1.2.2圆的一般方程课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 直线与圆 第2节 圆与圆的方程 2.2 圆的一般方程 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径． 2、会进行标准方程与一般方程的互化. 3、能用圆的一般方程解决简单问题． 1、能用圆的一般方程解决简单问题． 1、了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径． 2、能用圆的一般方程解决简单问题． 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、前面我们学习了直线方程，知道直线方程有多种不同的表 达形式，比如： ______________、_____________、_____________、 ______________、_____________、_____________. 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 点法式 2、上一节课我们学习了圆的标准方程_____________________, 圆心为__________，半径为__________ (x-a)2+(y-b)2=r2 (a,b) r 圆的方程还有其他的表达形式么？ 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 把圆的标准方程展开得到 结论：任何一个圆的标准方程都可以化为下面形式 ______________________________________ 由于a,b,r 均为常数 令 可得方程： ______________________________________ 4 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 反之，方程 ①表示的图形是否一定是圆呢？ 把方程进行配方，得： ______________________________________________ (1)当D2+E2-4F＞0时，方程①表示以____________为圆心,_________________ 为半径的圆； (2)当D2+E2-4F=0时，方程①仅有一组解___________, ①表示一个点____________； (3)当 D2+E2-4F＜0时，方程①没有解，因而它__________________________. 不表示任何图形 5 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 称(其中D2+E2-4F＞0)为圆的一般方程。 圆的一般方程 注意：1、 2、 3、 4、 的系数相同，且不等于0。 不含这样的二次项。 圆的一般方程是一个二元二次方程，但二元二次方程不一定是圆。 D2+E2-4F＞0 6 学 习 新 知 布 丰 对于圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （1）当D=0时，方程可化为____________________， 表示的是圆心在________的圆。 （2）当E=0时，方程可化为_____________________， 表示的是圆心在________的圆。 （3）当F=0时，方程可化为_________________________， 表示的是过________的圆。 x2+(y+)2= y轴 x轴 原点 （x)2+y2= (x+)2+(y+)2= 7 学 习 新 知 位置关系 图形 几何法判断 代数法判断 点在圆上 点在圆内 点在圆外 伯努利 圆C的一般方程为， 设P(x0,y0)为坐标系内任意一点，P到圆心C的距离为d. d=r d＞r d＜r 8 学 习 新 知 拉格朗日 标准方程 一般方程 方程 表示圆的条件 圆心 半径 (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (a,b) r r2＞0 D2+E2-4F＞0 把圆的标准方程展开即得一般方程； 把圆的一般方程配方即得标准方程。 注意： 9 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、下列二元二次方程中，哪些表示圆？若果是圆，求出它的圆心和半径： (1) (2) 解：x2的系数为2，y2的系数为1，系数不相等，所以不表示圆。 解：∵22+42＞0 ∴这个二元二次方程表示圆 且圆心为(-1,-2),半径为 = 10 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、下列二元二次方程中，哪些表示圆？若果是圆，求出它的圆心和半径： (1) (2) 解：没有y2项，所以不表示圆。 解：原方程可化为：x2+y2+x-2y + =0 ∵12+(-2)2 - 4× = 3＞0 ∴此二元二次方程表示圆。 且圆心为（- ，1），半径为 = 11 典 例 引 路 柯 西 例2、已知a∈R，方程 表示圆，求该圆的圆心和半径。 解：由题意，由，解得a=2或a=-1 （1）当a=2时，方程 由于 所以当a=2时，其不表示圆 （2）当a=-1时，方程为 由 知其表示圆 圆心：(-2,-4)半径： 12 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、讨论方程 表示的是怎样的图形. 解：将原方程整理为 ①   当λ=1时，方程①是一元一次方程6x-9=0，表示与x轴垂直的直线.   当λ ≠1时，方程①可进一步整理为+= ②   当λ<0时，方程②无解，故原方程不表示任何图形；   当λ=0时，方程②只有一组解故原方程表示一个点(3，0)；   当λ>0且λ≠1时，原方程表示一个圆心在点 半径为 的圆. 13 典 例 引 路 牛 顿 例3、求经过A(1,3),B(4,2),C(5,-5)三点的圆的方程。 解：设所求圆的方程为 因为A,B,C三点在圆上，所以有 解得 故所求圆的方程为 14 同 步 练 习 黎 曼 练3、已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)，B(－1，－1)，C(－3，5)，求这个三角形外接圆的一般方程. 解：设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． ∵此圆过A，B，C三点，把三点坐标代入圆的方程中， 解方程组得 ∴圆的方程为 15 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知圆x2+y2+4x-2ay+3a2-a+1=0的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为     . 解：由x2+y2+4x-2ay+3a2-a+1=0， 化简可得(x+2)2+(y-a)2= -2a2+a+3， ∵圆心在第二象限， ∴ 解得0＜a＜ 所以实数a的范围(0,) 16 同 步 练 习 庞加莱 练4、已知圆x2+y2+ay+a=0的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为        ． 解：因为圆x2+y2+ay+a=0标准方程为x2+(y+)2 = - a 所以 解得a＜0， 即实数a的取值范围是(-∞,0) 17 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、若点P(2,-1)在圆x2+y2-x+y+k=0外，则实数k的取值范围为      ． 解：∵方程x2+y2-x+y+k=0表示圆， ∴1+1-4k＞0， ∴k＜ ∵点P(2,-1)在圆x2+y2-x+y+k=0外, ∴4+1-2-1+k＞0， ∴k＞-2 ∴实数k的取值范围为-2＜k＜ ∴实数k得取值范围是（-2， ） 18 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、已知点(1,m)在圆x2+y2-2mx+2m2-2=0内，则实数m的取值范围是          . 解：圆x2+y2-2mx+2m2-2=0可化为(x-m)2+y2=2-m2， 故满足2-m2＞0，则-＜m＜ ∵点(1,m)在圆x2+y2-2mx+2m2-2=0内 ∴12+m2-2m+2m2-2＜0 解得-＜m＜1 综上所述可知：m的取值范围是(-,1) 19 典 例 引 路 华罗庚 例6、已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0，x2+y2的最大值和最小值分别为         和         ． x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方， 由平面几何知识知，在原点和圆心连线 与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 圆心(2,0)到原点的距离为2 x2+y2的最大值为(2+)2=7+4 x2+y2的最小值为(2-)2=7-4 解：x2+y2-4x+1=0可化为（x-2)2+y2=3 圆心为（2,0），半径为 O 2 20 同 步 练 习 陈景润 练6、已知实数x,y满足x2+y2-6x-8y+21=0，则x2+y2的最大值为          . 解：由x2+y2-6x-8y+21=0，得(x-3)2+(y-4)2=4， 所以方程表示以C(3,4)为圆心，以r=2为半径的圆， x2+y2表示圆上的点(x,y)与原点O之间距离的平方， 设点(x,y)与原点O之间距离为d， 则dmax=|OC|+r=+2=7 所以x2+y2的最大值为49. 21 全 课 总 结 一、圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F＞0) 二、点与圆的位置关系的判断 22 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $