1.2.4圆与圆的位置关系（第1课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，核心知识点包括位置关系种类及几何、代数判断方法。课堂导入通过回顾点与圆（距离与半径关系）、直线与圆（Δ和距离判断）的位置关系搭建学习支架，自然引出圆与圆的五种位置关系，形成知识递进脉络。 其特色在于融合数学史（如欧几里得《几何原本》、阿基米德等）渗透文化，以几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）为核心，通过典例（含参数的外切内含问题）和分层练习，培养数学思维（逻辑推理）与数学语言（符号表达）。学生能系统掌握方法发展理性精神，教师可利用结构化内容提升教学效率。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 直线与圆 第2节 圆与圆的方程 2.4 圆与圆的位置关系 第1课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解圆与圆的位置关系的种类. 2、掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法. 3、能够利用上述方法判断两圆的位置关系. 1、掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法. 2、能够利用上述方法判断两圆的位置关系. 1、掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法. 2、能够利用上述方法判断两圆的位置关系. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、点与圆的位置关系有哪些？ 点在圆内 点在圆上 点在圆外 C P C P C P ______⇔点在圆内 ______⇔点在圆上 ______⇔点在圆外 PC＜r PC=r PC＞r 3 新 知 引 入 韦 达 2、直线和圆的位置关系有哪些？ C A B C A C 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 ______⇔直线与圆相离 ______⇔直线与圆相离 ______⇔直线与圆相交 ______⇔直线与圆相交 ______⇔直线与圆相切 ______⇔直线与圆相切 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 d＜r d=r d＞r 4 新 知 引 入 布 丰 3、圆与圆有哪些位置关系呢？ 外离 外切 相交 内切 内含 如何根据两个圆的方程判断两圆的位置关系呢？ 5 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 O1 O2 几何法 外离 外切 经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的___________； 圆心之间的线段长，叫作____________，通常用d表示。 连心线 圆心距 O1 O2 d d 圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0) 6 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 几何法 相交 内切 内含 d d d O1 O1 O1 O2 O2 O2 圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0) 7 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 几何法判断两圆位置关系的步骤： 圆，圆心O1(x1,y1),半径r1 圆，圆心O2(x2,y2),半径r2 圆心距为 （1）将两圆的方程化为标准方程； （2）求两圆的圆心坐标和半径和； （3）求两圆的圆心距； （4）比较与||，的大小关系，从而判断两圆的位置关系 8 学 习 新 知 拉格朗日 代数法 设两圆的一般方程为 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 (-4F1>0） C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 (-4F2>0） 联立方程 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点的个数 两圆的位置关系 2 1 0 相交 外切或内切 外离或内含 9 学 习 新 知 伯努利 判断两圆的位置关系常用两种方法：几何法和代数法。 但一般情况下用几何法,即用两圆半径和圆心距之间的关系来刻画,此种方法形象直观。 10 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、画图并判断圆，圆的位置关系. 解：圆转化为 ， 圆心，半径； 圆转化为 ， 圆心，半径. 圆心距， 因为，所以圆与圆相交. 11 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、已知圆C1： 圆C2： , 试判断圆C1与圆C2的位置关系 解：把圆的方程都化成标准方程： C1: C2: C1的圆心坐标是(-1,-4)，半径长r1=5; C2的圆心坐标是(2,2)，半径长r2= d=|C1C2|= ,r1+r2=5+ , r1-r2=5- 而5- , 即r1-r2 所以两圆相交 12 典 例 引 路 柯 西 例2、圆O1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系为____________. 解：两圆的圆心分别为O1(-2,2),O2(2,5),半径分别为r1=1,r2=4, 所以|O1O2|= = 5 = r1+r2 所以两圆外切 13 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知圆C1:x2+y2-4y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-4y+1=0，则两圆的位置关系是____________. 解：因为圆C1:x2+(y-2)2=1，圆C2:(x-1)2+(y-2)2=4， 所以圆C1的圆心C1(0,2)，半径r1=1， 圆C2的圆心C2(1,2)，半径r2=2， 所以|C1C2|=1= r2-r1， 所以两圆的位置关系为内切. 14 典 例 引 路 皮 亚 诺 例3、圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:(x-4)2+(y-4)2=9的位置关系为_____________. 解:圆C1:(x-1)2+y2=1的圆心C1的坐标为(1,0)，半径为r1=1， 圆C2:(x-4)2+(y-4)2=9的圆心C2的坐标为(4,4)，半径为r2=3， 因为|C1C2|=5,，r1+r2=4,|r1-r2|=2，，所以|C1C2|＞r1+r2， 所以圆C1和圆C2外离. 15 同 步 练 习 莱布尼兹 练3、已知圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0和圆C2:4x2+4y2-16x-16y+31=0，则这两个圆的位置关系为____________ 解:因为圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9，圆C2:(x-2)2+(y-2)2= 所以圆心距|C1C2|=1，而两圆半径之差 3- = ＞1 故两个圆内含 16 典 例 引 路 牛 顿 例4、已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m为何值时,分别满足下列情况: (1)圆C1与圆C2外切; (2)圆C1与圆C2内含. 解：圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),半径r1=3; 圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圆心C2(-1,m),半径r2=2. (1)如果圆C1与圆C2外切,则=3+2 所以m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5. (2)如果圆C1与圆C2内含,则＜3 - 2 所以m2+3m+2＜0,解得 -2＜m＜-1 17 同 步 练 习 黎 曼 练4、若圆，圆没有公共点，求实数的取值范围. 解：转化为 则，圆心坐标为，半径为 圆的圆心坐标为，半径为 圆、圆的圆心距 圆、圆没有公共点，则它们外离或内含 则或， 即或，解得或 所以实数的取值范围是∪∞. 18 典 例 引 路 狄利克雷 例5、已知圆与轴和轴都相切，且与圆相外切，求圆的方程. 解： 设圆. 圆与轴和轴都相切，得 圆与圆相外切， 得. 联立，得，得 所以 则圆的方程 或 19 同 步 练 习 庞加莱 练5、已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4，试写出一个半径为1，且与y轴和圆C都相切的圆的标准方程：_____________ 解：(1)设与圆C内切的圆O1(1,a),故有=2-1 解得a=1,故圆O1的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1 (2)设与圆C外切的圆O2(-1,b),故有： =2+1，解得b=1, 故圆O2的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=1 (3)设与圆C外切的圆O3(1,c),故有： =2+1，解得c=1+2 故圆O3的标准方程为(x-1)2+(y-1-2)2=1 (4)同理可得圆O4的方程为 (x-1)2+(y-1+2）2=1 20 全 课 总 结 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)． 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 无解 外切 一组实数解 相交 两组实数解 内切 一组实数解 内含 无解 21 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $