基础题专练函数图像与零点-2026届高三数学一轮复习

函数图像与零点 一．知识点过关填空 1.作图 （1）.平移变换 ①y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位，得到y＝f(x+a)的图象；y＝f(x－a)(a>0)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移a个单位而得到； ②y＝f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位，得到y＝f(x)－b的图象；y＝f(x)＋b(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向上平移b个单位而得到． 总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减． （2）.对称变换． ①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称； ②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称； ③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于坐标原点对称； ④y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，其余部分不变而得到； ⑤y＝f(|x|)的图象可先作出y＝f(x)当x≥0时的图象，再作关于y轴的对称图象． （3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到. ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到. 2.识图 主要题型为给出复杂函数表达式，选择大致图像或者给出图像，选择合适的表达式。不论是那种题型，主要考察的是函数的性质，所以这类题主要解法是排除法，可以按照通过判断函数的奇偶性、定义域、特值代入以及函数的单调性的顺序来进行排除。 3.函数零点 （1）.函数的零点定义 对于函数y＝f(x)，把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点，一定要注意零点不是坐标点。 （2）.方程与函数的联系 函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有 交点 （3）.零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是 连续不断 的一条曲线，② f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． （4）.求函数零点个数的常用方法 ①直接求函数对应方程的实数根； ②数形结合法：直接画函数的大致图像或者将f(x)＝0转化为g(x)＝h(x)， 画出g(x)和h(x)的图像，看两个函数图像交点个数； 二．基础题型过关练 1.函数的零点所在的区间是（ ） A. (3,4) B. (2,3) C.(1,2) D.(0,1) 【答案】：C 【详解】函数 是R上的连续增函数, , 可得, 所以函数的零点所在的区间是(1,2). 故选：C 2．已知函数则y＝f(2－x)的大致图象是(　　) 【答案】：A 【详解】∵函数则 故函数f(2－x)是以x＝1为界的分段函数，只有A符合， 故选：A. 3.函数的零点个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】：B． 【详解】：由题意，令，即， 则函数的零点个数，等价于两个函数与的交点个数， 与两函数的图象如下图所示： 由图知，两个函数有个交点，故函数的零点个数是. 故选：B． 4.函数f(x)=在的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】：D 【详解】：由，得是奇函数，其图 象关于点对称．又，可知应为D选项中的图象．故选：D． 5.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA 运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象 大致为(　　) 【答案】：B. 【详解】：当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，PB＝OBtan∠POB＝tan x， 在Rt△PAB中，PA＝＝， 则f(x)＝PA＋PB＝＋tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段， 故排除A和C； 当点P与点C重合，即x＝时， 由上得f＝ ＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝PA＋PB＝＋＝2，知f＜f，所以排除D.故选B. 6.如图可能是下列哪个函数的图象(　　) A．y＝2x－x2－1 B．y＝ C．y＝(x2－2x)ex D．y＝ 【答案】：C 【详解】：函数图象过原点，所以D排除；从x>0开始时函数值是负数，而B项原点右侧开始时函数值为正数，所以B排除；当x<0时，2x<1，∴2x－x2－1<0，所以A排除；而C都满足，故选C. 7.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值，设y=max{2x,2x-3,6-x}，则y的最小值是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】：C 【详解】:画出y=max{2x,2x-3,6-x}的示意图,如图. 由图可知,y的最小值为22=6-2=4,故选C. 8．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0 【答案】：A 【详解】：∵函数f(x)的图像在y轴上的截距为正值，∴d＞0.∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，且函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在(－∞，x1)上单调递增，(x1，x2)上单调递减，(x2，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＜0的解集为(x1，x2)，∴a＞0，又x1，x2均为正数，∴＞0，－＞0，可得c＞0，b＜0. 故选：A 9.已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有 (　　) A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 答案：A　 【详解】：观察图象可知，共有10个交点． 故选：A. 10.设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)–b有两个零点，则实数b的取值范围是（ ） A．(–，0) B．(–，0] C．(–，0]∪(1，+∞) D．(–，1) 【答案】：C. 【详解】当时，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，画出的函数图象如下： 函数有两个零点，等价于与的函数图象有两个交点， 由图可知或。 故选：C. 11.（多选）函数与的图像如图所示，则实数a的值可能为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】：AB 【详解】由图像结合对数函数的性质可知，则D错误； 由图像可知函数为奇函数，则C错误，AB正确； 故选：AB 12.（多选）已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当－1<x≤1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有5个零点，则a的取值范围可以是（ ） A．(1,5) B．[5，＋∞) C．[，1] D．(0，] 【答案】：BD 【详解】:依题意知函数f(x)的周期为2，在坐标平面内画出函数y＝f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示，结合图象，可知要使函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有5个零点，则有0<a<或a≥5，即实数a的取值范围是(0，)∪[5，＋∞)． 故选：BD 13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________． 【答案】：(－1,0) 【详解】：f(x)的图像如图所示， g(x)＝0即f(x)＝m， y＝m与y＝f(x)有四个交点， 故m的取值范围为(－1,0)． 14．若关于x的不等式4ax－1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为________． 【答案】: 【详解】：不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图2所示，则f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，即a≤，所以a的取值范围是. 15.函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________． 【答案】:　8 【详解】：如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数图像与零点 一．知识点过关填空 1.作图 （1）.平移变换 ①y＝f(x)的图象向 平移a(a>0)个单位，得到y＝f(x+a)的图象；y＝f(x－a)(a>0)的图象可由y＝f(x)的图象向 平移a个单位而得到。 ②y＝f(x)的图象向 平移b(b>0)个单位，得到y＝f(x)－b的图象；y＝f(x)＋b(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向 平移b个单位而得到。 总之，对于平移变换，记忆口诀为： ， 。 （2）.对称变换． ①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于 轴对称； ②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于 轴对称； ③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于坐标 对称； ④y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴 的部分翻折到x轴 ，其余部分不变而得到； ⑤y＝f(|x|)的图象可先作出y＝f(x)当x≥0时的图象，再作关于 轴的对称图象． （3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的 倍得到. ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的 倍得到. 2.识图 主要题型为给出复杂函数表达式，选择大致图像或者给出图像，选择合适的表达式。不论是那种题型，主要考察的是函数的性质，所以这类题主要解法是排除法，可以按照通过判断函数的奇偶性、定义域、特值代入以及函数的单调性的顺序来进行排除。 3.函数零点 （1）.函数的零点定义 对于函数y＝f(x)，把使 的实数x叫做函数f(x)的零点，一定要注意零点不是 。 （2）.方程与函数的联系 函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有 。 （3）.零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是 的一条曲线，② ，则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． （4）.求函数零点个数的常用方法 ①直接求函数对应方程的实数根； ②数形结合法：直接画函数的大致图像或者将f(x)＝0转化为g(x)＝h(x)， 画出 和 的图像，看两个函数图像交点个数； 二．基础题型过关练 1.函数的零点所在的区间是（ ） A. (3,4) B. (2,3) C.(1,2) D.(0,1) 2．已知函数则y＝f(2－x)的大致图象是(　　) 3.函数的零点个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.函数f(x)=在的图像大致为（ ） A． B． C． D． 5.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA 运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象 大致为(　　) 6.如图可能是下列哪个函数的图象(　　) A．y＝2x－x2－1 B．y＝ C．y＝(x2－2x)ex D．y＝ 7.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值，设y=max{2x,2x-3,6-x}，则y的最小值是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.6 8．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0 9.已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有 (　　) A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 10.设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)–b有两个零点，则实数b的取值范围是（ ） A．(–，0) B．(–，0] C．(–，0]∪(1，+∞) D．(–，1) 11.（多选）函数与的图像如图所示，则实数a的值可能为（ ） A. B. C. D. 3 12.（多选）已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当－1<x≤1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有5个零点，则a的取值范围可以是（ ） A．(1,5) B．[5，＋∞) C．[，1] D．(0，] 13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________． 14．若关于x的不等式4ax－1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为________． 15.函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $