (1)由不在 三条线段」 (8)由一个公理或定理直接推出的 相接所组成的图形知叫作三角形 ,叫作这个公理或定理的推论 (2)由三角形的一个顶点向它的 4.证明命题的一般步骤 所在的直线作 ,顶点和垂足之间的线 (1)根据题意，画出 段叫作三角形的高线，简称 个三角 (2)根据命题的条件和结论，结合图形，写 形有三条高线，锐角三角形的三条高线的交点 出 ； 在三角形的 ,钝角三角形的三条高线 (3)通过分析，找出 的途径，写出 的交点在三角形的 直角三角形的三 证明的过程. 条高线的交点在三角形的直角顶点处 注：当一个命题直接证明比较困难时，我们 (3)在三角形中，连接一个顶点和它所对边 往往采用 法去证明 的 的线段叫作三角形的中线.一个三 5.等腰三角形 角形有 条中线.三条中线的交点在三 (1)两条边 的三角形叫作等腰三 角形内部，叫作三角形的 角形，两条相等的边叫作」 ,另一边叫作 (4)在三角形中，一个角的 与这个 两腰的夹角叫作 ,腰和底的 角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线 夹角叫作 段叫作三角形的角平分线 ,个三角形有 (2)等腰三角形的两底角 (简称 条角平分线，三条角平分线的交点在 对 ” 三角形的 (3)等腰三角形底边上的 (5)三角形按边分类： 及顶角 重合（简称 ,不等边三角形 ”) 三楼不军银》 (4)等腰三角形是 对称图形，它的 对称轴是 (6)三角形按角分类： (5)有两个角」 的三角形是等腰三 直角三角形 角形（简称“ 对 ”) 三角形锐角三角形 6.等边三角形 钝角三角形 (1)三条边都相等的三角形是 2.三角形的主要性质 角形；等边三角形的每一条边都 一，每个 (1)三角形的三个内角的和等于 内角都 并且每一个内角都等于 (2)三角形的一个外角 与它不相 邻的两个内角的 (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，具有 (3)三角形的一个外角大于 任何 等腰三角形所有的性质，所以它也是 对 一个内角 称图形，共有」 条对称轴： (4)三角形的外角和等于 (3)三个角都是60°的三角形是 (5)三角形两边的和 第三边，三角 三角形；有一个角是60°的 三角形是等 边三角形 形两边的差 第三边， 7.线段的垂直平分线 3.命题、定理 (1)对某一件事情作出 的语句叫 (1)线段垂直平分线上的点到线段两端的 作命题每个命题都是由 和 两 距离」 是 (2)到线段两端距离相等的点在线段的 部分组成 是已知的事项， 由已知事项推断出的事项.一般地，命题都可以 8.全等三角形的概念 写成“如果…，那么…”的形式，其中“如 能够 的两个图形叫作全 果”引出的部分是 ,“那么”引出的部 等图形能 的两个三角形叫作全等三 分是 角形.两个三角形全等时，互相重合的顶点叫作 (2) 的命题是真命题如等边三角 互相重合的边叫作 一，互相重 形有3条对称轴， 合的角叫作 夹边就是三角形中相邻两 (3) 的命题是假命题.如面积相等 角的公共边.夹角就是三角形中有公共端点的 的两个三角形一定全等. 两边所组成的角， (4)要说明一个命题是假命题，通常可以举 9.全等三角形的性质 出一个例子，使之具备命题的 ,而不具 全等三角形的」 相等 备命题的 ,这种例子称为反例， 等.全等三角形的一切对应元素都 (5) 称为公理，公理不需 10.三角形全等的条件 要证明，同时还是证明其他命题的起始依据。 (1)全等三角形的判定方法见下表： (6)除了公理外，其他命题的正确性都需通 (下转第29版) 数理极 (上接第28版) 三角形种类 三角形全等的方法 简记 文宇语言简述 边角边 SAS 角边角 一般三角形 边边边 角角边 (2)证明三角形全等的思路： ①已知两边 找夹角：SAS 找另一边： ②已知两角 找夹边： 找一角的对边： ③已知一边一角 边为角的对边：找一角： 找边的另一邻角： 边为角的邻边 找边的对角： 找角的另一邻边： 考点解密 考点1：三角形的三边关系 例1■ 八一中学校九年级2班学生杨冲家 和李锐家到学校的直线距离分别是5km和 3km.那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是 ( A.1 km B.2 km C.3 km D.8 km 解析：此题需要分类讨论，当杨冲家、李锐 家、学校不在一条直线上时，根据三角形的三边 关系得到杨冲、李锐两家直线距离的取值范围， 即可得解. 当杨冲家、李锐家、学校在一条直线上时， 杨冲、李锐两家的直线距离为2km或8km; 当杨冲家、李锐家、学校不在一条直线上时， 设杨冲、李锐两家的直线距离为xkm. 根据三角形的三边关系，得 5-3<<5+3,即2<x<8. 综上所述，杨冲、李锐两家的直线距离可能 为2km,8km,3km. 故选A. ● 专项练习 1.下列长度的三条线段能首尾相接构成三 角形的是 ( A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,4 cm,5 cm C.4 cm,5 cm,10 cm D.6 cm,9 cm,2 cm 2.已知三角形的三边长为3，x,6,则三角形 的周长y的取值范围是 考点2：三角形的高、中线与角平分线 例2 如图1，AD是 △ABC的中线，已知△ABD 的周长为25cm,AB比AC长 B 6cm,则△ACD的周长为 D 图1 ( A.19 cm B.22 cm C.25 cm D.31 cm 解析：根据三角形中线的定义即可得解。 因为AD是边BC上的中线， 所以BD=CD, 所以△ABD和△ACD周长的差为： (AB +BD +AD)-(AC +AD +CD)=AB-AC. 因为△ABD的周长为25cm,AB比AC长 参考答案 6 cm, 所以△ACD的周长为：25-6=19(cm). 故选A. ●】 专项练习 3.如图2，在△ABC中， AD⊥AB,有下列三个结论： ①AD是△ACD的高；②AD 是△ABD的高；③AD是 A △ABC的高，其中正确的结 图2 论是 A.①和② B.①和③ C.②和③ D.只有②正确 4.已知AD,AE分别是△ABC的高和中线 若BD=2,CD=1,则DE的长为 5.如图3，在直角△ABC中，BC边上有E,D, F三点，BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF⊥BC,垂 足为点F. (1)以AD为中线的三角形是 ;以 AE为角平分线的三角形是 ;以AF为高 线的钝角三角形有 个. (2)若∠B=35°，求∠CAF的度数 B 图3 考点3：三角形内角和定理 例3 在△ABC中，AD为边BC上的高， ∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是 度 解析：分∠ACB为锐角、钝角两种情况，利 用三角形内角和定理即可得解， 因为AD是△ABC的高， 所以∠ADB=90°. 因为∠B=30°， 所以∠BAD=90°-∠B=60° 当∠ACB为锐角时，如图4， 所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=80°； 当∠ACB为钝角时，如图5， 所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=40°. 故填80或40. B D C B D 图4 图5 专项练习 6.如图6，△DEF是由△ABC 经过平移得到的，AC分别交DE, ANG EF于点G,H.若∠B=120°，∠C H =30°，则∠DGH的度数为 B ( 图6 A.150° B.140° C.120° D.30 7.如图7，AF平分∠BAC,交BC于点E,过 点F作FD⊥BC于点D.若∠B比∠C大20°， 求∠F的度数 29 图7 考点4：三角形的外角 例4 如图8，直线AB∥ E CD. 如果∠EFB =31°，AF M B ∠END=70°，那么∠E的度 N D 数是 ( 图8 A.31° B.40° C.39° D.70° 解析：此题主要考查三角形外角的性质 因为直线AB∥CD, 所以∠EMB=∠END=70. 因为∠EFB=31°， 所以∠E=∠EMB-∠EFB=39°. 故选C. ● 专项练习 8.如图9，点C,D在直线AB上，OC⊥OD 若∠AC0=120°，则∠BD0的大小为(） A.120° B.140° C.150° D.160° 3 C D 图9 图10 9.如图10，∠3是△ABC的外角，∠1：∠2： ∠3=1：3：6，则∠4= 考点5：命题与证明 例5 命题“如果a+b=0,那么a,b互为 相反数”的逆命题为 解析：根据逆命题的定义即可得解 故填如果a,b互为相反数，那么a+b=0. 专项练习 10.对于命题“若m2>9,则m>3”,下列条 件能说明该命题是假命题的是 ( A.m=-4 B.m=-3 C.m=3 D.m=4 11.下列命题中，逆命题为真命题的是()》 A.对顶角相等 B.邻补角互补 C.两直线平行，同位角相等 D.互余的两个角都小于90 考点6：等腰三角形 例6 如图11，在 △ABC中，AB=AC,∠BAC =24°，延长BC到点D,使 CD=AC,连接AD,则∠D的B C 图11 度数为 A.39° B.40° C.49° D.51° 解析：利用“等边对等角”和三角形外角的 性质即可得解 因为AB=AC,∠BAC=24°， (下转第30版) 30 (上接第29版) 所以∠B=LACB-7×(-∠B4C)=8 因为CD=AC, 所以∠D=LCAD=2∠ACB=39 故选A. ● 专项练习 12.如图12，在△ABC 中，AB=AC,AD⊥BC于点 D.若BC=6,则CD= B D 13.已知△ABC是等腰 图12 三角形.若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 14.如图13，在△ABC中，AD平分∠BAC,过 点B作AD的垂线，垂足为点D,DE∥AC,交AB 于点E,CD∥AB. (1)求证：△BDE是等腰三角形； (2)求证：CD=BE. D 图13 考点7：等边三角形 例7 如图14，直线m ∥n,△ABC是等边三角形， 顶点B在直线n上，直线m交 E AB于点E,交AC于点F.若 ∠1=140°，则∠2的度数是 B 图14 ( A.80° B.100° C.120 D.140° 解析：根据等边三角形的性质、三角形外角 的性质、平角的定义和平行线的性质即可得解。 因为△ABC是等边三角形，所以∠A=60°. 因为∠1=140°， 所以∠AEF=∠1-∠A=80°， 所以∠BEF=180°-∠AEF=100°. 因为m∥n,所以∠2=∠BEF=100°. 故选B. ● 专项练习 15.如图15，BD是等边 △ABC的角平分线，AB=10,B 则AD= 图15 16.如图16，已知△ABC为等边三角形，AD ∥BC,AD=BE.求证：△DEC为等边三角形 图16 …专题复习 考点8：线段的垂直平分线 例8 如图17，在 △ABC中，分别以点B和点C 为圆心，大于BC长为半径 画弧，两弧相交于点M,N,作 直线MN,交AC于点D,交BC 图17 于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则 △ABD的周长为 ( ) A.25 B.22 C.19 D.18 解析：此题主要考查线段垂直平分线的性质， 根据作图，得MN垂直平分BC, 所以BD=CD. 因为AB=7,AC=12, 所以△ABD的周长为：AB+BD+AD=AB CD+AD =AB +AC 19 故选C. 专项练习 17.在Rt△ABC中，∠C=90°，有一点D同 时满足以下三个条件：①在边BC上；②在 ∠CAB的平分线上；③在边AB的垂直平分线 上，那么∠B为 A.15° B.30° C.45 D.60° 18.如图18，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，ED是AC的 垂直平分线，交AC于点D,交 BC于点E,∠BAE=10°，则 ∠C的度数是 B E 图18 19.如图19，点E是 △ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE=∠A+ ∠ACB.求证：点E在BC的垂直平分线上 B 图19 考点9：全等三角形的性质 例9 如图20，△ABC ≌△A'B'C,点B与点B'是 对应顶点，且点B'在边AB B C 上，点A'恰好在BC的延长 图20 线上，下列结论错误的是 A.∠BCB'=∠ACA' B.∠ACB=2∠B C.∠B'CA=∠B'AC D.B'C平分∠BB'A' 解析：此题主要考查全等三角形的性质， 因为△ABC≌△A'B'C, 所以∠ACB=∠A'CB',BC=B'C,∠B= ∠A'B'C. 因为∠ACB=∠A'CB', 所以∠ACB -∠ACB'=∠A'CB'- ∠ACB', 即∠BCB'=∠ACA', 故A选项不符合题意； 因为BC=B'C,所以∠B=∠BB'C, 所以∠ACB=∠A'CB'=∠B+∠BB'C= 数理极 2∠B, 故B选项不符合题意； 根据已知条件不能推出∠B'CA=∠B'AC, 故C选项符合题意； 因为∠A'B'C=∠B=∠BB'C, 即B'C平分∠BB'A', 故D选项不符合题意.故选C ●专项练习 20.下列图形是全等图形的是 A B C 21.如图21，△ABC ≌ △EDB,AC=6,AB=8,则AE= B A.2 B.4 C.6 D.8 22.如图22，△ABC≌ 图21 △A'BC',点B与点B'是对应 点，BC=B'C',边B'C过点A 且平分∠BAC交BC于点D, ∠B=27°，∠CDB'=98°，则 B ∠C'的度数为 () A.60° B.45° 图22 C.43° D.34° 考点10：三角形全等的判定 例10 如图23，B 是线段AC的中点，AD∥ BE,BD ∥CE.求证：A B △ABD≌△BCE. 图23 证明：因为B为AC的中点，所以AB=BC. 因为AD∥BE,所以∠A=∠EBC. 因为BD∥CE,所以∠DBA=∠C r∠A=∠EBC, 在△ABD和△BCE中，{AB= BC, ∠DBA=∠C, 所以△ABD≌△BCE(ASA). 专项练习 23.如图24，在△ABC和 △DEF中，点A,E,B,D在同 E 一直线上，AC∥DF,AC= DF,只添加一个条件，能判定 △ABC≌△DEF的是 图24 A.BC DE B.AE DB C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D 24.如图25，在四边形ABCD中，AB=CD, AC=AD,E是AC上一点，且AE=CB,∠DCE= ∠CED.△ADE与△CAB全等吗？为什么？ E 图25 (参考答案见16~17版) 数理极 参考答案 第5摩 直角三角形 知识回顾 ③注意勾股定理公式的变形：在直角三角 形中，已知任意两边，可求第三边.即c2=2+ 1.直角三角形的性质 2,a2=c2-,6=c2-a2,进而有c= (1)直角三角形的两个锐角 √0+F,4=C-b,b=√c2-a.这些都 (2)直角三角形斜边上的， 等于斜是勾股定理的常见表达式 边的 2.直角三角形的判定 (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 (1)有两个角 的三角形是直角三 ,那么它所对的直角边等于斜边的 角形 (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于 (2)如果三角形的三边长a,b,c有下面关 系：a2+2=c2,那么这个三角形是 斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 (勾股定理的逆定理) 利用这一判定方法，要注意如下四点： (5)直角三角形两直角边a,b的平方和，等 ①这一方法与勾股定理的条件和结论正好 于斜边c的平方.用字母表示为： ·（勾 相反，值得注意的是，在这一方法的描述中，不能 股定理) 带有“斜边”、“直角边”字样； 在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注 ②这一方法可以实现“数”与“形”的转化： 意如下三点： ③要判定一个三角形是否是直角三角形， ①注意勾股定理的使用条件：只对直角三 角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角 先确定最长边，即斜边c,再验证c2与a2+2的 形； ②注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式 ④学会识别勾股数：满足条件2+62= 的三个正整数叫作勾股数，常见的勾股数有 致错： 等 考点解密 ·专项练习 考点1：直角三角形的性质 1.如图3，BD平分∠ABC,CD⊥BD,D为垂 足，∠C=55°，则∠ABC的度数是 ( 例1如图1，已知 A.359 B.55° C.60 D.70 ∠AOB=60°，点P在边OA 上，OP=12,点M,N在边OB 上，PM=PN若MN=2,则 人60° OM=」 MDN 分析：本题主要考查了含 图1 图4 30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的“三 2.如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC 线合一” =3,以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点 解：如图1，过点P作PD上OB于点D. D,若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为 在Rt△OPD中，∠AOB=60°， ( 所以∠OPD=30°， B.3 C.6 D.9 所以0D=0P=6 3.已知△ABC中，AB=AC,BD是AC边上 因为PM=PN,PD⊥MW,MW=2, 的高，AC=2BD,则∠BAC= 所以MD=ND=2MN=1, 考点2：直角三角形的判定 所以OM=OD-MD=5. 故填5. 例3在△ABC中，∠A=22.5°，∠B= 例2如图2，在 A 67.5,则△ABC为 ( ) Rt△ABC中，CD为斜边AB A.锐角三角形 B.钝角三角形 上的中线，若CD=2,则AB C.直角三角形 D.无法确定 分析：根据“有两个角互余的三角形是直角 解：因为∠ACB=90°， 21 三角形”即可解答 CD是斜边AB上的中线， 解：因为∠A=22.5°，∠B=67.5°， CD=2, 所以∠A+∠B=90°， 所以AB=2CD=4. 所以△ABC为直角三角形 故填4. 故选C. 31 3.勾股定理的应用 (1)已知直角三角形的两边，求第三边； (2)已知直角三角形的一边，求另两边的关 系； (3)用于说明含有平方关系的式子的关系； (4)用于作长为√n(n为正整数)的线段； (5)借助勾股定理来构造方程，解决实际问 题； (6)判定某三角形是否为直角三角形； (7)说明两条线段垂直. 运用勾股定理解题要注意联系方程思想与 转化思想.求几何体表面两点间的最短路程是一 类比较常见的数学问题，解答这类问题，通常将 几何体表面 ,把立体图形转化为 ,利用勾股定理及其他知识加以解 答 4.直角三角形全等的判定 (1)斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形 ·(可以简写成“ ”或“ ”) (2)SSS,SAS,ASA,AAS对于直角三角形全 等的判定同样适合 5.角平分线的性质与判定 (1)性质：角平分线上的点 (2) 在这个角的平分 线上 专项练习 4.在△ABC中，∠A=18°，∠B=4∠A,则 △ABC是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 考点3：勾股定理 例4 如图5，A(8,0), B C(-2,0),以点A为圆心，AC 长为半径画弧，交y轴正半轴 于点B,则点B的坐标为 cl o A龙 图5 ( A.(0,5) B.(5,0) C.(6,0) D.(0,6) 解：根据题意，得AB=AC=10,OA=8. 在Rt△AB0中，OB=√AB2-0A2=6. 所以B(0,6). 故选D. 。专项练习 5.如图6，在Rt△ABC 中，∠ACB 90°， 以 Rt△ABC的三边为边向外作 S2 正方形，其面积分别为S, B C S2,S3,且S,=6,S2=20,则 图6 S3 = A.26 B.26 C.14 D./14 (下转封底)】 (上接第31版) C.钝角三角形 D.等腰直角三角形全等的性质和判定 6.若一个直角三角形两直角边的比是3：4， 11.设x>0,若以x+1,x+2,x+3为边长 证明：因为AF⊥BD,CE⊥BD 斜边长为20，则这个三角形的面积是( )的三角形是直角三角形，则x的值为 所以∠AFD=∠CEB=90° A.96 B.48C.128 D.100 因为DE=BF, 考点5：勾股定理的应用 7.如图7，在Rt△ABC中， 所以DE+EF=BF+EF,即DF=BE. ∠C=90°，AD平分∠BAC交 例6《九章算术》是我国古代数 在Rt△ADF和Rt△CBE中， BC于点D,DE∥AB交AC于 学名著，书中有下列问题：“今有户高多 因为AD=CB,DF=BE, 点E,已知CE=3,CD=4,则 于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户 所以Rt△ADF≌RI△CBE(HL) AD的长为 图7 高、广各几何？”其意思为：今有一门，高 所以∠A=∠C. A.7 B.8 C.45 D.45 比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1 ●专项练习 8.如图8，在Rt△ABC中，LACB=90°，AB丈问门高、宽各是多少？(1丈=10尺， 10 =20cm,AC=16cm,点P从点A出发，以每秒1尺=10寸)如图10，设门高AB为x尺，根据题 15.如图15，已知BE⊥AD,CE 1cm的速度向点C运动，连接PB,设运动时间为 意，可列方程为 ⊥AD,垂足分别为点E,F,则下列 t秒(t>0). 分析：此题考查勾股定理的应用. 条件中，可以判定R△ABE≌ (1)当△PBC的面积为△ABC面积的一半 解：根据题意，得门的宽为(x-6.8)尺， Rt△DCF的是 (填序号) 图15 时，求t的值； AC=1丈=10尺 ①AB=DC,∠B=∠C; (2)当1为何值时，AP=PB? 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ②AB=DC,AB∥CD; BC2+AB2=AC2,即(x-6.8)2+x2=102 ③AB=DC,BE=CF; 故填(x-6.8)2+x2=102. ④AB=DF,BE=CF ·专项练习 考点7：角平分线的性质与判定 图8 12.如图11，快艇从A地出发，要到距离A地 例8如图16，在△ABC 10海里的C地去，先沿北偏东70°方向走了8海 中，∠C=90°，AD平分∠BAC 里，到达B地，然后再从B地走了6海里到达C 交BC于点D,DE⊥AB,垂足为 考点4：勾股定理的逆定理 地，此时快艇位于B地的 ( 点E.若BC=4,DE=1.6,则B1 A.北偏东20°方向上 BD的长为 图16 例5如图9，四边形 B.北偏西20°方向上 分析：本题考查了角平分线的性质：角的平 ABCD中，AB=2cm,AD=3 C.北偏西30°方向上 分线上的点到角的两边的距离相等。 cm,BC =7 cm,CD =6 cm, D.北偏西40°方向上 解：因为AD平分∠BAC,DE⊥AB, 且∠A=90°，则四边形 ∠C=90°，DE=1.6, ABCD的面积为 图9 所以CD=DE=1.6. 分析：连接BD,利用勾股定理求出BD的长， 所以BD=BC-CD=2.4 再根据勾股定理的逆定理得出∠BDC=90°，即 故填2.4. 可得出答案 图11 图12 解：如图9，连接BD 13.如图12，小红想用一条彩带缠绕圆柱4 ●专项练习 因为∠A=90°，AB=2cm,AD=3cm, 圈，正好从A点绕到正上方的B点.已知圆柱底 16.如图17，Rt△ABC 所以BD=√AB+AD=√13cm 面周长是3m,高为5m,则所需彩带最短是 中，∠C=90°，BG平分 因为BC=7cm,CD=6cm, ∠ABC,交AC于点G.若CG 所以BD+CD=BC2, 14.如图13，是斜坡AC上一根电线杆拦腰 =1,P为AB上一动点，则 所以∠BDC=90 断成AB和BC两段的平面图，现测得AC=4米， GP的最小值为 ( 所以四边形ABCD的面积为： AB⊥AD于点A,∠BAC=60°，∠BCA=75°，试 A.1 求电线杆未折断时的高度（结果保留根号） B号 SAc+Sm=2DB·CD+AB·AD C.2 D.无法确定 =(3+3√13)cm2. 17.如图18，DE⊥AB交AB的延长线于点 故填(3+3√13)cm2 E,DF⊥AC于点F,若BD=CD,BE=CF,求 证：AD平分∠BAC ●专项练习 图13 9.下列各组数中能作为直角三角形的三边 长的是 ( A.2,5,6 B.5.2,5 考点6：直角三角形全等的判定 C.7.24,25 D.13,14.15 10.已知三角形的三边长分别为a,b,c,且 例7如图14，点E,F在线段 a+b=10,b=18,c=8,则该三角形的形状BD上，AF⊥BD,CE⊥BD,AD= 是 ( )CB,DE=BF求证：∠A=∠C. A.等腰三角形 B.直角三角形 分析：本题考查了直角三角形 (参考答案见17版)数理极 得到长方形GFAD,连接AG,图略， 由题意，得FG=4,AE=6,EF=5, 所以AF=AE+EF=11. 在Rt△AFG中，由勾股定理，得AG=√FG+AF风 /137. 蚂蚁乙的行走路程：将长方体表面展开得到长方形 HGBA,连接AG,图略 由题意，得AB=5,BF=6,FG=4, 所以BG=BF+FG=1O. 在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG=√JAB2+BG =55. 蚂蚁丙的行走路程：将长方体表面展开得到长方形 EGCA,连接AG,图略， 由题意，得AB=5,BC=4,CG=6, 所以AC=AB+BC=9. 在Rt△ACG中，由勾股定理，得 AG=√AC+CG=3I3. 所以甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值分别 是137,55,3√13. (2)因为√37>55>313，所以三只蚂蚁都走 自己的路径，蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达. 26.解：(1)45-4. (2)设AB,A'C交于点E,图略 因为∠ACB=90°，∠ABC=30°， 所以∠A=60°. 由折叠的性质，得∠DA'C=∠A=60°. 因为DA'∥BC, 所以∠BCA'=∠DA'C=60°， ∠A'DB=∠ABC=30°， 所以∠DEA'=90°. 由对顶角相等，得∠CEB=90°. 因为∠ABC=30°，BC=45, 所以CE=BC=25, 所以A'E=A'C-CE=4-25, 所以AD=A'D=2A'E=8-45. (3)56-8/33或64-163.过程如下： 当∠DA'B=90°时， 由折叠的性质，得∠CA'D=∠A=60°， A'C=AC=4, 所以∠CA'B=∠CAD+∠DA'B=150°. 过点C作CF⊥A'B,交BA'的延长线于点F,图略， 所以∠CFA'=90°， ∠CA'F=180°-∠CA'B=30°， 所以cF=4 =2, 所以A'F=√AC-CF=25. 在Rt△BCF中，∠BFC=90°，由勾股定理，得 CF2+BFP2=BC2,即2+BF2=(43)2 解得BF=2I, 所以A'B=BF-A'F=2IT-25, 所以A'B=56-8/33. 当∠A'DB=90°时，∠A'DA=90°. 由折叠的性质，得∠ADC=∠A'DC=45. 过点C作CG⊥AB,交AB于点G,图略 因为∠CGA=90°，∠A=60°， 所以∠ACG=30°， 所以46=分4C=2, 所以CG=√AC2-AG=2√5. 在Rt△CGD中，∠ADC=45°， 所以DG=CG=25, 所以A'D=AD=AG+DG=2+25, 所以BD=AB-AD=6-25, …参考答案 所以A'B=BD2+A'D2=64-16√5. 不存在∠A'BD=90°的情况 综上所述，A'B2的值是56-8√/33或64-163. 复习专号参考答案 《因式分解》专项练习 1.B:2.A;3.1;4.A;5.C;6.10: 7.D;8.C;9.72;10.10000:11.C: 12.18; 13.x(x-4)(x-2)2. 14.(1)5ab(a-2b);(2)(x+2)2(x-2)2; (3)(a-b)(a-b-1);(4)2x(x-3)(x+2). 15.D:16.D. 17.解：(1)312是“优数”，643不是“优数”.理由如 因为3,1,2都不为0，且3+1=4， 4能被2整除， 所以312是“优数”； 因为6,4,3都不为0，且6+4=10， 10不能被3整除， 所以643不是“优数”. (2)设十位数字为a(0<a<4的整数)，则百位数 字为a+5. a+a+5=2a+5. 当a=1时，2a+5=7, 7能被1,7整除， 所以满足条件的三位数有161,167； 当a=2时，2a+5=9, 9能被1,3,9整除， 所以满足条件的三位数有271,273,279； 当a=3时，2a+5=11, 11能被1整除， 所以满足条件的三位数有381； 当a=4时，2a+5=13, 13能被1整除， 所以满足条件的三位数有491. 综上所述，满足条件的所有“优数”为161,167,271， 73,279,381,491. 《因式分解》复习检测卷 一、选择题 题号 1 2 6 8 9 10 答案 A B D 二、填空题 11.a(a+4);12.3x-y;13.16; 14.6;15.M>N;16.2023;17.20: 18.4或-4. 三、解答题 19.解：(1)2mn(m+4)(m-4); (2)(x+3)2(x-3)2. 20.解：原式=2xy(4x2-4xy+y2)=2xy(2x-y）2 当xy=3,2x-y=-1时，原式=6. 21.解：a4+4=(a+4a2+4)-4a =(a2+2)2-(2a) =(a2+2+2a)(a2+2-2a) 22.解：这三个连续偶数分别是 2n-2,2n,2n+2, 所以它们的平方和是： (2n-2)2+(2n)2+(2n+2)2 =4n2-8n+4+4n2+4n2+8n+4 =12n2+8=4(3n2+2). 因为n是正整数， 所以它们的平方和是“4倍数” 23.解：(1)由题意，得 A=(x+4)(2x-1) 15 =2x2-x+8x-4 =2x2+7x-4. (2)因为x-2能整除x2+kx-14, 所以当x-2=0时，x2+kx-14=0. 当x=2时，x2+kx-14=4+2k-14=0, 解得k=5. 24.解：(1)①x2-8x-9 =x2-8x+42-42-9 =(x-4)2-25 =(x-4+5)(x-4-5) =(x+1)(x-9). ②x2+3x-4 =2+3+(3广-(3)-4 =(x+)-翠 =(x+3+x+3-) =(x+4)(x-1). (2)x2-6x+12 =x2-6x+9+3 =(x-3)2+3. 因为(x-3)2≥0， 所以(x-3)2+3>0, 所以多项式x2-6x+12的值总是一个正数： 25.解：(1)(a+2b)(2a+b); (2)由题意，得2a2+262=20,6a+6b=24, 所以a2+b2=10,a+b=4. 因为(a+b)2=a2+b2+2ab, 所以16=10+2ab, 所以ab=3, 所以图中空白部分的面积为：5ab=15(平方厘米). 26.解：(1)(x-1)4; (2)设x2+6x=y,则 原式=y(y+18)+81 =y2+18y+81 =(y+9)2 =(x2+6x+9)2 =(x+3)4. (3)设1++分+…+=y 则分+分+…+写=y山， 所以原武=y-1+)-(y+)y- =-0)-(+0),-0 =2-0-y+y-0+0 《分式》专项练习 1.B;2.C;3.D:4.C;5.C;6.B:7.B: 8.C;9.-2 10.解：(1)最简公分母是2a2b2c 3 3bc a-b -2a2-2ab 2a2b- 2a2bc'ab2c 2a26c (2)最简公分母是(x+y)2(x-y). 尤=，x(x+)☑ x-y (x+y)2(x-y)' r(x-y) 0+2+7=(x+y)2(x-y) 2 2(x+y） -7=(x+y)(x-y万 11.D. 2解：1)G”6:(2)。子6(3)8出 a-1 13.解：原式=m2-4m+3.当m=4时，原式=3. 16 14.A;15.A;16. a'n 9m4 17.1.03×10-7:18.A: 19.B. 20.解：(1)x=-1;(2)无解 21.解：(1)设排球的单价为x元，则篮球的单价为 (x+30)元 根据题意，得 330 240 解得x=80. +30 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意 所以x+30=110. 答：篮球的单价为110元，排球的单价为80元 (2)设购买篮球y个，则购买排球(20-y)个 根据题意，得110y+80(20-y)≤1800. 解得y≤6子所以y的最大值为6 答：最多购买6个篮球， 《分式》复习检测卷 一、选择题 题号 2 3 4 5 6 8 10 答案 C A B B B B 二、填空题 11.m;12.1.2×10;13. 4； 14.5,1;15.6; 16.80:17.34:18.-4或6. 三、解答题 20.(1)无解；(2)x=4. 21.解：任务一：①一，分式的基本性质；②二，去括 号时-2没有变号. 任务(4+2 (（ 》2 =-x+2 x-2 x2-4 2 2 ,x-2 =(x+2)(x-2)2 1 = x+2 22.解：设每辆小货车的货运量是x吨，则 每辆大货车的货运量是(x+4)吨， 根据题意，得80=60，解得x=12 x+4 经检验，x=12是原分式方程的解，且符合题意 所以x+4=16. 答：每辆大货车的货运量是16吨，每辆小货车的货 运量是12吨 28解：解分式方程+子=1，得：=-3 经检验，x=-3是原分式方程的解 将x=-3代入子=2得a=-子 经检验，。=-子是原分式方程的解 所以(8a+)=[8×(-)+ =(-1)23=-1. 24.解：(1)新能源车的每千米行驶费用为 60×0.6= 36(元)： a (2)①根据题意，得40×9-36=0.54， a 解得a=600. 经检验，a=600是原分式方程的解，且符合题意 所0X9-0.6,9=0.06 答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的 每千米行驶费用为0.06元. ②设每年行驶里程为x千米， 参考答案 根据题意，得0.6x+4800>0.06x+7500, 1 解得x>5000. 答：当每年行驶里程大于5000千米时，买新能源车 的年费用更低 25.解：(1)是 (2)设0+5 a-b 的“关联分式”是V, 则 -N=a-b ·N, 2a+3b 阴以÷6+小N=8÷ 所以W= a-b 3a+2b 即分式8十6的关联分式”是8 (3) x+y 26.解：(1)设甲操控A型号收割机每小时收割x亩 水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割(1-40%)x亩 水稻 6 根据题意，得1-40%)x 6=0.4, x 解得x=10. 经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意 所以(1-40%)x=6. 答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙 操控B型号收割机每小时收割6亩水稻. (2)设安排甲收割y小时，则乙收割(100-10y)亩 水稻 根据题意，得10y×3%+(100-10y)×2%≤100 ×2.4%, 解得y≤4. 答：最多安排甲收害割4小时. 《二次根式》专项练习 1.C;2.A;3.C;4.B;5.B;6.25;7.D; 83-5:9D,10D:1. 12.C. 13解：(1)11+62；(2)√3： (3)4+√6；(4)2+2. 14.解：(1)原式=√6-ba 当a=2,b=8时，原式=-62. 1 (2)原式=x2+√2x 当x=2+1时，原式=5+32. 《二次根式》复习检测卷 一、选择题 题号 2 3 6 8 10 答案 D B D 二、填空题 11.3√10；12.答案不唯一，如-√2；13.<； 14.62;15.-2;16.2；17.万-5； 18.22+2或2+4. 三、解答题 19.解：(1) 語2子 20解< 21.解：因为、1一 <1,所以x-1<0, 26+5 所以原武-+开 =x-1 当x= 1 =5-26时， 26+5 原式=5-26-1-(26+5)=-46-1. 数理极 22.解：(1)根据题意，得 AC=(55+210)-45-40=25(cm). (2)根据题意，得AC边上的高为： 2(206+45)÷25=(4/30+4)cm. 2双解：当32-时. 2 (1)原式=(x+y)(x-y) =(,2)×作，22) =2-22; (2原式=(-=(，.1 =(1-√2)2 =3-22 24.解：(1)22； (2)根据题意，得(5-1)×(m-√5)=-2， 腿a-店后 =-(5+1)=-1-5, 所以m=-1. 25.解：(1)猜想：a+b≥2√ab(a≥0，b≥0). 理由如下： 因为a+b-2ab =(a)2+(B)2-2ab =(a-b)2≥0， 所以a+b≥2√ab. (2)设对角线的长分别为a厘米，b厘米 由对角线互相垂直，得四边形ABCD的面积为)ab, 则2ab=800, 所以ab=1600. 因为a+b≥2√ab=2×/1600=80, 所以用来做对角线的竹条至少要用80cm. 26.解：(1)x=±√39. (2)(4x2+6x-5+√/4x2-2x-5)· √4x2+6x-5-√4x2-2x-5) =（4x2+6x-5)2-(√4x2-2x-5) =(4x2+6x-5)-(4x2-2x-5)=8x. 因为√4x2+6x-5+√4x2-2x-5=4x, 所以/4x2+6x-5-4x2-2x-5=8x÷4x= 所以√4x2+6x-5=2x+1, /4x2-2x-5=2x-1, 所以（√4x2+6x-5)2=(2x+1)2, 所以4x2+6x-5=4x2+4x+1, 解得x=3. 同理解√/4x2-2x-5=2x-1,得x=3. 所以方程√4x2+6x-5+√4x2-2x-5=4x的 解是x=3. 《三角形》专项练习 1.B:2.12<y<18;3.D;4.0.5或1.5. 5.解：(1)△ABC,△ABD,3. (2)因为∠BAC=90°，∠B=35°， 所以∠C=180°-∠BAC-∠B=55. 因为AF⊥BC,所以∠AFC=90°， 所以∠CAF=180°-∠AFC-∠C=35°. 6.A 7.解：因为∠B比∠C大20°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-（∠C+20°）-∠C =160°-2∠C. 数理极 因为AF平分∠BAC, 所以∠BAP=子∠BAC=80-∠C 由对顶角相等，得 ∠DEF=∠AEB=180°-∠B-∠BAF =180°-（∠C+20°）-(80°-∠C) =80°. 因为FD⊥BC,所以∠EDF=90°， 所以∠F=180°-∠EDF-∠DEF=10°. 8.C;9.100°；10.A;11.C;12.3; 13.40°或100°. 14.证明：(1)因为AD平分∠BAC, 所以∠CAD=∠EAD 因为DE∥AC, 所以∠ADE=∠CAD, 所以∠ADE=∠EAD, 因为AD⊥BD, 所以∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°， 所以∠EAD+∠ABD=180°-∠ADB=90°， 所以∠BDE=∠ABD, 所以DE=BE,即△BDE是等腰三角形 (2)因为CD∥AB, 所以∠CDA=∠EAD=∠EDA. 「∠CDA=∠EDA, 在△4C和A4D中D0 ∠CAD=∠EAD, 所以△ACD兰△AED(ASA), 所以CD=ED,所以CD=BE. 15.5. 16.证明：因为△ABC为等边三角形， 所以AC=BC,∠B=∠ACB=60° 因为AD∥BC,所以∠DAC=∠ACB=60°=∠B. AD BE, 在△DAC和△EBC中，{∠DAC=∠B, AC BC, 所以△DAC≌△EBC(SAS), 所以DC=EC,∠ACD=∠BCE, 所以∠ECD=∠ACD+∠ACE =∠BCE+∠ACE =∠ACB=60°， 所以△DEC为等边三角形 17.B;18.40° 19.证明：因为∠EBC=∠A+∠ACB=∠BCE, 所以CE=BE.所以点E在BC的垂直平分线上， 20.D;21.A;22.C;23.B. 24.解：△ADE兰△CAB.理由如下： 因为∠DCE=∠CED,所以CD=DE. 因为AB=CD,所以AB=DE. rAE CB, 在△ADE和△CAB中，{DE=AB, AD CA, 所以△ADE≌△CAB(SSS). 《三角形》复习检测卷 一、选择题 题号 2 3 6 8 10 答案 C C B B C D C 二、填空题 11.三角形的稳定性；12.5；13.30°；14.20， 20; 15.10°；16.150°；17.5；18.70. 三、解答题 19.图略. 20.证明：因为∠ACD=120°，∠A=60°， 所以∠B=∠ACD-∠A=60°， ∠ACB=180°-∠ACD=60°， 所以△ABC是等边三角形 参考答案 21.解：因为∠BAC=68°， AE是△ABC的角平分线， 所以∠CME=∠BMC=34 因为∠ACD=116°， 所以∠AEC=∠ACD-∠CAE=82°. 22.解：过点F作FG⊥AB于点G,图略， 所以∠AGF=∠EDC=90°， FG=BE=20米，BG=EF=1米 因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°. 因为∠1+∠ECD=90°， 所以∠2=∠ECD. ∠AGF=∠EDC, 在△AFG和△ECD中，{FG=CD, C∠2=∠ECD, 所以△AFG≌△ECD(ASA), 所以AG=ED=BD-BE=38米， 所以AB=AG+BG=39米 答：单元楼AB的高为39米. 23.证明：(1)因为∠A=∠ADE,所以DE=AE. 因为BE是边AC上的中线，所以AE=CE. 因为BD=CE,所以BD=DE, 所以点D在BE的垂直平分线上 (2)因为BD=DE,所以∠ABE=∠DEB, 所以∠A ∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠ABE, 所以∠BEC=∠A+∠ABE=3∠ABE. 24.解：(1)△BCM≌△ACN.理由如下： 因为CA=CB,BN=AM, 所以CA-AM=CB-BW,即CM=CN. .CM CN, 在△BCM和△ACN中，{∠C= ∠C, CB CA, 所以△BCM≌△ACN(SAS). (2)因为△BCM≌△ACN, 所以∠CBM=∠CAN. 因为AE=DE,所以∠EAD=∠EDA. 因为AG∥BC, 所以∠GAC=∠ACB=aX,∠ADB=∠DBC, 所以∠ADB=∠CAN, 所以∠BDE=∠ADB+∠EDA=∠CAN+∠EAD =180°-∠GAC=180°-a 25.(1)75°. (2)证明：在EB上截取EW=CE,连接CW,图略， 所以∠ECN=∠EWNC. 因为CF⊥AB,所以∠AEC=90°， 所以∠EC=之LAEC=45=∠E, ∠NAC+∠ACE=180°-∠AEC=90, 因为∠ACB=∠ACE+∠FCD=90°， 所以∠NAC=∠FCD. ∠ANC=∠F, 在△ACN和△CDF中，{∠NAC=∠FCD, AC CD. 所以△ACN≌△CDF(AAS), 所以AN=CF, 所以AN-EN=CF-CE,即AE=FE. 26.解：(1)过点P作PF∥AC交BC于点F,图略， 所以∠PFB=∠ACB,∠PFD=∠QCD,∠DPF= ∠Q. 因为点P和点Q同时出发，且速度相同， 所以BP=CQ 因为AB=AC,所以∠B=∠ACB, 所以∠B=∠PFB, 所以BP=PF, 所以PF=CQ ·∠PFD=∠QCD, 在△PFD和△QCD中，{PF=QC, ∠DPF=∠Q, 17 所以△PFD≌△QCD(ASA), 所以DP=D0=2PQ=5 (2)线段DE的长保持不变.理由如下： 当点P在线段AB上时， 由(1)得△PFD≌△QCD,PB=PF, 所以FD=CD. 因为PE上BC,所以EF=】BF, 所以DE=EF+FD=6F CF=1BC =3. 1 2 当点P在BA的延长线上时， 过点P作PG∥AC交BC的延长线于点G,图略， 所以∠G=∠QCD=∠ACB,∠DPG=∠Q. 因为AB=AC,所以∠B=∠ACB, 所以∠B=∠G,所以GP=BP 因为PE⊥BC,所以EG=2BG 因为BP=CQ,所以GP=CQ. ∠DPG=∠Q, 在△PGD和△QCD中，{GP=CQ, L∠G=∠QCD, 所以△PGD≌△QCD(ASA), 所以DG=DC, 所以DE=G-0c=8G-CG=8C=3 综上所述，线段DE的长保持不变 《直角三角形》专项练习 1.D;2.C;3.30°或150°； 4.B:5.A:6.A;7.D. 8.解：(1)当点P是边AC的中点时，△PBC的面积 为△ABC面积的一半.所以t=8. (2)根据题意，得AP=tcm, 则PC=(16-t)cm. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 BC =AB2 -AC2 12 cm. 在Rt△PCB中，由勾股定理，得 PC2+BC2=PB2,即(16-t)2+122=t2, 解得t=12.5. 所以当t的值为12.5时，AP=PB. 9.C;10.B;11.2;12.B:13.13m. 14.解：过点C作CE⊥AB于点E,图略. 因为∠BAC=60°，所以∠ACE=30°， 所以AB=之AC=2米 根据勾股定理，得CE=√AC-AE=25米. 因为∠BCA=75°， 所以∠BCE=∠BCA-∠ACE=45°， 所以∠B=45°，所以BE=CE=23米 根据勾股定理，得BC=√BE+CE=26米， 所以AB+BC=AE+BE+BC=(2+25+26) 米 答：电线杆未折断时的高度为(2+25+26)米 15.①②③：16.A. 17.证明：因为DE⊥AB,DF⊥AC, 所以∠E=∠DFC=90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 因为BD=CD,BE=CF, 所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), 所以DE=DF, 所以AD平分∠BAC. 《直角三角形》复习检测卷 一、选择题 题号 8 9 10 答案 B