题型5 课时3 与折叠（对称）有关的最值问题[2025.24]-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦几何图形折叠（对称）这一核心考点，覆盖三角形、四边形、圆等图形，对接2024-2025年中考真题（如2025.24题12分），分析考点权重，归纳与折叠有关的最值问题等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于真题训练与解题突破结合，如例2正方形折叠中用勾股定理求DN长，最值问题借助垂线段最短原理，培养学生几何直观和推理能力。教师可依此设计专题复习，帮助学生掌握折叠性质应用技巧，提升中考得分率。

《二轮重难题型培优》 数学 题型五　几何图形的折叠(对称)问题 (2025.24，12分、2024.16，3分) 课时三　与折叠(对称)有关的最值问题(2025.24) 深研浙江统考方向 (2025杭州临平区二模)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为边AC上一动点，将△BCD沿BD折叠得到△BED，BE与AC交于点F，则EF的最大值为(　 　) A.2.4　　　　　　　B.4.8　　　　　　　 C.7.2　　　　　　　D.9.6 三角形 例1题图 A 1.对应角：∠C＝∠BED，∠BDE＝∠BDC，∠EBD＝∠CBD； 2.对应边：BC＝BE，DC＝DE； 3.突破点：过点A作AN⊥BC于点N，过点B作BM⊥AC于点M，利用等腰三角形的性质，勾股定理求出AN，BM的长，根据垂线段最短即可求得EF的最大值. 深研浙江统考方向 如图，在锐角△ABC纸片中，∠BAC＝45°，BC＝3，S△ABC＝，P为BC上一动点，将△ABP，△ACP分别沿AB，AC向外翻折至△ABD，△ACE，连接DE，则△ADE面积的最小值为(　 　) A.5 B. C. D. 变式1题图 C 深研浙江统考方向 1.对应角：∠A＝∠F，∠ADN＝∠FEN，∠AMN＝∠FMN，∠DNM＝∠MNE； 2.对应边：AD＝EF，AM＝FM，DN＝EN； 3.突破点：(1)由折叠得DN＝EN，再根据勾股定理求出DN的长； (2)取AD的中点P，根据两点之间线段最短得出GQ＋QE的最小值. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在 AB，CD上.将该正方形沿MN折叠，使点D落在 BC边上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q. 例2题图 四边形 深研浙江统考方向 解：根据折叠的性质可得，DN＝EN， 设DN＝EN＝x，则CN＝4－x. ∵E是BC的中点，∴EC＝BC＝2. 在Rt△NEC中，∠C＝90°，∴CN2＋CE2＝EN2， 即(4－x)2＋22＝x2， 解得x＝，即DN＝； 如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在AB，CD上.将该正方形沿MN折叠，使点D落在BC边上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q. (1)若E是BC的中点，求DN的长； 例2题图 深研浙江统考方向 (2)若G为EF的中点，连接GQ，随着折痕MN位置的变化，求GQ＋QE的最小值. 解：如解图，取AD的中点P，连接QP，QC，由折叠 的对称性可知QP＝QG. ∵Q为DE的中点，△CDE为直角三角形， ∴CQ＝DE＝QE，∴GQ＋QE＝QP＋CQ≥CP， 当P，Q，C三点共线时，QP＋CQ最小，为CP的长. ∵P是AD的中点，∴DP＝AD＝2. ∵∠ADC＝90°，∴在Rt△CPD中，由勾股定理，得CP＝ ＝2， ∴当且仅当P，Q，C三点共线时，GQ＋QE最小，最小值为2. 例2题解图 深研浙江统考方向 综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小明同学准备了一张矩形纸片ABCD，AB＝24，BC＝20，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN沿MN折叠得到△B'MN，连接AB'.则AB'的最大值为_____，最小值为______. 24 　16 深研浙江统考方向 【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，AB是☉O的直径，AB＝4，沿弦CD折叠，使折叠后的与AB相切于点E. 【发现】所在圆的半径为___ . 圆 图1 例3题图 2 深研浙江统考方向 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以 下两种方式. 淇淇说：取弦CE和弦ED的中垂线的交点即可. 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点O关于弦 CD的对称点O'，点O'即为所求. 淇淇说：这样看来，折叠后，切点E在直径AB上运动，可以看成☉O'在直径AB上滚动. 图2 例3题图 嘉嘉说：没错，所以当点E在直径AB上运动时，点O'的运动路线和直径AB的位置关系是_______ . 平行 深研浙江统考方向 解：如解图1，连接O'E，则O'E＝2，O'E⊥AB， ∵E是OB的中点，OB＝AB＝2，∴OE＝BE＝OB＝1， ∴O'B＝， 又∵AB是☉O的直径，∴∠AMB＝90°＝∠O'EB， 又∵∠ABM＝∠MBE，∴△AMB∽△O'EB，∴， 即，解得AM＝； 【拓展】(1)如图3，若切点E为OB的中点，连接O'B，交☉O于点M，连接AM，求弦AM的长； 图3 例3题图 图1 例3题解图 深研浙江统考方向 (2)若切点E落在线段OB上(包括端点)，求出弦CD的最大值和最小值. 解：如解图2，设O'O与CD交于点F，连接OD，O'E，则OD＝2. 根据轴对称可得O'O⊥CD，OF＝OO'，∴CD＝2DF， 在Rt△ODF中，由勾股定理，得DF＝， 在Rt△OO'E中，由勾股定理，得O'O＝， 图2 例3题解图 深研浙江统考方向 ∴当O'O最大时，OE最大，CD最小，如解图3，即当点E在点B处时，CD最小， 此时，O'O＝＝2，∴OF＝，∴CF＝，∴CD＝2. 当O'O最小时，OE最小，CD最大，如解图4，即当点E在点O处时，CD最大， 这时，同理可得OF＝1，∴DF＝，∴CD＝2， 综上所述，弦CD的最大值为2，最小值为2. 图3 图4 例3题解图 深研浙江统考方向 1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，将纸片ABCD沿EF折叠，使点D的对应点D'在边BC上，点C的对应点为C'，则DE的最小值为____，CF的最大值为______. 3 2 1 针对训练 第1题图 6 深研浙江统考方向 2.在某校社团活动课上，班长领着同学们进行《图形的折叠》活动，如图，在一个直角三角形ABC的纸片中，∠ACB＝90°，点P为AB上一个动点，以CP为对称轴折叠△APC得到△QPC，点A的对应点为点Q，当点Q落在纸片上时，若AC＝3，BC＝6，则AP的最小值为_______ ，AP的最大值为_______. 3 2 1 第2题图 　 深研浙江统考方向 【解析】如解图1，过点C作CP1⊥AB，垂足为P1，以P1C为对称轴折叠△AP1C得到△Q1P1C，点A的对应点为点Q1，则点Q1落在边AB上，此时AP有最小值，为AP1的长.∵∠ACB＝90°， 3 2 1 AC＝3，BC＝6，∴AB＝＝3.∵CP1⊥AB，∴AC·BC＝ AB·CP1，∴CP1＝.∵AC＝3，∴AP1＝＝，∴AP的最小值为； 图1 第2题解图 深研浙江统考方向 如解图2，作∠ACB的角平分线CP2，交AB于点P2，以P2C为对称轴折叠△AP2C得到△Q2P2C，点A的对应点为点Q2，则点Q2落在边BC上，过点P2作P2H⊥AC于点H，此时AP有最大值，为AP2的长，则∠P2HA＝∠ACB＝90°， ∴P2H∥BC， 3 2 1 ∴∠AP2H＝∠ABC，∴sin∠ABC＝＝＝sin∠AP2H＝，∴AH＝AP2，由折叠的性质得∠ACP2＝∠BCP2＝∠ACB＝45°，∴∠HP2C＝45°， 图2 第2题解图 深研浙江统考方向 ∴HP2＝CH，设AP2＝x，则AH＝x，∴HP2＝CH＝AC－AH＝3－x.∵A＝AH2＋H，∴x2＝(x)2＋(3－x)2，解得x＝或x＝－3(舍去)，∴AP2＝，∴AP的最大值为. 3 2 1 图2 第2题解图 深研浙江统考方向 3.【问题背景】 如图1，已知正方形ABCD的边长为3，点E是边AB上的一点，把△ADE沿直线DE对折后，点A落在点F处. 【问题探究】 (1)如图2，当AE＝1时，正方形的对角线AC与DE相交于点M，与正方形另一条对角线BD相交于点O，连接OF并延长，交线段AB于点G. ①求的值，并说明点M是OA的中点； 3 2 1 图1 图2 第3题图 深研浙江统考方向 解：∵正方形ABCD的边长为3， ∴AE∥DC，CD＝3，OA＝OC＝AC， ∴△AME∽△CMD， ∴. ∵AE＝1， ∴AM＝AC， ∴AM＝OA，即点M是OA的中点； 3 2 1 图2 第3题图 深研浙江统考方向 ②试探究OG与DE有怎样的位置关系，并说明理由. 3 2 1 图2 第3题图 解：OG与DE的位置关系为OG∥DE，理由如下： 如解图1，连接AF交DE于点N， 由折叠的性质得DE垂直平分AF， 即点N是AF的中点. 由(1)知点M是OA的中点， ∴MN是△AFO的中位线， ∴MN∥OF，即OG∥DE； 图1 第3题解图 深研浙江统考方向 【拓展延伸】 (2)如图3，点H是线段DF上的一点，且DH＝1，连接BF，CH.在点E从点A运动到点B的过程中，求BF＋CH的最小值. 3 2 1 图3 第3题图 解：如解图2，在DC上截取DP＝1，连接FP，BP， 则DP＝DH. ∵四边形ABCD是边长为3的正方形， ∴DA＝DC＝BC＝3，∠BCP＝90°， ∴CP＝CD－DP＝3－1＝2， 由折叠的性质得DF＝DA＝3， ∴DF＝DC， 图2 第3题解图 深研浙江统考方向 在△DFP和△DCH中，， ∴△DFP≌△DCH(SAS)， ∴PF＝CH， ∴BF＋CH＝BF＋FP. ∵BF＋FP≥BP， ∴当B，F，P三点共线时，BF＋FP最小，即BF＋CH 最小， 此时，BF＋CH＝BP＝. 3 2 1 图2 第3题解图 深研浙江统考方向 2025浙江统考数学第24题12分 24.在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8. (1)如图1，求sin∠BAC的值； 图1　　 图2 第24题图 (2)如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP. ①当EF⊥AC时，求AE的长； ②求PA－PB的最小值. 返回目录 深研浙江统考方向 在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8. (1)如图1，求sin∠BAC的值； 图1　　 图2 第24题图 解：如解图1，设AC，BD交于点O. ∵在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8， ∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，∴OB＝＝3，∴sin∠BAC＝＝； 第24题解图1 返回目录 深研浙江统考方向 (2)如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称②，EF交射线AC于点P，连接BP. ①当EF⊥AC③时，求AE的长； 图2 例2题图 解：如解图2，设AC，BD交于点O.∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，BD＝2OB，AD＝AB＝5， ∴OB＝＝＝3，∴BD＝6. ∵EF⊥AC，AC⊥BD，∴EF∥BD，∴∠DBE＝∠FEB， 由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB，∴∠DEB＝∠DBE，∴DE＝DB＝6，∴AE＝AD＋DE＝11； 第24题解图2 返回目录 深研浙江统考方向 ②求PA－PB的最小值. 解：如解图2，设AC，BD交于点O. 在Rt△BOP中，由勾股定理得PB＝＝. ∵PA＝OA＋OP＝4＋OP， ∴PA－PB＝4＋OP－ ＝4＋ ＝4＋＝4－. 第24题解图2 返回目录 深研浙江统考方向 ∵＞0，∴要使PA－PB的值最小，则的值要最大，即OP＋的值最小. 又∵的值随着OP的值增大而增大，∴OP＋的值随着OP的值增大而增大，∴当OP的值最小时，OP＋有最小值，即此时有最大值，∴当OP有最小值时，PA－PB有最小值； 第24题解图2 返回目录 深研浙江统考方向 如解图2，过点B分别作BH⊥AD于点H，BT⊥FE于点T. ∵S菱形ABCD＝AC·BD＝AD·BH，∴BH＝＝＝，∴由轴对称的性质可得BT＝BH＝，在Rt△POB中，由勾股定理得OP＝＝， ∴当PB的值最小时，OP有最小值，由垂线段最短可知BP≥BT＝，∴BP有最小值，最小值为，∴OP最小＝＝， ∴(PA－PB)最小＝4－＝. 第24题解图2 返回目录 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $