专题02等腰三角形寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化题型突破)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题02等腰三角形寒假预习讲义 · 理解等腰三角形、等边三角形的定义，能准确识别相关图形。 · 掌握等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 的性质，能运用性质进行角度、线段计算。 · 掌握等腰三角形 “等角对等边” 的判定定理，能证明一个三角形是等腰三角形。 · 理解等边三角形的特殊性质与判定方法，区分等腰与等边三角形的联系与区别。 必备知识 点梳理 1.等腰三角形的概念及性质 2.等边三角形的相关内容 3.预习易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.等腰三角形的“等边对等角”性质 2.等腰三角形的“三线合一”性质 3.等边三角形的核心性质 4.利用“等角对等边”判定等腰三角形 5.借助“等角对等边”证明线段相等 6.利用“等角对等边”求解线段长度 7.等腰三角形的性质和判定 8.格点图中构造等腰三角形的方法 9.反证法证明中的假设 10.等边三角形的判定方法 11.等边三角形的判定和性质 12.含30的直角三角形的特殊性质 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.等腰三角形的基础概念及性质】 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边。 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2.基本性质 性质类型 具体内容 性质 1（边与角） 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等 性质 2（三线合一） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。具体来说有三层含义： 1.如果一条线段是等腰三角形的顶角平分线，那么这条线段同时也是底边上的中线和底边上的高 2.如果一条线段是等腰三角形底边上的中线，那么这条线段同时也是顶角平分线和底边上的高 3.如果一条线段是等腰三角形底边上的高，那么这条线段同时也是顶角平分线和底边上的中线 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线 3.判定定理（等角对等边） 内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为 “等角对等边”。 【知识点02.等边三角形的相关内容】 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 等边三角形是特殊的等腰三角形，特殊之处在于它的腰和底边长度相等。 2.性质与判定 类别 具体内容 性质 1.三条边的长度都相等 2.三个内角的度数都相等，每个角的度数都是 60 度 3.具备等腰三角形的所有性质，包括 “三线合一” 和轴对称性 判定 1.三条边长度都相等的三角形是等边三角形 2.三个内角度数都相等的三角形是等边三角形 3.有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形 【知识点03.预习易错点提醒】 1.“三线合一” 的适用条件：这个性质只适用于等腰三角形，而且特指顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，不是三角形任意的角平分线或者中线都具备这个特点。 2.等腰三角形的分类讨论：当题目中已知一个角的度数求其他角，或者已知一条边的长度求其他边时，一定要分情况讨论。要考虑已知的角是顶角还是底角，已知的边是腰还是底边，避免出现漏解的情况。 3.等边三角形判定的易错点：“有一个角是 60 度的三角形是等边三角形” 这个说法是错误的，必须强调这个三角形是等腰三角形，只有有一个角是 60 度的等腰三角形，才能判定为等边三角形。 【题型1.等腰三角形的等边对等角性质】 【典例】一个等腰三角形的底角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在中，，，点E在边上，且不与点B，点C重合，连接，若是等腰三角形，则的度数是 ． 【跟踪专练2】“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型2.等腰三角形的“三线合一”性质】 【典例】如图，在中，，，于点，若，则 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，是中线，点E和点F分别为边，的中点，若，则（    ） A．10 B．6 C．5 D．4 【跟踪专练2】凹四边形的各边长度如题图所示，已知，那么凹四边形的面积为 ．（其中，） 【题型3.等边三角形的核心性质】 【典例】已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【跟踪专练1】如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 【跟踪专练2】如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【题型4.利用“等角对等边”判定等腰三角形】 【典例】如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【跟踪专练1】如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 【跟踪专练2】某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以O为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点C、D，点E是上任一点，以E为圆心，以同样长为半径画弧交于点F，以F为圆心，以长为半径画弧交于点G，连接，然后以E为圆心，以长为半径画弧交于点P，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（） A． B． C． D．为等腰三角形 【题型5.借助“等角对等边”证明线段相等】 【典例】如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以点E，F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点作射线交于点若，，则四边形的周长为 ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点D．则下列结论错误的是（   ） A．是的角平分线 B． C． D． 【题型6.利用“等角对等边”求解线段长度】 【典例】在中，，，则的长度为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，平分，交于点E，，则的周长是（　　） A．11 B．13 C．22 D．26 【跟踪专练2】在中，，，的平分线分别与、射线交于点E，F，则的长度为 ． 【题型7.等腰三角形的性质和判定】 【典例】如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为 ． 【跟踪专练2】如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点，与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8.格点图中构造等腰三角形的方法】 【典例】如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 【跟踪专练2】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【题型9.反证法证明中的假设】 【典例】用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用反证法证明“已知，，则”时，应假设： ． 【跟踪专练2】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【题型10.等边三角形的判定方法】 【典例】下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的有（    ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A． B． C． D． 【题型11.等边三角形的判定和性质】 【典例】由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，（如图2），则此时，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 【题型12.含30角的直角三角形的特殊性质】 【典例】直角三角形的斜边为，一个锐角为，则这个锐角所对的直角边为 ． 【跟踪专练1】如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（    ） A． B． C．7 D． 【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，，，点是线段上一点，把沿折叠，点的对应点为，连接．若为等边三角形，则 ． 1．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 2．如图，在中，平分，交于点，，．则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 4．如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 7．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为 ． 8．如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 9．如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题． 10．如图，在中，，，、分别是边和上的动点，且始终保持，连结，，则的最小值是（   ） A．11 B． C． D．8 解答题 11.．如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 12．如图，是的外角，． (1)求作的角平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)请证明． 13．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 14．如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 15．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02等腰三角形寒假预习讲义 · 理解等腰三角形、等边三角形的定义，能准确识别相关图形。 · 掌握等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 的性质，能运用性质进行角度、线段计算。 · 掌握等腰三角形 “等角对等边” 的判定定理，能证明一个三角形是等腰三角形。 · 理解等边三角形的特殊性质与判定方法，区分等腰与等边三角形的联系与区别。 必备知识 点梳理 1.等腰三角形的概念及性质 2.等边三角形的相关内容 3.预习易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.等腰三角形的“等边对等角”性质 2.等腰三角形的“三线合一”性质 3.等边三角形的核心性质 4.利用“等角对等边”判定等腰三角形 5.借助“等角对等边”证明线段相等 6.利用“等角对等边”求解线段长度 7.等腰三角形的性质和判定 8.格点图中构造等腰三角形的方法 9.反证法证明中的假设 10.等边三角形的判定方法 11.等边三角形的判定和性质 12.含30的直角三角形的特殊性质 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.等腰三角形的基础概念及性质】 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边。 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2.基本性质 性质类型 具体内容 性质 1（边与角） 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等 性质 2（三线合一） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。具体来说有三层含义： 1.如果一条线段是等腰三角形的顶角平分线，那么这条线段同时也是底边上的中线和底边上的高 2.如果一条线段是等腰三角形底边上的中线，那么这条线段同时也是顶角平分线和底边上的高 3.如果一条线段是等腰三角形底边上的高，那么这条线段同时也是顶角平分线和底边上的中线 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线 3.判定定理（等角对等边） 内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为 “等角对等边”。 【知识点02.等边三角形的相关内容】 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 等边三角形是特殊的等腰三角形，特殊之处在于它的腰和底边长度相等。 2.性质与判定 类别 具体内容 性质 1.三条边的长度都相等 2.三个内角的度数都相等，每个角的度数都是 60 度 3.具备等腰三角形的所有性质，包括 “三线合一” 和轴对称性 判定 1.三条边长度都相等的三角形是等边三角形 2.三个内角度数都相等的三角形是等边三角形 3.有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形 【知识点03.预习易错点提醒】 1.“三线合一” 的适用条件：这个性质只适用于等腰三角形，而且特指顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，不是三角形任意的角平分线或者中线都具备这个特点。 2.等腰三角形的分类讨论：当题目中已知一个角的度数求其他角，或者已知一条边的长度求其他边时，一定要分情况讨论。要考虑已知的角是顶角还是底角，已知的边是腰还是底边，避免出现漏解的情况。 3.等边三角形判定的易错点：“有一个角是 60 度的三角形是等边三角形” 这个说法是错误的，必须强调这个三角形是等腰三角形，只有有一个角是 60 度的等腰三角形，才能判定为等边三角形。 【题型1.等腰三角形的等边对等角性质】 【典例】一个等腰三角形的底角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质，两个底角相等，已知一个底角为，则另一个底角也为，再根据三角形内角和定理，顶角等于减去两个底角之和计算即可． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，且一个底角为， 另一个底角也为， 三角形内角和为， 顶角， 故选：D． 【跟踪专练1】在中，，，点E在边上，且不与点B，点C重合，连接，若是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确分类讨论． 根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当时；当时；当时，情况不成立，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴如图所示，当时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时， ∴ ∵， ∴； 当时， ∴， ∴，与矛盾，故不成立． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质是本题关键． 根据等腰三角形的性质设，由性质得，，由外角性质可得，即可求解． 【详解】解：设， ， ． ． ， ． ． ． ． 故选：D． 【题型2.等腰三角形的“三线合一”性质】 【典例】如图，在中，，，于点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质， 根据等腰三角形三线合一即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴ 故答案是：3． 【跟踪专练1】如图，在中，，是中线，点E和点F分别为边，的中点，若，则（    ） A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一可得，再证明即可得出结论． 【详解】解：，是中线， ． 又点和点分别为边，的中点， ∴， 又∵， ∴ ， 故选：C． 【跟踪专练2】凹四边形的各边长度如题图所示，已知，那么凹四边形的面积为 ．（其中，） 【答案】36 【分析】本题考查的是三角形面积以及勾股定理的应用，连接，过B作于，因为，所以，由勾股定理计算，，凹四边形的面积，由此解答本题． 【详解】解：连接，过B作于， ∵，， ∴， 解得（负值舍弃）， ∵，， ∴， ∴，即， ∴凹四边形的面积为， 故答案为：． 【题型3.等边三角形的核心性质】 【典例】已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，根据等边三角形的三边相等可得答案． 【详解】解：等边的一边长为4，则它的周长是， 故选：C 【跟踪专练1】如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出． 由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【题型4.利用“等角对等边”判定等腰三角形】 【典例】如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键． 根据，得，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是， 故选：A ． 【跟踪专练1】如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度直角三角形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由已知易得为等腰直角三角形，则有；再由含30度直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形，且； 在中，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以O为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点C、D，点E是上任一点，以E为圆心，以同样长为半径画弧交于点F，以F为圆心，以长为半径画弧交于点G，连接，然后以E为圆心，以长为半径画弧交于点P，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（） A． B． C． D．为等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图中的作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，等边对等角，根据作图步骤得到，，据此求解即可． 【详解】解：由作图步骤得到，， ∴，为等腰三角形， ∴A、B、D选项正确，C选项错误， 故选：C． 【题型5.借助“等角对等边”证明线段相等】 【典例】如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，首先根据等角对等边得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以点E，F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点作射线交于点若，，则四边形的周长为 ． 【答案】24 【分析】根据平行四边形的性质以及等角对等边进行求解即可． 本题考查了作图-基本作图，掌握平行四边形的性质及等角对等边是解题的关键． 【详解】解：由作图得：平分， ， 在中，，，， ， ， ， ， 四边形的周长为 ， 故答案为： 【跟踪专练2】如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点D．则下列结论错误的是（   ） A．是的角平分线 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了含的直角三角形的性质、角平分线的尺规作图、等角对等边等知识．根据角平分线的作法即可判断A；根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，即可判断B；根据含的直角三角形的性质和三角形面积公式即可判断C；根据含的直角三角形的性质即可判断D． 【详解】解：由作法得是的平分线，所以选项A的结论正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴，所以B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，所以C的结论错误，符合题意； 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，所以D的结论正确，不符合题意； 故选：C． 【题型6.利用“等角对等边”求解线段长度】 【典例】在中，，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等角对等边，根据在中，，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，在中，平分，交于点E，，则的周长是（　　） A．11 B．13 C．22 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边等知识，掌握它们是关键；由平行四边形的性质得，，进而求得及，再由角平分线的性质即可得，从而可求得结果． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是：． 故选：D． 【跟踪专练2】在中，，，的平分线分别与、射线交于点E，F，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得出，，得出，结合角平分线得出，则可得，利用线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7.等腰三角形的性质和判定】 【典例】如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质，得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为：． 故选：D． 【跟踪专练1】如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图，过A作于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于D， . ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴绳长为； 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点，与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法证得，得，从而证得是等腰直角三角形，因此①正确；过点D作于F，利用全等三角形的判定方法证得，得，，因此②正确；设，则，，，从而证得，因此③正确；由，可证得，而点N并不是的中点，因此④错误，据此解题即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故①正确； ②由①知，， 过点D作于F， 则， ， ， 点E是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 故②正确； ③由，， 设，则， ，， ， 故③正确； ， ， 由①知，，， ， ， 由①知，， ， ， ， ， ， ， ， 故④错误， 综上所述，正确的有3个， 故选：C ． 【题型8.格点图中构造等腰三角形的方法】 【典例】如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共4个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，没有符合要求的点． ∴符合要求的C点有5个． 故答案为：5． 【跟踪专练2】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 【题型9.反证法证明中的假设】 【典例】用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤可得第一步先假设结论不成立，进而问题可求解． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设； 故选：C． 【跟踪专练1】用反证法证明“已知，，则”时，应假设： ． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 【跟踪专练2】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 【题型10.等边三角形的判定方法】 【典例】下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断和等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：“三边相等的三角形是等边三角形是真命题”，故①正确； “三个内角相等的三角形是等边三角形”是真命题，故②正确； “有一个内角是的三角形是等边三角形”是假命题，故③错误； “有两个内角是的三角形是等边三角形”是真命题，故④正确； 故选：C． 【跟踪专练1】已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的有（    ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据等边三角形的判定定理及等腰三角形的判定和性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①因为有一个外角为，则与之相邻的内角为，故这个等腰三角形是等边三角形，该说法正确； ②因为等腰三角形底角的外角相等，所以有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ③因为三个外角都相等，则三个内角都相等，为，故这个三角形是等边三角形，该说法正确； ④因为等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合，所以有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ⑤的三边为，满足，可得或或，得到或或，所以这个三角形是等腰三角形，该说法错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 【题型11.等边三角形的判定和性质】 【典例】由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，（如图2），则此时，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的等边三角形的判定与性质的应用，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 根据，可得为等边三角形，继而由等边三角形三边相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过E作，交于N，连接交于F，连接，推出M为中点，求出E和M关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】解：过E作，交于N， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 连接交于F，连接， 此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可知，根据求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 【题型12.含30角的直角三角形的特殊性质】 【典例】直角三角形的斜边为，一个锐角为，则这个锐角所对的直角边为 ． 【答案】6 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据“含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的斜边为，一个锐角为， ∴这个锐角所对的直角边为， 故答案为：6 【跟踪专练1】如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了含直角三角形的性质；根据含直角三角形的性质求出，得到的取值范围即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点P是边上的动点， ∴， ∴长不可能是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，，，点是线段上一点，把沿折叠，点的对应点为，连接．若为等边三角形，则 ． 【答案】 【分析】先判断是菱形，根据菱形的性质可得：，，然后根据为等边三角形，可得，然后根据折叠的性质可得：，进而可得，然后过点E作，垂足为F，然后解直角三角形即可求出的值． 【详解】解：如图（1）所示， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ，， ，，， 为等边三角形， ， ， 沿折叠，得到， ， ， 过点E作，垂足为F，则， ， ， 在中，， ， 设，则，，由勾股定理可得：， ，即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠问题，解直角三角形及等边三角形的性质等知识，解题的关键是：添加辅助线，构造两个特殊的直角三角形，然后解直角三角形即可． 1．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 2．如图，在中，平分，交于点，，．则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，以及周长的计算，解题的关键是正确的求出． 根据题意，先求出，再求出，即可求出周长． 【详解】解：在中，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴周长为：； 故选：C． 3．如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 4．如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的对称性、“垂线段最短”等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据等边三角形的对称性可得，根据垂线段最短即可求的最小值． 【详解】解：由等边三角形的对称性可得 故 过点作，如图所示：    则 故选：A． 5．如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质的运用，掌握等腰三角形的判定及性质，是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，，由是中线可得，，，则是的垂直平分线，由此可得，，由，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴，， ∵是上的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 6．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，分当时，当时两种情况画出对应的图形，讨论求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，则， 由折益的性质可得， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 7．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得的值，根据等腰三角形的顶点分三种情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由勾股定理可知：，分类讨论： ①为等腰三角形的顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边； ②为等腰三角形顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边为，， 在中，； ③为等腰三角形顶点时，有，如图所示， 此时点在线段的垂直平分线上，的底边为， 综上所述，当为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为或或． 故答案为：或或． 8．如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】由可证明是等边三角形，故可判定①；证明 ，根据全等三角形的性质得到，由多边形内角和定理求出，由直角三角形的性质即可得出，故可判定②； 由面积关系可求出四边形的面积，故可判定③；证明，，可得到，故可判断④． 【详解】解：, 是等边三角形， 故结论①正确； , , ,, , , , 故结论②正确； 是等边三角形，， 垂直平分, , 故结论③错误； 如图，延长到，使，连接， , , , 在和中, , ,, , , 在和中, , , , 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角的直角三角形，三角形的面积等知识点．理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明，得到，再证明，得到，进而得到垂直平分，判断①，反证法判断②． 【详解】解析：①三角形为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ， ∵，， ， ， 为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分， 为中点； 所以①为真命题； 假设与不平行，作，与交于点，作，则：，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，即：，与矛盾， ∴假设不成立， ∴；故②为真命题． 故选A． 10．如图，在中，，，、分别是边和上的动点，且始终保持，连结，，则的最小值是（   ） A．11 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，过B作并截取，过A作于E，过D作于F，证明，得出，则，故当、、三点共线时，取最小值为，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，证明，得出，，最后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过B作并截取，过A作于E，过D作于F， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，取最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值是， 故选：B． 解答题 11.．如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出的平分线即可； （2）利用等腰三角形的性质得到，再证明得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）证明：连接， ，， ，， 由（1）知：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 12．如图，是的外角，． (1)求作的角平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)请证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图－作已知角的平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的判定．注意：内错角相等，两直线平行． （1）利用基本作图作平分，即可； （2）利用平分得到，再根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形外角性质证明，从而可判断． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质； （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴， ∴． 14．如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 15．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)或或． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．. （）根据全等三角形的性质得到，再根据等边三角形的判定定理证明即可；   （）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可；   （）分，，三种情况，再根据等腰三角形的判定定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $