精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年度高一数学期中考试卷 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则下列不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，那么函数的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 7. 命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 定义在R上的奇函数，满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题（共20分） 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知，，，则（ ） A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最小值2 D. 最小值为2 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 C. 方程有唯一解的充要条件是 D. 表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件 12. 已知定义在R上且不恒为零的函数，若对于，，有，则下列说法正确的有（ ） A. 函数为奇函数 B 对 C. 若，则 D. 若当时，，则函数在区间上单调递增 三、填空题（共20分） 13. 若集合，，若，则最小的整数为_______ 14. 计算：________． 15. 若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______. 16. 已知奇函数定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为________． 四、解答题（共70分） 17. 求下列不等式解集： （1）； （2）； 18. 已知集合，或． （1）若，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 19. （1）已知：函数有零点；：所有的非负整数都是自然数.若为假，求实数的取值范围； （2）已知：；：.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 20. 求函数解析式 （1）已知是一次函数，且满足求． （2）已知满足，求． 21. 已知是定义在上的奇函数，且，若任意的，当时，总有. （1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式； （3）若对所有的恒成立，其中(是常数)，试用常数表示实数的取值范围. 22. 定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界已知函数 当，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由； 若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高一数学期中考试卷 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可得，再由交集运算即可求得结果. 【详解】根据题意由可得， 又，即可得. 故选：D 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定即可得解. 【详解】量词命题的否定步骤为：“改量词，否结论”， 所以命题“”的否定为“”. 故选：B. 3. 已知集合，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：因为集合， 所以BA， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 4. 若，则下列不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A，B，C正确，再举例说明D错误.. 【详解】因为，所以，，，， 又，所以，所以成立， ，所以， ，所以， 取可得，，，所以不成立， 故选：D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由指数运算得出，再由幂函数的单调性得出大小关系. 【详解】因为，所以，又函数在上单调递增，所以. 故选：B 6. 已知，那么函数的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据基本不等式可求得最小值． 【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6． 故选：B． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7. 命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意在恒成立，讨论、求对应参数范围，即可得答案. 【详解】当时，对于恒成立，满足； 当时，在恒成立，则，满足； 综上，. 故选：C 8. 定义在R上的奇函数，满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由已知化简不等式可得.然后根据单调性、奇偶性，分别讨论求解以及时，不等式的解集，即可得出答案. 【详解】由已知可得. 当时，有. 由，且在上单调递减，可知； 当时，有. 根据奇函数的性质，可推得，且在上单调递减， 所以. 综上所述，不等式的解集为或. 故选：B. 二、多选题（共20分） 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由同一函数的定义对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于C，函数与函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确； 对于D，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确； 故选:ACD 10. 已知，，，则（ ） A. 最大值 B. 最大值为 C. 最小值为2 D. 最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式相关知识计算判断即可. 【详解】对于A，因为，，，所以，则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以最大值为，故A错误； 对于B，由选项A的分析易知，B正确； 对于C，因为， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以最小值为2，故C正确； 对于D，因为，则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以最小值为2，故D正确. 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 C. 方程有唯一解的充要条件是 D. 表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据集合间的包含关系可知“”是“”的必要不充分条件，即A正确；由充分条件、必要条件的推出关系可知B正确；易知当时，方程有唯一解满足题意可得C错误；取特殊值可知，必要性不成立，即D错误. 【详解】对于A，利用集合间的包含关系可知， 所以推不出，但，即可知“”是“”的必要不充分条件，即A正确； 对于B，若是的必要不充分条件，则，而推不出， 又是的充要条件，则，所以可得,而推不出，所以可得是的充分不必要条件，即B正确； 对于C，当时，方程即为，此时方程有唯一解，满足题意，因此C错误； 对于D，依题意可得，若，可得，所以充分性成立， 若取，此时满足，且，不能得到，所以必要性不成立，即D错误. 故选：AB 12. 已知定义在R上且不恒为零的函数，若对于，，有，则下列说法正确的有（ ） A. 函数为奇函数 B. 对 C. 若，则 D. 若当时，，则函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令，得出，令，得出，再令得出结果；对于B，令进行归纳得出结论；对于C，令，再结合得出结果；对于D，当时，由于，则，再结合单调性的定义考虑时，，与零的大小关系得出结果. 【详解】对于A，令，则，解得；令，则，解得. 令，则，即，则函数为奇函数，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，归纳可知，故B错误； 对于C，令，则，求出，由于， 则， 则，故C正确； 对于D，当时，由于，则， 考虑，则，由于，则函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】抽象函数奇偶性的判断，一般先通过赋值法找到如，的值，再一次利用赋值法得到与的关系即可. 三、填空题（共20分） 13. 若集合，，若，则最小的整数为_______ 【答案】3 【解析】 【分析】求解出集合后，根据集合的包含关系可求得，从而得到最小的整数的值. 【详解】由题意得： 最小的整数为 本题正确结果： 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，属于基础题. 14. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】 由指数的运算性质求解即可. 【详解】原式 故答案为： 15. 若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围. 【详解】直线与的图象有两个公共点， 故有两个不同的解， 故和共有两个不同的解， 因为，故有且只有一个实数解. 若，则，故无解，而只有一个解， 故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍； 若，因为只有一个解，故需有一解， 故，故. 故答案为：. 16. 已知奇函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性求得不等式的解集. 【详解】构造函数， 依题意，的定义域是，是奇函数， 所以，所以是偶函数， 由于对，，都有， 所以在上单调递增，则在上单调递减. ， 由得，即， 所以或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】本题的关键点是熟练掌握函数单调性的定义及其变型.任取定义域内的两个数，且，通过计算的符合来判断的单调性，也可以利用的符号来判断的单调性. 四、解答题（共70分） 17. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分式不等式的解法求解即可； （2）利用二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得或， 则解集为 【小问2详解】 由，得，即， 解得，则解集为. 18. 已知集合，或． （1）若，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集的定义，列出关于的不等式组即可求解； （2）由题意，，根据集合的包含关系列出关于的不等式组即可求解； 【小问1详解】 解：∵或，且， ∴，解得， ∴a的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵或，且， ∴， ∴或，即或， ∴a的取值范围是. 19. （1）已知：函数有零点；：所有的非负整数都是自然数.若为假，求实数的取值范围； （2）已知：；：.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)易知为真命题，根据且命题的真假可知为假命题，结合函数零点与对应方程的根之间的关系得出，解不等式即可； (2)根据一元二次不等式的解法可得和，结合必要不充分条件的概念可得 ，利用集合与集合之间的关系即可得出答案. 【详解】解：（1）对于：所有的非负整数都是自然数，显然正确. 因为为假，所以为假. 所以“函数没有零点”为真， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. （2）对于：，解得或. 对于，不等式的解集为， 因为是的必要不充分条件， 所以 所以或， 所以或， 所以实数的取值范围是. 20. 求函数解析式 （1）已知是一次函数，且满足求． （2）已知满足，求． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】(1)由是一次函数，可设，可将转化为a,b关系，由此得到. (2)由可再得一方程，建立二元一次方程组即可求得. 【详解】（1）是一次函数,设,则 即不论为何值都成立 所以解得 故的解析式为 （2） ∵① ∴② ①②-②得, 故 【点睛】本题主要考查解析式的求法，通常已知函数名称采用“待定系数法”，已知和或的关系通常采用“赋值”建立二元一次方程组求解. 21. 已知是定义在上的奇函数，且，若任意的，当时，总有. （1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式； （3）若对所有的恒成立，其中(是常数)，试用常数表示实数的取值范围. 【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）；（3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）在上为单调递增函数,根据函数的单调性定义即可求证结论正确； （2）根据（1）中的单调性和定义域列不等式组即可求解； （3）不等式对恒成立，转化为的最大值使不等式成立，可得成立，根据的值进行分类讨论，即可求解. 【详解】（1）在上是增函数，证明如下. 任取，且，则， 于是有， 故，故在上是增函数. （2）由在上是增函数知：，即， 解得：. 故不等式解集为. （3）由（1）知最大值为， 所以要使对所有恒成立，只需成立，即. ①当时，的取值范围为； ②当时，的取值范围为； ③当时，的取值范围为. 22. 定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界已知函数 当，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由； 若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）值域为(3，＋∞)；不是有界函数，详见解析（2） 【解析】 【详解】(1)当a＝1时，f(x)＝1＋ 因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)， 故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立， 所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立． －3≤f(x)≤3，－4－≤a·≤2－，所以－4·2x－≤a≤2·2x－在[0，＋∞)上恒成立．所以≤a≤， 设2x＝t，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t1<t2，h(t1)－h(t2)＝>0，p(t1)－p(t2)＝<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5，1]． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $