题型4 课时2 圆与内接四边形[2025.16,2024.24]-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦圆的性质、内接四边形、相似三角形等核心考点，严格对接中考说明，分析2024、2025年真题考点权重（如2024.24题12分），归纳几何证明、线段计算、面积比等常考题型，体现备考针对性和实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导”模式，含2024浙江统考24题等真题，通过构造辅助线、相似三角形判定等技巧培养学生推理能力和几何直观，助力掌握综合题得分方法，为教师提供系统复习方案，提升中考冲刺效率。

《二轮重难题型培优》 数学 题型四　圆性质的综合题 (2025.16，3分、2024.24，12分) 课时二　圆与内接四边形(2025.16，2024.24) 深研浙江统考方向 序号 定性/定量 等价条件 ① 定量 ∠BAD＋∠BCD＝180° ② 定量 ∠BAD＝∠BCD＝90° ③ 定量 ∠ABC＝∠BAC，CO⊥AB 定性/定量分析图形基本结构 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形①，连接BD，AC，其中BD是☉O的直径②，AC＝BC③. 求证：AB·BC＝CD(AD＋BD). 例题图 深研浙江统考方向 逆向分析 由结论出发，易知需要借助相似三角形完成证明.其中，相似三角形需要包含AB，BC，CD，AD，BD或者与之存在关联的线段.观察图形结构，没有直接可以用来证明结论的相似三角形，因此需要进行 构造. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形①，连接BD，AC，其中BD是☉O的直径②，AC＝BC③. 求证：AB·BC＝CD(AD＋BD). 例题图 深研浙江统考方向 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形①，连接BD，AC，其中BD是☉O的直径②，AC＝BC③. 求证：AB·BC＝CD(AD＋BD). 例题图 解：如解图，连接OC，过点O作OE⊥AB于点E， OF⊥CD于点F. ∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC. ∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD. ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠ODC＝∠OCD＝∠ABC＝∠BAC，∴△ABC∽△DCO. 例题解图 深研浙江统考方向 ∵AC＝BC，∴点C，O，E共线. ∵CE⊥AB，∴点E为AB的中点. ∵OB＝OD，∴OE为△BAD的中位线，∴OE＝AD. ∵OF⊥CD，BD是☉O直径， ∴∠BCD＝90°，∴OF∥BC，∴OF＝BC. ∵△ABC∽△DCO，∴，∴AB·BC＝CD·(EO＋OC)， ∴AB·BC＝CD·2(EO＋OC)，即AB·BC＝CD·(AD＋BD). 例题解图 深研浙江统考方向 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形.连接BD，AC交于点E.其中BD是☉O的直径，AB＝AC. 已知BE＝5，ED＝2，求AE的长. 从求线段长的角度出发展开变式： 变式1题图 解：如解图，过点A作AF⊥BC于点F. ∵AB＝AC，∴AF与BD的交点即为圆心O. ∵BE＝5，DE＝2，∴BO＝OD＝BD＝，∴OE＝. ∵BD是☉O的直径，∴∠BCD＝90°. ∵∠AFC＝∠BCD＝90°，∴AF∥DC， 变式1题解图 深研浙江统考方向 ∴∠OAE＝∠ACD. 又∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠OAE， ∴△ABE∽△OAE， ∴，∴AE＝. 变式1题解图 深研浙江统考方向 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形.连接AC， BD交于点E.其中AB＝AC，AC⊥BD，已知AB＝5，BC＝10，求的值. 从求面积比出发展开变式： 变式2题图 解：如解图，延长AD与BC的延长线交于点F，过点A作AG⊥BC于点G. ∵AB＝AC，BC＝10， ∴A，O，G三点共线，BG＝CG＝5. 由题意知，△ABG∽△BCE∽△ADE. 变式2题解图 深研浙江统考方向 ∵AB＝5， ∴BE＝4，CE＝2，AE＝3，DE＝， AD＝，CD＝， 设∠BAG＝α， ∵AB＝AC，∴∠BAG＝∠CAG＝α. ∵∠ADB＝∠ACB＝90°－α， ∴∠DAE＝∠CBE＝α，∠ABD＝∠ACD＝90°－2α，∠BFD＝∠ACB－∠CAF＝90°－2α， 变式2题解图 深研浙江统考方向 ∴△ACD∽△BFD， 易得BF＝，CF＝， ∴＝＝125×＝. ∵＝＝＝，∴＝. 变式2题解图 深研浙江统考方向 从线段等量关系出发展开变式： 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形.AB＝BD，AC⊥BD于点E.F为AE上一点.若CE＝FE，过点F作FG⊥AD于点G，求证：AG＝DG. 变式3题图 变式3题解图 证明：如解图，连接BF，DF . ∵CE＝FE，AC⊥BD，即BD垂直平分CF， ∴设∠FBE＝∠CBE＝∠CAD＝α，∠ADE＝90°－α. ∵AB＝BD，∴∠ABD＝2α，∠ABF＝∠DBF＝α， ∴△ABF≌△DBF(SAS)，∴AF＝DF. ∵FG⊥AD，∴AG＝DG. 深研浙江统考方向 证明：如解图，过点C作AB的垂线，垂足记为点E，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点F. ∵AC平分∠DAB，CB＝CD ∴CE＝CF， ∴△ACE≌△ACF(AAS)， Rt△CBE≌Rt△CDF (HL)， 从线段数量关系出发展开变式： 如图，☉O是四边形ABCD的外接圆，∠ABC＝60°，CB＝CD.连接AC，AC平分∠DAB，求证：AB＝AD＋BC. 变式4题图 变式4题解图 深研浙江统考方向 ∴AE＝AF，BE＝DF， ∴AB＝AE＋BE＝AF＋BE＝AD＋2DF. ∵∠CDF＝∠B＝60°， ∴2DF＝CD＝CB， ∴AB＝AD＋BC. 变式4题解图 深研浙江统考方向 1.(2025衢州校级模拟)如图，AB为☉O的直径，弦DE⊥AB于点C(C为线段OB上一点)，F为CD上一点(点C，F均不与端点重合)，连接BD，BE，射线AF交BD于点H，与射线EB交于点G，且∠EAF＝∠ADE. (1)求证：AF＝EF； 4 3 2 1 针对训练 第1题图 证明：∵弦DE⊥AB于点C， ∴CD＝CE，AB垂直平分DE，∴AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED. ∵∠EAF＝∠ADE，∴∠EAF＝∠AED，∴AF＝EF； 深研浙江统考方向 (2)若AC＝4，CE＝3，求的值； 4 3 2 1 第1题图 解：∵CE＝3，∴DC＝CE＝3， 设FC＝x，则AF＝FE＝CF＋CE＝x＋3， 在Rt△AFC中，AF2＝CF2＋AC2， ∴(x＋3)2＝x2＋42，∴x＝，∴CF＝， ∴DF＝DC－CF＝3－，∴； 深研浙江统考方向 (3)当点B为EG的中点时，求的值. 4 3 2 1 解：如解图所示，连接FB， ∵AB为☉O的直径，∴∠AEB＝90°， ∴∠AEF＋∠FEB＝90°，∠FAE＋∠G＝90°. ∵∠FAE＝∠FEA，∴∠G＝∠FEG， ∴FG＝FE＝AF. ∵点B为EG的中点，∴BG＝BE，FB是△AGE的中位线，∴FB∥AE，FB＝AE， 第1题解图 第1题图 深研浙江统考方向 ∴∠FBE＝∠AEB＝90°，△FCB∽△ECA， ∴，∴设FC＝a，∵AB⊥DE，∴DC＝CE＝2a，∴AF＝FE＝FC＋CE＝3a，DF＝DC－FC＝a，∴AC＝＝2a， ∴tan∠CAE＝. ∵，∴tan∠FDB＝tan∠CAE＝， 4 3 2 1 第1题解图 深研浙江统考方向 ∴，即，∴CB＝a， ∴DB＝a. ∵DB＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝∠G. 又∵∠DHF＝∠GHB，∴△DHF∽△GHB， ∴＝()2＝()2＝()2＝()2＝. 4 3 2 1 第1题解图 深研浙江统考方向 证明：∵∠BAE＝∠CDE，∠ABE＝∠DCE， ∴△ABE∽△DCE； 2.(2025绍兴校级模拟)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，连接AC，BD交于点E. (1)求证：△ABE∽△DCE； 4 3 2 1 第2题图 深研浙江统考方向 (2)若AB＝AC，＝2. ①求证：AC⊥BD； 4 3 2 1 证明：∵＝2，∴∠CAB＝2∠CAD. 设∠CAD＝x，则∠BAC＝2x，∴∠CBE＝∠CAD＝x. ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－2x)＝90°－x，∴∠BEC＝180°－∠CBE－∠ACB＝90°， ∴AC⊥BD； 第2题图 深研浙江统考方向 解：如解图，连接AO并延长交BC于点H. ∵AB＝AC，∴， ∴AH⊥BC， ∴BH＝CH＝BC. ∵， 设AB＝AC＝m，BC＝2m，则BH＝CH＝m. ∴AH＝m. ②当时，求的值. 4 3 2 1 第2题解图 第2题图 深研浙江统考方向 ∵∠AHC＝∠BEC＝90°，∠ACH＝∠BCE， ∴△ACH∽△BCE，∴， ∴，∴BE＝m，CE＝m， ∴AE＝AC－CE＝m－m＝m. ∵△ABE∽△DCE，∴ ∴，∴CD＝m， ∴. 4 3 2 1 第2题解图 深研浙江统考方向 解：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形， ∴∠DCB＋∠DAB＝180°. ∵∠DCB＝2∠DAB，∴2∠DAB＋∠DAB＝180°， ∴∠DAB＝60°. ∵∠DEB＝∠DAB，∴∠DEB＝60°. ∵DE∥AC，∴∠EFA＝∠DEB＝60°； 3.(2025杭州上城区校级三模)如图1，四边形ABCD是☉O的内接四边形，过点D作DE∥AC交☉O于点E，连接BE交AC于点F. (1)若∠DCB＝2∠DAB，求∠EFA的度数； 4 3 2 1 图1 第3题图 深研浙江统考方向 证明：连接AE，如解图1， ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴， ∴AE＝CD，＋＋，∴， ∴∠EAC＝∠DCA. 在△EAF和△DCF中，， ∴△EAF≌△DCF(SAS)，∴FE＝FD. (2)如图2，连接FD，若AF＝FC. ①求证：FE＝FD； 4 3 2 1 图2 第3题图 第3题解图1 深研浙江统考方向 ②求证：DC·AB＝AD·BC. 4 3 2 1 证明：连接AE，延长DF交☉O于点G， 连接CG，BG，AG，如解图2， 由(2)①知△EAF≌△DCF， ∴∠AEF＝∠CDF，∴， ∴AB＝CG，＋＋，∴， ∴AG＝BC，∠ACG＝∠BGC. ∵∠CDG＝∠CAG，∠DFC＝∠AFG， 图2 第3题图 第3题解图2 深研浙江统考方向 ∴△DFC∽△AFG，∴，∴. ∵∠ADG＝∠ACG，∠AFD＝∠GFC， ∴△ADF∽△GCF，∴，∴. ∵AF＝FC，∴，∴， ∴DC·AB＝AD·BC. 4 3 2 1 第3题解图2 深研浙江统考方向 4.(2023宁波中考)如图1，锐角△ABC内接于☉O，D为BC的中点，连接AD并延长交☉O于点E，连接BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连接BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC. (1)求∠BGC的度数； 4 3 2 1 图1 解：∵BC平分∠EBG，∴∠EBC＝∠CBG. ∵∠EBC＝∠EAC， ∴∠CBG＝∠EAC. ∵AC⊥FC， ∴∠AFC＋∠EAC＝90°. ∵∠BCG＝∠AFC，∴∠BCG＋∠CBG＝90°， ∴∠BGC＝90°； 深研浙江统考方向 (2)①求证：AF＝BC； 证明：∵∠BGC＝90°，D为BC的中点， ∴GD＝CD，∴∠DGC＝∠DCG. ∵∠BCG＝∠AFC，∴∠DGC＝∠AFC， ∴CF＝CG. ∵∠ACF＝∠BGC＝90°， ∴△ACF≌△BGC(ASA)， ∴AF＝BC； 4 3 2 1 图1 深研浙江统考方向 ②若AG＝DF，求tan∠GBC的值； 解：如图1，过点C作CH⊥EG于点H， 设AG＝DF＝2x. ∵△ACF≌△BGC，∴AF＝BC＝2DG， ∴CD＝DG＝AG＋DF＝4x. ∵CF＝CG，∴HG＝HF＝3x， ∴DH＝x，AH＝5x， ∴CH＝x， ∴tan∠GBC＝tan∠CAF＝， ∴tan∠GBC的值为； 4 3 2 1 图1 深研浙江统考方向 解：如解图2，过点O作OM⊥BE 于点M，连接OC交AE于点N， ∵BC平分∠EBG，OB＝OC， ∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB， ∴OC∥BE. ∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN， ∴△EBD≌△NCD(ASA)， (3)如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长. 图2 第4题解图2 4 3 2 1 深研浙江统考方向 ∴BE＝CN. ∵OC∥BE， ∴∠GOC＝∠MBO. ∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB， ∴△COG≌△OBM(AAS)， ∴BM＝OG＝1. ∵OM⊥BE，∴CN＝BE＝2BM＝2， 设OB＝OC＝r. 第4题解图2 4 3 2 1 深研浙江统考方向 ∵OC∥BE， ∴△GON∽△GBE， ∴＝，∴＝， 解得r＝或r＝(舍去)， 由(2)知△ACF≌△BGC， ∴AC＝BG＝r＋1＝， ∴AC的长为. 4 3 2 1 第4题解图2 深研浙江统考方向 2025浙江中考16题3分 16.如图，矩形ABCD内接于☉O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G.若AF＝1，EG＝FG＝3，则☉O的直径为______. 第16题图 2　 返回目录 深研浙江统考方向 2024浙江统考24题12分 24.如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC. (1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数； (2)求证：①EF∥BC； ②EF＝BD. 第24题图 返回目录 深研浙江统考方向 24.(2024浙江统考)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC. (1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数； 第24题图 解：∵CD为直径，∴∠CAD＝90°. ∵∠ADC＝∠AFE＝60°，∴∠ACD＝90°－60° ＝30°，∴∠ABD＝∠ACD＝30°； 返回目录 深研浙江统考方向 第24题图 证明：如图，延长AB至点M. ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CBM＝∠ADC. 又∵∠AFE＝∠ADC，∴∠AFE＝∠CBM， ∴EF∥BC； 如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC. (2)求证：①EF∥BC； 返回目录 深研浙江统考方向 如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC. ②EF＝BD. 证明：如解图，过点B作BP∥DE交圆于点P，连接PD， ∴∠CDB＝∠PBD，∴＝，∴BC＝PD. 由圆周角定理，得∠P＝∠DAB. ∵∠3＝∠DAB，∴∠P＝∠3. ∵∠1＝∠2，∠CDB＝∠2，∠CDB＝∠PBD，∴∠PBD＝∠1. ∵四边形BEGD是平行四边形，∴BD＝EG. 在△PBD和△FEG中，， ∴△PBD≌△FEG(AAS)，∴PD＝FG，∴BC＝FG. 第24题解图 返回目录 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $