1.1.5两条直线的交点的坐标课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点坐标”，核心内容为用解方程组求交点坐标及理解方程组解与直线位置关系的对应。课堂导入先回顾直线位置关系（重合、平行、相交）的判断方法，通过“如何求交点”的问题，自然过渡到解方程组的新方法，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于融入数学史（如高斯、欧几里得等数学家）激发学习兴趣，体现数学眼光；典例从基础判断位置关系到综合应用（如三角形中线交于一点、直线过定点），培养数学思维中的推理与运算能力；共点直线系方程的引入用数学语言精确表达规律。学生能系统掌握知识提升解题能力，教师可直接使用，提高教学效率。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 直线与圆 第1节 直线与直线方程 1.5 两条直线的交点坐标 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2、理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系． 1、会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 1、理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系． 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、平面内两条直线的位置关系有哪些？ l2 l1 P l1 l2 平行 相交 重合 2、直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2 当_____________________时，l1与l2重合； 当_____________________时，l1∥l2； 当_____________________时，l1与l2相交 k1=k2且b1=b2 k1=k2且b1≠b2 k1≠k2 3 新 知 引 入 韦 达 3、也可以通过直线l1、l2的交点个数来判断两条直线的位置关系： 当l1、l2有____________个交点时，l1与l2重合； 当l1、l2有____________个交点时，l1∥l2； 当l1、l2有____________个交点时，l1与l2相交。 无数个 0 1 如何求两条直线的交点呢？ 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 因为直线与二元一次方程之间存在一 一对应的关系， 所以要求两条直线的交点，只需求两个二元一次方程的公共解。 即： 可通过解,得到两条直线， 的交点坐标。  方程组有无穷多个解⇔两直线重合. 注意：1、 2、 3、 方程组有唯一解 ，则两直线相交，即交点是：(x0,y0)   方程组无解⇔两直线平行； 5 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0． 解：由,得,所以交点坐标为（，） 解：,①×2-②得9=0，方程组无解，所以l1∥l2. 解：,①×2得6x+8y-10=0， 因此，①和②可以化为同一个方程，有无数解，所以l1与l2重合。 6 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1), ; (2) , ; (3) , ; 解：由直线方程可求得两直线斜率均为，所以两直线平行。 解：由,解得,即交点坐标为（1，-1） 解：由,解得,即交点坐标为（4，-4） 7 典 例 引 路 柯 西 例2、 已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三个顶点,求证:△ABC的三条中线交于一点. 证明：设点E,F,G分别为AB,BC,AC的中点,则易求得 三边的中点坐标分别为 所以中线AF所在直线的方程为x=1， 中线BG所在直线的方程为即7x-9y+5=0 中线CE所在直线的方程为即x+9y-13=0 由得  即交点P的坐标为   把（1，）代入CE的方程，1+9×-13=0 所以点P(1,)满足中线CE所在直线的方程，即点P(1,)在中线CE所在直线上.  所以△ABC的三条中线交于一点. 8 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知两条直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0 的交点在y＝－x上，那么k的值是 (　 　) A．－4　　　B．3　　　C．3或－4　　　D．±4 解：由,得 又该点在直线y=-x上，所以 = - 解得k=3或-4 C 9 典 例 引 路 牛 顿 例3、直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1)，求m+n的值。 解：∵直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1) ∴x=2,y=-1满足方程3x+my-1=0与4x+3y-n=0 ∴ ∴ ∴m+n=10 10 同 步 练 习 黎 曼 练3、已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________． 解：由，得 又该点位于第四象限，则 解得 -＜a＜2 11 典 例 引 路 狄利克雷 例4、直线(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0 恒过定点________ 解:直线方程化简为2x-mx+2my+y+3m+4=0， 即(2x+y+4)+m(-x+2y+3)=0， ∴ ∴ ∴该直线恒过（-1，-2） 12 同 步 练 习 庞加莱 练4、求证：不论λ为何实数，直线(2x+y-4)+λ(3x-2y+1)=0恒过定点． 解：由 ，得 故当时，不论λ为何实数， 直线(2x+y-4)+λ(3x-2y+1)=0恒成立． 即：不论λ为何实数， 直线(2x+y-4)+λ(3x-2y+1)=0恒过定点（1,2）． 13 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、已知三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10与2x-y=10不能围成三角形，则a=（     ）． A．-1 B． C．-4 D．-1或 或-4 当三条直线至少两直线平行或三条直线交于同一点时，三条直线不能围成三角形。 解：（1）显然三条直线不可能同时平行 （2）当恰有两条直线平行时 ①若ax+2y+8=0与直线2x-y-10=0平行，则 = ≠ ,解得a= -4 ②若ax+2y+8=0与直线4x+3y-10=0平行，则 = ≠ ,解得a= (3)若三条直线交于同一点，则由,得 ∴交点坐标为(4,-2)，代入直线ax+2y+8=0，得4a-4+8=0，得a=-1． 综上所述，则a=-4或或-1 D 14 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、已知三条直线l1:ax+2y-3=0，l2:2x-y-5=0，l3:4x+3y-5=0.若l1、l2、l3可以围成一个三角形，求实数a的取值范围. 解：（1）显然三条直线不可能同时平行 （2）当恰有两条直线平行时 ①若ax+2y-3=0与直线2x-y-5=0平行，则 = ≠ ,解得a= -4 ②若ax+2y-3=0与直线4x+3y-5=0平行，则 = ≠ ,解得a= (3)若三条直线交于同一点，则由,得 ∴交点坐标为(2,-1)，代入直线ax+2y-3=0，得2a-2-3=0，得a= ． 综上所述，当l1、l2、l3可以围成一个三角形，则a≠-4且a≠且a≠ 故a的取值范围为(-∞,-4)∪(-4,)∪(,)∪(,+∞) 15 典 例 引 路 华罗庚 例6、已知点A(4,2),B(0,3),和直线l：mx-y-3m+1=0,直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是          . 解: 直线l：mx-y-3m+1=0 可化为m(x-3)-y+1=0， 所以直线l过点P(3,1)， 如图，满足题意的直线l是绿色部分的直线 ∵kPA= =1 ,kPB= = - 又∵直线l：mx-y-3m+1=0 可化为y=mx+1-3m ∴m表示直线l的斜率 ∴m的范围是[1,+∞)∪(-∞,- ] B(0,3) A(4,2) P(3,1) 16 同 步 练 习 陈景润 练6、已知点A(-3,-1),B(3,-2),直线l:ax+2y+a-4=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是____________ 解：直线l:ax+2y+a-4=0可化为a(x+1)+(2y-4)=0 由,得 所以直线l恒过点P(-1,2) 如图，满足题意的直线l是绿色部分的直线 ∵kPA= = ; kPB= = -1 又∵直线l:ax+2y+a-4=0可化为y= - x+ ∴- ≤-1或 -≥ ∴a≤-3或a≥2 即a 的取值范围是（-∞，-3]∪[2,+∞) P(-1,2) A(-3,-1) B(3,-2) 17 新 知 引 入 布 丰 如图，已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0, 直线l1与l2的交点为M（x0,y0) 过点M可以做出来无数条直线，这无数条直线能用一个二元一次方程表示么？ l1 l2 M 考查方程A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0 一方面：因为这是一个二元一次方程， 所以它表示的是一条直线。 另一方面： ∵M（x0,y0)是直线l1与l2的交点 ∴A1x0+B1y0+C1=0；A2x0+B2y0+C2=0 ∴A1x0+B1y0+C1+λ（A2x0+B2y0+C2）=0 即（x0,y0)满足方程A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0 即直线A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0经过点M（x0,y0)。 18 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 共点直线系方程 一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0相交，则经过它们交点M（x0,y0)的直线l可写作： A1x+B1y+C1 +λ（A2x+B2y+C2）=0 注意：1、 2、 3、 当λ=0时，直线 l 的方程即为直线l1的方程。 l 的方程所表示的直线不能表示l2. 方程A2x+B2y+C2 +λ（A1x+B1y+C1）=0也可表示过交点M（x0,y0)的共点直线系方程，但它不能表示直线l1. 19 典 例 引 路 傅里叶 例7、已知直线l1:3x+4y-10=0,l2:4x-6y+7=0,直线l3过l1与l2的交点且过点A(4,-7)，求l3的方程． 解：经检验，A(4,-7)不在直线l2上。 由题意可设l3的方程为3x+4y-10+λ(4x-6y+7)=0． 因为l3过点A(4,-7)， 所以3×4+4×(-7)-10+λ[4×4-6×(-7)+7]=0 解得λ= 所以l3的方程为3x+4y-10+(4x-6y+7)=0 即23x+8y-36=0 20 同 步 练 习 佩雷尔曼 练7、求经过点P(1,2)和两直线l1:x+y+1=0和l2:5x-3y+10=0的交点Q的直线方程． 解:经检验，P(1,2)不在直线l2上 设过点Q的直线方程为x+y+1+λ(5x-3y+10)=0， ∴1+2+1+λ(5×1-3×2+10)=0 ∴解得λ= - ∴过点Q的直线方程为x+y+1-(5x-3y+10)=0 即11x-21y+31=0 21 全 课 总 结 无公共点 无解 与重合 有无数个公共点 有无数个解 与相交 有唯一交点 有且只有一个解 直线与 22 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $