1.2.3直线和圆的位置关系（第2课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，核心内容包括切线方程、切线长及弦长的求法。课堂导入通过回顾直线与圆的位置关系判断（代数法、几何法），搭建从基础到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融入数学家故事激发学习兴趣，通过典例对比几何与代数方法，培养数学思维（推理、运算）和数学语言（公式表达）。学生能系统掌握方法，发展数形结合思想，教师可直接使用实例与练习，提升教学效率。

作课人:廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版(2019)高中数学 选择性必修第一册 作课人:廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 直线与圆 第2节 圆与圆的方程 2.3 直线和圆的位置关系 第2课时(共2课时) 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握求切线方程的方法。 2、掌握求切线长的方法。 3、掌握求弦长的方法。 4、理解数形结合思想。 1、求切线方程的方法。 2、求切线段长、弦长的方法。 1、数形结合思想的运用。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、直线和圆的位置关系有哪些? C A B C A C 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 3 新 知 引 入 韦 达 直线与圆的位置关系判断 代数法 几何法 _ 直线与圆相交; _ 直线与圆相切 ; _ 直线与圆相离. _ 直线与圆相交; _ 直线与圆相切; _ 直线与圆相离. >0 =0 <0 d<r d=r d>r 4 学 习 新 知 欧几里得 (约公元前300年) 《几何原本》 求圆的切线方程的方法 (1)求过圆上一点的圆的切线方程: (2)求过圆外一点的圆的切线方程: ①先求切点与圆心的连线的斜率,则由垂直关系,知切线斜率为, ②由点斜式方程可求得切线方程. 几何法:设切线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径,可求得,切线方程即可求出.并注意检验当不存在时,直线是否为圆的切线. 代数法:设切线方程为,代入圆的方程,得到一个关于的一元二次方程,由求得,切线方程即可求出,并注意检验当不存在时,直线是否为圆的切线. 5 学 习 新 知 阿基米德 (公元前287年—公元前212年) 《阿基米德全集》 (1)先判断点P和圆的位置关系. 若点? 在圆上,切线有一条; 若点? 在圆外,切线有两条. (2)在求切线的过程中,要注意讨论斜率不存在的情况. (3)几何法比代数法运算量小,也比较直观、简单,故通常采 用几何法解决圆的切线问题. 求过一点? 的圆的切线方程的问题需要注意: 6 学 习 新 知 拉格朗日 圆的切线方程常用结论 O x2+y2=r2 P(x0,y0) x0x+y0y=r2 O (x-a)2+(y-b)2=r2 P(x0,y0) (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 O x2+y2=r2 M(x0,y0) x0x+y0y=r2 7 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、若过点M(2,-3)作圆C:x2+y2=13的切线,则切线方程为_ 解:由圆C:x2+y2=13知圆心C(0,0,),半径r= ∵CM = = ∴点M在圆C上。 ∵kCM = = - ∴切线的斜率为 ∴切线方程为y-(-3)= (x-2) 即2x-3y-13=0 8 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=r2经过点P(2,2),则圆在点P处的切线方程为 . 解:圆心C(1,1) kPC = =1 所以切线的斜率为-1 所以切线方程为y-2=-1 (x-2) 即:x+y-4=0 9 典 例 引 路 牛 顿 例2、已知直线经过,且与圆:相切,求直线的方程. 解: (1)当直线的斜率不存在时,直线l的方程为, 圆心到直线l的距离为,不合题意. (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为, 即 由相切条件可得, 即解得 故所求直线的方程为或. 10 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知圆,过点(1,3)作圆的切线l,求此切线的方程. 解:圆标准方程为, 圆心为,半径为2. 当直线的斜率不存在时,的方程为满足条件. 当直线的斜率存在时,设 即. 由题意,得,得. 所以的方程为 综上,满足条件的切线的方程为或 11 典 例 引 路 狄利克雷 例3、已知直线经过,且与圆:相切,求直线的方程. 解:(1)当直线的斜率不存在时,直线的方程为, 代入圆的方程得,此方程有两个不相等的实数根, 即直线与圆相交,不合题意. (2)当直线l的斜率存在时,设直线的方程为, 得到方程组 整理得 因为直线与圆相切所以 , 即,解得 故所求直线l的方程为或. 12 同 步 练 习 黎 曼 练3、过点P(4,-1)作圆x2+y2-4x=0的切线,则切线方程为 . 解:(1)当过P点的直线线斜率不存在时:方程为x=4 代入圆的方程得y=0,所以切线方程可以为x=4 (2)当过P的直线斜率存在时,设切线方程为y+1=k(x-4) 即y=kx-1-4k 由,得(1+k2)x2-(8k2+2k+4)x+16k2+8k+1=0 ∴ =(8k2+2k+4)2-4(1+k2)(16k2+8k+1)=0 ∴k= ∴切线方程为y+1=(x-4)即3x-4y-16=0 综上所述:切线方程为x=4或3x-4y-16=0 13 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 (约公元前200年) 《圆锥曲线论》 切线段的长度 从圆外一点,引圆的切线,则到切点的切线段长为 _ (a,b) P(x0,y0) Q . 14 典 例 引 路 皮 亚 诺 例4、从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向圆引切线,则切线段长为_ 解:P到圆心的距离为 = 则切线长为 = 2 15 同 步 练 习 庞加莱 练4、过点P(2,3)作圆C:x2+y2+2x+2y+1=0的切线,则切线长为 . 解:圆x2+y2+2x+2y+1=0可化为(x+1)2+(y+1)2=1 所以圆心为C(-1,-1),半径为r=1 所以切线段长为==2 16 典 例 引 路 华罗庚 例5、已知P为直线l:3x-4y+9=0上一点,过P作圆C:(x-2)2+y2=4的切线,则最短切线长为 . 解:如图,PA为切线段,在直角三角形PAC中,AC为定值,要使PA最短,只需PC最短即可,而当PC⊥l时,PC最短。 PCmin = =3 ∴PAmin = = 17 同 步 练 习 陈景润 练5、点P在直线y=2-x上运动,从点P向圆Q:(x+2)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为 . 解:点Q到直线y=2-x的距离为 d = = 3 所以切线段的最小值为 = 18 学 习 新 知 布 丰 求弦长的方法 方法1:如右图所示,直线与圆交于两点, 设弦心距为,圆的半径为,弦长为, 则有,即_. 方法2:如右图所示,将直线方程与圆的方程联立, 设直线与圆的两交点分别是, 则 =_ =_(直线的斜率存在). 19 典 例 引 路 柯 西 例6、已知直线与圆 判断直线与圆的位置关系,若相交,求直线被圆截得的弦长;若相切或相离,给出证明. 解:将圆的方程化为标准方程,得, 即圆是以点为圆心,为半径的圆. 因为圆心到直线m的距离 所以直线与圆相交. 设交点为,圆的半径为 =2 故直线被圆截的弦长为2. 20 同 步 练 习 莱布尼兹 练6、求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长。 解:圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5 其圆心为C(0,1),半径r= 圆心C到直线l的距离 d = = 则弦长为2=2 = 21 典 例 引 路 傅里叶 例7、已知直线与圆 判断直线与圆的位置关系,若相交,求直线被圆截得的弦长;若相切或相离,给出证明. 解:由 ,得 25x2-20x-12=0 ∵ =(-20)2-4 25 (-12)=520>0 ∴直线m圆P相交 设交点为A(x1,y1),B(x2,y2) 则 x1+x2= ,x1x2 = - ∴|x1-x2|= = 所以弦长为|x1-x2|= = 2 22 同 步 练 习 洛必达 练7、求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长。 解:设直线l与圆交于A(x1,y1),B(x2,y2) 由 得x2-3x+2=0 ∴x1+x2=3,x1x2=2 ∴|x1-x2|==1 ∴弦长为|x1-x2|= 23 学 习 新 知 伯努利 最长弦与最短弦 过圆C内一点P,可以做出_条弦。 其中,最长的弦为_; 最短的弦是过点P且与CP_的弦。 无数 直径 垂直 A B C M N P 24 典 例 引 路 贝叶斯 例8、若直线l:kx+y+2k-1=0(k∈R)与圆C:(x-1)2+(y-2)2=16交于A,B两点,则|AB|的最小值为 . 解:圆C:(x-1)2+(y-2)2=16的圆心为C(1,2),半径r=4 直线kx+y+2k-1=0变形为k(x+2)+(y-1)=0, 由 得 所以直线l恒过P(-2,-1) 又∵PC==<4 ∴p在圆C内部 ∴|AB|min=2=2 =2 25 同 步 练 习 佩雷尔曼 练8、已知动直线l:mx-y-m+1=0,圆C:x2+y2=3,则直线l与圆C相交的最短弦长为 . 解:∵动直线l:mx-y-m+1=0可化为(x-1)m+(1-y)=0 ∴动直线过定点A(1,1) ∵12+12<3 ∴A(1,1)在圆内,即动直线l与圆相交 ∴最短的弦长为 2 = 2 =2 26 全 课 总 结 一、求切线方程的两种方法 二、切线段长公式 三、弦长公式 27 THANK YOU 谢谢! 作课人:廉文杰 焦作市外国语中学 28 $