1.1 集合的概念 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1集合的概念 同步练习 一、单选题 1．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．北师大版《数学》必修第一册课本中的所有习题 B．2025年江西省高考数学全国Ⅰ卷中的难题 C．九江市高一年级身高较高的学生 D．美丽的小鸟 2．下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 3．已知a、b、c为非零实数，记代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（    ） A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M 二、多选题 4．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果.那么 D．若.对于，则有 三、填空题 6．若集合是16和24的公约数，则1 ，8 ． 7．记所有指数为自然数的幂函数都经过的点所构成的集合为A，则 （用列举法表示） 8．若，则 ． 9．用描述法表示图中的阴影部分（包括边界） ． 10．给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的序号是 . 11．用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合 . 四、解答题 12．已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围. 13．若集合具有以下性质： ①若，则； ②当时，若，则．则称集合是“封闭集”． （1）分别判断集合和有理数集是不是“封闭集”，并说明理由； （2）设集合是“封闭集”，求证：若，则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.1集合的概念 同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A C D AC AC 1．A 【分析】根据集合的概念分析选项即可. 【详解】对于A，符合集合三要素，确定性、无序性、互异性，是集合，故A正确； 对于B，C，D选项，均不满足集合中元素的确定性，不是集合，即B、C、D错误. 故选：A 2．C 【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误. 故选：C. 3．D 【分析】对a，b，c分类讨论求出原代数式所有可能得值即可. 【详解】令， 若全为正数，则 ；若全为负数，则， 若中有2个正数一个负数，则，若中有2个负数，1个正数，则， ； 故选：D. 4．AC 【分析】由集合与元素，集合与集合间关系逐项判断可得. 【详解】对于A，是实数，故A正确； 对于B，1是元素，不是集合，符号关系错误，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，为无理数，故D错误. 故选：AC. 5．AC 【分析】对于A：设，则，进而分析判断；对于B：先说明，再取特值，分析判断；对于C：令，，可知对任意，均有，所以，故C正确；对于D：取特值，分析判断. 【详解】对于选项A：因为，，设， 则， 因为，则， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，不妨设， 若，则； 若，则为奇数； 若，则； 综上可知：. 显然，令，则，故B错误； 对于选项C：令，，则， 即对任意，均有，所以，故C正确； 对于选项D：由选项B可知：，故D错误. 故选：AC. 6． 【分析】根据题意求得集合，即可得结果. 【详解】因为是16和24的公约数，所以． 故答案为：；. 7． 【分析】根据给定条件，利用幂函数的图象性质求解. 【详解】所有指数为自然数的幂函数的图象有且只有一个公共点， 所以. 故答案为：. 8．/ 【分析】利用集合中元素与集合的关系，求出的值. 【详解】，或,若，解得. .若，解得或.当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去，所以的所有取值为或. 故答案为： 9．且 【分析】根据阴影部分所在象限，确定的范围，再结合图像，判断出的取值范围，由此求得可以表示出阴影部分的集合. 【详解】由于阴影部分所在象限为第一、三象限，且在轴上都有点，故；根据图像可知，所以描述法表示图中的阴影部分（包括边界）为且. 故填：且. 【点睛】本小题主要考查用集合表示区域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 10．①③④ 【分析】根据数的分类直接判断. 【详解】由题可得，，，，故①③④正确. 故答案为：①③④. 11． 【解析】根据被3除余2的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】由题意，设备3除的商为，余数为2， 这个数可表示为， 所以设被3除余2的自然数组成的集合为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的定义，以及集合的描述法表示集合的形式，其中解答中熟记集合的表示方法是解答的关键，属于基础题. 12．(1) (2) 【分析】分与两种情况，结合根的判别式进行求解. 【详解】（1）由题意得：当时，，解得：，解集不为空集，舍去； 当时，，解得：，所以的取值范围是； （2）当时，，，，满足题意； 当时，，解得：， 综上：的取值范围是. 13．（1）集合不是“封闭集”，有理数集为“封闭集”，理由见解析（2）证明见解析 【分析】（1）根据题中“封闭集”的定义，根据集合与有理数集中的元素，即可得出结果； （2）根据集合是“封闭集”，得到，推出，从而可得结论成立. 【详解】（1）因为，所以集合不是“封闭集”； 因为有理数减有理数仍是有理数，1除以非零的有理数仍为有理数， 所以有理数集为“封闭集”． （2）由，集合是“封闭集”，可知， 所以，所以. 【点睛】本题主要考查元素与集合关系的判断，熟记元素与集合间的关系即可，属于常考题型. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $