7.1.2 两条直线垂直 教学设计 2025-2026学年人教版七年级数学下册

教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 七年级 学期 下学期 课题 7.1.2两条直线垂直 教科书 新人教版 教材 解读 本节课是7.1节的第二课时，是在学生掌握两条直线相交的基本特征、邻补角和对顶角性质的基础上，对相交线的特殊情况——垂直的深入探究。 本节课内容是相交线知识的延伸，既体现了“特殊与一般”的数学思想（垂直是相交的特殊形式），也是后续学习垂线的性质、平行线的判定与性质、三角形高的定义等知识的重要基础，在平面几何知识体系中起到了承上启下的关键作用。 课本选取的例题和练习均围绕垂直的定义和核心性质展开，难度由浅入深，梯度合理，能够有效帮助学生夯实基础，落实“理解垂直概念、掌握垂线性质并能应用”的核心教学目标。 学情 分析 前期学习中，已经掌握了直线、射线、线段、角的基本概念，理解了两条直线相交的位置关系及形成的角的特征（邻补角互补、对顶角相等），具备了一定的直观感知能力和简单的几何推理意识。同时，学生在生活中接触过大量垂直的实例（如门窗边框、墙角、斑马线等），对“垂直”有初步的感性认知，这为本节课的学习奠定了基础。 但学生认知存在以下难点：一是难将生活“垂直印象”转化为严谨数学定义，把握“相交成直角”核心条件；二是理解垂线性质“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，尤其是“有且只有”的双重含义，需动手操作感知；三是规范使用垂直符号（如“⊥”）和几何语言描述垂直关系、书写推理过程，这是七年级学生学几何的共性难点；四是易混淆“垂线”和“垂线段”概念。因此，教学中要借助直观演示和动手操作，引导学生从感性认知上升到理性理解，通过规范例题示范和针对性练习，提升几何语言表达能力和逻辑推理能力。 教学 目标 1.理解两条直线垂直的定义，准确识别图形中的垂直关系，掌握垂直的符号表示方法。 2.掌握垂线的核心性质，了解垂线段的概念及“垂线段最短”的性质。 3.能运用垂直的定义和性质进行简单的角的计算、垂线的绘制及相关推理。 教学 重点 1.两条直线垂直的定义及符号表示。 2.垂线的性质及其应用。 教学 难点 1.理解垂线性质中“有且只有”的双重含义（存在性和唯一性）。 2.运用垂直的定义和性质进行规范的几何推理与语言表达。 教学 过程 （一）情境导入，温故知新（5分钟） 1. 回顾旧知： 提问：“两条直线相交形成几个角？这些角有什么关系？” （引导学生回忆邻补角互补、对顶角相等） 2. 情境引入： 展示图片，引导学生观察：“这些实例中的两条直线相交与刚才回顾的一般相交有什么不同？” 3. 引出课题： 这种相交的特殊情况在数学中称为“垂直”，今天我们就来一起来研究其定义、性质及应用。（板书：两条直线垂直） （二）探究新知，层层深入（20分钟） 1. 抽象定义，规范表示 （1）将两木条旋转垂直之后，化成直线垂直的图。 引导学生观察：“当两条直线相交形成的一个角是直角时，其他三个角是什么角？为什么？” （学生利用邻补角互补、对顶角相等推理得出其他三个角也都是直角） （2）总结定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 （3）符号表示：引导学生掌握垂直的符号写法和读法，结合图形说明： 直线AB与CD垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”，垂足为O，可表示为“∠AOC=90°⇔AB⊥CD” （双向箭头体现定义的双向性：垂直则夹角为直角，夹角为直角则垂直）。 小练习（课本练习改编）： 判断下列说法是否正确？ ① 两条直线相交，若有一个角是直角，则这两条直线垂直； ② 两条直线垂直，則它们相交所成的所有角都是直角； ③ 直线 ⊥m，读作“ 垂直于m”。（及时巩固定义和表示方法） （正确①②③，督促学生记忆） 2. 动手操作，探究垂线性质 探究1：垂线的性质1 如图，用三角尺或量角器画已知直线 的垂线， （1）经过直线 上一点A画直线 的垂线，这样的垂线能画出几条？ （2）经过直线 外一点B画直线 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 通过实际操作，我们得出：经过直线上一点能画 1 条直线与已知直线垂直；经过直线外一点能画 1 条直线与已知直线垂直. 归纳总结： 垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 强调“有且只有”的含义：“有”表示存在性（能画出一条），“只有”表示唯一性（不能画出第二条），并说明“一点”可以在直线上，也可以在直线外。 例1（教材P5例2）如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 解：如图所示. 练习1①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线； ④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直. 上述说法正确的是(①②③) 探究2：垂线的性质2 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 针对这一问题，我们可将其转化为求点P到直线 的最短路径。 我们开展以下研究：如图所示，P为直线 之外的一点，PO⊥ ，垂足是O。A为直线 上除O点外的一点，连结PA。测量并对比线段PO与PA的长度，你能得出什么结论？变动点A的位置又会如何？ 线段 PO 的长度小于线段 PA 的长度。改变点 A 的位置后，对各线段的长 度进行测量并比较，可得出：线段 PO 的长度为最短。即当点 P 与直线 上的点所连线段与直线 垂直时，点P到直线 的距离最短。也就是说，过点P作直线 的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线。 归纳总结： 垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 练习1.现在，你知道本探究点中如何挖渠能使渠道最短吗？ 解：应从点P处向河岸作垂线，这样得到的垂线段即为最短的渠道。 （三）例题讲解，规范示范（10分钟） 例2：如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC=35°，求∠AOD的度数。 1. 分析引导：先识别图中的垂直关系（EO⊥AB），根据垂直定义得出∠EOB=∠EOA=90°； 再观察∠EOC与∠COB的关系（∠EOC+∠COB=∠EOB=90°），可求出∠COB的度数； 最后利用对顶角相等（∠AOD=∠COB）得出结果。 2. 规范解答： 解：∵ EO⊥AB（已知）， ∴ ∠EOB=90°（垂直的定义）。 又∵ ∠EOC=35°（已知）， ∴ ∠COB=∠EOB - ∠EOC=90° - 35°=55°。 ∵ ∠AOD与∠COB是对顶角（对顶角的定义）， ∴ ∠AOD=∠COB=55°（对顶角相等）。 3. 变式提问：“还可以通过其他方法求∠AOD的度数吗？” （引导学生利用∠EOC与∠AOD的邻补角关系求解，巩固多角度思考问题的能力） （四）巩固练习，夯实基础（10分钟） 1. 完成课本练习第1题： 如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离。 学生独立画图，教师巡视指导，展示规范画图过程，强调用三角板画垂线的步骤（一靠、二移、三画、四标；PE⊥AB，PF⊥CD）。 2. 完成课本练习第2题： 如图，作AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F。 3. 补充练习（课本习题改编）： 直线AB、CD垂直相交于点O，OE平分∠AOC，求∠BOE的度数。 （引导学生结合垂直定义和角平分线定义求解，深化知识应用） 解：∵AB⊥CD，∴∠BOC=∠AOC=90° 又∵OE平分∠AOC,∴∠EOC=∠AOE=45° ∴∠BOE=∠BOC+∠EOC=135° （五）课堂小结，梳理脉络（3分钟） 引导学生自主梳理本节课核心内容，师生共同总结： 垂直的定义：相交成直角的两条直线互相垂直，核心是“夹角为90°”。 垂直的符号表示：如AB⊥CD，垂足为O。 垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短（铺垫）。 应用：可用于角的计算、垂线绘制，关键是规范使用几何语言。 （六）布置作业，延伸拓展（2分钟） 1. 课本练习第1、3题（巩固垂直的定义、性质及应用）。 2. 思考拓展：生活中哪些场景利用了“垂线段最短”的性质？请举例说明（联系生活实际，深化对垂线段性质的理解）。 教学 反思 本节课通过回顾相交线知识引出垂直特殊性。让学生主动参与，两次画图实验助其理解垂线性质“有且只有”含义，突破教学难点。例题讲解规范示范，变式提问培养多角度思维；巩固练习选课本素材，梯度合理，兼顾画图与推理训练。教学注重联系生活，激发兴趣。 存在不足：部分学生画图规范性差，用三角板画垂线操作不熟练，需加强个别指导；几何语言表达薄弱，书写推理过程易遗漏依据，要增加专项训练；“垂线段”讲解简略，部分学生混淆“垂线”与“垂线段”，需强化区分。 改进措施为：后续增加画图专项练习，制作微课供复习；设计“填空式”几何语言练习，引导规范书写；对比辨析“垂线”与“垂线段”，夯实几何基础。 学科网（北京）股份有限公司 $