大题精练04 带电粒子（带电体）在电场中的运动问题 -2026届高考物理题型突破限时精练

大题精练04 带电粒子（带电体）在电场中的运动问题 一、考向分析 1.本专题主要讲解带电粒子(带电体)在电场中运动时动力学和能量观点的综合运用，高考常以计算题出现。 2.用到的知识:受力分析、运动分析、能量观点。 3.带电粒子在电场中的运动 (1)分析方法:先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题。 (2)受力特点:在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略。一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用。 4.用能量观点处理带电体的运动 对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理。即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理也常常更简捷。具体方法有: 二、动力学 牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay 向心力 牛顿第三定律 三、运动学 匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 <Vs/2 四、功和能 动能 功 W = Fs cos (恒力做功) W=Pt（拉力功率不变） W=f S相对路程 （阻力大小不变） 动能定理 五、电学 内容 重要的规律、公式和二级结论 1.电场、电场强度、点电荷的电场、电场线 (1)电场线密的地方电场强，稀疏的地方电场弱。 (2)电场强度的定义式E＝，其大小由电场本身性质决定。 (3)点电荷的电场强度的决定式E＝，由Q、r决定。 (4)匀强电场的电场强度E＝，d为沿电场方向上两点间的距离。 2.电势、电势差、电势能、等势面 (5)电势定义式φ＝，其大小与电势能Ep、电荷量q均无关。 (6)电势差：UAB＝φA－φB＝＝。 (7)静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增大。 (8)等势面与电场线相互垂直，沿电场线方向电势降低最快。 3.匀强电场中电势差与电场强度的关系 (9)等差等势面越密的地方，电场越强；越稀疏的地方，电场越弱。 (10)匀强电场中的平行四边形的对边电势差相等，线段AB中点C的电势φC＝。 4.电容器的电容、平行板电容器的电容、常用电容器 (11)电容的定义式C＝＝，平行板电容器电容的决定式C＝。 (12)电容器接在电源上，电压不变，改变d或S或εr，板极上的电荷量变化；断开电源时，电容器电荷量不变，改变d，电场强度E＝不变。 六、电场中常见的运动类型 (1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝mv2－mv来求解；对于匀强电场，电场力做功也可以用W＝qEd来求解。 (2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题．对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动的合成与分解的方法来处理。 【例题1】（2025·四川成都·一模）如图所示，由光滑绝缘圆弧轨道与竖直支架组成的装置固定于竖直面内，C点位于水平地面上，两点的距离。圆心O点与A点等高，轨道半径，圆心角，空间内存在水平向左的匀强电场。现从A点静止释放一质量，电荷量的带负电小球（可视为质点），小球以的速度从B点离开圆弧轨道后落到水平地面上的D点（图中未标出）。，，重力加速度取。求： (1)匀强电场的场强大小E； (2)小球到达B点时轨道对小球的支持力大小N； (3)小球落地点D与C点的距离d。 【答案】(1) (2)9N (3)0.3625m 【详解】（1）由动能定理得 解得 （2）在B点对小球由牛顿第二定律得 代入数据解得 （3）小球离开B点后，水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，则水平方向由牛顿第二定律得 水平方向由运动学公式得， 竖直方向由运动学公式得， 解得，（舍去）， 【例题2】（2025·四川德阳·一模）如图所示，某兴趣小组用人工智能仿真模拟带电小球在电场中的运动。竖直平面内，半径为R的圆弧轨道固定在水平面上，轨道最低点C与水平面平滑连接，轨道的最高点D点与圆弧圆心O点位于同一水平线上，水平面上的F点位于D点正下方。OCFD区域存在竖直向上的匀强电场E1，直线DF的右侧空间（含边界DF）存在与竖直方向夹角为（）斜向右下方的匀强电场E2。离DF右侧某处有一竖直挡板，挡板上P点距水平面高度为2R。不带电的小球a以的速度向右运动，与静止在水平面上的绝缘小球b发生弹性碰撞。小球b过圆弧轨道C点时对轨道压力为零，从D点进入DF右侧区域。已知重力加速度大小为g，小球b质量为m、带电量为+q（整个仿真过程电荷量不变），小球a的质量mA=km，两电场强度大小分别为、。若两小球均视为质点，忽略一切摩擦，不考虑边缘效应。求： (1)小球b经过圆弧轨道C点的速度大小vC； (2)参数k的值； (3)若无挡板，合理调整匀强电场E2与竖直方向的夹角α，求小球b的最大水平射程xm；若无论如何改变挡板距DF的距离，小球b均不能击中P点，求α的可调范围。 【答案】(1) (2)4 (3) 【详解】（1）由题意知，圆弧轨道上C点为等效最高点，则在C点，根据牛顿第二定律，有 解得 （2）小球a、b发生弹性碰撞，根据动量守恒，有 根据能量守恒，有 解得k=4 （3）小球b从C到D的过程，由动能定理，有 解得 分析易得，当时，小球b落地的水平射程可以达到最大值xm 水平方向，有 根据位移-时间公式，有 竖直方向为竖直上抛运动，以向上为正方向，有 联立解得 小球在DF右侧区域，竖直方向由牛顿第二定律，有 竖直方向最大位移为 由题意知 解得 故 难度：★★★★ 建议时间：60分钟 1. （2025·内蒙古乌兰察布·模拟预测）如图甲所示，平面直角坐标系的第二、三象限内有沿y轴负方向的匀强电场，一个足够大的荧光屏垂直x正半轴放置，在y轴与荧光屏之间有平行于y轴的交变匀强电场，电场强度随时间变化的规律如图乙所示（图中E0未知、T已知），该电场沿y轴正向为正方向。在第二象限坐标为（2d，d）的P点沿x轴正向，以大小为v0的初速度不断射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子经电场偏转从坐标原点进入第四象限，从t=0时刻经过坐标原点的粒子恰好在时刻垂直打在荧光屏上，不计粒子的重力，求： (1)第二、三象限内电场的电场强度的大小； (2)荧光屏离y轴的距离，交变电场的电场强度大小E0； (3)荧光屏上有粒子打上的区域沿y轴方向的长度。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）粒子在第二、三象限内做类平抛运动。则， 根据牛顿第二定律 解得 （2）粒子从t=0时进入交变电场后，沿x轴方向做匀速直线运动，速度大小为v0，根据题意有荧光屏到y轴的距离 设粒子经过坐标原点时的速度沿y轴负方向的分速度大小为vy，则 解得 由于粒子在t=0时刻进入交变电场后，在时刻沿y轴方向的速度为零 因此粒子在时刻速度为零，则 根据牛顿第二定律 解得 （3）从时刻经过坐标原点的粒子，经电场偏转打在荧光屏上的侧移最小 从时刻经过坐标原点的粒子，经电场偏转打在荧光屏上的侧移最大 因此荧光屏上有粒子打上的区域长度为 2. （2025·四川凉山·一模）如图所示，粗糙水平绝缘轨道AB与半径R=0.4 m的竖直半圆绝缘光滑轨道BC平滑连接，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度。现有一电量，质量m=0.2kg的带电体（视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，经过水平轨道加速，进入圆轨道B点时速度大小。带电体与水平轨道间动摩擦因素，取g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)P点到B点的距离； (2)带电体运动到与圆心O等高点D处时对圆形轨道的压力大小； (3)带电体离开圆弧轨道的速度大小。 【答案】(1) (2)F′=6N (3)， 【详解】（1）从P点到B点过程，根据动能定理 解得 （2）从B点到D点过程，根据动能定理 在D点有 联立解得F=6N 由牛顿第三定律可知，压力大小为F′=F=6N （3）假设可从C点离开，则从B到C点过程，由动能定理得 解得：，假设不成立。设离开圆弧位置为O1点，重力与半径夹角为，则 在O1点 从B点到O1点过程 解得， 3. （2025·广东珠海·模拟预测）如图所示，与水平方向成角的足够长绝缘固定斜面底端点固定一块与斜面垂直的挡板，整个空间存在平行斜面向下的匀强电场，场强大小。斜面上一个质量为的不带电绝缘滑块静止在距离斜面底端的点，滑块与斜面间的动摩擦因数。将一个质量为带电量为的光滑小球从斜面点上方处的点由静止释放，小球向下运动，与滑块发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰撞过程中无电荷转移。滑块碰挡板后立刻静止在挡板处。已知重力加速度为，，，滑块与小球均视为质点。求： (1)若，求小球与滑块发生第一次碰撞后两者的速度； (2)若，求小球与滑块发生第二次碰撞前（滑块未碰挡板）小球与滑块之间的最大距离； (3)试分析小球与滑块在第一次碰撞与第二次碰撞之间的运动过程中，小球电势能的变化量。 【答案】(1)，方向沿斜面向上，，方向沿斜面向下 (2) (3)见解析 【详解】（1）根据题意，由牛顿第二定律，对小球有 解得 设小球与滑块发生第一次碰撞前小球的速度为，第一次碰撞后小球的速度为，滑块的速度为，由运动学公式有 解得 由于小球与滑块发生弹性碰撞，且碰撞时间极短，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得， 若，则有， 即小球的速度大小为，方向沿斜面向上，滑块的速度大小为，方向沿斜面向下。 （2）小球与滑块发生第二次碰撞前（滑块未碰挡板），当小球与滑块速度相等时，小球与滑块之间的距离最大，小球与滑块碰撞后，小球做匀变速直线运动，对滑块受力分析有 可知，滑块碰撞之后沿斜面向下做匀速直线运动，则有 解得 则小球与滑块之间的最大距离为 （3）根据题意，设小球与滑块在第一次碰撞与第二次碰撞之间经过时间，则有 解得 若滑块恰好滑到挡板处，则有 解得 结合小问（1）可得，此时 则当时，小球和滑块第二次碰撞发生在挡板处，电场力对小球做功为 即小球的电势能减少了； 当时，小球经过时间与滑块发生第二次碰撞，此时小球沿斜面向下移动的距离为 电场力对小球做功为 即小球的电势能减少了。 4. （2025·福建·模拟预测）如图所示，竖直正对放置的带电平行板间有水平加速电场，一质量为m、电荷量为的带电粒子从左极板附近由静止释放，从右极板上小孔（大小可忽略）以大小为的速度水平飞出，并正对圆心O进入一半径为R的圆形匀强电场区域，区域内存在竖直向下的匀强电场，圆形边界上的P、点将下半圆三等分且两点连线水平，粒子经电场偏转后恰好可以从P点飞出，不计粒子重力及空气阻力。 (1)求加速电场两极板间电压的大小； (2)求圆形区域匀强电场的电场强度E的大小； (3)若仅改变加速电场两极板间的电压大小，使粒子从点射出圆形电场区域，求此时两极板间所加电压的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由动能定理有 解得 （2）粒子进入圆形匀强电场区域做类平抛运动，由几何关系得 竖直方向有 水平方向有 联立解得 （3）由于从点射出时，粒子在电场中经历的时间与从P点射出经历的时间相等，设此时粒子进入偏转电场时的速度为，则由 则结合（1）中结论可得 5. （2025·河南南阳·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系的x、y轴正方向分别水平向右和竖直向上，第一、四象限存在竖直向上的匀强电场，第二、三象限存在另一竖直向上的匀强电场，其电场强度是一、四象限内电场强度的2倍，第一、四象限竖直固定放置内壁光滑绝缘的圆弧轨道OB，B点在y轴的负半轴上，P点是圆心，且OB=OP。现将质量为m、带电量为+q的小球（视为质点）从第三象限的A点以水平向右的初速度v0抛出，运动到坐标原点O时速度大小为2v0，从A点运动到O点过程中加速度的大小为g，然后小球从O点切入圆轨道沿圆弧轨道的内壁运动到B点，重力加速度大小为g。 (1)求小球从A点运动到O点的时间以及第一、四象限匀强电场的电场强度大小； (2)若小球从O点沿圆弧运动到B点的过程中在某点轨道对其弹力的大小等于小球所受重力大小，求O、B两点的电势差，以及小球从A点运动到B点过程中对时间而言所受的平均作用力的大小； (3)若A、B两点等高，求小球从A点运动到B点的平均速度的大小。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）小球从A点到O点做类平抛运动的加速度竖直向上大小为g，设小球在O点的速度与竖直方向的夹角为，把小球在O点的速度分别沿着水平方向和竖直方向正交分解，则有， 解得， 由竖直方向上初速度为0的匀加速直线运动规律可得从A点到O点的运动时间 设第一、四象限匀强电场的场强为E，则第二、三象限匀强电场的场强为2E，由牛顿第二定律可得 解得 （2）是正三角形，由几何关系可知小球从O点沿圆弧切线进入轨道，由 可知 电场力与重力等大反向，两力做功和为零，则小球从O到B做匀速圆周运动，轨道对其弹力提供向心力，因某点轨道对其弹力的大小等于重力的大小，则 O、B两点间的电势差 综合解得， 小球从O点到B点的运动时间 小球从A点到B点速度的变化量为 设小球从A点运动到B点对时间而言所受的平均作用力的大小为，由动量定理可得 综合可得 （3）若A、B两点等高，则A、B两点间距离 圆弧轨道的半径R2，即O、B两点间距离 小球从O点到B点的运动时间 则小球从A点运动到B点的平均速度的大小为 6. （2026·江苏·一模）多个长度逐个增大的金属圆筒沿轴线排列成一串，如甲图所示，图中只画出了六个圆筒作为示意。各筒按奇偶顺序交替连接到如乙图所示的交流电源的两端，已知交流电源周期为T、电压绝对值为，且对应奇数号圆筒为高电势。整个装置放在高真空容器中。圆筒的两底面中心开有小孔，粒子可以沿筒的中心轴线穿过。由于静电平衡，可认为只有相邻圆筒间缝隙中存在匀强电场，而圆筒内部电场强度为零，缝隙的宽度很小，粒子在缝隙电场中加速的时间可以不计。时刻，有一电量为、质量为的正离子由静止进入一、二圆筒间的电场开始加速，穿过二号圆筒后正好在时刻进入二、三圆筒之间的电场再次加速，且之后每经过正好进入下一缝隙电场。 (1)第个圆筒的长度？ (2)实际应用中，由于相邻圆筒之间电压最大值有限制，要想使粒子获得较大速度，需要经过很多次加速，设置的圆筒数量较多，导致粒子在缝隙电场中的加速时间不能再忽略。设相邻圆筒间距均为，在不改变交变电源的情况下，粒子能获得的最大动能是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据动能定理 又 联立可得 （2）匀强电场电场强度为 结合牛顿第二定律 根据运动学公式， 结合动能的定义 联立可得 7. （2025·湖南·模拟预测）如图甲所示，在xOy坐标系中，在第Ⅱ象限放置了α粒子射线管，α粒子射线管由平行于x轴的平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成、细管C到两板的距离相等，且开口在y轴上（图中C与两板连线绝缘），粒子源P靠近在A极板下方的左端，可以斜向下沿特定方向发射初速度为的α粒子。若极板长和两板间距均为L，当A、B板加上某一电压时，α粒子刚好能以某一速度水平进入细管C，且以相同速度水平射出。然后进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中做匀速圆周运动。之后α粒子垂直x轴进入第Ⅳ象限。第Ⅳ象限内存在电场强度大小不变、方向水平且随时间呈周期性变化的电场，若从此刻为计时零时刻，电场变化关系如图乙（图中，T为已知值，规定沿x轴正方向为电场正方向）。静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心O，粒子经过处的电场强度大小也为。已知α粒子带正电，电荷量大小为2e（e为元电荷），质量为m，重力不计。求： (1)α粒子从细管C水平射出时的速度大小v； (2)α粒子在静电分析器中运动的轨迹半径r； (3)当t＝T时，α粒子的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）α粒子在板内运动，水平方向，则有 竖直方向则有 又因为 联立解得 （2）α粒子在静电分析器中，由牛顿第二定律可得 解得 （3）α粒子在第Ⅳ象限，前做类平抛运动，则有， t＝T时，α粒子的横坐标为 纵坐标为 即在t＝T时，α粒子的坐标为 8. （2025·湖南·模拟预测）如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，，。请完成下列问题： (1)若滑块从水平轨道上距离B点s＝2R的A点由静止释放，求滑块到达C点时受到轨道的支持力的大小； (2)改变s的大小仍使滑块由静止释放，且滑块始终沿轨道滑行，并能从G点飞出轨道，求s的最小值； (3)现撤去电场，滑块从水平轨道上距离B点s＝2R的A点释放，若运动到CD段某点时脱离轨道，并在此后经过O点，求滑块释放时应该有多大的水平向左的初速度？ 【答案】(1) (2)4.2R (3) 【详解】（1）滑块从A到C，由动能定理有 解得 滑块在C点由牛顿第二定律有 解得 （2）如图，轨道DG间存在H点，滑块在H点的电场力和重力的合力指向圆心，合力大小 合力与竖直方向的夹角满足 解得 s最小时滑块在H点速度最小，由牛顿第二定律有 解得 滑块从A到H，由动能定理有 解得s＝4.2R （3）如图，设滑块在Q点脱离轨道，QO与CO之间的夹角为α，滑块在Q点，由牛顿第二定律有 解得 滑块从A到Q，由动能定理有 解得 滑块Q到O做斜抛运动，如图建直角坐标系， y方向有 x方向有 解得， 9. （25-26高三上·河北·期中）如图1所示，在平面直角坐标系xOy的第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。P点位于第三象限内，其与x轴的距离为d。一带电粒子以大小为v0的初速度沿x轴正方向从P点出发，恰好从坐标原点O进入第一象限，粒子过O点时，其速度方向与x轴正向夹角为α，第一象限内存在场强大小也为E的匀强电场（场强方向未知），带电粒子在第一象限内发生偏转，最终从y轴上的Q点射入第二象限，此时粒子速度方向与y轴正向的夹角为β，已知，，忽略带电粒子所受重力。 (1)求P点到y轴的距离L； (2)求Q点的纵坐标值y0和第一象限内电场强度的方向； (3)若在粒子刚进入第二象限时，在第二象限内加一个变化的电场，将这个电场沿x轴和y轴正交分解，其在两个方向上变化的规律如图2和图3所示（t=0时刻为粒子刚进入第二象限的时刻），规定x轴正向为Ex的正方向，y轴正向为Ey的正方向。该粒子在这个变化的电场中运动，在t2时刻刚好从点（2d，0）进入第三象限，整个过程中其在x方向和y方向上均为先做匀减速运动后做匀加速运动。之后带电粒子恰好可以再次经过P点。且过P点时的速度大小为v0，方向沿x轴正方向。图2中在0~t1时间内x方向的电场强度大小为，图中的t1、t2、tx、E1、E2、E3均为未知量。求E1和tx。 【答案】(1)d (2)；斜向左上与x轴成45°夹角 (3)； 【详解】（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，在水平方向，有 在竖直方向，有 在竖直方向，根据速度-位移公式，有 速度与水平方向夹角的正切值为 联立以上解得， （2）带电粒子在第一象限内做类抛体运动，其在x方向上做类竖直上抛运动，有 在y方向上做初速度为的匀加速直线运动 速度与竖直方向夹角的正切值为 联立可得 所以电场的方向为斜向左上与x轴成45°夹角。根据速度-位移公式 解得 又有 联立可得 （3）带电粒子在进入第三象限时，根据题意可知其速度的x分量大小为v0，y分量大小为2v0，x方向的分运动：先匀减速后反向匀加速运动，总位移大小为2d。 减速阶段，时间为 加速度为 根据速度-位移公式 又有 根据牛顿第二定律，有 联立解得， 加速阶段，根据速度-位移公式 根据牛顿第二定律，有 又有 解得， y方向上的分运动，则有 解得 10. （2025·河南新乡·模拟预测）在如图甲所示的平面坐标系内，有三个不同的静电场：第一象限内有固定在O点处的点电荷产生的电场E1（大小未知），该点电荷的电荷量为-Q，且只考虑该点电荷在第一象限内产生的电场；第二象限内有水平向右的匀强电场E2（大小未知）；第四象限内有大小为，方向按图乙周期性变化的电场E3，以水平向右为正方向，变化周期。一质量为m，电荷量为+q的离子从点由静止释放，进入第一象限后恰能绕O点做匀速圆周运动，由x轴处离开第一象限。以离子到达x轴时为计时起点，已知静电力常量为k，不计离子重力。求： (1)离子在第一象限运动时速度大小v0和第二象限电场E2的大小； (2)当时，离子速度的大小和方向； (3)当时，离子的坐标。 【答案】(1)； (2)；方向与水平方向倾斜向下的夹角 (3) 【详解】（1）在第一象限内，由库仑力提供离子圆周运动的向心力 解得 在第二象限内，只有电场力对离子做功，由动能定理得 解得 （2）离子在方向有公式， 在时，离子的合速度 ，则与水平方向倾斜向下的夹角 （3）一个周期内，离子在x方向的平均速度离子在x方向前进 根据乙图中场强的变化规律可判断，y方向上做匀速直线运动，x方向上第一个半个周期向右匀加速运动，第二个半个周期向右匀减速运动，当t=T时速度恰减为零，之后重复此运动过程，其轨迹如图所示 每半个周期沿x正方向运动的距离均相等 因为开始计时时离子坐标为x0，所以2T时， 离子的横坐标为 纵坐标为 在nT时离子的坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题精练04 带电粒子（带电体）在电场中的运动问题 一、考向分析 1.本专题主要讲解带电粒子(带电体)在电场中运动时动力学和能量观点的综合运用，高考常以计算题出现。 2.用到的知识:受力分析、运动分析、能量观点。 3.带电粒子在电场中的运动 (1)分析方法:先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题。 (2)受力特点:在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略。一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用。 4.用能量观点处理带电体的运动 对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理。即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理也常常更简捷。具体方法有: 二、动力学 牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay 向心力 牛顿第三定律 三、运动学 匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 <Vs/2 四、功和能 动能 功 W = Fs cos (恒力做功) W=Pt（拉力功率不变） W=f S相对路程 （阻力大小不变） 动能定理 五、电学 内容 重要的规律、公式和二级结论 1.电场、电场强度、点电荷的电场、电场线 (1)电场线密的地方电场强，稀疏的地方电场弱。 (2)电场强度的定义式E＝，其大小由电场本身性质决定。 (3)点电荷的电场强度的决定式E＝，由Q、r决定。 (4)匀强电场的电场强度E＝，d为沿电场方向上两点间的距离。 2.电势、电势差、电势能、等势面 (5)电势定义式φ＝，其大小与电势能Ep、电荷量q均无关。 (6)电势差：UAB＝φA－φB＝＝。 (7)静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增大。 (8)等势面与电场线相互垂直，沿电场线方向电势降低最快。 3.匀强电场中电势差与电场强度的关系 (9)等差等势面越密的地方，电场越强；越稀疏的地方，电场越弱。 (10)匀强电场中的平行四边形的对边电势差相等，线段AB中点C的电势φC＝。 4.电容器的电容、平行板电容器的电容、常用电容器 (11)电容的定义式C＝＝，平行板电容器电容的决定式C＝。 (12)电容器接在电源上，电压不变，改变d或S或εr，板极上的电荷量变化；断开电源时，电容器电荷量不变，改变d，电场强度E＝不变。 六、电场中常见的运动类型 (1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝mv2－mv来求解；对于匀强电场，电场力做功也可以用W＝qEd来求解。 (2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题．对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动的合成与分解的方法来处理。 【例题1】（2025·四川成都·一模）如图所示，由光滑绝缘圆弧轨道与竖直支架组成的装置固定于竖直面内，C点位于水平地面上，两点的距离。圆心O点与A点等高，轨道半径，圆心角，空间内存在水平向左的匀强电场。现从A点静止释放一质量，电荷量的带负电小球（可视为质点），小球以的速度从B点离开圆弧轨道后落到水平地面上的D点（图中未标出）。，，重力加速度取。求： (1)匀强电场的场强大小E； (2)小球到达B点时轨道对小球的支持力大小N； (3)小球落地点D与C点的距离d。 【例题2】（2025·四川德阳·一模）如图所示，某兴趣小组用人工智能仿真模拟带电小球在电场中的运动。竖直平面内，半径为R的圆弧轨道固定在水平面上，轨道最低点C与水平面平滑连接，轨道的最高点D点与圆弧圆心O点位于同一水平线上，水平面上的F点位于D点正下方。OCFD区域存在竖直向上的匀强电场E1，直线DF的右侧空间（含边界DF）存在与竖直方向夹角为（）斜向右下方的匀强电场E2。离DF右侧某处有一竖直挡板，挡板上P点距水平面高度为2R。不带电的小球a以的速度向右运动，与静止在水平面上的绝缘小球b发生弹性碰撞。小球b过圆弧轨道C点时对轨道压力为零，从D点进入DF右侧区域。已知重力加速度大小为g，小球b质量为m、带电量为+q（整个仿真过程电荷量不变），小球a的质量mA=km，两电场强度大小分别为、。若两小球均视为质点，忽略一切摩擦，不考虑边缘效应。求： (1)小球b经过圆弧轨道C点的速度大小vC； (2)参数k的值； (3)若无挡板，合理调整匀强电场E2与竖直方向的夹角α，求小球b的最大水平射程xm；若无论如何改变挡板距DF的距离，小球b均不能击中P点，求α的可调范围。 1. （2025·内蒙古乌兰察布·模拟预测）如图甲所示，平面直角坐标系的第二、三象限内有沿y轴负方向的匀强电场，一个足够大的荧光屏垂直x正半轴放置，在y轴与荧光屏之间有平行于y轴的交变匀强电场，电场强度随时间变化的规律如图乙所示（图中E0未知、T已知），该电场沿y轴正向为正方向。在第二象限坐标为（2d，d）的P点沿x轴正向，以大小为v0的初速度不断射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子经电场偏转从坐标原点进入第四象限，从t=0时刻经过坐标原点的粒子恰好在时刻垂直打在荧光屏上，不计粒子的重力，求： (1)第二、三象限内电场的电场强度的大小； (2)荧光屏离y轴的距离，交变电场的电场强度大小E0； (3)荧光屏上有粒子打上的区域沿y轴方向的长度。 2. （2025·四川凉山·一模）如图所示，粗糙水平绝缘轨道AB与半径R=0.4 m的竖直半圆绝缘光滑轨道BC平滑连接，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度。现有一电量，质量m=0.2kg的带电体（视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，经过水平轨道加速，进入圆轨道B点时速度大小。带电体与水平轨道间动摩擦因素，取g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)P点到B点的距离； (2)带电体运动到与圆心O等高点D处时对圆形轨道的压力大小； (3)带电体离开圆弧轨道的速度大小。 3. （2025·广东珠海·模拟预测）如图所示，与水平方向成角的足够长绝缘固定斜面底端点固定一块与斜面垂直的挡板，整个空间存在平行斜面向下的匀强电场，场强大小。斜面上一个质量为的不带电绝缘滑块静止在距离斜面底端的点，滑块与斜面间的动摩擦因数。将一个质量为带电量为的光滑小球从斜面点上方处的点由静止释放，小球向下运动，与滑块发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰撞过程中无电荷转移。滑块碰挡板后立刻静止在挡板处。已知重力加速度为，，，滑块与小球均视为质点。求： (1)若，求小球与滑块发生第一次碰撞后两者的速度； (2)若，求小球与滑块发生第二次碰撞前（滑块未碰挡板）小球与滑块之间的最大距离； (3)试分析小球与滑块在第一次碰撞与第二次碰撞之间的运动过程中，小球电势能的变化量。 4. （2025·福建·模拟预测）如图所示，竖直正对放置的带电平行板间有水平加速电场，一质量为m、电荷量为的带电粒子从左极板附近由静止释放，从右极板上小孔（大小可忽略）以大小为的速度水平飞出，并正对圆心O进入一半径为R的圆形匀强电场区域，区域内存在竖直向下的匀强电场，圆形边界上的P、点将下半圆三等分且两点连线水平，粒子经电场偏转后恰好可以从P点飞出，不计粒子重力及空气阻力。 (1)求加速电场两极板间电压的大小； (2)求圆形区域匀强电场的电场强度E的大小； (3)若仅改变加速电场两极板间的电压大小，使粒子从点射出圆形电场区域，求此时两极板间所加电压的大小。 5. （2025·河南南阳·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系的x、y轴正方向分别水平向右和竖直向上，第一、四象限存在竖直向上的匀强电场，第二、三象限存在另一竖直向上的匀强电场，其电场强度是一、四象限内电场强度的2倍，第一、四象限竖直固定放置内壁光滑绝缘的圆弧轨道OB，B点在y轴的负半轴上，P点是圆心，且OB=OP。现将质量为m、带电量为+q的小球（视为质点）从第三象限的A点以水平向右的初速度v0抛出，运动到坐标原点O时速度大小为2v0，从A点运动到O点过程中加速度的大小为g，然后小球从O点切入圆轨道沿圆弧轨道的内壁运动到B点，重力加速度大小为g。 (1)求小球从A点运动到O点的时间以及第一、四象限匀强电场的电场强度大小； (2)若小球从O点沿圆弧运动到B点的过程中在某点轨道对其弹力的大小等于小球所受重力大小，求O、B两点的电势差，以及小球从A点运动到B点过程中对时间而言所受的平均作用力的大小； (3)若A、B两点等高，求小球从A点运动到B点的平均速度的大小。 6. （2026·江苏·一模）多个长度逐个增大的金属圆筒沿轴线排列成一串，如甲图所示，图中只画出了六个圆筒作为示意。各筒按奇偶顺序交替连接到如乙图所示的交流电源的两端，已知交流电源周期为T、电压绝对值为，且对应奇数号圆筒为高电势。整个装置放在高真空容器中。圆筒的两底面中心开有小孔，粒子可以沿筒的中心轴线穿过。由于静电平衡，可认为只有相邻圆筒间缝隙中存在匀强电场，而圆筒内部电场强度为零，缝隙的宽度很小，粒子在缝隙电场中加速的时间可以不计。时刻，有一电量为、质量为的正离子由静止进入一、二圆筒间的电场开始加速，穿过二号圆筒后正好在时刻进入二、三圆筒之间的电场再次加速，且之后每经过正好进入下一缝隙电场。 (1)第个圆筒的长度？ (2)实际应用中，由于相邻圆筒之间电压最大值有限制，要想使粒子获得较大速度，需要经过很多次加速，设置的圆筒数量较多，导致粒子在缝隙电场中的加速时间不能再忽略。设相邻圆筒间距均为，在不改变交变电源的情况下，粒子能获得的最大动能是多少？ 7. （2025·湖南·模拟预测）如图甲所示，在xOy坐标系中，在第Ⅱ象限放置了α粒子射线管，α粒子射线管由平行于x轴的平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成、细管C到两板的距离相等，且开口在y轴上（图中C与两板连线绝缘），粒子源P靠近在A极板下方的左端，可以斜向下沿特定方向发射初速度为的α粒子。若极板长和两板间距均为L，当A、B板加上某一电压时，α粒子刚好能以某一速度水平进入细管C，且以相同速度水平射出。然后进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中做匀速圆周运动。之后α粒子垂直x轴进入第Ⅳ象限。第Ⅳ象限内存在电场强度大小不变、方向水平且随时间呈周期性变化的电场，若从此刻为计时零时刻，电场变化关系如图乙（图中，T为已知值，规定沿x轴正方向为电场正方向）。静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心O，粒子经过处的电场强度大小也为。已知α粒子带正电，电荷量大小为2e（e为元电荷），质量为m，重力不计。求： (1)α粒子从细管C水平射出时的速度大小v； (2)α粒子在静电分析器中运动的轨迹半径r； (3)当t＝T时，α粒子的坐标。 8. （2025·湖南·模拟预测）如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，，。请完成下列问题： (1)若滑块从水平轨道上距离B点s＝2R的A点由静止释放，求滑块到达C点时受到轨道的支持力的大小； (2)改变s的大小仍使滑块由静止释放，且滑块始终沿轨道滑行，并能从G点飞出轨道，求s的最小值； (3)现撤去电场，滑块从水平轨道上距离B点s＝2R的A点释放，若运动到CD段某点时脱离轨道，并在此后经过O点，求滑块释放时应该有多大的水平向左的初速度？ 9. （25-26高三上·河北·期中）如图1所示，在平面直角坐标系xOy的第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。P点位于第三象限内，其与x轴的距离为d。一带电粒子以大小为v0的初速度沿x轴正方向从P点出发，恰好从坐标原点O进入第一象限，粒子过O点时，其速度方向与x轴正向夹角为α，第一象限内存在场强大小也为E的匀强电场（场强方向未知），带电粒子在第一象限内发生偏转，最终从y轴上的Q点射入第二象限，此时粒子速度方向与y轴正向的夹角为β，已知，，忽略带电粒子所受重力。 (1)求P点到y轴的距离L； (2)求Q点的纵坐标值y0和第一象限内电场强度的方向； (3)若在粒子刚进入第二象限时，在第二象限内加一个变化的电场，将这个电场沿x轴和y轴正交分解，其在两个方向上变化的规律如图2和图3所示（t=0时刻为粒子刚进入第二象限的时刻），规定x轴正向为Ex的正方向，y轴正向为Ey的正方向。该粒子在这个变化的电场中运动，在t2时刻刚好从点（2d，0）进入第三象限，整个过程中其在x方向和y方向上均为先做匀减速运动后做匀加速运动。之后带电粒子恰好可以再次经过P点。且过P点时的速度大小为v0，方向沿x轴正方向。图2中在0~t1时间内x方向的电场强度大小为，图中的t1、t2、tx、E1、E2、E3均为未知量。求E1和tx。 10. （2025·河南新乡·模拟预测）在如图甲所示的平面坐标系内，有三个不同的静电场：第一象限内有固定在O点处的点电荷产生的电场E1（大小未知），该点电荷的电荷量为-Q，且只考虑该点电荷在第一象限内产生的电场；第二象限内有水平向右的匀强电场E2（大小未知）；第四象限内有大小为，方向按图乙周期性变化的电场E3，以水平向右为正方向，变化周期。一质量为m，电荷量为+q的离子从点由静止释放，进入第一象限后恰能绕O点做匀速圆周运动，由x轴处离开第一象限。以离子到达x轴时为计时起点，已知静电力常量为k，不计离子重力。求： (1)离子在第一象限运动时速度大小v0和第二象限电场E2的大小； (2)当时，离子速度的大小和方向； (3)当时，离子的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $