21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 课件2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过问题导入让学生先解具体方程并计算两根之和与积，引导发现规律，衔接求根公式推导关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于注重引导学生自主推导关系培养推理能力，结合菱形边长、矩形对角线等实例渗透模型意识与应用意识，帮助学生提升综合应用能力，教师可通过分层练习高效开展教学。

九年级·数学·人教版·全一册册 导学案课堂同步导学 21.2　解一元二次方程 21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 单击此处编辑母版文本样式 21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 单击此处编辑母版文本样式 1.会求一元二次方程的两根之和与两根之积. 2.能利用根与系数的关系求代数式的值,增强综合应用知识解决问题的能力. ◎重点:一元二次方程的根与系数的关系的推导、运用. ◎难点:正确归纳、理解、运用一元二次方程的根与系数的关系. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 先解几个一元二次方程,再计算这些方程两根的和与积.你能发现两根之和、两根之积与方程的系数有什么关系吗? 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 一元二次方程的根与系数的关系     阅读课本,回答下列问题.(阅读时,尝试自己找出当二次项系数不为1时,x1,x2与系数a,b,c之间的关系,并完成x1+x2=-,x1x2=的推导过程) 单击此处编辑母版文本样式 1.以x1,x2为根的方程(x-x1)(x-x2)=0的一般形式是　 　,若x1,x2是方程x2+px+q=0的两个根,那么x1,x2与p,q之间的关系是x1+x2=　 　,x1x2=　 　.  x2-(x1+x2)x+x1x2=0 -p q 单击此处编辑母版文本样式 2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有根. (1)根据求根公式表示出方程的根. 答:x=. 单击此处编辑母版文本样式 (2)若用x1,x2表示方程的两个根,请你求出x1+x2,x1x2与系数a,b,c的关系. 单击此处编辑母版文本样式 答:x1+x2=+==-; x1x2=×===. 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=　 　,x1x2=  　,即一元二次方程两个根的和等于　 　,两个根的积等于　 　.  - 单击此处编辑母版文本样式 根与系数的关系 1.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积. (1)2x2+5x=0;(2)4x2+1=7x;(3)3x2-x=2. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)x1+x2=-,x1x2=0; (2)x1+x2=,x1x2=; (3)x1+x2=,x1x2=-. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则+的值是　　.  7 单击此处编辑母版文本样式 2.已知α,β是方程x2-3x+2=0的两根,求下列各式的值: (1)+;(2)α2+αβ+β2;(3)α2+αβ-3α. 单击此处编辑母版文本样式 解:根据题意得α+β=3,αβ=2. (1)+==; (2)α2+αβ+β2=(α+β)2-αβ=32-2=7; (3)α2+αβ-3α=α(α+β)-3α=3α-3α=0. 单击此处编辑母版文本样式 3.已知关于x的方程x2-3ax-3a-6=0. (1)求证:方程恒有两个不相等的实根. (2)若x1,x2是该方程的两个实数根,且(x1-1)·(x2-1)=1,求a的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)证明:∵Δ=b2-4ac=(-3a)2-4×(-3a-6)=9a2+12a+24=(3a+2)2+20>0, ∴方程恒有两个不相等的实根. 单击此处编辑母版文本样式 (2)由根与系数的关系得x1+x2=3a,x1x2=-3a-6. ∵(x1-1)(x2-1)=1, ∴x1x2-(x1+x2)+1=1, ∴-3a-6-3a+1=1, 解得a=-1. 故a的值是-1. 单击此处编辑母版文本样式 根与系数关系的应用 2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值. 解:设方程的另一个根是x1,则2x1=-, ∴x1=-. 又∵x1+2=-,∴-+2=-,∴k=-7. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+1=0,如果方程的两根之和等于两根之积,求k的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:设方程的两根为x1,x2,根据题意得Δ=(2k-1)2-4(k2+1)≥0,解得k≤-, x1+x2=-(2k-1)=1-2k,x1x2=k2+1. ∵方程的两根之和等于两根之积,∴1-2k=k2+1,解得k1=0,k2=-2,而k≤-,∴k=-2. 单击此处编辑母版文本样式 2.已知关于x的一元二次方程x2+mx-6=0. (1)小明在解方程x2+mx-6=0时,得到一个根为x=-3,求m的值. (2)在(1)的条件下,设x1,x2是该方程的两个根,求x1+x2-2x1x2的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵x=-3是关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的解, ∴(-3)2-3m-6=0, 解得m=1. 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵m=1, ∴一元二次方程为x2+x-6=0, ∴x1+x2=-=-1,x1x2==-6, ∴x1+x2-2x1x2=-1-2×(-6)=-1+12=11. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　应用根与系数的关系的前提是Δ　 　.  ≥0 单击此处编辑母版文本样式 3.(应用意识)已知平行四边形ABCD的两邻边AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根. (1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形? (2)若AB的长为2,则平行四边形ABCD的周长是多少? 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD. ∵AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根, ∴Δ=(-m)2-4 (-) =m2-2m+1=0, 单击此处编辑母版文本样式 解得m1=m2=1, ∴当m为1时,四边形ABCD是菱形. 单击此处编辑母版文本样式 (2)将x=2代入x2-mx+-=0中,得4-2m+-=0, 解得m=. ∵AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根, 单击此处编辑母版文本样式 ∴AB+AD=m=, ∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=2×=5. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两根为x1,x2(x1≠x2). (1)求k的取值范围. (2)若x1,x2是一个矩形的两条边长且矩形对角线的长为,求k的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)根据题意得Δ=(-3)2-4k>0, 解得k<, 即k的取值范围为k<. 单击此处编辑母版文本样式 (2)根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=k. ∵+=()2, ∴(x1+x2)2-2x1x2=7,即32-2k=7, 解得k=1, 而k<, ∴k的值为1. 单击此处编辑母版文本样式 1已知一元二次方程x2+2x-7=0的两个根为x1,x2,则x1+x2的值是 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.2 C.-7 D.7 A 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1,x2=2,则这个方程可能是 ( ) A.x2+3x-2=0 B.x2-3x+2=0 C.x2-2x+3=0 D.x2+3x+2=0 B 单击此处编辑母版文本样式 3如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=3,那么p,q的值分别是 ( ) A.-5,6 B.6,-5 C.5,-6 D.2,3 4(应用意识)菱形的两条对角线长分别是方程x2-21x+50=0的两实根,则菱形的面积是　 　.  A 25 单击此处编辑母版文本样式 5若x1,x2是一元二次方程x2-7x+5=0的两根,则+的值是( ) A. B.- C. D.- 6设m,n是方程x2-4x-6=0的两个实数根,则(m-2)(n-2)的值为( ) A.-12 B.-10 C.12 D.10 A B 单击此处编辑母版文本样式 7若a,b是方程x2+2022x-2023=0的两个实数根,则a2+2023a+b-ab的值为　 　.  2024 单击此处编辑母版文本样式 8设关于x的一元二次方程x2-4x-2(k-1)=0有两个实数根x1,x2,问是否存在x1+x2<x1x2的情况? 解:要使方程有两个实数根,必须Δ≥0, 即(-4)2-4×[-2(k-1)]≥0,解得k≥-1, x1+x2=4,x1x2=-2(k-1), 由x1+x2<x1x2得4<-2(k-1),解得k<-1. ∴不存在x1+x2<x1x2的情况. 单击此处编辑母版文本样式 9已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)若a为正整数,求a的值. (2)若x1,x2满足+-x1x2=16,求a的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=[-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0, 解得a<3. ∵a为正整数, ∴a=1或a=2. 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵x1+x2=2(a-1),x1x2=a2-a-2, 又∵+-x1x2=16, ∴(x1+x2)2-3x1x2=16, ∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16, 解得a1=-1,a2=6. ∵a<3, ∴a=-1. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 43 $